Recomendados
Más contenido relacionado
La actualidad más candente
La actualidad más candente (20)
Destacado
Destacado (19)
Similar a Cap14 siste. linel.
Similar a Cap14 siste. linel. (20)
Último
Último (20)
Cap14 siste. linel.
- 1. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 337 14 14.1 DEFINICIÓN 14.2 CONJUNTO SOLUCIÓN 14.3 MÉTODO DE GAUSS 14.4 REPRESENTACIÓN MATRICIAL 14.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN Ya nos enfrentados a sistemas de ecuaciones con dos o tres incógnitas. El objetivo ahora es ser más generales, y definir métodos para hallar conjunto solución, incluso de sistemas con más ecuaciones que incógnitas. Y además hacer análisis de las soluciones.
- 2. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 338 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Defina sistema de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Defina Conjunto Solución de sistemas de ecuaciones lineales, sistemas consistentes con solución única, sistemas consistentes con infinitas soluciones, sistemas inconsistentes. Aplique el método de eliminación de Gauss para determinar conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales. Justifique la consistencia o inconsistencia de un sistema de ecuaciones lineales. Cree sistemas de ecuaciones que tengan solución única, infinitas soluciones o que sean inconsistentes. Una ECUACIÓN LINEAL en las incógnitas nxxxx ,,,, 321 es de la forma: 1332211 bxaxaxaxa nn =++++ donde IRbaaaa n ∈1321 ,,,,, Ya se han resueltos sistemas lineales de dos o tres incógnitas. Por ejemplo: Un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: =+ =− 243 12 yx yx Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: −=−+− =++ =++ 253 132 0 zyx zyx zyx Definiremos ahora sistemas con más ecuaciones y con más incógnitas. Y no necesariamente la misma cantidad de ecuaciones que incógnitas. 14.1 DEFINICIÓN Un SISTEMA LINEAL de "m " ecuaciones con " n" incógnitas es de la forma: =++++ =++++ =++++ =++++ mnmnmmm nn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa 332211 33333232131 22321222121 11313212111 donde njmiparaIRba jij ,...,3,2,1;,...3,2,1 ==∈∧ Si 0321 ===== mbbbb (todos iguales a cero) se llama "Sistema homogéneo". Caso contrario se llama "Sistema no homogéneo"
- 3. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 339 14.2 CONJUNTO SOLUCIÓN El conjunto solución de un sistema lineal está constituido por vectores de n IR , ( )nxxxxX ,...,, 321= . Donde los valores de nxxxx ,,,, 321 satisfacen a las ecuaciones simultáneamente. Este conjunto tendrá una de las siguientes tres características: CASO I. Estar constituido por únicos valores para nxxxx ,,,, 321 . En tal caso se dirá que el sistema tiene solución única. ( ){ }nxxxxS ,...,,, 321= CASO II. Estar constituído por infinitos valores para nxxxx ,,,, 321 . En tal caso se dirá que el sistema tiene infinitas soluciones. ( )( ){ },...,...,,,,,...,,, 22 3 2 2 2 1 11 3 1 2 1 1 nn xxxxxxxxS = CASO III. No tener elementos. No existen valores para nxxxx ,,,, 321 que satisfagan a las ecuaciones al mismo tiempo. En tal caso se dirá que el sistema no tiene solución. φ=s . Cuando el sistema tiene solución, se dice que es un SISTEMA CONSISTENTE. Caso contrario, es decir, cuando no tiene solución, se dice que es un SISTEMA INCONSISTENTE. En conclusión los sistemas lineales pueden ser: SISTEMA CONSISTENTE • Con Solución única, o • Con Infinitas soluciones SISTEMA INCONSISTENTE • No tienen solución.
- 4. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 340 Existen varios métodos para hallar el conjunto solución de sistemas lineales, pero el que vamos a estudiar aquí, resulta ser el método general que le permitirá no sólo hallar el conjunto solución, sino también analizar consistencia e inconsistencia de sistemas. 14.3. MÉTODO DE GAUSS La esencia del método consiste en ir estableciendo sistemas equivalentes que tendrán el mismo conjunto solución, hasta llegar a un sistema simple que nos permita deducir rápidamente su conjunto solución. PASO 1. Plantear la matriz aumentada del sistema. Esta es, la matriz de coeficientes de las incógnitas aumentando los términos independientes. Es decir: mmnmmm n n n b b b b aaaa aaaa aaaa aaaa 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 PASO 2. Reducir por renglones a la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada (tratar de formar un sistema triangular superior) mmn n n n d d d d c cc ccc cccc 3 2 1 333 22322 1131211 000 00 0 utilizando a necesidad una de las siguientes operaciones (operaciones que forman sistemas equivalentes que poseen el mismo conjunto solución): Ejemplo 1 Para el sistema: =+− =+− =−+ 1032 1132 44 zyx zyx zyx Intercambiar filas. Multiplicar una fila por una constante diferente de cero
- 5. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 341 PASO I: Su matriz aumentada es: − − − 10312 11321 4114 PASO II: El objetivo ahora será reducirla hasta una matriz escalonada empleando las operaciones permitidas. Note que se puede intercambiar la primera con la segunda fila para tener "1" en el primer elemento de la primera fila. − − − 10312 4114 11321 Luego de esto, será posible obtener los "0" en los primeros elementos de la segunda y tercera fila, bastaría con adicionar a la segunda fila respectivamente -4 veces la primera fila (o lo que es lo mismo, multiplicar por -4 a la primera fila y se la sumarla algebraicamente a la segunda). En el mismo paso se puede adicionar a la tercera fila -2 veces la primera fila −− −− − ≈ − − −−− 12330 401390 11321 10312 4114 11321)4()2( Podemos ahora multiplicar por 3 1 a la tercera fila ( ) −− −− − ≈ −− −− − 4110 401390 11321 12330 401390 11321 3 1 Luego intercambiamos la segunda con la tercera fila −− −− − 401390 4110 11321 Al adicionarle a la tercera fila -9 veces la segunda fila, conseguimos el sistema triangular superior: −− −− − ≈ −− −− − − 4400 4110 11321 401390 4110 11321 )9( Podemos multiplicar por 4 1− a la tercera fila ( ) −− − ≈ −− − − − 1100 4110 11321 4400 4110 11321 4 1 El sistema equivalente, finalmente sería ⇒ −− − 1100 4110 11321 zyx = −=− =+− 1 4 1132 z zy zyx La última ecuación nos dice que 1=z . Reemplazando este valor en la segunda ecuación tenemos: 341 −=⇒−=− yy . Y finalmente, reemplazando estos dos valores en la primera ecuación, tenemos: 21136 11)1(3)3(2 =⇒=++ =+−− xx x Por lo tanto el Conjunto solución sería =−== = 1;3;2/ zyx z y x S . O simplemente
- 6. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 342 −= 1 3 2 S . Lo cual nos permite pensar que estamos en el CASO I, es decir es un sistema consistente con solución única. El procedimiento anterior no es rígido, es decir se pueden hacer otros pasos diferentes si fuese conveniente, pero el objetivo debe ser el mismo, llegar a un sistema triangular superior. Y por ende se debe llegar al mismo conjunto solución. Ejemplo 2 Sea el sistema: =+− =+− =−+ 3059 9423 4 zyx zyx zyx La matriz aumentada para este sistema es: − − − 30519 9423 4111 Realizando reducción de filas, tenemos: −− − ≈ −− −− − −≈ − − −−− 0000 3750 4111 614100 3750 4111 )2( 30519 9423 4111)3()9( Siguiendo la técnica anterior, el sistema equivalente sería: = −=+− =−+ 00 375 4 z zy zyx La última ecuación se satisface para cualquier valor de " z ", es decir IRz ∈ . Por esto, " z " recibe el nombre de variable libre o independiente o arbitraria. Despejando " y "en la segunda resulta 5 37 + = z y . Ahora, en la primera ecuación al despejar " x " tenemos zyx +−= 4 Reemplazando y por su expresión respectiva y simplificando resulta: 5 217 z x − = . Por lo tanto el conjunto solución sería: ∈∧ + =∧ − = = IRz z y z x z y x S 5 37 5 217 / Esto nos permite pensar que estamos en el CASO II, es decir un Sistema Consistente con infinitas soluciones. Existirían infinitos valores para las incógnitas que satisfacen a las ecuaciones. Para obtener algunos de estos valores, se le daría valores a " z ", por ejemplo: si 1=z . Entonces, 3 5 15 5 )1(217 == − =x y 2 5 10 5 3)1(7 == + =y
- 7. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 343 Se puede comprobar que esta es una solución del sistema para lo cual sólo habría que reemplazar en =+− =+− =−+ 3059 9423 4 zyx zyx zyx =+− =+− =−+ ⇒ 30)1(5)2()3(9 9)1(4)2(2)3(3 4123 . Si se desea otra solución, le damos otro valor a " z ". Ahora puede ser 4−=z . Entonces, 5 5 25 5 )4(217 == −− =x y 5 5 25 5 3)4(7 −= − = +− =y . Note que también estos valores satisfacen al sistema: =−+−− =−+−− =−−−+ 30)4(5)5()5(9 9)4(4)5(2)5(3 4)4()5()5( El conjunto solución puede ser expresado también de la siguiente forma: − − = ,... 4 5 5 , 1 2 3 S Un sistema con otro tipo de infinitas soluciones, es el siguiente: Ejemplo 3 Sea el sistema: =−+ =−+ =−+ 12333 8222 4 zyx zyx zyx La matriz aumentada del sistema es: − − − 12333 8222 4111 Reduciendo renglones, resulta: − ≈ − − −−− 0000 0000 4111 12333 8222 4111)3()2( Lo cual da lugar al siguiente sistema: = = =−+ 00 000 4 z zy zyx IRz IRy zyx ∈ ∈ +−=→ 4 Aquí a z y son llamadas Variables libres o Independientes o arbitrarias Por tanto, el conjunto solución sería: = ∈∧∈∧+−= = , 0 1 3 , 1 1 4 4/ IRzIRyzyx z y x S Se le da valores arbitrarios tanto a " z " como a " y " para obtener valores para " x ". Ahora analicemos un sistema inconsistente.
- 8. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 344 Ejemplo 4 Sea el sistema =−+ =−+ =−+ 2443 0232 42 zyx zyx zyx La matriz aumentada es: − − − 2443 0232 4211 Reduciendo renglones, resulta: − − − ≈ − − − −≈ − − −−− 2000 8210 4211 10210 8210 4211 )1( 2443 0232 4211)3()2( Lo cual da lugar al siguiente sistema: −= −=+ =−+ FALSO zy zyx 20 82 4 La última ecuación es una proposición falsa, esto indica una inconsistencia. Por tanto, éste es un sistema que no tiene solución. Por lo tanto su conjunto solución es: φ=S No existe algún valor para x , y y z que satisfaga al sistema. PREGUNTA: ¿Qué se puede decir de un sistema si al reducirlo se obtiene − − 0000 4000 11321 No olvide de justificar su respuesta. Analicemos ahora sistemas rectangulares. Ejemplo 5 Sea el sistema −=+ −=+ =− 245 123 32 yx yx yx .Hallar su conjunto solución. SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada, y haciendo las reducciones de filas convenientes:
- 9. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 345 − − ≈ − − − −≈ − − − ≈ − − −−− ≈ − − − 1000 1170 312 133910 1170 312 )13( 19130 1170 312 )7(4810 246 312)5)(3( 245 123 312 )2( )2( El último renglón nos da una inconsistencia. Por tanto φ=S Ejemplo 6 Hallar el conjunto solución para el sistema: =+++− =++− =−+− 42 2322 5 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada y reduciendo por renglones, tenemos: ( ) ( ) − −− −− ≈ − −− −− ≈ −− −− −− −− ≈ − − −−− 11000 85100 51111 55000 85100 51111 30100 85100 51111 90300 85100 51111 41211 23122 51111)2( 5 1 3 1 El sistema equivalente resultante es: −= −=+− =−+− 1 85 5 4 43 4321 x xx xxxx De la última ecuación tenemos que: 14 −=x , reemplazándolo en la segunda tenemos: 358 8)1(5 33 3 =⇒−= −=−+− xx x . En la primera ecuación reemplazamos los valores encontrados 1 513 21 21 += =++− xx xx , entonces podemos decir que IRx ∈2 . Aunque lo mismo podríamos decir de 1x y despejar 2x . Estamos ante un sistema consistente con infinitas soluciones, cuyo conjunto solución puede ser expresado de la siguiente forma: − − = −=∧=∧∈∧+= = , 1 3 2 3 , 1 3 0 1 131/ 43221 4 3 2 1 xxIRxxx x x x x S Ahora veamos un sistema homogéneo. Ejemplo 7 Hallar el conjunto solución para el sistema homogéneo: =++ =++ =+− 0736 0523 0432 zyx zyx zyx
- 10. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 346 SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada y reduciendo renglones, tenemos: − − − ≈ − − − − ≈ − − − ≈ − − − ≈ −− ≈ − 04100 02130 0432 0651560 02130 0432 )12( 0651560 02130 0432 05120 02130 0432 )13( 0736 01046 0432)3( 0736 0523 0432 )2( El sistema equivalente sería: =→ =→ =→ =− =− =+− 0 0 0 041 0213 0432 z y x z zy zyx Este tipo de solución es llamada Solución Trivial. Este es un sistema consistente con solución única. Los sistemas homogéneos tienen una característica especial, son sistemas consistentes, por simple inspección se puede comprobar que por lo menos la solución trivial los satisface. Ejercicios Propuestos 14.1 1. Encuentre el conjunto solución de los siguientes sistemas lineales: a) −=++− =++ −=++ 932 4832 5113 zyx zyx zyx b) =++ =+− =++ 27372 20723 92 zyx zyx zyx c) =++ −=+−− =++ 8433 1 3 zyx zyx zyx d) =++ =++ −=+− =−+ 232 732 123 4 zyx zyx zyx zyx e) =+− =+− =−+ 3059 923 4 zyx zyx zyx f) =−+− =++ =++ 03 0 032 zyx zyx zyx 2. Sea el sistema de ecuaciones: =++ =−+ =++ 4 111 1 132 4 214 zyx zyx zyx entonces el valor de " y " que lo satisface es: a)1 b) -1 c) ½ d) -1/2 e) 1/3 3. Con respecto al sistema =++ =++ =+− 0736 0523 0432 zyx zyx zyx , una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA, identifíquela: a) El sistema tiene como solución 0,1,2 =−== zyx .
- 11. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 347 b) El sistema sólo tiene solución trivial: 0,0,0 === zyx . c) El sistema es inconsistente. d) Además de la solución trivial, el sistema tiene como solución 4,1,2 =−== zyx . e) Todas las proposiciones anteriores son falsas. 4. Dado el sistema de ecuaciones lineales: =++ =−−− =−+− 0 02 032 32 321 321 xx xxx xxx entonces es VERDAD que: a) Una de las soluciones del sistema es: x1=-3; x2=3; x3=-3 b) El sistema no tiene solución y es inconsistente, aunque homogéneo. c) El sistema tan sólo tiene una única solución, que es la trivial. d) El sistema, además de la solución trivial, tiene infinitas soluciones. e) Todas las proposiciones anteriores son falsas. Existen otros tipos de problemas en donde no se trata de hallar el conjunto solución sino de diseñar el sistema Ejercicio resuelto 1 Con respecto al siguiente sistema de ecuaciones: =−++ =++ =−+ cxcxx xxx xxx 3 2 21 321 321 )5( 62 2 El valor de "c" para que sea INCONSISTENTE, es: a) -2 b) 2 c) 0 d) 1 e) 4 SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada del sistema y reduciendo renglones de la misma forma que en los ejercicios anteriores: ( ) ( ) ( )( ) −+− − ≈ −− − ≈ ≈ − −− 22(200 4210 2111 2400 4210 2111 511 6121 2111)1( 2 2 ccc cc cc Analizando el último renglón Si ⇒= 2c ( )0000 Infinitas soluciones. Si ⇒−= 2c ( )4000 − Inconsistente. Si ⇒−≠∧≠ 22 cc ( )0000 21 ≠≠ kk solución única. RESPUESTA: Opción "a". Ejercicio resuelto 2 Sea el siguiente sistema ( ) ( ) ( ) =−+−+− +−=+−+ −=−+− azayax azyax azyx 310242 132 12 2 , donde IRa ∈ , indique ¿cuál de las afirmaciones siguientes es VERDADERA?
- 12. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 348 a) 2=a el sistema tiene infinitas soluciones b) 2−=a el sistema tiene solución única c) 2=a el sistema tiene solución única d) 22 −=∨= aa el sistema tiene solución única e) 2=a el sistema es inconsistente SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada del sistema y reduciendo renglones ( ) ( ) ( ) ( )( ) +−+ −− −−− ≈ +− −− −−− ≈ +−+− −− −−− ≈ −−− +−− −−−− 22200 30 121 2400 30 121 2310220 30 121 )2( 310)24(2 13)2(1 121)2( 2 2 2 aaa aaa a aa aaa a aaa aaa a aaa aa a Analizando el último renglón - Si ⇒= 2a ( )4000 Inconsistente. - Si ⇒−= 2a ( )0000 Infinitas soluciones. - Si ⇒−≠∧≠ 22 aa Solución única. RESPUESTA: Opción "e". Ejercicio resuelto 3 Sea el sistema de ecuaciones ( ) ( ) +=−−++ −=−+−− =−+ 2333 62432 322 2 kzkkyx kzkyx zyx El valor de "k" para que el sistema tenga INFINITAS SOLUCIONES es: a) 3 2− b) 1− c)0 d)1 e)2 S0LUCIÓN: Planteando la matriz aumentada del sistema y reduciendo renglones ( ) ( ) ( ) ≈ −− − − ≈ −−− − − − ≈ +−− −−−− −− 1100 210 3221 13110 210 3221 )1( 23331 62)4(32 3221)2()1( 2 2 2 kk kk kkk kk kkk kk
- 13. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 349 ( )( ) −+− − − ≈ 11100 210 3221 kkk kk Analizando el último renglón - Si ⇒= 1k ( )0000 Infinitas soluciones. - Si ⇒−= 1k ( )2000 − Inconsistente. - Si ⇒−≠∧≠ 11 kk Solución única. RESPUESTA: Opción "d". Ejercicios Propuestos 14.2 1. Considere el sistema de ecuaciones lineales: =+−− =−+ =+− cxxx bxxx axxx 321 321 321 2155 53 32 entonces es CIERTO que: a) La matriz de coeficientes del sistema es invertible. b) Para cualquier valor de a, b y c, el sistema es consistente. c) Si a=b=c=0 el sistema tiene solución única d) El sistema es inconsistente sólo si c ≠ 2a-3b e) Todas las proposiciones anteriores son falsas. 2. Dado el sistema de ecuaciones lineales: =−++− =+− =− 0)13(3 723 3 321 321 21 xaxx axxx xx , entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) Si a=1, el sistema tiene infinitas soluciones. b) Si ¬(a=1), el sistema tiene solución única. c) Si a=1, el sistema no tiene solución única. d) No existe un número real a ≠ 1 tal que el sistema sea inconsistente. e) Una de las proposiciones anteriores es falsa. 3. El sistema de ecuaciones lineales =++− =−+ =−− czyx bzyx azyx 22 32 , es CONSISTENTE si: a) cab += b) cab +≠ c) cba +≠ d) bac +≠ e) cba += 4. Los valores de la constante "a" para los cuales el sistema =+ −=+ −−= 02 4 32 zay zxya yzx tiene un número infinito de soluciones, es: a) -4 y 1 b) -4 y -1 c) 4 y 1 d) 4 y -1 e) 4 5. Considere el sistema de ecuaciones: =++ =+ =++ 122 2 23 2 zyx zky zyx entonces es VERDAD que: a) El sistema tiene infinitas soluciones si IRk ∈ . b) El sistema es consistente si 2 1 =k c) Si 2=k entonces 2 5 =z d) Si 2 1 −=k el sistema es inconsistente. e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.
- 14. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 350 6. Los VALORES de k para que el siguiente sistema lineal =−+ =−− =+− 022 022 04 zyx kzyx zykx tenga INFINITAS SOLUCIONES, son: a) -1 y -5 b)1 y -5 c)1 y 5 d)2 y -5 e)-1 y 5 14.4 REPRESENTACIÓN MATRICIAL. El sistema lineal de ecuaciones: =++++ =++++ =++++ =++++ mnmnmmm nn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa 332211 33333232131 221321222121 11313212111 puede ser representado mediante una multiplicación de matrices de la siguiente forma = mnmnmmm n n n b b b b x x x x aaaa aaaa aaaa aaaa 3 2 1 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 Lo que esquemáticamente sería: Ejemplo 1 Para el sistema −=−+ =+− −=+− 332 232 12 zyx zyx zyx la representación matricial sería: − − = − − − 3 2 1 321 321 112 z y x Ejemplo 2 La representación matricial del sistema =− −=+ =− 322 13 12 yx yx yx es:
- 15. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 351 −= − − 3 1 1 22 31 12 y x Ejercicio Propuesto 14.3 1. Con respecto al siguiente sistema = −−− −− 31 15 5 221 331 320 3 2 1 x x x , es verdad que: a) Tiene infinitas soluciones d) No tiene solución b) Tiene solución única e) Tiene una variable libre c) Tiene dos variables libres 14.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN Problemas con más de una incógnita amerita plantear más de una ecuación, que deben ser consideradas simultáneamente. Los arreglos matriciales van a ser de mucha utilidad para hacer un planteamiento rápido de los problemas de aplicación. Ejercicio resuelto 1 La producción de dos tipos de artículos, A y B , requiere del uso de dos máquinas I, II,. Para los artículos del tipo A se requiere utilizar tres horas de la máquina I y cuatro horas de la máquina II. Para los artículos del tipo B se requiere utilizar una hora de la máquina I y dos horas de la máquina II. Si el tiempo total disponible de la máquina I es de cinco horas al día y de la máquina II es de ocho horas diarias, el total de artículos A y B que se pueden fabricar respectivamente son: a) 1 y 2 b) 2 y 4 c) 3 y 6 d) 4 y 2 e) 3 y 2 SOLUCIÓN: Es muy conveniente interpretar la información ubicándolo en una tabla, de la siguiente manera: Los renglones permiten proponer la ecuación respectiva. Para el primer renglón: ( ) ( ) MIhorasBdeunidadesy Bdeunidad deMaqIhora Adeunidadesx Adeunidad MaqIdehoras 5"" 1 1 "" 1 3 =+ Esto quiere decir que: 53 =+ yx 824 513 II I totalTiempoBA Art Maq )(x )( y
- 16. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 352 Para el segundo renglón: ( ) ( ) MIhorasBdeunidadesy Bdeunidad deMaqIIhora Adeunidadesx Adeunidad MaqIIdehoras 8"" 1 2 "" 1 4 =+ Esto quiere decir que: 824 =+ yx Note que se forma un sistema lineal de 2 ecuaciones con dos incógnitas: =+ =+ 824 53 yx yx Sus soluciones pueden ser encontradas por el método que usted escoja, sin embargo podemos hacer lo siguiente: Despejar " x " en ambas ecuaciones y luego igualar 4 28 284 824 y x yx yx − = −= =+ 3 5 53 53 y x yx yx − = −= =+ 2 20242 420624 )5(4)28(3 3 5 4 28 = −= −=− −=− − = − y y yy yy yy Entonces: 1 3 25 = − = x x Respuesta: Bdeunidadesy Adeunidadx 2 1 = = Ejercicio resuelto 2 Un fabricante produce tres artículos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es $1, $2 y $3 , respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por año y los costos de producción por cada unidad son de $4, $5 y $7, respectivamente. El año siguiente serán producidas y vendidas un total de 11000 unidades entre los tres productos y se obtendrá una utilidad total de $25000. Si el costo total será de $80000, entonces el número de unidades del producto B es: a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 4000 e) 5000 SOLUCIÓN: Tabulando la información: 000,11Pr 754.. 000,80$ 000,17.. 000,25$321 zyxoduc VarCost FijCost Utilidad TotalesCBA Art
- 17. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 353 Entonces el sistema para este problema es: =++ =+++ =++ 000,11 000,80000,17754 000,2532 zyx zyx zyx Que al resolverlo, tenemos: ≈ − ≈ − − ≈ 000,5100 000,14210 000,11111 000,19310 000,14210 000,11111 )1( 000,63754 000,25321 000,11111 )4( )1( 000,11111 000,63754 000,25321 Por lo tanto: Aunidxx Bunidyzy Cunidz .000,2000,11000,5000,4 .000,4000,142 .000,5 =⇒=++ =⇒=+ = RESPUESTA: Opción "d" SEGUNDO MÉTODO: Aplicando la regla de Cramer: 4000 754 321 111 7000,634 3000,251 1000,111 ==y Ejercicio resuelto 3 Una persona invirtió un total de $20000 en 3 inversiones al 6%, 8% y 10%. El ingreso anual total fue de $1624 y el ingreso de la inversión del 10% fue dos veces el ingreso de la inversión al 6%. ¿De cuánto fue cada inversión? Solución: Planteando el sistema en forma directa tenemos: = =++ =++ xz zyx zyx 100 6 2 100 10 1624 100 10 100 8 100 6 000,20 entonces == =++ =++ xxz zyx zyx 5 6 10 12 1624001086 000,20 Reemplazando " z " en la segunda ecuación: 8 18162400 162400 10 12 1086 x y xyx − = = ++ Reemplazando " z " y " y "
- 18. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 354 %66000$ 120002 800000489081200040 20000 5 6 8 18162400 alx x xxx x x x = = =+−+ =+ − + Entonces %86800$ 8 )6000(18162400 aly y = − = y %107200$ 6000 5 6 alz z = = Ejercicio resuelto 4 Una compañía paga a trabajadores calificados $15 por hora en su departamento de ensamblado. Trabajadores semicalificados en ese mismo departamento ganan $9 por hora. A los empleados de envíos se les paga $10 por hora. A causa de un incremento en los pedidos, la compañía necesita contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. Pagará un total de $760 por hora a estos empleados. A causa de un contrato con el sindicato, debe emplearse el doble de trabajadores semicalificados que de trabajadores calificados. Entonces EL NÚMERO DE TRABAJADORES CALIFICADOS que contratará la compañía es: a)10 b)20 c)30 d)40 e)50 SOLUCIÓN: Tabulando la información: Y considerando la condición: caSemicalifiCalifica yx ↓↓ =2 Resulta el sistema: = =++ =++ xy zyx zyx 2 70 76010915 Reemplazando " y " en la segunda ecuación: xz zx zxx 370 703 702 −= =+ =++ Reemplazando " y " y " z " en la primera ecuación: ..20 7007603 760307001815 760)370(10)2(915 calftrabx x xxx xxx = −= =−++ =−++ RESPUESTA: Opción "b" 70 76010915 . zyx hPago TotalEnvíoSemicfCalif Trab ×
- 19. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 355 Ejercicios Propuesto 14.4 1. Una empresa utiliza 3 tipos de materias primas M1, M2, M3 en la elaboración de 2 productos P1 y P2. El número de unidades de M1, M2 y M3 usados por cada unidad de P1 son 3, 2 y 4 respectivamente, y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3 respectivamente. Si la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a la semana, y los costos por unidad de M1 ,M2 y M3 son $1, $3 y $2 respectivamente, entonces la cantidad gastada en materia prima a la semana en la producción de P1 y P2, es: a) $730 b) $420 c) $550 d) $880 e) 990 2. Una industria fabrica 3 clases de artículos: x1, x2, x3, en sus 3 fábricas A, B y C. Cada fábrica debe producir igual cantidad de cada artículo diariamente. Los costos de producción por unidad (en dólares) vienen dados por la matriz: 30,030,060,0 40,020,040,0 20,010,050,0 321 CFábrica BFábrica AFábrica xxx Si los costos de producción total diaria son $75 para la fábrica A, $90 para la fábrica B y $120 para la fábrica C, entonces el número de unidades del artículo x2 que se producen en cada fábrica es igual a: a) 25 b) 50 c) 100 d) 125 e) 150 3. Una empresa produce 3 productos A, B y C, los que procesa en 3 máquinas. El tiempo en horas requeridas para procesar una unidad de cada producto por las 3 maquinarias está dado por: 112 421 213 IIIMAQ IIMAQ IMAQ CBA Se dispone de la maquinaria I por 850 horas, de la máquina II por 1200 horas y la máquina III por 550 horas. ¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas? 4. Una compañía produce tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sillones reclinables. Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio, como se indica en la siguiente tabla: unidadesunidadesunidad unidadesunidadunidad unidadesunidadunidad Aluminio Plástico Madera SillonesMecedoraSilla 532 211 111 La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Entonces el NÚMERO DE MECEDORAS que debe fabricar la compañía con objeto de emplear todo el material existente, es: a) 100 b) 120 c)150 d)200 e)250 5. Un contratista dispone de 5000 horas-hombre de mano de obra para 3 proyectos, BA, y C . Los costos por hora-hombre para cada proyecto son de $8, $10 y $12 respectivamente y el costo total es de $53.000. Si el número de horas-hombre para el proyecto C es igual a la suma de las horas-hombre requeridas por los proyectos A y B . Entonces es FALSO afirmar que el número de horas-hombre requeridas para: a) El proyecto C es 2500 d) El proyecto B es 1500 b) Los proyectos A y B es 2500 e) Los proyectos A y C es 3500 c) Los proyectos B y C es 4500 Misceláneos 1. Con respecto al sistema =+ =− =+ 5 42 3 ayx yx yx . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela. a) Si 2=a entonces el sistema tiene solución única. b) Si Ra ∈ , el sistema tiene infinitas soluciones. c) Si Ra ∈ , el sistema es inconsistente. d) Si 4≠a es inconsistente.
- 20. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 356 e) Si 5=a entonces el sistema tiene solución única. 2. Una institución de pesca del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento A, 1 del B y 5 del C. Cada semana se vierte al lago 25000 unidades del alimento A, 20000 del alimento B y 55000 del C. Suponga que los peces se comen todo el alimento. Si hubiesen 6000 peces de la especie 3 entonces habrían: a) 10000 peces de la especie1 y 1000 de la especie 2. b) 1000 peces de la especie1 y 10000 de la especie 2. c) 6000 peces de la especie1 y 5000 de la especie 2. d) 8000 peces de la especie1 y 6000 de la especie 2. e) 6000 peces de la especie1 y 8000 de la especie 2. 3. Con respecto al sistema =+ =+ −=+ 1 52 132 yx yx yx Es VERDAD que : a) El sistema tiene infinitas soluciones. b) El sistema es inconsistente. c) El sistema tiene como única solución a 3−=x y 4=y . d) El sistema tiene como única solución a 4=x y 3−=y . e) El sistema tiene como única solución a 4−=x y 3=y . 4. El valor de “ k ” para que el sistema ( ) −=−++− −=++− =−− kzkyx zyx zyx 252 8 052 sea INCONSISTENTE, es: a)3 b)0 c)–4 d)–3 e)–1 5. El gerente de un restaurante desea alquilar 200 juegos de platos. Una cierta clase de platos cuesta $25 el juego y otra clase cuesta $45 el juego. Si el gerente sólo desea gastar $7400, ENTONCES EL NÚMERO DE JUEGOS DE CADA CLASE DE PLATOS QUE DEBE ALQUILAR es: a) 120 platos de $25 el juego y 80 platos de $45 el juego. b) 100 platos de $25 el juego y 60 platos de $45 el juego. c) 60 platos de $25 el juego y 100 platos de $45 el juego. d) 90 platos de $25 el juego y 120 platos de $45 el juego. e) 80 platos de $25 el juego y 120 platos de $45 el juego. 6. Sea el sistema =++ =−+ =+− azyx zyx zyx 23 432 52 . Entonces el VALOR de “ a ” para que el sistema sea CONSISTENTE es: a)1 b)7 c)9 d)4 e)0 7. Sea el sistema −=−+− =−−+ =−+− =+++ 3423 3523 9432 10 uzyx uzyx uzyx uzyx , entonces es VERDAD que: a) El sistema es inconsistente. b) El sistema tiene infinitas soluciones. c) El sistema tiene solución trivial. d) El sistema tiene solución única. e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas. 8. Un turista que viaje al Mundial de Fútbol de Japón y Corea gastará $30 al día por hospedaje en la ciudad de Tokio, $20 al día en la ciudad de Seúl y $20 al día en la ciudad de Kobe. En cuanto a alimentos, el turista gastará $20 diarios en Tokio, $30 diarios en Seúl y $20 diarios en Kobe. Además por conceptos varios el turista gastará $10 en cada una de las ciudades mencionadas. Si sólo puede gastar un total de $340 por hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios. Entonces el NÚMERO DE DÍAS que el turista podrá estar en Tokio, Seúl y Kobe, respectivamente es: a) 6, 4 y 4 días b) 3, 2 y 2 días c) 1 días en las tres ciudades d) 8, 4 y 4 días
- 21. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 357 e) 10, 4 y 4 días 9. Con respecto al sistema de ecuaciones =−+− −=−+− =+− 65 323 12 zyx zyx zyx Es VERDAD que: a) 5−=+ yx b) El sistema es inconsistente. c) El determinante de la matriz de coeficiente es 1. d) El sistema tiene solución única e) El sistema tiene infinitas soluciones 10. Con respecto al sistema lineal: =−++ =+−− 02 0223 wzyx wzyx Es VERDAD que: a) Tiene única solución b) Una de sus soluciones es 0=x , 0=y , 1=w , 1=z c) Su conjunto solución tiene 1 variable libre. d) Su conjunto solución tiene 2 variables libres. e) El sistema es inconsistente 11. El valor de a para que el sistema =+− =+−+ =++ 32 96)1(3 232 zyx zyax zyx tenga infinitas soluciones es: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 2− 12. Con respecto al sistema =+ =− =+ 5 42 3 kyx yx yx Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a) Si 2=k entonces el sistema tiene única solución. b) Si IRk ∈ el sistema tiene infinitas soluciones. c) Si IRk ∈ el sistema es inconsistente. d) Si 4=k entonces el sistema tiene única solución. e) Si 5=k entonces el sistema es consistente. 13. Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. El modelo A requiere 1 hora de mano de obra para pintarse y 2 1 hora de mano de obra en pulido; el modelo B requiere de 1 hora de mano de obra para cada uno de los procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulido. Entonces el NÚMERO DE AUTOMÓVILES de cada modelo que pueden ser producidos cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra, es: a) 60 automóviles del modelo A y 40 del modelo B. b) 40 automóviles del modelo A y 60 del modelo B. c) 45 automóviles del modelo A y 50 del modelo B. d) 20 automóviles del modelo A y 80 del modelo B. e) 80 automóviles del modelo A y 20 del modelo B. 14. Un microempresario desea repartir los $8600 de ganancia con sus otros dos socios considerando que su parte sea igual a las 3 2 de la parte que le corresponde a su primer socio y que la parte de su primer socio sea igual a los 6 5 de la parte que le corresponde a su segundo socio. Entonces al microempresario, a su primer socio y a su segundo socio, le corresponden respectivamente: a) $1500, $3500, $3600 b) $2000, $4000, $2600 c) $2000, $3000, $3600 d) $3000, $3000, $2600 e) $1000, $4000, $3600
- 22. Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales 358 15. Sea el sistema: −=+ −= − − −= − +− yxyz zy x y x z 334 2 8 20 10 5 196 4 Entonces es VERDAD que: a) El sistema es homogéneo y tiene solución trivial. b) El sistema es inconsistente. c) La única solución del sistema es 2;5;4 −=== zyx . d) No es un sistema lineal e) El sistema tiene infinitas soluciones.