j

1. INTEGRALES TRIPLES.
1 x y
46. Dada la integral f (x, y, z) dzdydx, dibujar la regi´n de integraci´n y escribir
o o
0 0 0
la integral de todas las formas posibles.
Soluci´n
o
z
y
x
Teniendo en cuenta la gr´fica adjunta, si D1 , D2 y D3 son las proyecciones sobre los tres
a
planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes:
y 1 x y 1 1 y
dxdy f dz = dx dy f dz = dy dx f dz,
D1 0 0 0 0 0 y 0
x 1 1 x 1 x x
dxdz f dy = dz dx f dy = dx dz f dy,
D2 z 0 z z 0 0 z
1 1 y 1 1 1 1
dydz f dx = dy dz f dx = dz dy f dx.
D3 y 0 0 y 0 z y
47. Calcular las siguientes integrales triples:
i) (x2 + y 2 ) dxdydz, donde V est´ limitado por las superficies x2 + y 2 = 2z,
a
V
z = 2.
ii) (1+z 2 ) dxdydz, siendo W la regi´n limitada por 2az = x2 +y 2 , x2 +y 2 −z 2 =
o
W
a2 , z = 0.
Soluci´n
o
1

2. i) La regi´n de integraci´n es el interior del paraboloide limitado por el plano z = 2.
o o
z
y
x
o o ırculo C : x2 + y 2 ≤ 4, la
Como la proyecci´n de dicha regi´n sobre el plano z = 0 es el c´
integral triple se puede descomponer entonces como
2
I= dxdy (x2 + y 2 ) dz.
C (x2 +y 2 )/2
Al escribir la integral en coordenadas cil´
ındricas, se obtiene:
2π 2 2 2
16π
I= dv u du u2 dz = 2π u3 · (2 − u2 /2) du = .
0 0 u2 /2 0 3
ii) La intersecci´n del paraboloide 2az = x2 + y 2 con el hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = a2
o
da la circunferencia x2 + y 2 = 2a2 situada en el plano z = a. Esto indica que ambas
superficies son tangentes a lo largo de dicha circunferencia; por ello deducimos que la regi´n
o
de integraci´n est´ limitada superiormente por el paraboloide, inferiormente por el plano
o a
z = 0 y lateralmente por el hiperboloide (en la figura se muestran dos vistas de la regi´n o
de integraci´n).
o
z z
y y
x x
Debemos descomponer la integral en dos sumandos pues, si (x, y) est´ en el c´
a ırculo de centro
el origen y radio a, entonces z est´ comprendido entre el plano z = 0 y √ paraboloide
a el
2az = x2 + y 2 y, si (x, y) est´ entre el c´
a ırculo anterior y el c´
ırculo de radio a 2, entonces z
est´ comprendido entre el hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = a2 y el paraboloide anterior.
a
La f´rmula que se obtiene es pues
o
x2 +y 2
2a
I = dxdy (1 + z 2 ) dz
x2 +y 2 ≤a2 0
x2 +y 2
2a
+ dxdy √ (1 + z 2 ) dz.
a2 ≤x2 +y 2 ≤2a2 x2 +y 2 −a2
2

3. Para resolver las integrales, las escribimos en coordenadas cil´
ındricas. As´
ı,
√
2π a u2 /2a 2π a 2 u2 /2a
2
I = dv u du (1 + z ) dz + dv u du √ (1 + z 2 ) dz
0 0 0 0 a u2 −a2
= · · · = (10 + a2 )πa /30. 3
[Todas las integrales a resolver son casi inmediatas.]
48. Calcular (1 + x + y + z)−3 dxdydz, donde S es el tetraedro limitado por los tres
S
planos coordenados y el plano de ecuaci´n x + y + z = 1.
o
Soluci´n
o
Si llamamos D a la proyecci´n de la regi´n de integraci´n sobre el plano XY , podemos
o o o
escribir la integral como
1−x−y
I= (1 + x + y + z)−3 dz dxdy.
D 0
Como, a su vez, D es el tri´ngulo de v´rtices (0, 0), (1, 0) y (0, 1), la integral se descompone
a e
en las siguientes integrales iteradas:
1 1−x 1−x−y
I = dx dy (1 + x + y + z)−3 dz
0 0 0
1 1−x
y (1 + x + y)−2
= dx − + dy
0 0 8 2
1
x−1 1 1 1 5
= − + dx = ln 2 − .
0 8 4 2(1 + x) 2 16
49. Calcular los vol´menes de los cuerpos limitados por las siguientes superficies:
u
i) a2 = x2 + z 2 , x + y = ±a, x − y = ±a.
ii) z = x2 + y 2 , xy = a2 , xy = 2a2 , y = x/2, y = 2x, z = 0.
x y z
iii) + + = 1, x, y, z ≥ 0.
a b c
x2 y2 z2 x2 y2 z2
iv) 2
+ 2 + 2 = 1, 2 + 2 = 2 , (z > 0).
a b c a b c
Soluci´n
o
i) La regi´n a considerar es el interior del cilindro a2 = x2 +z 2 cortado por los cuatro planos
o
x + y = a, x + y = −a, x − y = a, x − y = −a.
3

4. z
y
x
Como la proyecci´n del s´lido sobre el plano XY es el cuadrado R limitado por las rectas
o o
x + y = a, x + y = −a, x − y = a, x − y = −a, el volumen se calcula por la f´rmula
o
√
a2 −x2
V = dxdy √ dz = 2 a2 − x2 dxdy
R − a2 −x2 R
0 x+a a −x+a
= 2 dx a2 − x2 dy + 2 dx a2 − x2 dy = 2a3 π − 8a3 /3.
−a −x−a 0 x−a
[Para calcular las integrales se puede hacer alguna sustituci´n trigonom´trica.]
o e
ii) El s´lido consiste en la regi´n limitada entre el plano XY y el paraboloide z = x2 + y 2 y
o o
cuya proyecci´n sobre el plano XY es la regi´n R limitada por las curvas xy = a2 , xy = 2a2 ,
o o
y = x/2, y = 2x (en realidad la regi´n es uni´n de dos regiones, una de ellas en el primer
o o
cuadrante y otra en el tercer cuadrante; como las regiones tienen la misma ´rea y la funci´n
a o
z = x2 + y 2 es sim´trica, bastar´ multiplicar por dos el resultado obtenido al considerar
e a
unicamente la parte del primer cuadrante).
´
z
4

5. Podemos pues escribir el volumen como:
x2 +y 2
V =2 dxdy dz = (x2 + y 2 ) dxdy.
R 0 R
Para calcular la integral doble sobre la regi´n R, realizamos el cambio de variables dado
o
por las ecuaciones xy = u, x/y = v.
x, y 1
Este cambio hace que J = y que la nueva regi´n de integraci´n sea R = {(u, v) :
o o
u, v 2v
a2 ≤ u ≤ 2a2 , 1/2 ≤ v ≤ 2}. El volumen se calcula entonces como
2a2 2
u 1 9a4
V =2 du uv + · dv = .
a2 1/2 v 2v 2
iii) El s´lido est´ ahora comprendido entre la funci´n dada y los planos coordenados.
o a o
z
y
x
Su proyecci´n sobre el plano XY es la regi´n R del primer cuadrante limitada por los
o o
x y
ejes coordenados y la astroide de ecuaci´n
o + = 1, de modo que el volumen es
a b
sencillamente
√ √ 2
c(1− x/a− y/b)
V = dz
R 0
√
a b((1− x/a)2
abc
= dx c(1 − x/a − y/b)2 dy = .
0 0 90
[Todas las integrales son inmediatas.]
x2 y 2 z 2
iv) Ahora el s´lido es la regi´n limitada superiormente por el elipsoide
o o + 2 + 2 =1e
a2 b c
x2 y2 z2
inferiormente por el cono + 2 = 2 , por encima del plano XY . Como la intersecci´n
o
a2 b c
x 2
y 2 √
de ambas superficies es la elipse 2 + 2 = 1/2, situada en el plano z = c/ 2, el volumen
a b
se expresa mediante la integral
√ 2 2 2 2
c 1−x /a −y /b
V = dxdy √ dz,
R c x2 /a2 +y 2 /b2
x2 y2
donde R es la regi´n limitada por la citada elipse
o + 2 = 1/2.
a2 b
5

6. √
Para calcular dicha integral hacemos el cambio de variables x = (a/ 2)u cos v, y =
√
(a/ 2)u sen v, cuyo jacobiano vale J = abu/2. Con estos datos,
2π 1
abu 5 1
V = dv (c 1 − u2 /2 − c/2) · du = − √ πab.
0 0 2 12 3 2
50. Encontrar el volumen de la regi´n acotada por las superficies z = x2 + y 2 , z =
o
10 − x2 − 2y 2 .
Soluci´n
o
En la figura del lado izquierdo se muestran los dos paraboloides que limitan la regi´n, y en
o
el lado derecho se ilustra la curva intersecci´n y su proyecci´n sobre el plano XY .
o o
z
z
y
y
x
x
Como la proyecci´n de dicha curva intersecci´n es la elipse de ecuaci´n
o o o
x2 + y 2 = 10 − x2 − 2y 2 ⇐⇒ 2x2 + 3y 2 = 10,
para calcular el volumen utilizamos coordenadas polares modificadas, es decir hacemos la
transformaci´n
o
x 2/10 = u cos v,
y 3/10 = u sen v,
√ v
cos −u sen v
√
2/10 2/10 10u
cuyo jacobiano es J = √ v
sen √cos v
u = √ . El volumen se calcula entonces por la
3/10 3/10
6
f´rmula
o
V = [10 − x2 − 2y 2 − (x2 + y 2 )] dxdy
R
1 2π 1
10u 200π 50π
= du √ · (10 − 10u2 ) dv = √ (u − u3 ) du = √ .
0 0 6 6 0 6
6

7. 51. Calcular el volumen del casquete esf´rico limitado por
e
x2 + y 2 + z 2 = a2
x2 + y 2 + z 2 = b2
x2 + y 2 = z2,
con z ≥ 0, siendo 0 < a < b.
Soluci´n
o
y
x
Si escribimos el volumen en coordenadas esf´ricas, de acuerdo a la figura tenemos:
e
x = r cos ϑ sen ϕ a≤r≤b
y = r sen ϑ sen ϕ donde 0 ≤ ϕ ≤ π/4 .
z = r cos ϕ 0 ≤ ϑ ≤ 2π
Recordando que el jacobiano de la transformaci´n es J = r2 sen ϕ, el volumen se escribe
o
ahora de la siguiente forma:
b π/4 2π
r3 b π/4
V = dr dπ r2 sen ϕdϑ = · − cos ϕ · 2π
a 0 0 3 a 0
√
b3 − a3 2 π √
= 1− · 2π = (2 − 2)(b3 − a3 ).
3 2 3
52. (a) Describir las superficies r = constante, ϑ = constante, z = constante, en el
sistema de coordenadas cil´
ındricas.
(b) Idem para las superficies r = constante, ϑ = constante, φ = constante, en coor-
denadas esf´ricas.
e
Soluci´n
o
a) De las ecuaciones que definen las coordenadas cil´
ındricas:
x = r cos ϑ, y = r sen ϑ, z = z,
al hacer r = k, obtenemos
x2 + y 2 = k 2 ,
7

8. lo que corresponde a un cilindro con eje de simetr´ el eje Z y radio k.
ıa
Si hacemos ϑ = k, basta dividir las dos primeras coordenadas para obtener
y
= tg k,
x
lo que corresponde a un plano vertical que pasa por el origen (los distintos valores de k dan
los diferentes ´ngulos con respecto al plano y = 0).
a
Si hacemos z = k, esta misma ecuaci´n representa un plano horizontal de altura k.
o
b) Las coordenadas esf´ricas de un punto se obtienen mediante las ecuaciones
e
x = ρ cos ϑ sen φ, y = ρ sen ϑ sen φ, z = ρ cos φ.
Si hacemos ρ = k, obtenemos
x2 + y 2 + z 2 = k 2 ,
es decir la esfera centrada en el origen con radio k.
Si hacemos ϑ = k, al igual que con las coordenadas cil´
ındricas,
y
= tg ϑ,
x
que representa tambi´n un plano vertical.
e
Si, por ultimo, escribimos φ = k, resulta:
´
x2 + y 2 = ρ2 sen2 φ x2 + y 2
=⇒ = tg2 φ,
z 2 = ρ2 cos2 φ z2
que representa un cono de v´rtice el origen.
e
53. Calcular el momento de inercia de un s´lido en forma de cono circular recto con
o
densidad constante respecto a su eje.
Soluci´n
o
Supongamos que el cono de altura h y radio en la base r tiene v´rtice en el origen y eje
e
vertical. Entonces su ecuaci´n es
o
h2 2
z2 = (x + y 2 ).
r2
Si la densidad en cada punto del s´lido es k, el momento de inercia respecto al eje Z viene
o
dada por la f´rmula:
o
Iz = k(x2 + y 2 ) dV.
S
Para resolver la integral, escribimos el s´lido en coordenadas cil´
o ındricas, x = u cos v, y =
u sen v. La ecuaci´n del cono se escribe entonces como z = hu/r y la integral pedida
o
2π r h r
uh πkhr4
Iz = dv du k · u3 dz = 2πk u3 h − du = .
0 0 hu/r 0 r 10
8

9. Otra forma de resolver la integral consiste en realizar la transformaci´n a coordenadas
o
esf´ricas, x = ϕ cos ϑ sen φ, y = ϕ sen ϑ sen φ, z = ϕ cos φ. De este modo la ecuaci´n del
e o
plano z = h se escribe como ϕ = h/ cos φ, y la integral es ahora
2π arc tg(r/h) h/ cos φ
Iz = dϑ dφ k · ϕ2 sen2 φ · ϕ2 sen φ dϕ
0 0 0
arc tg(r/h)
h5
= 2πk sen3 φ · dφ
0 5 cos5 φ
arc tg(r/h)
2πkh5 2πkh5 r4
= tg3 φ · sec2 φ dφ = · 4.
5 0 5 4h
1
54. Hallar dxdydz.
R3 [1 + (x2 + y 2 + z 2 )3/2 ]3/2
Soluci´n
o
Si realizamos la transformaci´n a coordenadas esf´ricas, x = ϕ cos ϑ sen φ, y = ϕ sen ϑ sen φ,
o e
z = ϕ cos φ, como el valor absoluto del jacobiano de la transformaci´n es J = ρ2 sen φ, la
o
integral se escribe como:
∞ 2π π
ρ2 sen φ
I= dρ dϑ dφ.
0 0 0 (1 + ρ3 )3/2
Para resolver la integral, como las variables est´n separadas, basta multiplicar las tres
a
integrales simples. Tenemos as´
ı:
∞ 2π π
ρ2
I = dρ dϑ sen φ dφ
0 (1 + ρ3 )3/2 0 0
∞ b
4π 4π 8π
= 3ρ2 (1 + ρ3 )−3/2 dρ = l´ −2(1 + ρ3 )−1/2
ım = .
3 0 3 b→∞ 0 3
55. Calcular (y 2 + z 2 ) dxdydz, siendo R un cono recto de revoluci´n de altura h,
o
R
base situada en el plano XY y de radio a y eje en el eje Z.
Soluci´n
o
z
h
a
y
a
x
9

10. La figura adjunta muestra el cono descrito, el cual tiene por ecuaci´n a2 (h − z)2 = h2 (x2 +
o
y 2 ). Pasando la integral a coordenadas cil´
ındricas, x = u cos v, y = u sen v, z = z, tenemos:
a 2π h(a−u)/a
a4 hπ h3 a2 π
I= du dv u(u2 sen2 v + z 2 )dz = · · · = + .
0 0 0 20 30
10