El documento contiene 5 problemas de cálculo de integrales múltiples. En el primer problema se pide calcular la integral doble sobre una región limitada por funciones y calcular una de las formas posibles. En el segundo problema se pide calcular la integral doble sobre una región limitada por parábolas y calcular una de las formas posibles. En el tercer problema se pide calcular la integral doble sobre una región rectangular cambiando a nuevas variables. En el cuarto problema se pide calcular la integral triple sobre una región limitada por planos. En el quinto problema

1. Ejercicios 18 mayo 2012
1
Escribe la integral
D
√
ycos(y) dxdy
donde D es la regi´on plana 0 ≤ x ≤ 2 ; x2
≤ y ≤ 4. como integral iterada de las dos formas posibles, calcula
una de ellas.
Soluci´on:
Una primer forma viene directamente dictada por el enunciado:
2
0
(
4
x2
√
ycos(y) dy)dx
que no es recomendable para el c´alculo (salvo que uno conozca una primitiva de
√
y cos(y). En el otro orden
de variables el resultado es
4
0
(
√
y
0
√
ycos(y) dx)dy
que se calcula sin problemas, la integral interior queda
4
0
√
y cos(y)
√
y dx =
2
0
ycos(y) dx
y una primitiva de y cos(y) es y sen(y) + cos(y) con lo que la respuesta es 4sen(4) + cos(4) − cos(0) =
4sen(4) + cos(4) − 1 .
2
Calcular la integral
R
xy dxdy
donde R es la regi´on acotada limitada por y2
= x, y2
= 3x − 18 y y ≥ 0 como integral iterada de las dos
formas posibles, calcula una de ellas.
Soluci´on: Aqu´ı ha de calclularse primero el punto de corte de y2
= x con y2
= 3x − 18 en y ≥ 0, que
resulta ser el (9, 3). La gr´afica de y =
√
x es el l´ımite superior de la regi´on y el inferior viene dado por y = 0
mientras 0 < x < 6 y por y =
√
3x − 18 en 6 < x < 9 Asi que la primer posibilidad es
6
0
(
√
x
0
xy dy)dx +
9
6
(
√
x
√
3x−18
xy dy)dx
La segunda se escribir´ıa
3
0
(
(y2
+18)/3
y2
xy dy)dx
Aqui ambas formas son sencillas de calcular, resulta peferible la primera a pesar de su aspecto (dos integrales,
ra´ıces en los l´ımites) porque salen potencias m´as bajas: una primitiva de xy respecto de y es 1
2 xy2
lo cual
elimina los radicales de los l´ımites
6
0
(
√
x
0
xy dy)dx =
6
0
1
2
xy2
|
√
x
0 dx =
6
0
1
2
x2
dx = 36
An´alogmente la otra de 31, 5 y el total 67.5
1

2. 3
Escribe la integral
D
3xy dxdy
donde D es la regi´on plana {−4 ≤ x − 2y ≤ 0 ; 1 ≤ x + y ≤ 4} tomando como nuevas variables u = x − 2y y
v = x + y
Calcula la versi´on que prefieras.
Soluci´on:
El jacobiano de las nuevas variables u, v respecto de la viejas x, y es el determinante de
1 −2
1 1
que
es = 3 con lo que el del cambio de variable ser´a 1
3 -lo podr´ıamos calcular tambi´en a partir de la expresi´on de
x, y en funci´on de u, v: x = 1
3 (u + 2v); y = 1
3 (−u + v). La integral en todo caso queda
0
−4
4
1
(u + 2v)(−u + v) dvdu =
0
−4
4
1
(2v2
− u2
+ uv) dvdu
de c´alculo directo
0
−4
(2v2
u − u3
/3 + u2
v/2)|4
1 dv =
0
−4
(6v2
− 21 + 7, 5v)dv = 150
4 Calcula la integral triple
D
(3x + 2y − z) dxdydz
siendo D la regi´on del primer cuadrante limitada por x + y ≤ 2; x + y + z ≤ 5. Soluci´on:
Un planteo sencillo puede ser, llamando D a la proyecci´on de D en el plano xy, es decir al tri´angulo
x + y ≤ 2, x > 0; y > 0
D
(3x + 2y − z) dxdydz =
D
(
5−x−y
0
(3x + 2y − z) dz)dxdy
Los planteos an´alogos proyectando sobre xz o yz son tambi´en posibles pero tendr´ıamos que distinguir dos
regiones en la proyecci´on, una rectangular y otra triangular. El c´alculo no ofrece dificultades:
5−x−y
0
3x + 2y − z dz = (3x + 2y)(5 − x − y) − (5 − x − y)2
=
1
2
(−7x2
− 5y2
− 12xy + 40x + 30y − 25))
y
D
1
2
(−7x2
− 5y2
− 12xy + 40x + 30y − 25)) =
1
2
2
0
2−x
0
(−7x2
− 5y2
− 12xy + 40x + 30y − 25) dydx
=
1
2
2
0
(−7x2
(2 − x) −
5
3
(2 − x)3
− 6x(2 − x)2
+ 40x(2 − x) + 15(2 − x) − 25(2 − x))dx
que es la integral de un polinomio = −266
3 . No debe sorprender el signo, pues no se trata de un volumen,
sino de la integral de una funcion que es negativa en la mayorp parte del dominio de integraci´on.
5 Calcular el volumen de la regi´on R , donde R es el interior a la semiesfera x2
+ y2
+ z2
≤ 4; z ≥ 0 y
exterior al cilindro (x − 1)2
+ y2
≥ 1
Soluci´on:
Es un caso particular del volumen de la “b´oveda de Viviani” hecho en clase para un radio a cualquiera
(problema n´umero 12)
2