Este documento contiene un examen de cálculo con 4 problemas de integración. El profesor Juan Carlos Morgado administró el examen de 60 minutos a sus estudiantes de ingeniería ambiental en la Universidad de Valparaíso el 4 de noviembre de 2009. Los problemas incluyen integrales de fracciones racionales, funciones logarítmicas y trigonométricas.

1. Universidad de Valparaíso
Ingeniería Ambiental
5to Control - Fila 1
Cálculo I
4 de noviembre de 2009
Prof. Juan Carlos Morgado.
Observaciones
Tiempo 60 minutos
NOMBRE: ............................................................................................
1. Calcule las siguientes integrales:
R x 1
(a) dx
2x3 4x2 + 5x 10
Solución:
Utilizando división sintética se tiene que : 2x3 4x2 + 5x 10 = (x 2) 2x2 + 5
De ahí que,
x 1 A Bx + C
2 + 5)
= + 2
(x 2) (2x x 2 2x + 5
Al resolver el sistema que se desprende de la ecuación anterior resulta:
2 9
x 1 1 13 x 13
2 + 5)
=
(x 2) (2x 13 (x 2) 2x2 +5
Por lo tanto,
R x 1
dx
2x3 4x2 + 5x 10
R 2 9
1 13 x 13
= dx
13 (x 2) 2x2 +5
R R 2 9
1 13 x 13
= dx dx
13 (x 2) 2x2 +5
2 9
1 R 1 R 13 x
R 13
= dx 2+
dx + 2+
dx
13 x 2 2x 5 2x 5
1 R 1 1 R 4x 9 R 1
= dx 2+5
dx + 2+5
dx
13 x 2 26 2x 13 2x
p p !
1 1 2 9 10 10x
= ln jx 2j 26 ln 2x + 5 + 260 arctan +c
13 5

2. R dx
(b) p
x x2 1
Solución:
1 1
Sea z = ; x > 0 ! dx = dz
x z2
Al realizar el cambio de variable, se tiene que:
1
R z dz
s z2
2
1
1
z
dz
R
= r z
1 z2
z2
dz
R
= p z
1 z2
z
R dz
= p
1 z2
= arcsin(z) + c
R dx 1
Por lo tanto, p = arcsin
x x2 1 x
R ln (x + 1)
(c) 3 dx
(x 3)
Solución:
Utilizando integración por partes se tiene que:
dx
u = ln (x + 1) ! du =
x+1
1 1
dv = 3 !v= 2
(x + 3) 2 (x + 3)
De ahí que:
R ln (x + 1)
3 dx
(x 3)
ln (x + 1) 1R dx
= 2 + ahora utilizamos FP
2 (x + 3) 2 (x + 1) (x + 3)2
!
1R
ln (x + 1) 1 1 1
= 2 + 2 2 dx
2 (x + 3) 4 (x + 1) 4 (x + 3) 2 (x + 3)
ln (x + 1) 1 1 1 1
= 2 + ln jx + 1j ln jx + 3j + +c
2 (x + 3) 2 4 4 2 (x + 3)
ln (x + 1) 1 jx + 1j 1
= 2 + ln + +c
2 (x + 3) 8 jx + 3j 2 (x + 3)
2

3. R
(d) 4x2 3 43x+1 dx
Solución:
R
4x2 3 43x+1 dx
R
= 4x2 3 43x 4dx
R
= 16x2 12 64x dx
Al utilizar integración por partes nos queda como resultado:
u = 16x2 12 ! du = 32xdx
x 64x
dv = 64 dx ! v =
ln (64)
De ahí que:
R
4x2 3 43x+1 dx
16x2 12 64x R 64x
= 32xdx
ln (64) ln (64)
16x2 12 64x 32 R
= x64x dx
ln (64) ln (64)
Nuevamente, utilizamos integración por partes
u = x ! du = dx
64x
dv = 64x ! v =
ln (64)
R
4x2 3 43x+1 dx
16x2 12 64x 32 64x x R 64x
= dx
ln (64) ln (64) ln (64) ln (64)
2
16x 12 64x 32 64x x 1 R x
= 64 dx
ln (64) ln (64) ln (64) ln(64)
2
16x 12 64x 32 64x x 64x
= +c
ln (64) ln (64) ln (64) ln2 (64)
3

4. Universidad de Valparaíso
Ingeniería Ambiental
5to Control - Fila 2
Cálculo I
4 de noviembre de 2009
Prof. Juan Carlos Morgado.
Observaciones
Tiempo 60 minutos
NOMBRE: ............................................................................................
1. Calcule las siguientes integrales:
R x+2
(a) dx
3x3 6x2 + 4x 8
Solución:
Utilizando división sintética se tiene que : 3x3 6x2 + 4x 8 = (x 2) 3x2 + 4
De ahí que,
x+2 A Bx + C
= + 2
(x 2) (3x2 + 4) x 2 3x + 4
Al resolver el sistema que se desprende de la ecuación anterior resulta:
3 1
x+2 1 4x + 2
=
(x 2) (3x2 + 4) 4 (x 2) 3x2+4
Por lo tanto,
R x+2
dx
3x3 6x2 + 4x 8
R 3 1
1 4x + 2
= dx
4 (x 2) 3x2 + 4
R R 3 1
1 4x + 2
= dx 2+4
dx
4 (x 2) 3x
3 1
1R 1 R 4x
R 2
= dx 2+
dx dx
4 x 2 3x 4 3x2 + 4
1R 1 1R 6x 1R 1
= dx dx dx
4 x 2 8 3x2 + 4 2 3x2 + 4
p p !
1 1 2 3 3x
= ln jx 2j 8 ln 3x + 4 + 12 arctan +c
4 2
4

5. R ln (x + 2)
(b) 3 dx
(x 4)
Solución:
Utilizando integración por partes se tiene que:
dx
u = ln (x + 2) ! du =
x+2
1 1
dv = 3 !v= 2
(x 4) 2 (x 4)
De ahí que:
R ln (x + 2)
3 dx
(x 4)
ln (x + 2) 1R dx
= 2 + 2 ahora utilizamos FP
2 (x 4) 2 (x + 2) (x 4)
!
ln (x + 2) 1R 1 1 1
= 2 + 2 + dx
2 (x 4) 36 (x + 2) 36 (x 4) 6 (x 4)2
ln (x + 2) 1 1 1 1
= 2 + ln jx + 2j ln jx 4j +c
2 (x 4) 2 36 36 6 (x 4)
ln (x + 2) 1 jx + 2j 1
= 2 + ln +c
2 (x 4) 72 jx 4j 12 (x 4)
R dx
(c) p
x x2 1
1 1
Sea z = ; x > 0 ! dx = dz
x z2
Al realizar el cambio de variable, se tiene que:
1
R z dz
s z2
2
1
1
z
dz
R
= r z
1 z2
z2
dz
R
= p z
1 z2
z
R dz
= p
1 z2
= arcsin(z) + c
R dx 1
Por lo tanto, p = arcsin
x x2 1 x
5

6. R
(d) 4x2 + 5 32x+1 dx
Solución:
R
4x2 + 5 32x+1 dx
R
= 4x2 + 5 32x 3dx
R
= 12x2 + 15 9x dx
Al utilizar integración por partes nos queda como resultado:
u = 12x2 + 15 ! du = 24xdx
9x
dv = 9x dx ! v =
ln (9)
De ahí que:
R
4x2 + 5 32x+1 dx
12x2 + 15 9x R 9x
= 24xdx
ln (9) ln (9)
12x2 + 15 9x 24 R
= x 9x dx
ln (9) ln (9)
Nuevamente, utilizamos integración por partes
u = x ! du = dx
9x
dv = 9x ! v =
ln (9)
R
4x2 3 43x+1 dx
12x2 + 15 9x 24 9x x R 9x
= dx
ln (9) ln (9) ln (9) ln (9)
12x2 + 15 9x 24 9x x 1 R x
= 9 dx
ln (9) ln (9) ln (9) ln(9)
12x2 + 15 9x 24 9x x 9x
= +c
ln (9) ln (9) ln (9) ln2 (9)
6