1. INTEGRACION EN VARIAS VARIABLES: Integrales dobles. 1
1. Evaluar las siguientes integrales iteradas:
1 1 1 1
(a) (x4 y + y 2 )dy dx (b) xyex+y dy dx
−1 0 0 0
1 2 1 1
(c) (−x ln y)dy dx (d) ln [((x + 1)(y + 1)] dx dy.
−1 1 0 0
13
Soluci´n: (a)
o ; (b) 1; (c) 0; (d) 4 ln 2 − 2.
15
2. Sea I = [0, 2] × [0, 3]. Calcular (x2 + 4y) dx dy.
I
Soluci´n: 44.
o
3. Evaluar las siguientes integrales en los recintos que se indican:
(a) (x2 + y 2 ) dA, R = [0, 1] × [0, 1].
R
(b) sin(x + y) dA, R = [0, 1] × [0, 1].
R
πy
(c) (−xex sin ) dA, R = [0, 2] × [−1, 0].
R 2
πx
(d) |y| cos
dA, R = [0, 2] × [−1, 0].
R 4
2 2 2
Soluci´n: (a) ; (b) 2 sin 1 − sin 2; (c)
o 1 + e2 ; (d) .
3 π π
4. Evaluar las siguientes integrales iteradas y trazar las regiones determinadas por los
l´
ımites:
1 x2 1 ex 2 y2
(a) dy dx (b) (x + y)dy dx (c) (x2 + y)dx dy
0 0 0 1 −3 0
π/2 cos x 1 |x| 0 2(1−x2 )1/2
(d) y sin x dy dx (e) ex+y dy dx (f) x dy dx.
0 0 −1 −2|x| −1 0
1 e2 − 1 7895 1 e2 1 1 5 2
Soluci´n: (a) ; (b)
o ; (c) ; (d) ; (e) + + 3 − ; (f) − .
3 4 84 6 2 e 3e 6 3

2. INTEGRACION EN VARIAS VARIABLES: Integrales dobles. 2
5. Sea D el recinto plano limitado por las rectas y = 0, y = 1, x = −1, x = y. Hallar
(xy − y 3 ) dx dy.
D
23
Soluci´n: −
o .
40
6. Calcular (x2 − y) dx dy, siendo D la regi´n comprendida entre las gr´ficas de
o a
D
las curvas y = x2 , y = −x2 , y las rectas x = 1, x = −1.
4
Soluci´n:
o .
5
7. Hallar xy dx dy, siendo D la regi´n del primer cuadrante encerrada por las
o
D
par´bolas y = x, y = x2 .
a 2
1
Soluci´n:
o .
12
8. Sea D la regi´n acotada por las partes positivas de los ejes OX, OY y la recta
o
3x + 4y = 10. Calcular (x2 + y 2 ) dA.
D
15625
Soluci´n:
o .
1296
9. Sea D la regi´n dada como el conjunto de los puntos (x, y) del plano donde 1 ≤
o
x2 + y 2 ≤ 2 e y ≥ 0. Evaluar (1 + xy) dA.
D
π
Soluci´n:
o .
2
10. Hallar xy dx dy, siendo D el conjunto de los puntos (x, y) del plano que
D
satisfacen
0 ≤ y ≤ x + 2, 4x2 + 9y 2 ≤ 36.
23
Soluci´n:
o .
6
11. Cambiar el orden de integraci´n, esbozar las regiones correspondientes y evaluar las
o
integrales de las dos maneras:
1 1 π/2 cos θ
(a) xy dy dx (b) cos θ dr dθ
0 x 0 0
√
4 2 1 9−y 2
x2
(c) e dx dy (d) √ x2 dx dy.
0 y/2 −3 − 9−y 2
√
1 π 43 2 81 1 81π
Soluci´n: (a) ; (b) ; (c) e4 − 1; (d)
o + arcsin + .
8 4 6 4 3 8

3. INTEGRACION EN VARIAS VARIABLES: Integrales dobles. 3
12. Cambiar el orden de integraci´n en cada una de las integrales siguientes:
o
1 x2 1 y 4 2x
(a) f (x, y) dy dx (b) f (x, y) dx dy (c) f (x, y) dy dx.
0 x4 0 −y 1 x
√
4
1 y 0 1 1 1
Soluci´n: (a)
o √ f (x, y) dx dy; (b) f (x, y) dy dx+ f (x, y) dy dx;
0 y −1 −x 0 x
2 y 4 y 8 4
(c) f (x, y) dx dy + y
f (x, y) dx dy + y
f (x, y) dx dy.
1 1 2 2
4 2
13. Cambiar el orden de integraci´n en las integrales del problema 4 y evaluarlas.
o
1 1 1
Soluci´n: (a)
o √ dxdy = ;
0 y 3
e 1 e2 − 1
(b) (x + y)dxdy = ;
1 ln y 4 √ √
4 2
2
4 − x
2
9 − x 7895
(c) √ (x + y)dydx + (x + y)dydx + (x2 + y)dydx = ;
0 x 0 −3 4 −3 84
1 arccos y 1
(d) y sin xdxdy = ;
0 0y 6
0 2
0 1 1 −y 1 1
(e) ex+y dxdy + ex+y dxdy + ex+y dxdy + ex+y dxdy =
−2 −1 −2 −y
2
0 −1 0 y
2
e 1 1 5
+ + 3− ;
2 e 3e 6
2 0 2
(f ) √ xdxdy = − .
0 1
− 2 4−y 2 3
14. Sea D el paralelogramo limitado por y = −x, y = −x + 1, y = 2x, y = 2x − 3.
Calcular (x + y)2 dx dy.
D
1
Soluci´n:
o .
3
15. Sea D la regi´n del primer cuadrante delimitada por las curvas x2 +y 2 = 4, x2 +y 2 =
o
9, x2 − y 2 = 4, x2 − y 2 = 1. Hallar xy dx dy.
D
15
Soluci´n:
o .
8
16. Sea D la regi´n 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1. Evaluar
o (x + y) dxdy haciendo el cambio
D
x = u + v, y = u − v. Verificar la respuesta calculando directamente la integral
mediante integrales iteradas.
1
Soluci´n:
o .
2

4. INTEGRACION EN VARIAS VARIABLES: Integrales dobles. 4
17. Sea T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) = (4 u, 2 u + 3 v). Sea D∗ = [0, 1] × [1, 2]. Hallar
D = T (D∗ ) y calcular:
(a) xy dxdy, (b) (x − y) dxdy,
D D
haciendo un cambio para evaluarlas como integrales sobre D∗ .
x x
Soluci´n: D = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 4, + 3 ≤ y ≤ + 6 ; (a) 140; (b) −42.
o
2 2
18. Mediante un cambio de variable a coordenadas polares, calc´lense las siguientes
u
integrales:
(a) (1 + x2 + y 2 )−3/2 dx dy, donde D es el tri´ngulo de v´rtices (0, 0), (1, 0),
a e
D
(1, 1).
(b) (x3 +y 3 ) dx dy, siendo D = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1, x2 + y 2 − 2x ≥ 0}.
D
π 1 √
Soluci´n: (a)
o ; (b) 203 + 453 3 − 280π .
12 960
2 +y 2 )
19. Sea D el c´
ırculo unidad. Evaluar e(x dxdy haciendo un cambio de variables
D
a coordenadas polares.
Soluci´n: π(e − 1).
o
∞ 2 √
20. Probar que e−x dx = π/2, haciendo uso de integrales dobles.
0
2 +y 2 )
Sugerencia: Calcular e−(x dxdy, cuando D es el primer cuadrante.
D
21. Calcular (x2 + y 2 )3/2 dxdy, donde D es el disco x2 + y 2 ≤ 4.
D
64π
Soluci´n:
o .
5
x2 y 2 x2 y 2
22. Hallar (1− − 2 ) dx dy, donde D es el recinto acotado por la elipse 2 + 2 =
D a2 b a b
1 (a, b > 0).
πab
Soluci´n:
o .
2

5. INTEGRACION EN VARIAS VARIABLES: Aplicaciones de la integral
doble.
1. Usar integrales dobles para calcular el ´rea de un c´
a ırculo de radio r.
Soluci´n: πr2 .
o
2. Hallar el ´rea del recinto encerrado por una elipse de semiejes a y b.
a
Soluci´n: πab.
o
3. Hallar el ´rea comprendida entre las circunferencias x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x y
a
las rectas y = x, y = 0.
3 π
Soluci´n:
o +1 .
2 2
4. Una pir´mide est´ limitada por los tres planos coordenados y el plano x+2y+3z = 6.
a a
Representar el s´lido y calcular su volumen por integraci´n doble.
o o
Soluci´n: 6.
o
5. Usar integrales dobles para calcular el volumen de una esfera de radio r.
4πr3
Soluci´n:
o .
3
6. Calcular el volumen del s´lido acotado por el plano OXY , el plano OY Z, el plano
o
OXZ, los planos x = 1, y = 1 y la superficie z = x2 + y 2 .
2
Soluci´n:
o .
3
7. Calcular el volumen del s´lido acotado por la superficie z = x2 + y, el rect´ngulo
o a
R = [0, 1] × [1, 2] y los lados verticales de R.
11
Soluci´n:
o .
6
8. La temperatura de una placa es proporcional a su distancia al origen. Dicha placa
se halla situada en la regi´n D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 25}. Sabiendo que en el punto
o
(1, 0) su temperatura es de 100◦ C, hallar la temperatura media de la placa.
1000 ◦
Soluci´n:
o C.
3
9. Determinar el centroide de la regi´n plana limitada por un arco de sinusoide.
o
π π
Soluci´n: C
o , .
2 8

6. INTEGRACION EN VARIAS VARIABLES: Integrales dobles. 6
10. Una l´mina delgada de densidad constante c est´ limitada por dos circunferencias
a a
conc´ntricas de radios a, b y centro el origen, con 0 < b < a. Calcular el momento
e
polar de inercia.
π
Soluci´n:
o c a4 − b4 .
2