CONTROL DE POSICIONAMIENTO DE UN CUERPO ESFÉRICO SOBRE UNA PLATAFORMA MÓVIL

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CONTROL DE POSICIONAMIENTO DE UN CUERPO ESFÉRICO SOBRE UNA
PLATAFORMA MÓVIL
JUAN DAVID NÚÑEZ LÓPEZ
POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
FACULTAD DE INGENIERÍAS
INGENIERÍA EN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
MEDELLÍN
2015

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CONTROL DE POSICIONAMIENTO DE UN CUERPO ESFÉRICO SOBRE UNA
PLATAFORMA MÓVIL
Trabajo dirigido y estructurado como requisito parcial para optar al título de
Ingeniero en Instrumentación y Control
Asesor Técnico
HENRY OMAR SARMIENTO MALDONADO
PhD
Asesor Metodológico
ÁLVARO URDINOLA RESTREPO
Sociólogo
POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
FACULTAD DE INGENIERÍAS
INGENIERÍA EN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
MEDELLÍN
2015

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Medellín, Noviembre 27 de 2015
Ingeniero
MARIO LEÓN MONTOYA MEJÍA
Coordinador de Programas Tecnológicos de la Facultad de Ingeniería
Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid
Asunto: Cumplimiento requisitos Técnico – Metodológico.
Nos permitimos certificar que el trabajo de grado “CONTROL DE
POSICIONAMIENTO DE UN CUERPO ESFÉRICO SOBRE UNA PLATAFORMA
MÓVIL” elaborado por el estudiante:
C.C. 98.711.178
Realizado bajo la modalidad de trabajo dirigido y estructurado como requisito
parcial, para optar al título de Ingeniero en Instrumentación y Control, cumple los
requisitos técnicos y metodológicos exigidos.
Se autoriza programar sustentación con jurado.
______________________________ _____________________________
JURADO ÁLVARO URDINOLA RESTREPO
ASESOR METODOLÓGICO

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Dedico a Dios por darme la vida y brindarme la oportunidad de adelantar mis
estudios con esfuerzo y dedicación.
A mi familia, en especial a mi madre Flor Ángela López Casas, a mi padre Luis
Alfonso Núñez Ospina y a las personas que intervinieron en mi proceso de
formación personal y profesional.
A mi novia Karina R. Salazar, por su apoyo incondicional en la etapa final de mis
Estudios de Pregrado.

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AGRADECIMIENTOS
El autor expresa su agradecimiento a:
Henry Omar Sarmiento Maldonado, Ph.D. en Ingeniería Electrónica y asesor
técnico, por los conocimientos, el tiempo y el apoyo incondicional brindado en la
elaboración y ejecución de este proyecto. Su asesoría determinó el éxito del
presente Trabajo de Grado.
A la empresa Soluciones Mecánicas Ltda., y su representante el Ingeniero Pablo
Velásquez Zapata, por darme la oportunidad de transmitir mí idea y facilitar la
implementación del módulo usado en este Trabajo de Grado.
Luis Eduardo García Jaimes, M.sc. en Educación, Coordinador de trabajo de grado
y profesor de la Asignatura de Control Avanzado, por los conocimientos y las
recomendaciones aportados al trabajo respecto al diseño de controladores y el
desarrollo metodológico.
Álvaro Urdinola Restrepo, Sociólogo y Asesor Metodológico, por el tiempo dedicado
para la elaboración del documento escrito.

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RESUMEN
Controlar la posición de una esfera sobre una plataforma móvil es un reto desde el
punto de vista del control, ya que se trata de un sistema que además de ser no-
lineal, es también inestable, convirtiéndolo en un problema complejo. Dada esta
complejidad, la identificación del sistema mediante métodos paramétricos y no-
paramétricos no es adecuada, es por tanto que se elige encontrar su modelo
matemático mediante el análisis fenomenológico del sistema.
Una vez obtenida la ecuación diferencial que rige la dinámica del sistema, a partir
de esta se halla la representación del sistema tanto en Función de Trasferencia
como en Espacio de Estados, con el propósito de diseñar, desde esto, dos
controladores por el método de Asignación de Polos: un controlador PD y un
controlador por realimentación de Estados, con el fin de posicionar la esfera sobre
un punto específico de la plataforma.
Logrado el fin indicado, se procede a realizar las respectivas simulaciones del
sistema, en la plataforma de simulación ‘Simulink’ de Matlab®, con el propósito de
comprobar que las especificaciones de funcionamiento establecidas se cumplan.
Como etapa final, se procede a aplicar los controladores diseñados al sistema ya
implementado, con el fin de controlar la posición de la esfera en un punto específico,
mediante el uso de Visión Artificial como medio generador de la señal de
realimentación y de los algoritmos de control desarrollados en Labview®. Las
señales de control son llevadas a dos servomotores por un “Arduino UNO®”,
encargados de ocasionar los respectivos cambios de inclinación de la plataforma.

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Al aplicar los algoritmos de control se muestra por qué el controlador PD fue
descartado y cuáles son los parámetros de diseño que se cumplen con el sistema
real controlado mediante el controlador por realimentación de Estados. Se muestran
sus respectivas gráficas en donde se aprecian los valores de las variables en el
tiempo y por último se cuenta con un sistema estable que obedece a las
perturbaciones y que además puede seguir una trayectoria definida por el usuario.

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CONTENIDO
1. GENERALIDADES..........................................................................................21
1.1 INTRODUCCIÓN.............................................................................................21
1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA..............................................................23
1.3 OBJETIVOS.....................................................................................................26
1.3.1 Objetivo general............................................................................................26
1.3.2 Objetivos específicos ....................................................................................26
1.4 ALCANCES Y LIMITANTES DEL PROYECTO ...............................................28
1.4.1 Alcance .........................................................................................................28
1.4.2 Limitantes......................................................................................................28
1.5 ANTECEDENTES............................................................................................30
1.6 METODOLOGÍA ..............................................................................................33
2. MODELAMIENTO MATEMÁTICO DEL SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA .36
2.1 BASES TEÓRICAS..........................................................................................37
2.1.1 Segunda ley de Newton................................................................................37
2.1.2 Momento de Torsión .....................................................................................38
2.1.3 Rodamiento sin Deslizamiento......................................................................38
2.2 CÁLCULO DEL MODELO MATEMÁTICO.......................................................39
2.2.1 Diagrama de cuerpo libre..............................................................................39
2.2.2 Procedimiento...............................................................................................39
2.2.3 Linealización .................................................................................................42
2.3 REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA ......................43
2.3.1 Función de Transferencia .............................................................................43

9
2.3.2 Representación en el Espacio De Estados...................................................44
3. CALCULO DE LOS CONTROLADORES DEL SISTEMA PLATAFORMA-
ESFERA ................................................................................................................47
3.1 CONTROLADOR CONVENCIONAL ...............................................................48
3.1.1 Controlador PD puro .....................................................................................48
3.1.2 Controlador PD con filtro N ...........................................................................55
3.2 CONTROLADOR POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS............................58
3.2.1 Controlabilidad y Observabilidad ..................................................................59
3.2.2 Cálculo del vector de realimentación ............................................................61
3.2.3 Observador de Estado ..................................................................................63
4. SIMULACIÓN DEL SISTEMA .........................................................................68
4.1 SISTEMA EN LAZO ABIERTO ........................................................................69
4.1.1 Representación en Función de Transferencia ..............................................69
4.1.2 Representación en Espacio de Estados .......................................................70
4.2 SISTEMA EN LAZO CERRADO......................................................................71
4.3 SISTEMA CONTROLADO...............................................................................72
4.3.1 Control PD Puro............................................................................................72
4.3.2 Control PD con filtro N ..................................................................................76
4.3.3 Control por realimentación de Estados.........................................................78
4.3.4 Servosistema tipo 1 ......................................................................................80
Obsérvese la figura 4.16, el error en estado estable es reducido a cero con el
controlador propuesto. El tiempo de establecimiento sigue siendo un poco mayor al
deseado debido a la saturación de la señal de control. .........................................82
4.3.5 Servosistema tipo 1 con observador de estado completo.............................82
4.4 COMPARATIVO ..............................................................................................84

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5. CONTROL DEL SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA REAL ...........................86
5.1 MECÁNICA......................................................................................................87
5.1.1 Rótula............................................................................................................87
5.1.2 Ejes...............................................................................................................87
5.1.3 Servomotores................................................................................................88
5.1.4 Diseño completo ...........................................................................................88
5.2 ELECTRÓNICA ...............................................................................................89
5.3 SOFTWARE.....................................................................................................91
5.3.1 Vision and Motion .........................................................................................91
5.3.2 Arduino..........................................................................................................93
5.3.3 Control ..........................................................................................................94
5.3.4 Salida............................................................................................................97
5.4 PUESTA EN MARCHA ....................................................................................98
5.4.1 Ajuste............................................................................................................98
5.4.2 Ejecución ....................................................................................................101
6. RESULTADOS Y CONCLUSIONES................................................................109
7. RECOMENDACIONES....................................................................................113
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................115

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LISTA DE TABLAS
Tabla 5. 1 Relación entre el servomotor y la Plataforma en el eje x ......................99
Tabla 5. 2 Relación entre el servomotor y la Plataforma en el eje y ....................100
Tabla 5. 3 Parámetros del Controlador................................................................106
Tabla 5. 4 Parámetros del Observador................................................................107

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LISTA DE FIGURAS
Figura 2. 1 Desplazamiento de la Esfera sobre un plano inclinado .......................39
Figura 2. 2 Diagrama de Cuerpo Libre...................................................................39
Figura 2. 3 Zona lineal de la Función Seno ...........................................................42
Figura 3. 1 Sistema Plataforma-esfera Controlado................................................48
Figura 3. 2 Sistema en Lazo Cerrado ....................................................................52
Figura 3. 3 Configuración del Sistema controlado por un PD con filtro N ..............58
Figura 3. 4 Representación en Espacio de Estados ..............................................58
Figura 3. 5 Sistema con el Vector de Realimentación K........................................62
Figura 3. 6 Servosistema tipo 1 para planta con integrador...................................63
Figura 3. 7 Servosistema tipo 1 con Observador de Estado..................................67
Figura 4. 1 Sistema Plataforma-esfera en lazo abierto..........................................69
Figura 4. 2 Respuesta del sistema ante dos entradas tipo escalón.......................70
Figura 4. 3 Representación del sistema en el Espacio de estados........................70
Figura 4. 4 Estados del sistema.............................................................................71
Figura 4. 5 Sistema Plataforma-esfera con controlador P de ganancia unitaria ....71
Figura 4. 6 Respuesta del sistema con un controlador P de ganancia unitaria .....72
Figura 4. 7 Control PD puro sin saturación............................................................73
Figura 4. 8 Respuesta del Sistema ante un PD puro sin saturación......................74
Figura 4. 9 Control PD puro con saturación...........................................................75
Figura 4. 10 Respuesta del Sistema ante un PD puro saturado ............................76
Figura 4. 11 Sistema controlado por un controlador PD realizable........................77
Figura 4. 12 Respuesta del sistema ante un controlador PD realizable.................78
Figura 4. 13 Sistema controlado por la realimentación de sus Estados.................79
Figura 4. 14 Respuesta del sistema ante la realimentación de sus Estados .........80
Figura 4. 15 Sistema de control servo tipo 1..........................................................81
Figura 4. 16 Respuesta del sistema controlado por un servo tipo 1 ......................82
Figura 4. 17 Servosistema tipo 1 con observador..................................................83

13
Figura 4. 18 Respuesta del sistema ante un servo tipo 1 con observador.............84
Figura 4. 19 Integral del Valor Absoluto del Error ..................................................85
Figura 5. 1 Rótula ..................................................................................................87
Figura 5. 2 Eje........................................................................................................88
Figura 5. 3 Servomotor-Soporte.............................................................................88
Figura 5. 4 Diseño mecánico sistema-Plataforma-esfera ......................................89
Figura 5. 5 Arduino y Servomotores ......................................................................89
Figura 5. 6 Sistema mecánico con ARDUINO UNO ..............................................90
Figura 5. 7 Código en Labview del Vision Acquisition............................................92
Figura 5. 8 Sub-bloques del Vision Assistant.........................................................92
Figura 5. 9 Obtención de la Posición de la Esfera en x y y ....................................93
Figura 5. 10 Configuración ARDUINO en Labview ................................................94
Figura 5. 11 Código controlador PD.......................................................................95
Figura 5. 12 Controlador por realimentación de Estados.......................................96
Figura 5. 13 Interfaz gráfica ...................................................................................97
Figura 5. 14 Diagrama del código para la salida....................................................97
Figura 5. 15 Relación entre el Servomotor y la Plataforma en el eje x ..................99
Figura 5. 16 Relación entre el Servomotor y la Plataforma en el eje y.................100
Figura 5. 17 Cambio en el algoritmo de control ...................................................101
Figura 5. 18 Montaje real del sistema Plataforma-esfera.....................................101
Figura 5. 19 Respuesta del Controlador PD en tiempo real.................................102
Figura 5. 22 Calculo del vector K usando Labview ..............................................104
Figura 5. 23 Calculo del vector L usando Labview...............................................105
Figura 5. 24 Respuesta del Controlador por Realimentación de Estados............106
Figura 5. 25 Algoritmo de Control definitivo .........................................................107
Figura 5. 26 Respuesta definitiva del Sistema Controlado ..................................108

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LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS
ABREVIATURA SIGNIFICADO
EE Espacio de Estados
FT Función de Transferencia
MATLAB Matrix Laboratory
MIMO Multiple input Multiple output
PD Proporcional Derivativo
PID Proporcional Integral derivativo
SISO Simple input Simple output
SÍMBOLO SIGNIFICADO
º Grados
s Segundos
ms Milisegundo
V Voltios
m2 Metros Cuadrados
mm Milímetros
‫ܨ‬Ԧ Vector Fuerza
% Porcentaje
Σ Sumatoria

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݉ Masa
ܽԦ Vector Aceleración
߬ Fuerza de Torsión
݈ Longitud
‫ܫ‬ Momento de Inercia
ߙ Aceleración Angular
‫ݒ‬௖௠
Velocidad del Centro de Masa
߱௖௠
Rapidez Angular del Centro de Masa
ܴ Radio
݃ Gravedad
݂௦
Fuerza de Fricción
‫ݔ‬ሶ Primera derivada de x
ߦ Coeficiente de amortiguamiento
߱௡
Frecuencia natural
‫݊ܮ‬ Logaritmo Natural
‫ܭ‬௣ Ganancia Proporcional
‫ܭ‬ௗ
Ganancia Derivativa
ܶ Periodo
݂ Frecuencia
ܿ݉ Centro de Masa
‫ݐ‬௦ Tiempo de Establecimiento

16
‫ܯ‬௣ Sobre-impulso
ܽ௖௠ Aceleración del Centro de Masa

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GLOSARIO
ALGORITMO: es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas,
ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos
que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad.
ASIGNACIÓN DE POLOS: técnica usada para el control de sistemas que consiste
en igualar la ecuación característica del sistema controlado a una ecuación
característica deseada que se calcula a partir de la ubicación de los polos deseados.
CENTRO DE MASA: es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como
si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE: es una representación gráfica utilizada a menudo
por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre.
E4CODER: es un conjunto de herramientas que se pueden utilizar para simular y
controlar los algoritmos y así generar código para microcontroladores integrados
que funcionan con o sin un sistema operativo de tiempo real.
ECUACIÓN DIOFÁNTICA: cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas,
cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números racionales, de las que se
buscan soluciones, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números racionales.
ESPACIO DE ESTADOS: es un modelo matemático de un sistema físico descrito
mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por
ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación
diferencial matricial de primer orden.

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FRICCIÓN: fuerza entre dos superficies en contacto, a aquella que se opone al
movimiento relativo entre ambas superficies de contacto (fuerza de fricción
dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del deslizamiento (fuerza de fricción
estática).
FUNCIÓN DE TRASFERENCIA: es un modelo matemático que a través de un
cociente relaciona la respuesta de un sistema con una señal de entrada o excitación.
INERCIA: es la propiedad que tienen los cuerpos de permanecer en su estado de
reposo o movimiento.
INTEGRADOR: en análisis numérico, la integración constituye una amplia gama de
algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida.
LABVIEW: es una plataforma y entorno de desarrollo para diseñar sistemas, con
un lenguaje de programación visual gráfico. Recomendado para sistemas hardware
y software de pruebas, control y diseño, simulado o real y embebido.
MATLAB: es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de
desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M).
MIMO: es el acrónimo en inglés de Multiple-input Multiple-output (Múltiple entrada
múltiple salida).
PERIODO: es el intervalo de tiempo necesario para completar un ciclo repetitivo, o
simplemente el espacio de tiempo que dura algo.
POLO: es el valor de la variable ‘S’ que anula la ecuación característica de un
sistema.

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REALIMENTACIÓN: es un mecanismo por el cual una cierta proporción de la salida
de un sistema se redirige a la entrada, con objeto de controlar su comportamiento.
RÓTULA: es un tipo de par cinemático que permite un relativo movimiento dentro
de cierto ángulo en todos los planos que pasan por una línea.
SERIES DE TAYLOR: es una aproximación de funciones mediante una serie de
potencias o suma de potencias enteras de polinomios.
SERVOMOTOR: es un dispositivo similar a un motor de corriente continua que tiene
la capacidad de ubicarse en cualquier posición dentro de su rango de operación, y
mantenerse estable en dicha posición.
SIMULINK: es un entorno de programación visual, que funciona sobre el entorno
de programación Matlab.
SISO: es el acrónimo en inglés de Simple-input Simple-output (una entrada una
salida).
TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO: es el tiempo que se requiere para que la curva
de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por
el porcentaje absoluto del valor final y permanezca dentro de él.
TOUCH SCREEN: es una pantalla que mediante un toque directo sobre su
superficie permite la entrada de datos y órdenes al dispositivo.
VARIABLES DE ESTADO: son el subconjunto más pequeño de variables de un
sistema que pueden representar su estado dinámico completo en un determinado
instante.

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VISIÓN ARTIFICIAL: es un subcampo de la inteligencia artificial. El propósito de la
visión artificial es programar un computador para que "entienda" una escena o las
características de una imagen.

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1. GENERALIDADES
1.1 INTRODUCCIÓN
El control de posicionamiento de una esfera sobre una plataforma móvil se realiza
sobre un sistema llamado “Plataforma-esfera”, compuesto por una base en acrílico
donde se ubican una pieza central tipo rótula que es la encargada de ocasionar los
grados de libertad de la plataforma, y dos servomotores con dos ejes roscados para
manipular los ángulos Beta de los ejes ‘x’ y ‘y’, sobre el plano coordenado de la
plataforma.
El propósito del presente trabajo de grado es lograr la ubicación de un cuerpo
esférico en una posición específica sobre una plataforma móvil, mediante el
desarrollo teórico de dos controladores, partiendo del modelo matemático del
sistema Plataforma-esfera. Posteriormente se efectúa la respectiva simulación en
‘Simulink’ y como etapa final se hace el control en el sistema real usando una
interfaz gráfica desarrollada en Labview®.
El sistema Plataforma-esfera resulta llamativo dada su complejidad sustentada en
la no-linealidad e inestabilidad que esta presenta, a partir de ello se debe hacer un
desarrollo cuidadoso de su análisis tanto en el modelamiento del sistema como en
el diseño e implementación de sus controladores. El sistema Plataforma-esfera
puede verse como un módulo didáctico que podrá ser de gran utilidad en el proceso
de formación académica dentro de la carrera de Ingeniería en Instrumentación y
Control, ya que durante el análisis de este se pueden entender con mayor claridad
conceptos como: estabilidad y linealidad.

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Para el desarrollo de este trabajo se abordan cuatro capítulos, el primero
corresponde al análisis fenomenológico del movimiento de la esfera sobre la
plataforma, del cual se obtienen sus representaciones en Función de Transferencia
y en Espacio de Estados. En el segundo se desarrolla, a partir de los resultados
previos, un controlador PD por el método de Asignación de Polos, usando como
parámetros deseados el tiempo de establecimiento y el sobre-impulso del sistema.
Partiendo de la representación del sistema en el Espacio de Estados, se diseña un
controlador por realimentación de Estados hallando la una matriz de realimentación
que permita ubicar los polos del sistema en lazo cerrado en puntos deseados del
plano ‘S’. En el tercer capítulo se realizan las respectivas simulaciones en “Simulink”
con el propósito de comprobar que los parámetros deseados se cumplan.
Por último, en el capítulo cuarto, se plasma el desarrollo de los algoritmos de los
controladores previamente diseñados, escritos en la plataforma de desarrollo
Labview®, los cuales calculan las respectivas señales de control que serán
aplicadas al sistema Plataforma-esfera real.
El sistema implementado consta de una base que soporta dos servomotores, de los
cuales se desprenden dos ejes para manipular la inclinación de la plataforma. En el
centro de la base se encuentra una rotula que es la encargada de ocasionar los
grados de libertad necesarios y de sostener la plataforma. En la parte superior se
ubica una cámara web de la cual se obtendrán los datos de ubicación de la esfera
en tiempo real mediante el uso de herramientas prediseñadas de visión artificial.

23
1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Los sistemas reales, ya sean los naturales como el comportamiento de la
temperatura ambiente en un cuarto, o los cotidianos como el movimiento de un
automóvil, o aquellos observados en el sector industrial, tienen algo en común y es
que presentan, en un determinado rango de operación, un comportamiento no-lineal
e inestable. Este tipo de sistemas requieren de un análisis mucho más amplio,
comparado con el que se le realiza a un sistema lineal y estable, sobre todo a la
hora de identificarlo o modelarlo y de diseñar sus respectivos controladores.
Un caso interesante de un sistema no-lineal e inestable, es el sistema Plataforma-
esfera planteado en este trabajo, cuando uno de los ángulos de la plataforma de
este sistema es diferente de cero, la esfera se mueve con una aceleración que
depende de dos factores: la gravedad y el ángulo de inclinación de la plataforma,
este comportamiento denota de entrada que el sistema es inestable dado que al
crear una entrada tipo escalón, la esfera avanza hasta el límite de la plataforma sin
detenerse, ahora bien, al calcular la ecuación diferencial que determina la posición
de la esfera sobre la plataforma, se observa la presencia de la función ‘seno’, lo que
indica que dicha ecuación diferencial es no-lineal, como consecuencia de esto, se
puede concluir que el sistema Plataforma-esfera, aparte de ser inestable también
es no-lineal.
A la hora de identificar el sistema propuesto, los recursos se hacen limitados, es
decir, si se quiere por ejemplo aplicar un método como el de la curva de reacción,
no se tendría ningún resultado ya que este requiere de mediciones de parámetros
temporales como el tiempo de establecimiento, el sobre-impulso, la constante de
tiempo del sistema entre otros, y al tratarse de un sistema inestable estos

24
parámetros carecerían de valores finitos. Por otra parte, métodos de identificación
paramétricos necesitarían de una base de datos, lo que resultaría difícil de obtener
del sistema Plataforma-esfera debido a que el área de movimiento de la esfera es
pequeño y el desplazamiento de esta se hace tan rápido que no generaría la
cantidad de datos necesaria para ser procesada y determinar una identificación
confiable. De igual manera resultan limitadas las técnicas para el diseño del
controlador del sistema propuesto, ya que en su mayoría, estas están creadas para
aplicarlas a sistemas lineales y estables, lo que reduce entonces el campo de
soluciones para lograr el objetivo final: ubicar la esfera sobre un punto específico de
la plataforma.
Una solución al desarrollo de controladores para sistemas inestables es usar el
método de Asignación de Polos, ya que permite agregar un controlador que obligue
al sistema a tener una ecuación característica deseada, cuyos polos pueden estar
ubicados en una posición conveniente del semiplano izquierdo del plano ‘S’, y como
solución para el problema de la no-linealidad se propone encontrar un rango de
operación alrededor del punto de equilibrio del sistema con un comportamiento
lineal.
Las consideraciones anteriores sugieren las siguientes preguntas:
¿Es posible linealizar el sistema propuesto en este trabajo de grado?
¿Es el modelamiento matemático suficiente para representar el sistema en Función
de Transferencia y en el Espacio de Estados?

25
¿Son eficientes los controladores diseñados mediante el método de Asignación de
Polos para controlar el sistema propuesto?
¿Es posible controlar la posición de la esfera sobre un punto específico en un
sistema real?
¿Qué tan coherentes pueden resultar los datos obtenidos en la simulación del
sistema controlado con respecto a los resultados obtenidos en el sistema real
controlado?

26
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo general: controlar la posición de un cuerpo esférico sobre una
plataforma móvil, mediante el desarrollo de un controlador PD convencional y un
controlador por Realimentación de Estados, usando el método de Asignación de
Polos.
1.3.2 Objetivos específicos
• Hallar el modelo matemático del sistema Plataforma-esfera mediante su
análisis fenomenológico, usando la segunda Ley de Newton como
herramienta para encontrar la ecuación diferencial que describa el
movimiento de la esfera sobre la plataforma.
• Diseñar un controlador PD y un controlador por realimentación de Estados
usando el método de Asignación de Polos, con el propósito de obtener como
resultado la ubicación de la esfera en un punto específico de la plataforma,
en un tiempo de establecimiento deseado y con un sobre-impulso deseado.
• Simular las respuestas del sistema controlado por el controlador PD y por el
controlador por Realimentación de Estados en ‘Simulink’, con la intensión de
comprobar que se cumplan las especificaciones de funcionamiento
establecidas.

27
• Desarrollar y probar los algoritmos de los controladores previamente
diseñados para controlar la posición de la esfera en el sistema real, usando
visión artificial para vigilar en tiempo real la posición del cuerpo esférico,
generando así la realimentación del sistema.

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1.4 ALCANCES Y LIMITANTES DEL PROYECTO
1.4.1 Alcance: en este trabajo de grado se presenta el estudio de un sistema no-
lineal e inestable, correspondiente a un cuerpo esférico que se mueve sobre una
plataforma que se inclina en función de dos ángulos. El estudio parte del análisis
fenomenológico del sistema para encontrar la ecuación diferencial que defina la
dinámica de la esfera sobre la plataforma. Posteriormente se diseñan dos
controladores usando el método de Asignación de Polos y se simula la respuesta
del sistema controlado para comprobar que los controladores diseñados cumplan
con las especificaciones establecidas. Por último se lleva todo este análisis al
sistema Plataforma-esfera real que se compone de una base en acrílico, dos
servomotores, dos ejes roscados, una rotula central y una placa en acrílico como
plataforma, una cámara ubicada en la parte superior de la plataforma para vigilar su
posición en tiempo real mediante el uso de Visión Artificial.
Al final de este trabajo se entregan, el modelo matemático del sistema, el desarrollo
de un controlador PD y de un controlador por realimentación de estados usando el
método de Asignación de Polos, las respuestas de la simulación del sistema
controlado y por último el control de la posición de la esfera en un sistema
Plataforma-esfera real.
1.4.2 Limitantes: las limitantes presentadas para la ejecución del trabajo de grado
fueron las siguientes:
• Económicas: los gastos de la implementación del sistema Plataforma-esfera
son asumidos completamente por el autor. Los servomotores, la rótula central
y el ensamble de todo el sistema son los elementos más costosos del

29
proyecto. El proyecto puede verse comprometido si algunas de sus piezas
sufren alguna avería.
Inicialmente se consideró usar una pantalla “touch screen” como plataforma
y como sensor, ya que este permite obtener los datos de posición de la esfera
por el contacto de esta con la pantalla, pero debido a que en Colombia
encontrar este elemento es difícil, la única alternativa era pedirla al
extranjero, pero los costos y el tiempo de entrega son elevados. Dado esto
se decide hacer el seguimiento de la esfera usando los bloques de visión
artificial de Labview, y una cámara ubicada por encima de la plataforma.
• Ambientales: la luz a la que se somete la imagen evaluada en el programa
de Visión Artificial es inestable, lo que genera ruido en los datos obtenidos,
provocando lecturas erróneas de la posición real de la esfera sobre la
plataforma.
• Temporales: la ejecución del trabajo de grado se realiza bajo un cronograma
previamente establecido. Para su ejecución depende del ensamble del
sistema que es realizado por una empresa, la cual debe cumplir con la
entrega de este en el tiempo estipulado.
• Espaciales: el sistema Plataforma-esfera se debe ubicar en un área plana
mínima de 0.5m2 y con una altura de 1m para ubicar la cámara que sigue la
esfera en tiempo real.
• Mecánicas: el sistema real fue implementado de manera artesanal, debido
a esto es posible que no se cuente con la precisión necesaria para obtener
un control eficiente.

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1.5 ANTECEDENTES
A continuación se muestran algunos trabajos enfocados al análisis y control de
posición de un cuerpo esférico sobre una plataforma móvil, relacionados con el
objeto de estudio de este trabajo:
Cupic ( 2011) en su proyecto de grado “Implementacija nelinearnih algoritama
upravljanja platformom sdva stupnja slobode”, (Implementación de un algoritmo
para el control no lineal de una plataforma con dos grados de libertad), presenta el
desarrollo de un algoritmo para controlar el sistema no-lineal e inestable bola-plato,
haciendo un análisis tanto de la esfera como de la deformación de la plataforma
como elemento no rígido. El sistema se compone por una plataforma que reposa
sobre dos servomotores y por encima de la plataforma ubica una cámara aplicando
con esto visión artificial para el seguimiento de la esfera. Como resultados finales
presenta la linealización del sistema y el diseño de los controladores usando lógica
difusa.
Fabregas (2013) en la segunda parte de su Tesis Doctoral “Plataformas Interactivas
de experimentación Virtual y Remota: Aplicaciones de Control y Robótica”, describe
un sistema bola plato como medio didáctico y educativo. Parte de su modelo
matemático y de allí desarrolla dos controladores, un PD y un LQR. La adquisición
de la posición de la esfera es realizada mediante visión artificial. Entrega como
resultados finales las gráficas de control de cada ángulo de inclinación logrando con
esto el control de posición de la esfera en un punto específico.

31
Fernandez (2013) en su artículo “Diseño e implementación de sistemas de control
de tiempo real mediante herramientas de generación automática de código”,
presenta el desarrollo de sistemas de control utilizando tecnologías de generación
automática de código. Como caso práctico se ha tomado el sistema bola plato de la
marca comercial “Amazing ball”, a partir de la cual se han diseñado varios
controladores para regular el sistema o para que el sistema siga una trayectoria
sobre el plato. Como herramienta de programación se ha utilizado E4Coder, un
generador automático de código de reciente lanzamiento en el mercado.
Nokhbeh & Khashabi (2011) exponen una mirada detallada en el tratamiento no
lineal del sistema bola-plato. Hacen un procesamiento del sistema mediante
derivaciones parciales de las ecuaciones diferenciales determinadas por el
modelamiento matemático del sistema, mediante el método de LaGrange-Euler.
Posteriormente se hace linealización del sistema para diseñar un compensador y
simular la respuesta del sistema ante una entrada tipo escalón y el comportamiento
de este ante una trayectoria definida.
Keshmiri, Jahromi, Mohebbi, Amoozgar, & Xie, (2012) en su artículo “Modelling and
control of ball and beam system using model based and non-model based control
approaches” (Modelado y control del sistema bola barra usando enfoques de control
basados y no basados en modelos), modelan un sistema barra y bola considerando
los factores no lineales, linealizando este mediante el método de linealización
Jacobiana alrededor de su punto de equilibrio. Diseñan dos controladores: un
Regulador Cuadrático Lineal (LQR), y un controlador PID, con el propósito de
controlar la posición de la bola en la barra. Ajustan los parámetros de estos
mediante el uso de algoritmos genéticos. Debido al ruido del sensor en el montaje
experimental, es necesario calcular un observador de estados para obtener la
velocidad de la bola.

32
En su trabajo de grado “Desarrollo de un sistema Ball and Beam, para implementar
estrategias de control mediante Labview”, (Obando & Romero, 2010), presentan la
construcción de un sistema Ball and Beam, con el propósito de validar estrategias
básicas de control tipo P, PI y/o PID, además de una interfaz de usuario desarrollada
en Labview donde el usuario puede interactuar con el sistema y realizar la
autosintonización del controlador. Se muestra también el modelamiento matemático
del sistema, la construcción del prototipo, el desarrollo de la interfaz de usuario, el
acondicionamiento de las señales de entrada, el diseño del controlador y la
validación del mismo.

33
1.6 METODOLOGÍA
El desarrollo teórico visto durante la carrera de Ingeniería en Instrumentación y
control está basado en gran parte en sistemas estables y lineales, y a partir del
análisis de estos sistemas se diseñan los controladores. En la vida real se
encuentran a diario sistemas no lineales como el fluido que viaja a través de una
tubería, la temperatura de una resistencia, el nivel de un tanque entre otros, y la
linealidad se encuentra solo bajo ciertas condiciones y dentro de un rango de
operación limitado. Abordar este tipo de sistemas siempre es un reto, además que
trae consigo una mejor experiencia y una vista más abierta de lo que es en realidad
la naturaleza, es por eso que este trabajo está basado en controlar una variable de
un sistema que no solo es no-lineal, sino también inestable.
Controlar la posición de la esfera del sistema Plataforma-esfera, ubicándola en un
punto específico, haciendo variar los ángulos de los dos ejes (x y y) de la plataforma,
podría entenderse como un desarrollo complejo ya que se estaría hablando de un
sistema ‘MIMO’, pero no, dado que una de las ventajas de este es que cada variable
es independiente, lo que convierte al sistema en la integración de dos sistemas
‘SISO’: la posición en el eje x y la posición en el eje y, así las cosas, se puede
calcular entonces cada controlador por separado y finalmente integrarlos para lograr
la ubicación de la esfera en un punto deseado.
El tipo de investigación empleada en este trabajo de grado es la investigación
aplicada. Se requiere de conocimientos teóricos y luego llevarlos a la etapa
experimental. Si en algún momento los resultados no son los esperados, se puede
comenzar a realizar los respectivos ajustes hasta cumplir con el objetivo del
proyecto.

34
Dado que el sistema Plataforma-esfera es inestable y no-lineal, utilizar métodos de
identificación puede resultar ineficiente, por esta razón se comienza hallando su
modelo matemático mediante análisis fenomenológico del sistema. Posteriormente
se calculan y diseñan los respectivos controladores usando el método de Asignación
de Polos, una vez en esta etapa del trabajo, se procede a simular la dinámica del
sistema controlado con el fin de comprobar que se cumplan los parámetros
deseados usando la plataforma de simulación “Simulink”. Una vez verificado el
correcto funcionamiento del control en la simulación, se procede a implementar el
desarrollo del sistema real, probando cada controlador y definiendo resultados.
En el desarrollo de este trabajo se ejecutan las siguientes actividades:
• Investigación del estado del arte del sistema propuesto.
• Desarrollo de las bases teóricas para el modelamiento matemático del
sistema.
• Análisis fenomenológico para hallar la ecuación diferencial que describa la
dinámica del sistema.
• Linealización del sistema
• Representación del sistema en Función de Transferencia y en Espacio de
estados.
• Desarrollo de un controlador PD y un controlador por realimentación de
estados usando el método de Asignación de Polos.

35
• Simulación del sistema controlado.
• Implementación del control de la posición de la esfera en el sistema
Plataforma-esfera real.
• Desarrollo de resultados y conclusiones.

36
2. MODELAMIENTO MATEMÁTICO DEL SISTEMA PLATAFORMA-
ESFERA
Asúmase que un cuerpo esférico se encuentra en equilibrio sobre una plataforma
que tiene una inclinación de 0°con respecto a la h orizontal, y posteriormente este
ángulo es diferente de 0°, se sabe que la esfera se mueve siguiendo la trayectoria
de una línea recta, ahora bien, supóngase entonces que esa línea recta es un eje
imaginario al que se le llama eje x, y el ángulo de inclinación asociado a ese eje se
le llama el ángulo βx, ahora bien, si se desarrolla el mismo experimento, pero esta
vez sobre una línea imaginaria perpendicular al eje x, que convenientemente es
llamado eje y, se tendría que manipular otro ángulo para hacer que la esfera avance
en la trayectoria de este eje, en ese orden de ideas entonces, ese ángulo es llamado
βy. Si se integraran los dos movimientos recién descritos, se tendría como resultado
un cuerpo esférico moviéndose por toda el área de la plataforma sobre un plano
imaginario llamado plano x, y.
La intención de la anterior descripción es demostrar experimentalmente dos cosas:
la primera, que la posición de la esfera en los puntos de los ejes x y y son
dependientes de sus respectivos ángulos e independientes entre sí, y la segunda,
que al tener un valor diferente de cero en los ángulos βx y/o βy, la esfera se desplaza
hasta el límite de la plataforma, lo que describe un sistema inestable con un
comportamiento del tipo realimentación positiva, es decir: un integrador.
A continuación se implementa todo el análisis necesario para encontrar el modelo
matemático y la representación del sistema Plataforma-esfera. Cabe aclarar que
debido a la independencia de variables, el desarrollo que se hace a continuación es
válido para los movimientos tanto en el eje x, como en el eje y.

37
2.1 BASES TEÓRICAS
Para realizar el modelo matemático del sistema plataforma-esfera, es necesario
hacer uso de la segunda ley de Newton, es por eso que a continuación se describen
las bases teóricas necesarias para completar el primer objetivo específico de este
trabajo
2.1.1 Segunda ley de Newton: “si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo,
éste se acelera. La dirección de aceleración es la misma que la dirección de la
fuerza neta. El vector de fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por
su aceleración” (Young & Freedman, 2009, pág. 117).
෍ ‫ܨ‬Ԧ = ݉ܽԦ 2.1
En la esfera que está sobre la plataforma, ejercen varias fuerzas, como la fuerza
normal, la fuerza de fricción y la producida por la aceleración de la gravedad y la
masa de la esfera, de igual manera no hay que olvidar que cuando la esfera se
traslada de un punto a otro no lo hace deslizándose sino rodando, es decir, que en
el sistema plataforma-esfera, el cuerpo esférico está sometido a dos movimientos,
uno de traslación y el otro de rotación.
Si un cuerpo tiene movimientos traslacional y rotacional al mismo tiempo, se
necesitan dos ecuaciones de movimiento independientes para el mismo cuerpo.
Una de éstas, la ecuación (2.1), que describe la traslación del centro de masa. La
otra ecuación es la que se define a continuación y describe la rotación alrededor del
eje que pasa por el centro de masa (Young & Freedman, 2009).

38
2.1.2 Momento de Torsión:
La medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un
cuerpo se denomina momento de torsión. El momento de torsión de una fuerza alrededor
de un punto, es el producto de la magnitud de la fuerza y su brazo de palanca. En general,
para una fuerza de magnitud F, cuya línea de acción está a una distancia perpendicular l de
un punto O, es definido como el momento de torsión. (Young & Freedman, 2009, pág. 317)
Se define mediante la ecuación (2.2).
߬ = ‫݈ܨ‬ 2.2
Así como la segunda ley de Newton dice que la fuerza total que actúa sobre una
partícula es igual a la masa de la partícula multiplicada por su aceleración, la
ecuación (2.3) dice que el momento de torsión total que actúa sobre un cuerpo rígido
es igual al momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación multiplicado
por su aceleración angular. (Young & Freedman, 2009).
෍ ߬ = ‫ߙܫ‬ 2.3
2.1.3 Rodamiento sin Deslizamiento: Un caso importante de traslación y rotación
combinadas es el de rodar sin deslizar, como el movimiento de la esfera del
sistema plataforma-esfera. La esfera es simétrica, así que su centro de masa está
en su centro geométrico. El movimiento sucede en un marco de referencia inercial,
en el cual la superficie sobre la que se rueda está en reposo. Aquí, el punto de la
esfera que toca la superficie debe estar instantáneamente en reposo para que no
resbale. Por lo tanto, la velocidad v del punto de contacto, relativa al centro de masa,
debe tener la misma magnitud pero dirección opuesta que la velocidad del centro
de masa vcm. Si el radio de la esfera es R y su rapidez angular alrededor del centro
de masa es ⍵, la magnitud de v es R⍵ (Young & Freedman, 2009). Por ello se define
que:
‫ݒ‬௖௠ = ܴ߱௖௠ 2.4

39
2.2 CÁLCULO DEL MODELO MATEMÁTICO
2.2.1 Diagrama de cuerpo libre: se comienza ilustrando el diagrama de la esfera
sobre un plano inclinado en un punto cualquiera, y a partir de este se hace el análisis
dinámico del sistema. La figura 2.1 representa la esfera sobre el plano inclinado.
Figura 2. 1 Desplazamiento de la Esfera sobre un plano inclinado
Fuente: Modificado de Física Universitaria (2009)
Posteriormente se hace un diagrama de cuerpo libre de la esfera, tal cual se aprecia
en la figura 2.2, allí se pueden observar las fuerzas a las que está sometida.
Figura 2. 2 Diagrama de Cuerpo Libre
Fuente: Física Universitaria (2009)
2.2.2 Procedimiento: dado que el centro de masa de la esfera es su centro
geométrico, se toma este como referencia para realizar los respectivos cálculos y

40
se usan las siglas ‘cm’ para denotarlo, además se toma positivo el eje en dirección
del movimiento de la esfera.
Las fuerzas involucradas en la traslación de la esfera son ࡹࢍࡿࢋ࢔ࢼ ࢟ ࢌ࢙, donde la
primera es la componente de fuerza debido al ángulo de inclinación, y ࢌ࢙ es la fuerza
de fricción en el punto de contacto de la esfera con la plataforma.
De la ecuación (2.1) se tiene
‫ߚ݊݁ܵ݃ܯ‬ − ݂௦ = ‫ܽܯ‬௖௠ 2.5
La única fuerza involucrada en el movimiento rotacional de la esfera es el momento
de torsión ττττ producido por la fuerza de fricción ݂௦ y la distancia R al centro de masa
de la esfera según la ecuación (2.2)
߬ = ݂௦ܴ 2.6
Ecuación (2.6) en la ecuación (2.3)
݂௦ܴ = ‫ܫ‬௖௠ߙ 2.7
Donde I es el momento de inercia de una esfera de radio R, y es igual a
ଶ
ହ
‫ܴܯ‬ଶ
(Young & Freedman, 2009, pág. 305)
Para eliminar alfa de la ecuación (2.6), es necesario derivar con respecto al tiempo
a ambos lados de la ecuación (2.4)

41
݀‫ݒ‬௖௠
݀‫ݐ‬
= ܴ
݀߱௖௠
݀‫ݐ‬
Al derivar con respecto al tiempo a ambos lados de la ecuación, se obtiene, en el
miembro izquierdo, el cambio de la velocidad del centro de masa con respecto al
tiempo, es decir la aceleración del centro de masa, y en el miembro derecho, el
cambio de la velocidad angular del centro de masa con respecto al tiempo, es decir,
la aceleración angular del centro de masa. Esto puede verse en la ecuación (2.8).
ܽ௖௠ = ܴߙ௖௠ 2.8
Tomando la ecuación (2.7) y despejando alfa de la Ecuación (2.8); y ambas en la
ecuación (2.6) se tiene entonces
݂௦ܴ =
2
5
‫ܴܯ‬ଶ
ܽ௖௠
ܴ
݂௦ =
2
5
‫ܽܯ‬௖௠ 2.9
Ecuación (2.9) en la ecuación (2.5)
‫ߚ݊݁ܵ݃ܯ‬ −
2
5
‫ܽܯ‬௖௠ = ‫ܽܯ‬௖௠
݃ܵ݁݊ߚ = ܽ௖௠ ൬1 +
2
5
൰ =
7
5
ܽ௖௠
ܽ௖௠ =
5
7
݃ܵ݁݊ߚ 2.10

42
2.2.3 Linealización: debido a que la ecuación (2.10) es no-lineal, por la presencia
de la función Senoidal, es necesario linealizarla para poder facilitar su análisis y el
diseño de sus respectivos controladores. Para ello se hace uso de las series de
Taylor mediante la expresión 2.11.
݂(௫) ≅ ෍
݂(௡)
(ܽ)
݊!
(‫ݔ‬ − ܽ)௡
ஶ
௡ୀ଴
2.11
Para su representación lineal se consideran únicamente los dos primeros términos
de la expansión, es decir con n=1, además, ya que se trata de linealizar una función
senoidal, su zona lineal esta alrededor de “a=0”, como se observa en la figura 2.3.
Figura 2. 3 Zona lineal de la Función Seno
Fuente: http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su41k06.htm
La expansión de (2.11), con n=1 y a=0 es:
݂(‫)ݔ‬ ≅ ݂(0) +
݂݀(‫)ݔ‬
݀‫ݔ‬
|௫ୀ଴(‫ݔ‬ − 0)

43
Llevando esto a la ecuación (2.10), se tiene que:
ܽ௖௠ ≅
5
7
݃ܵ݁݊(0) +
5
7
݀
݀‫ݔ‬
݃ܵ݁݊ߚ |ఉୀ଴(ߚ − 0)
ܽ௖௠ =
5
7
݃ߚ ; −
ߨ
12
≤ ߚ ≤
ߨ
12
2.12
Cabe aclarar que la anterior función se comporta linealmente dentro del rango
definido para beta, que en este caso es [-π/12, π/12], o su equivalente en grados
[-15°, 15°].
2.3 REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA
2.3.1 Función de Transferencia: la ecuación (2.12), representa la aceleración en
función del ángulo β, pero no se debe olvidar que esta sirve tanto para el movimiento
en el eje x, como para el movimiento en el eje y, debido a la independencia de cada
variable.
ܽ௖௠ೣ
=
5
7
݃ߚ௫ ; −
ߨ
12
≤ ߚ ≤
ߨ
12
2.13
ܽ௖௠೤
=
5
7
݃ߚ௬ ; −
ߨ
12
≤ ߚ ≤
ߨ
12
2.14
El objetivo de este trabajo es controlar la posición de la esfera sobre la plataforma,
es por eso que a partir de la aceleración, se obtiene a continuación la ecuación que
define la posición de la esfera en función del ángulo β.

44
De la ecuación (2.12) se tiene
݀ଶ
‫)ݐ(ݔ‬
݀‫ݐ‬ଶ
=
5
7
݃ߚ 2.15
Con condiciones iniciales iguales a cero y aplicando transformada de Laplace, se
tiene que:
ܵଶ
ܺ(ܵ) =
5
7
݃ߚ(ܵ)
ܺ(ܵ)
ߚ(ܵ)
=
5݃
7ܵଶ
= ‫)ܵ(ܩ‬
Si se toma la gravedad como g=9.81m/s2
‫)ܵ(ܩ‬ =
7
ܵଶ
2.16
Aplicando la Función de Transferencia para cada eje, se tiene:
‫)ܵ(ܩ‬௫ =
7
ܵଶ
2.17
‫)ܵ(ܩ‬௬ =
7
ܵଶ
2.18
2.3.2 Representación en el Espacio De Estados: los controladores que se
calculan para lograr el objetivo final de este trabajo, se diseñan a partir de la Función
de Transferencia del sistema Plataforma-esfera y de su representación en el
Espacio de Estados, es por tal razón que a continuación se hallan las matrices que
definen esta última.

45
Partiendo de la ecuación diferencial (2.15), Se define entonces lo siguiente:
‫ݔ‬ଵ = ‫)ݐ(ݔ‬
‫ݔ‬ଶ = ‫ݔ‬ሶ(‫)ݐ‬
‫ݔ‬ሶଵ = ‫ݔ‬ଶ
‫ݔ‬ሶଶ =
5
7
݃ߚ
Tomando como punto de partida las ecuaciones (2.19) y (2.20) (Ogata, 2003, pág.
72).
‫ݔ‬ሶ = ‫ݔܣ‬ + ‫ݑܤ‬ 2.19
‫ݕ‬ = ‫ݔܥ‬ + ‫ݑܦ‬ 2.20
Se tiene que
൤
‫ݔ‬ሶଵ
‫ݔ‬ሶଶ
൨ = ቂ
0 1
0 0
ቃ ቂ
‫ݔ‬ଵ
‫ݔ‬ଶ
ቃ + ൥
0
5݃
7
൩ ‫ݑ‬
‫ݕ‬ = ሾ1 0ሿ ቂ
‫ݔ‬ଵ
‫ݔ‬ଶ
ቃ + 0‫ݑ‬
Con β como la entrada del sistema, se tiene que:
൤
‫ݔ‬ሶଵ
‫ݔ‬ሶଶ
൨ = ቂ
0 1
0 0
ቃ ቂ
‫ݔ‬ଵ
‫ݔ‬ଶ
ቃ + ൥
0
5݃
7
൩ ߚ 2.21

46
‫ݕ‬ = ሾ1 0ሿ ቂ
‫ݔ‬ଵ
‫ݔ‬ଶ
ቃ 2.22
Las ecuaciones (2.21) y (2.22) se toman entonces para el desplazamiento de las
esfera en el eje x y en el eje y.
Representación en el Espacio de Estados del desplazamiento de la esfera en el eje
x:
൤
‫ݔ‬ሶଵ
‫ݔ‬ሶଶ
൨ = ቂ
0 1
0 0
ቃ ቂ
‫ݔ‬ଵ
‫ݔ‬ଶ
ቃ + ൥
0
5݃
7
൩ ߚ௫ 2.23
‫ݕ‬௫ = ሾ1 0ሿ ቂ
‫ݔ‬ଵ
‫ݔ‬ଶ
ቃ 2.24
−
ߨ
12
≤ ߚ௫ ≤
ߨ
12
Representación en el Espacio de Estados del desplazamiento de la esfera en el eje
y:
൤
‫ݔ‬ሶଵ
‫ݔ‬ሶଶ
൨ = ቂ
0 1
0 0
ቃ ቂ
‫ݔ‬ଵ
‫ݔ‬ଶ
ቃ + ൥
0
5݃
7
൩ ߚ௬ 2.25
‫ݕ‬௬ = ሾ1 0ሿ ቂ
‫ݔ‬ଵ
‫ݔ‬ଶ
ቃ 2.26
−
ߨ
12
≤ ߚ௬ ≤
ߨ
12

47
3. CALCULO DE LOS CONTROLADORES DEL SISTEMA PLATAFORMA-
ESFERA
A continuación se desarrolla el cálculo de dos controladores para el sistema
Plataforma-esfera. El primero de ellos es un controlador convencional PD, y el
segundo es un Controlador avanzado desarrollado mediante el método:
“Realimentación de Estados”. Ambos controladores se desarrollan con el propósito
de controlar la posición de la esfera sobre un punto específico de la plataforma.
Dicho desarrollo debe cumplir con dos criterios, el primero es el tiempo de
establecimiento y el segundo es el sobre-impulso.
Se sabe que el sistema es inestable, por esta razón las técnicas usadas para el
diseño de un controlador PD son reducidas, es decir, Ziegler-Nichols, ganancia
límite, modelo inverso entre otros similares, son técnicas no utilizables para el
cálculo de dicho controlador, por esta razón y para este caso específico se decide
entonces diseñar el controlador por el método de “Asignación de Polos”, cuyo
propósito es ubicar los polos en lazo cerrado en un lugar del plano S que hagan que
el sistema de control cumpla con parámetros previamente establecidos.
Al final del capítulo 2 se desarrolló la representación del sistema en el Espacio de
Estados, esto se hizo con el fin controlar el sistema Plataforma-esfera, mediante la
realimentación de su vector de estados multiplicado por un vector K, que
posteriormente será calculado. Dicho vector K se calcula de tal manera que los polos
del sistema en lazo cerrado se ubiquen en un lugar deseado, obligando a que el
sistema dé una respuesta que satisfaga el tiempo de establecimiento deseado y el
sobre-impulso deseado.

48
3.1 CONTROLADOR CONVENCIONAL
De la ecuación (2.16), que representa la Función de Transferencia del sistema
Plataforma-esfera, se puede observar que este tiene sus dos polos ubicados en el
origen del plano ‘S’, lo que indica que tal sistema se comporta como un integrador
de segundo orden. Por este motivo, un controlador PID hace que el sistema
permanezca inestable debido a la parte integral de dicho controlador, por esta razón
el controlador que se calcula a continuación es un PD que permita, con su parte
derivativa, eliminar el efecto integrador y así obtener una respuesta controlada.
3.1.1 Controlador PD puro: como se mencionó anteriormente, el controlador se
calcula por el método de Asignación de Polos, que consiste en igualar la ecuación
característica del sistema en lazo cerrado, con una ecuación característica deseada
derivada de la ubicación de los polos, y que a su vez cumpla con criterios de diseño.
Se parte del diagrama de bloques de la figura 3.1.
Figura 3. 1 Sistema Plataforma-esfera Controlado
Fuente: David Núñez

49
El objetivo es encontrar la Función de Transferencia X(S)/R(S).
Del diagrama de bloques se tiene que:
‫)ܵ(ܧ‬ = ܴ(ܵ) − ܺ(ܵ) 3.1
ܺ(ܵ) = ‫)ܵ(ܩ)ܵ(ܥ)ܵ(ܧ‬ 3.2
Ecuación (3.1) en ecuación (3.2)
ܺ(ܵ) = ሾܴ(ܵ) − ܺ(ܵ)ሿ‫)ܵ(ܩ)ܵ(ܥ‬
ܺ(ܵ) = ܴ(ܵ)‫)ܵ(ܩ)ܵ(ܥ‬ − ܺ(ܵ)‫)ܵ(ܩ)ܵ(ܥ‬
ܺ(ܵ) + ܺ(ܵ)‫)ܵ(ܩ)ܵ(ܥ‬ = ܴ(ܵ)‫)ܵ(ܩ)ܵ(ܥ‬
ܺ(ܵ)ሾ1 + ‫)ܵ(ܩ)ܵ(ܥ‬ሿ = ܴ(ܵ)‫)ܵ(ܩ)ܵ(ܥ‬
ܺ(ܵ)
ܴ(ܵ)
=
‫)ܵ(ܩ)ܵ(ܥ‬
1 + ‫)ܵ(ܩ)ܵ(ܥ‬
3.3
De (3.3), se puede decir que la ecuación característica del sistema de control de la
figura 2.4, es:
1 + ‫)ܵ(ܩ)ܵ(ܥ‬ = 0 3.4
Ahora bien, si se representan C(S) y G(S) con sus respectivos polinomios, se tiene
que:

50
‫)ܵ(ܥ‬ =
ܲ(ܵ)
‫)ܵ(ܮ‬
3.5
‫)ܵ(ܩ‬ =
‫)ܵ(ܤ‬
‫)ܵ(ܣ‬
3.6
Ecuación (3.5) y (3.6) en (3.4)
1 +
ܲ(ܵ)
‫)ܵ(ܮ‬
‫)ܵ(ܤ‬
‫)ܵ(ܣ‬
= 0
‫)ܵ(ܣ)ܵ(ܮ‬ + ܲ(ܵ)‫)ܵ(ܤ‬
‫)ܵ(ܣ)ܵ(ܮ‬
= 0
‫)ܵ(ܣ)ܵ(ܮ‬ + ܲ(ܵ)‫)ܵ(ܤ‬ = 0 3.7
La ecuación (3.7) corresponde a la ecuación característica del sistema de la Grafica
3.1, representada por sus respectivos polinomios. El paso a seguir ahora es
encontrar un controlador C(S), tal que la ecuación característica del sistema sea la
deseada. Esto se logra si se conoce de antemano la forma del controlador y
posteriormente se definen, a partir de criterios de diseño, los polos deseados.
Se sabe que el controlador para el sistema Plataforma-esfera es un PD puro:
‫)ܵ(ܥ‬ = ‫ܭ‬ௗܵ + ‫ܭ‬௣ 3.8
De la ecuación (3.8) y la ecuación (2.16) se tiene:
‫)ܵ(ܮ‬ = 1

51
‫)ܵ(ܣ‬ = ܵଶ
ܲ(ܵ) = ‫ܭ‬௣ + ‫ܭ‬ௗܵ
‫)ܵ(ܤ‬ = 7
Si se lleva esto a la ecuación 3.7 se tiene que:
ܵଶ
+ 7(‫ܭ‬௣ + ‫ܭ‬ௗܵ) = 0
ܵଶ
+ 7‫ܭ‬ௗܵ + 7‫ܭ‬௣ = 0 3.9
Se concluye con esto que la expresión (3.9), corresponde a la ecuación
característica del sistema Plataforma-esfera controlado por un controlador PD puro.
Para terminar el controlador, solo falta definir la ecuación característica deseada, y
esta se obtiene a partir de dos valores: el tiempo de establecimiento y el sobre
impulso.
Para el tiempo de establecimiento se usa como punto de partida el tiempo de
establecimiento de la planta en lazo abierto, pero como se trata de un sistema
inestable, este nunca se estabiliza, por esta razón se procede de la siguiente
manera:
Se cierra el lazo para el sistema Plataforma-esfera, ver figura 3.2.

52
Figura 3. 2 Sistema en Lazo Cerrado
Se sabe que la función de transferencia del sistema en lazo cerrado es:
ܺ(ܵ)
ܴ(ܵ)
=
‫)ܵ(ܩ‬
1 + ‫)ܵ(ܩ‬
ܺ(ܵ)
ܴ(ܵ)
=
7
ܵଶ
1 +
7
ܵଶ
ܺ(ܵ)
ܴ(ܵ)
=
7
ܵଶ
ܵଶ + 7
ܵଶ
ܺ(ܵ)
ܴ(ܵ)
=
7ܵଶ
ܵଶ(ܵଶ + 7)
ܺ(ܵ)
ܴ(ܵ)
=
7
ܵଶ + 7
3.10
El objetivo es encontrar el periodo de oscilación de la función de transferencia (3.10)
ante una entrada tipo escalón unitario. Para encontrar dicho valor, se procede así:

53
Se despeja X(s) y se toma R(s) como un escalón unitario:
ܺ(ܵ) =
7
ܵ(ܵଶ + 7)
Se expresa X(S) en sus fracciones parciales:
ܺ(ܵ) =
1
ܵ
−
ܵ
ܵଶ + 7
Se aplica transformada de Laplace inversa, y por tablas se tiene que:
‫)ݐ(ݔ‬ = 1 − ‫ݏ݋ܥ‬ ൫√7‫ݐ‬൯ 3.11
De la ecuación 3.11 se saca su periodo:
2ߨ݂ = √7
݂ =
√7
2ߨ
ܶ =
2ߨ
√7
= 2.37‫ݏ‬
Se tiene entonces que el periodo del sistema Plataforma-esfera, en lazo cerrado, es
de 2.37s, es decir que el tiempo de establecimiento deseado debe ser menor que el
periodo.
Expuesto lo anterior, se decide diseñar el controlador de manera que se obtengan
las siguientes características en su respuesta:

54
‫ݐ‬௦ௗ = 1‫ݏ‬ ‫ݕ‬ ‫ܯ‬௣ௗ% = 2%
Ahora bien, a partir de estos dos valores se define la ecuación característica
deseada, usando las siguientes expresiones:
ߦ = −
‫݊ܮ‬൫‫ܯ‬௣൯
ටሾ‫݊ܮ‬൫‫ܯ‬௣൯ሿଶ + ߨଶ
‫ݕ‬ ‫ݏݐ‬ =
4
ߦ߱௡
Con los anteriores valores se tiene que:
ߦ = 0.78 ‫ݕ‬ ߱௡ = 5.13
Dado que la ecuación característica (3.9), es de segundo orden, esta debe igualarse
a una ecuación característica deseada de igual orden, por esta razón se usa la
forma de una ecuación característica de segundo orden:
ܵଶ
+ 2ߦ߱௡ܵ + ߱௡
ଶ
= 0
Y con los valores previamente calculados se tiene la siguiente ecuación
característica deseada:
ܵଶ
+ 8ܵ + 26.31 = 0 3.12
Para hallar entonces los valores del controlador C(s) se igualan las ecuaciones (3.9)
y (3.12)
ܵଶ
+ 7‫ܭ‬ௗܵ + 7‫ܭ‬௣ = ܵଶ
+ 8ܵ + 26.31 3.13

55
Se obtiene entonces la ecuación Diofantica (3.13), e igualando término a término se
tiene que:
‫ܭ‬ௗ =
8
7
= 1.14 3.14
‫ܭ‬௣ =
26.31
7
= 3.75 3.15
Reemplazando (3.14) y (3.15) en la ecuación (3.8), se tiene que el controlador PD
puro que permite que el sistema Plataforma-esfera se estabilice en 1 segundo y que
tenga un sobre impulso del 2% es:
‫)ݏ(ܥ‬௉஽ = 1.14ܵ + 3.75 3.16
3.1.2 Controlador PD con filtro N: debido a que el controlador C(S) expuesto en
la función de transferencia (3.16) es impropia, es decir, el orden del numerador es
mayor que el orden del denominador, indica entonces que C(s) es un controlador
no realizable, por esta razón se decide usar un controlador PD como en (3.17).
࡯(࢙) = ‫ܭ‬௣ + ‫ܭ‬ௗ
ܰܵ
ܵ + ܰ
3.17
࡯(࢙) =
൫‫ܭ‬ௗܰ + ‫ܭ‬௣൯ܵ + ‫ܭ‬௣ܰ
ܵ + ܰ
Dicho controlador fue tomado del bloque de configuración del controlador PID de la
plataforma de simulación Simulink. Lo que se pretende con esta expresión es la
aparición de un nuevo polo en la FT del controlador que está en función del
parámetro N, implica que a mayor valor de N corresponde un polo nuevo menos
dominante, es decir, un polo alejado del origen.

56
Donde:
ܲ(ܵ)
‫)ܵ(ܮ‬
=
൫‫ܭ‬ௗܰ + ‫ܭ‬௣൯ܵ + ‫ܭ‬௣ܰ
ܵ + ܰ
Si se procede de la misma manera que el numeral anterior se tiene que:
‫)ܵ(ܮ‬ = ܵ + ܰ
‫)ܵ(ܣ‬ = ܵଶ
ܲ(ܵ) = ൫‫ܭ‬ௗܰ + ‫ܭ‬௣൯ܵ + ‫ܭ‬௣ܰ
‫)ܵ(ܤ‬ = 7
Con los valores anteriores, se procede a sacar la ecuación característica del sistema
Plataforma-esfera, controlado por un PD con filtro N.
Usando la ecuación (3.7), se tiene:
(ܵ + ܰ)ܵଶ
+ ቀ൫‫ܭ‬ௗܰ + ‫ܭ‬௣൯ܵ + ‫ܭ‬௣ܰቁ 7 = 0
ܵଷ
+ ܰܵଶ
+ (7‫ܭ‬ௗܰ + 7‫ܭ‬௉)ܵ + 7ܰ‫ܭ‬௣ = 0 3.18
Para una respuesta deseada de 1s en el tiempo de establecimiento y con un 2% de
sobre-elongación, se tiene una ecuación característica deseada igual a la ecuación
(3.12), pero esta debe ser de 3er orden para poder igualarla con la ecuación (3.18),
esto se logra si se multiplica dicha ecuación por un polo no dominante, así:

57
(ܵଶ
+ 8ܵ + 26.31)(ܵ + 100) = 0
ܵଷ
+ 108ܵଶ
+ 826.59ܵ + 2631.69 = 0 3.19
Se igualan las ecuaciones (3.18) y (3.19)
ܵଷ
+ ܰܵଶ
+ (7‫ܭ‬ௗܰ + 7‫ܭ‬௉)ܵ + 7ܰ‫ܭ‬௣ = ܵଷ
+ 108ܵଶ
+ 826.59ܵ + 2631.69
Igualando término a término se tiene que:
ܰ = 108 3.20
‫ܭ‬௣ =
2631.69
7(108)
= 3.48 3.21
‫ܭ‬ௗ =
826.59 − (7)3.48
7(108)
= 1.06 3.22
Las ecuaciones (3.20), (3.21) y (3.22), corresponden a las ganancias de controlador
PD, reemplazando estas en el controlador (3.17), se tiene que:
‫)ݏ(ܥ‬௉஽ାே = 3.48 + 1.06
108ܵ
ܵ + 108
3.23
La configuración a usar para el sistema Plataforma-esfera controlado por un
controlador P con filtro N, es la que se muestra en la figura 3.3.

58
Figura 3. 3 Configuración del Sistema controlado por un PD con filtro N
3.2 CONTROLADOR POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS
Al final del capítulo 2, se representó el sistema Plataforma-esfera en el espacio de
estados mediante las ecuaciones (2.21) y (2.22), con el fin de diseñar el controlador
por realimentación de estados que se presenta a continuación, pero antes de ir
directamente a calcular las ganancias de realimentación, hay que demostrar primero
que el sistema Plataforma-esfera es Controlable y Observable.
El sistema representado en el espacio de estado, puede verse en su diagrama de
bloques como se muestra en la figura 3.4, donde se aprecian las ubicaciones
correspondientes de las matrices A, B y C, calculadas en el capítulo anterior.
Figura 3. 4 Representación en Espacio de Estados

59
3.2.1 Controlabilidad y Observabilidad
Se dice que un sistema representado en el espacio de estado es completamente controlable
en t=t0, si es posible construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado
inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito entre t0 y t1. Si todos los estados
son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable. En
conclusión, el sistema de la ecuación (2.19) es de estado completamente controlable si y
sólo si la matriz (3.23) de orden n x n, es de rango n. (Ogata, 2003, pág. 782)
ሾ‫ܤ‬ ⋮ ‫ܤܣ‬ ⋮ ⋯ ⋮ ‫ܣ‬௡ିଵ
‫ܤ‬ሿ 3.23
Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t0) se determina a partir
de la observación de y(t) durante un intervalo de tiempo finito entre t0 y t1. Por tanto, el
sistema es completamente observable si todas las transiciones del estado afectan
eventualmente a todos los elementos del vector de salida. Se concluye entonces que el
sistema es completamente observable si y sólo si la matriz (3.24) n x nm es de rango n.
(Ogata, 2003, pág. 786)
‫ۏ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ۍ‬
‫ܥ‬
⋯
‫ܣܥ‬
⋮
‫ܣܥ‬௡ିଵ‫ے‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ې‬
3.24
Las anteriores matrices se denominan: matriz de controlabilidad y matriz de
observabilidad, respectivamente.
Para definir si un sistema es controlable y observable, basta con demostrar que el
determinante de las matrices de (3.23) y (3.24) son diferentes de cero, esto da a
entender que sus columnas son linealmente independientes. La condición de
controlabilidad y de observabilidad, pueden observarse en las expresiones (3.25) y
(3.26) respectivamente.
|‫ܤ‬ ⋮ ‫ܤܣ‬ ⋮ ⋯ ⋮ ‫ܣ‬௡ିଵ
‫|ܤ‬ ≠ 0 3.25

60
ተ
ተ
‫ܥ‬
⋯
‫ܣܥ‬
⋮
‫ܣܥ‬௡ିଵ
ተ
ተ ≠ 0 3.26
De las ecuaciones (2.21) y (2.22) se sabe que:
‫ܣ‬ = ቂ
0 1
0 0
ቃ
‫ܤ‬ = ቂ
0
7
ቃ
‫ܥ‬ = ሾ1 0ሿ
El sistema Plataforma-esfera es de orden 2, entonces su matriz de controlabilidad
está dada por la matriz (3.27):
ሾ‫ܤ‬ ⋮ ‫ܤܣ‬ሿ 3.27
Dando como resultado:
ቚ
0 7
7 0
ቚ = −49 ≠ 0 ‫݈ܧ‬ ‫ܽ݉݁ݐݏ݅ݏ‬ ݁‫ݏ‬ ‫݈ܾ݈݁ܽ݋ݎݐ݊݋ܥ‬
Su matriz de observabilidad es la matriz (3.28)
൥
‫ܥ‬
…
‫ܣܥ‬
൩ 3.28
Dando como resultado:

61
ቚ
1 0
0 1
ቚ = 1 ≠ 0 ‫݈ܧ‬ ‫ܽ݉݁ݐݏ݅ݏ‬ ݁‫ݏ‬ ܱܾ‫݈ܾ݁ܽݒݎ݁ݏ‬
3.2.2 Cálculo del vector de realimentación: una vez demostrado que el sistema
Plataforma-esfera cumple con las condiciones de controlabilidad y observabilidad,
se procede a calcular el vector K de ganancias de realimentación, a partir de los
parámetros deseados expuestos en el numeral 3.1.1, que da como resultado la
siguiente ecuación característica (3.29).
ܵଶ
+ 8ܵ + 26.31 = 0 3.29
Para el cálculo del vector de ganancia de realimentación K, se usa la fórmula de
Ackerman definida por la expresión (3.30).
‫ܭ‬ = ሾ0 0 ⋯ 1ሿሾ‫ܤ‬ ‫ܤܣ‬ ‫ܣ‬ଶ
‫ܤ‬ … ‫ܣ‬௡ିଵ
‫ܤ‬ሿିଵ
Φ(‫)ܣ‬ 3.30
Donde:
Φ(‫)ܣ‬ = ‫ܣ‬௡
+ ߙଵ‫ܣ‬௡ିଵ
+ ߙଶ‫ܣ‬௡ିଶ
… ߙ௡ିଵ‫ܣ‬ + ߙ௡‫ܫ‬
Siendo α los coeficientes de la ecuación característica deseada.
Dado que el sistema Plataforma-esfera, es de segundo orden, y tomando los
coeficientes de la ecuación (3.30), se tiene que:
‫ܭ‬ = ሾ0 1ሿሾ‫ܤ‬ ‫ܤܣ‬ሿିଵ
Φ(‫)ܣ‬
Φ(‫)ܣ‬ = ‫ܣ‬ଶ
+ 8‫ܣ‬ + 26.31‫ܫ‬
ሾ‫ܤ‬ ‫ܤܣ‬ሿିଵ
= ቂ
0 7
7 0
ቃ
ିଵ
= ቂ
0 0.1428
0.1428 0
ቃ

62
Φ(‫)ܣ‬ = ቂ
0 0
0 0
ቃ + ቂ
0 8
0 0
ቃ + ቂ
26.31 0
0 26.31
ቃ = ቂ
26.31 8
0 26.31
ቃ
‫ܭ‬ = ሾ0 1ሿ ቂ
0 0.1428
0.1428 0
ቃ ቂ
26.31 8
0 26.31
ቃ
‫ܭ‬ = ሾ3.75 1.14ሿ 3.31
Con el vector K, el sistema representado en la figura 3.4, queda como el mostrado
en la figura 3.5, con realimentación de los estados multiplicados por el vector (3.31).
Figura 3. 5 Sistema con el Vector de Realimentación K
Este controlador ubica los polos del sistema en un lugar conveniente de manera que
presente un comportamiento deseado, pero este controlador presenta error en
estado estable, para corregirlo, inicialmente se consideró el uso de una ganancia en
la entrada de la referencia del sistema, tal que el error sea cero, pero no es
adecuado este método ya que para cada punto de consigna se debe calcular una
ganancia diferente, para eliminar este inconveniente se usa la configuración
propuesta por Ogata (2003), llamado servosistema tipo 1 cuando la planta tiene un
integrador, y consiste en realimentar la salida y multiplicarla por el primer elemento
del vector K como puede verse en la figura 3.6.

63
Figura 3. 6 Servosistema tipo 1 para planta con integrador
Así las cosas, el vector K de realimentación toma la forma de la expresión (3.32) y
k1 es definido por (3.33).
‫݉ܭ‬ = ሾ0 1.14ሿ 3.32
‫1ܭ‬ = 3.75 3.33
3.2.3 Observador de Estado: en la realidad no es posible siempre medir todos los
estados de un sistema, es por eso que a continuación se calcula el observador de
estado de orden completo para el sistema Plataforma-esfera.
En la sección 3.2.1 se demostró que el sistema es observable, partiendo de ello se
procede a calcular entonces el vector de ganancia del observador de orden
completo.
Para el cálculo del vector L del observador de orden completo se usa la fórmula de
Ackermann tal cual como se muestra en la ecuación (3.34).

64
‫ܮ‬ = Φ(‫)ܣ‬
‫ۏ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ۍ‬
‫ܥ‬
⋯
‫ܣܥ‬
⋮
‫ܣܥ‬௡ିଵ‫ے‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ې‬
ିଵ
‫ۏ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ۍ‬
0
⋯
0
⋮
1 ‫ے‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ې‬
3.34
Donde:
Φ(‫)ܣ‬ = ‫ܣ‬௡
+ ߙଵ‫ܣ‬௡ିଵ
+ ߙଶ‫ܣ‬௡ିଶ
… ߙ௡ିଵ‫ܣ‬ + ߙ௡‫ܫ‬
Donde α son los coeficientes del polinomio característico del observador de orden
completo. Para el caso específico del sistema Plataforma-esfera de segundo orden,
la fórmula de Ackermann quedaría de la siguiente manera:
‫ܮ‬ = Φ(‫)ܣ‬ ൥
‫ܥ‬
⋯
‫ܣܥ‬
൩
ିଵ
ቂ
0
1
ቃ 3.35
Ogata (2003) afirma que la elección de un conjunto de polos en muchos casos, no
es única. Como regla general, los polos del observador deben ser de dos a cinco
veces más rápido que los polos del controlador para asegurarse que el error de
observación tienda a cero rápidamente.
Es importante observar que si el ruido del sensor es considerable (como el caso del sistema
propuesto), se pueden seleccionar los polos de observador para que sean mas lentos que
dos veces los polos del controlador. En este caso la respuesta del sistema estará
fuertemente influenciada por los polos del observador. Si los polos del observador se
localizan a la derecha de los polos del del controlador en el semiplano izquierdo de s, la
respuesta del sistema estará dominada por los polos del observador en lugar de los polos
del controlador. (Ogata, 2003, pág. 861).

65
De acuerdo a lo expuesto, se calculan a continuación dos vectores para el
observador, uno con los polos 2 veces más rápidos que los polos del controlador, y
otro con los polos 2 veces más lentos que los polos del controlador.
‫ݐ‬௦ௗ = 0.5‫ݏ‬ ‫ݕ‬ ‫ܯ‬௣ௗ% = 2%
Ahora bien, a partir de estos dos valores se definen:
ߦ = −
‫݊ܮ‬൫‫ܯ‬௣൯
ටሾ‫݊ܮ‬൫‫ܯ‬௣൯ሿଶ + ߨଶ
‫ݕ‬ ‫ݏݐ‬ =
4
ߦ߱௡
Con los anteriores valores se tiene que:
ߦ = 0.78 ‫ݕ‬ ߱௡ = 10.25
Tomando como referencia la siguiente expresión como ecuación característica:
ܵଶ
+ 2ߦ߱௡ܵ + ߱௡
ଶ
= 0
Se tiene que:
ܵଶ
+ 16ܵ + 105.06 = 0 3.36
Para los polos más lentos que los del controlador, se tiene que:
‫ݐ‬௦ௗ = 2‫ݏ‬ ‫ݕ‬ ‫ܯ‬௣ௗ% = 2%
ߦ = 0.78 ‫ݕ‬ ߱௡ = 2.56

66
ܵଶ
+ 4ܵ + 6.53 = 0 3.37
Tomando las ecuaciones características (3.36) y (3.37), se procede a encontrar su
respectivo vector para el observador de orden completo:
൥
‫ܥ‬
⋯
‫ܣܥ‬
൩
ିଵ
= ቂ
1 0
0 1
ቃ
ିଵ
= ቂ
1 0
0 1
ቃ
Se calcula ϕ(A) tomando la ecuación característica (3.36)
Φ(‫)ܣ‬ = ‫ܣ‬ଶ
+ ߙଵ‫ܣ‬ + ߙ௡‫ܫ‬ = ቂ
0 1
0 0
ቃ
ଶ
+ 16 ቂ
0 1
0 0
ቃ + 105.06 ቂ
1 0
0 1
ቃ
Φ(‫)ܣ‬ = ቂ
0 0
0 0
ቃ + ቂ
0 16
0 0
ቃ + ቂ
105.6 0
0 105.6
ቃ = ቂ
105.6 16
0 105.6
ቃ
‫ܮ‬ଵ = ቂ
105.6 16
0 105.6
ቃ ቂ
1 0
0 1
ቃ ቂ
0
1
ቃ
‫ܮ‬ଵ = ቂ
16
105.6
ቃ 3.38
Ahora con ϕ(A) con los coeficientes de la ecuación característica (3.37)
Φ(‫)ܣ‬ = ‫ܣ‬ଶ
+ ߙଵ‫ܣ‬ + ߙ௡‫ܫ‬ = ቂ
0 1
0 0
ቃ
ଶ
+ 4 ቂ
0 1
0 0
ቃ + 6.53 ቂ
1 0
0 1
ቃ
Φ(‫)ܣ‬ = ቂ
0 0
0 0
ቃ + ቂ
0 4
0 0
ቃ + ቂ
6.53 0
0 6.53
ቃ = ቂ
6.53 4
0 6.53
ቃ
‫ܮ‬ଶ = ቂ
6.53 4
0 6.53
ቃ ቂ
1 0
0 1
ቃ ቂ
0
1
ቃ

67
‫ܮ‬ଶ = ቂ
4
6.53
ቃ 3.39
Hasta aquí se cuenta entonces con un controlador por realimentación de estados
con su vector de realimentación K ya calculado, además de dos observadores: uno
con los polos ubicados a la izquierda de los polos del controlador cuyo
comportamiento es más veloz y el otro a la derecha de los polos de controlador
manteniéndose en el semiplano izquierdo del plano S con un comportamiento más
lento y dominante que los polos del controlados. La configuración de este
controlador en su diagrama de bloques puede verse en la figura3.7.
Figura 3. 7 Servosistema tipo 1 con Observador de Estado

68
4. SIMULACIÓN DEL SISTEMA
A continuación se hacen las respectivas simulaciones del sistema Plataforma-esfera
en sus diferentes configuraciones: lazo abierto, para observar el comportamiento
inestable del sistema, lazo cerrado para confirmar que el periodo de oscilación del
sistema es el mismo que se calculó en el anterior capítulo, y por último la simulación
del sistema controlado mediante los controladores previamente diseñados con el
propósito de comprobar que se cumplan las especificaciones de funcionamiento
establecidas mediante la observación del tiempo de establecimiento y del
porcentaje de sobre impulso de la variable controlada.
Se ha visto a lo largo del trabajo que tanto el modelamiento como el cálculo de los
controladores se han hecho de manera general, es decir, que las representaciones
del sistema y los controladores se han desarrollado solo para una variable, en este
capítulo se contempla la simulación del sistema Plataforma-esfera como una
integración del comportamiento de la variable en el eje x y de la variable en el eje y,
y donde cada controlador se aplica de manera independiente sobre el ángulo Beta
de cada eje.
Cabe mencionar que los esquemas que se muestran a continuación fueron
realizados en la plataforma de simulación Simulink de Matlab, y que para el caso de
los controladores se usaron sus componentes de manera estricta y que no se hizo
uso de los bloques dispuestos por el programa, es decir que cada controlador se
muestra de manera explícita.

69
4.1 SISTEMA EN LAZO ABIERTO
Para efectos de observación, y a partir de esta simulación, la magnitud de la entrada
tipo escalón será de 0.5 para la posición en x y 0.75 para la posición en y, cuyas
respuestas serán representadas con los colores rojo y azul, respectivamente.
4.1.1 Representación en Función de Transferencia: la figura 4.1, muestra el
diagrama de bloques del sistema plataforma-esfera tanto en x como en y, en lazo
abierto. Se estimula con una entrada tipo escalón con diferentes magnitudes para
cada eje del sistema.
Figura 4. 1 Sistema Plataforma-esfera en lazo abierto
La respuesta del sistema puede verse claramente en la figura 4.2, obsérvese que el
comportamiento es completamente inestable con un crecimiento del tipo función
cuadrática. Se puede ver que la respuesta de cada eje ante cada escalón mantiene
la distancia asociada a la magnitud de cada entrada.

70
Figura 4. 2 Respuesta del sistema ante dos entradas tipo escalón
4.1.2 Representación en Espacio de Estados: se evidencia en la figura 4.3, como
se involucran en el sistema las matrices A, B y C calculadas en el capítulo 2.
Figura 4. 3 Representación del sistema en el Espacio de estados

71
Los estados del sistema Plataforma-esfera están representados en la figura 4.4,
obsérvense las dos líneas superiores, estas representan la velocidad de la esfera,
mientras que las dos subsiguientes representan la posición.
Figura 4. 4 Estados del sistema
4.2 SISTEMA EN LAZO CERRADO
Con el propósito de comprobar el periodo del sistema en lazo cerrado que fue
calculado en el capítulo anterior, se cierra el lazo del sistema tal cual como se
muestra en la figura 4.5, cabe aclarar que dicha figura corresponde al sistema
controlado mediante un controlador P con ganancia unitaria.
Figura 4. 5 Sistema Plataforma-esfera con controlador P de ganancia unitaria

72
Evidentemente se observa en la figura 4.6 que el parámetro corresponde al
calculado, se puede ver un periodo de oscilación entre 2.3s a 2.4s, muy apropiado
para un 2.37s calculado analíticamente.
Figura 4. 6 Respuesta del sistema con un controlador P de ganancia unitaria
4.3 SISTEMA CONTROLADO
4.3.1 Control PD Puro: inicialmente se considera un controlador PD
correspondiente al calculado en el numeral 3.1.1. Obsérvese que no se usó el
bloque PID ofrecido por Simulink, en su lugar se usó cada parte del controlador PD
de manera explícita, es decir, el error es llevado a un bloque derivador y la salida
de este es multiplicada por la ganancia derivativa y su resultado es sumado por el
error multiplicado por una ganancia proporcional, de acuerdo con el controlador
previamente calculado, de esa manera es definida la ley de control.

73
Figura 4. 7 Control PD puro sin saturación
En la figura 4.8 se pueden ver las salidas del sistema controlado en color azul y rojo,
en color negro se representan las entradas del sistema y en color verde están las
señales de control que hacen que el sistema responda adecuadamente con los
parámetros preestablecidos.

74
Figura 4. 8 Respuesta del Sistema ante un PD puro sin saturación
Hay algo interesante en la figura 4.8 para resaltar, por una parte está el
cumplimiento exacto de los tiempos de establecimiento y los sobre-impulsos del
sistema, establecidos en el capítulo anterior, y por otra parte, puede verse
detenidamente que las señales de control superan muy por encima los límites
establecidos por su zona lineal alrededor del punto de equilibrio. Para eliminar esto,
se ubica a la salida de la señal de control una saturación, tal cual como lo muestra
la figura 4.9, para que limite los valores de dicha señal, con esto se obliga al sistema
a permanecer dentro de su zona lineal y evitar en la implementación que este se
comporte como un sistema no-lineal.

75
Figura 4. 9 Control PD puro con saturación
Observese en la figura 4.10, como se acota la señal de control en el instante en el
que se estimula el sistema, esto proboca que los parametros establecidos se
muevan del lugar deseado haciendo que el sobre impulso se mantenga, pero que
el tiempo de establecimiento aumente. Cabe con esto concluir entonces que al
limitar la señal de control el sistema tarda mas tiempo en estabilizarse.

76
Figura 4. 10 Respuesta del Sistema ante un PD puro saturado
4.3.2 Control PD con filtro N: para que el controlador PD puro se comporte como
un controlador realizable, es necesario agregarle un polo de manera que este no
afecte su respuesta, es por eso que se hace uso del parámetro N que debe ser lo
suficientemente grande para que dicho polo agregado sea no dominante. En la
figura 4.11 puede verse la configuración del controlador PD con el parámetro N.
Obsérvese que el bloque derivador desaparece y en su lugar hay un bloque
integrador debido al polo que fue necesario ubicar, también pueden verse las
ganancias calculadas en el numeral 3.1.2.

77
Figura 4. 11 Sistema controlado por un controlador PD realizable

78
Las respuestas observadas en la figura 4.12 corresponden entonces al sistema
controlado por un PD con filtro N, una vez más se puede ver que el tiempo de
establecimiento es mayor que el deseado debido a la saturación en la señal de
control.
Figura 4. 12 Respuesta del sistema ante un controlador PD realizable
4.3.3 Control por realimentación de Estados: para el control del sistema por
realimentación de estados es necesario realimentar estos, multiplicándolos por el
vector de realimentación K, calculado en el numeral 3.2.2, que pueden verse
claramente en la figura 4.13 como K_x y K_y.

79
Figura 4. 13 Sistema controlado por la realimentación de sus Estados

80
La figura 4.14 muestra claramente que este controlador estabiliza el sistema, y en
el anterior capítulo se demuestra que el controlador ubica los polos en el lugar
deseado, pero tiene el problema de mantener un error en estado estable que para
este caso está muy por encima del 100% del valor final de la variable controlada.
Figura 4. 14 Respuesta del sistema ante la realimentación de sus Estados
4.3.4 Servosistema tipo 1: con el propósito de eliminar el error en estado estable
observado en la figura 4.14, (Ogata, 2003) recomienda el uso de un servosistema
tipo uno con integrador aplicado a plantas que poseen un integrador, bastante
conveniente para el sistema Plataforma-esfera. El controlador sugerido, está
conformado por un vector Km correspondiente al vector K, cuyo primer elemento es
cambiado por cero, tal cual se observa en la figura 4.15, y la salida es realimentada
y multiplicada por el primer elemento del vector K.

81
Figura 4. 15 Sistema de control servo tipo 1

82
Figura 4. 16 Respuesta del sistema controlado por un servo tipo 1
Obsérvese la figura 4.16, el error en estado estable es reducido a cero con el
controlador propuesto. El tiempo de establecimiento sigue siendo un poco mayor al
deseado debido a la saturación de la señal de control.
4.3.5 Servosistema tipo 1 con observador de estado completo: como se explica
al final del capítulo 3, es necesario el uso de un observador de estados de orden
completo para el control del sistema plataforma-esfera real. En la figura 4.17 se
puede observar la conformación del observador en cuestión dado por las matrices
A, B, C y L, esta última calculada en el numeral 3.2.3 del anterior capitulo.
Cabe mencionar que la representación de la planta en este caso específico está en
Función de transferencia, de la cual se toman la entrada y la salida y se llevan estas
al observador de estado. Se hizo de esta manera porque representa con mayor

83
sentido la realidad, ya que allí no se obtienen las matrices involucradas en el sistema
Plataforma-esfera en variables de estado.
Figura 4. 17 Servosistema tipo 1 con observador

84
Figura 4. 18 Respuesta del sistema ante un servo tipo 1 con observador
La respuesta del sistema controlado por realimentación de sus estados con un
observador de orden completo, es idéntica a la observada anteriormente, obsérvese
en la figura 4.18, el tiempo de establecimiento y el sobre-impulso son los mismos
que los observados en la figura 4.16.
4.4 COMPARATIVO
Para determinar cuál de los dos controladores anteriormente expuestos es el mejor,
se decide usar como parámetro de medición la integral del valor absoluto del error,
y el mejor controlador es aquel que presente menor error. Esto se logra usando el
diagrama de la figura 4.19 correspondiente al diagrama de bloques diseñado en
Simulink.

85
Figura 4. 19 Integral del Valor Absoluto del Error
El tiempo de simulación usado es de 2.5 segundos con el fin de permitir que el
sistema se estabilice y el error al final sea cero.
Para la fase de simulación de este proyecto, se puede decir que ambos
controladores son buenos para el sistema propuesto ya la integración del valor
absoluto del error en los dos controladores son el mismo.

86
5. CONTROL DEL SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA REAL
Como culminación de este trabajo y con el propósito de cumplir con su último
objetivo específico, se aplican los controladores previamente calculados al sistema
Plataforma-esfera real que está compuesto por tres etapas: una etapa mecánica,
una etapa electrónica y una etapa de software.
El propósito de este capítulo es describir cada una de las etapas mencionadas, en
donde inicialmente se comienza por mostrar el diseño del sistema mecánico en 3D,
la descripción de cada una de sus partes y su función, posteriormente, en la etapa
electrónica, se menciona la función de la tarjeta “ARDUINIO UNO” y sus
componentes a usar, y por último se aborda el algoritmo de control desarrollado en
Labview, el cual está encargado de la interfaz gráfica, el procesamiento de las
señales y el cálculo de la ley de control.
En cuanto se integren estas tres etapas y antes de poner en marcha el sistema, se
deben realizar los respectivos ajustes mecánicos y determinar la relación que hay
entre los ángulos de los servomotores y los ángulos la plataforma del sistema. Estos
últimos ajustes deben de estar asociados al algoritmo de control y cabe mencionar
que a medida que se vaya poniendo en marcha el control, se deben realizar, de ser
necesarios, los ajustes requeridos en cuanto a las ganancias de los controladores
con el propósito de mejorar la respuesta del sistema controlado.
Al final se obtiene el sistema controlado, con sus respectivas graficas en tiempo real
donde se pueden observar el valor de la respuesta del sistema, los puntos de
consigna y la ley de control.

87
5.1 MECÁNICA
El sistema Plataforma-esfera está conformado por dos piezas de acrílico de 0.35 m2
cada una, la primera corresponde a la base con un grosor de 10mm, y la segunda
corresponde a la plataforma con un grosor de 3mm. Entre ellas se encuentran las
piezas que se describen a continuación.
5.1.1 Rótula: es la encargada de ocasionar los grados de libertad del sistema.
Sobre ella reposa la plataforma que cuenta con un área de 0.35m2. Está hecha en
Politetrafluoroetileno (teflón) y su pieza principal es un rodamiento tipo rotula. Su
rango de operación está entre -15°y 15°. Su diseño puede verse en la figura 5.1.
Figura 5. 1 Rótula
5.1.2 Ejes: están conformados por una pieza en acero inoxidable y en uno de sus
extremos se encuentra una pequeña rotula para permitir los cambios de ángulos de
la plataforma. Los ejes están debidamente roscados para proporcionar la posibilidad
de ajuste de la plataforma con respecto a los servomotores, tal cual se ve en la
figura 5.2. Estos ejes son los encargados de convertir el movimiento rotacional de
los servomotores en movimiento lineal que es llevado a la plataforma para crear los
ángulos de inclinación necesarios.

88
Figura 5. 2 Eje
5.1.3 Servomotores: como se puede observar en la figura 5.3, los servomotores
están fijados sobre un soporte en acrílico, de tal manera que quede a sobre-medida
en la base para ocasionar el movimiento de la plataforma en el eje correcto.
Figura 5. 3 Servomotor-Soporte
5.1.4 Diseño completo: en la figura 5.4 se puede apreciar la integración de los
elementos recién descritos que conforman en su totalidad el diseño mecánico del
sistema Plataforma-esfera.

89
Figura 5. 4 Diseño mecánico sistema-Plataforma-esfera
5.2 ELECTRÓNICA
La electrónica usada para el control del sistema Plataforma-esfera es asumida en
gran parte por una tarjeta “ARDUINO UNO”, la cual es encargada de transmitir la
señal de control mediante dos de sus PWM tomados de los puertos 3 y 5, como se
aprecia en la figura 5.5.
Figura 5. 5 Arduino y Servomotores
Fuente: Librería Arduino-Labview

90
La programación de esta se hace mediante una librería disponible para Labview,
que permite la comunicación entre esta plataforma y la usada originalmente para
programar el microcontrolador que reposa en el ARDUINO. Cabe mencionar que la
alimentación de 5V necesarios para alimentar la tarjeta, son tomados de la fuente
que alimenta a los servomotores, de esta manera, tanto la tierra de los servomotores
como la tierra del ARDUINO, se hacen común.
En este punto, el sistema Plataforma-esfera real se ve como lo muestra la figura 5.6
Figura 5. 6 Sistema mecánico con ARDUINO UNO

91
5.3 SOFTWARE
Los algoritmos de control y la interfaz de usuario son desarrollados en Labview,
aprovechando, no solo que en este se puede escribir el código necesario para el
control del sistema, sino también el uso de dos herramientas esenciales: la
mencionada anteriormente, que es la que permite enviar la señal de control a los
servomotores, y el “Vision and Motion” que es una herramienta para el
procesamiento de imágenes, con ella se puede obtener, a partir de una cámara
digital, la señal de realimentación del sistema, en donde se puede saber en tiempo
real la posición de la esfera sobre la plataforma.
El algoritmo en Labview, está conformado por cuatro partes: Vision and Motion,
Arduino, Control y Salida. A continuación se describe cada una de sus partes y su
función en el programa general.
5.3.1 Vision and Motion: es una librería desarrollada por National Instruments cuyo
propósito es desarrollar aplicaciones a partir de visión artificial. De esta librería y
para este trabajo en específico se usan dos bloques: Vision Acquisition y Vision
Assistant.
Vision Acquisition es el bloque que permite obtener, a partir de una cámara digital,
imágenes estáticas o continuas con el propósito de que sean procesadas según la
aplicación. Para este caso específico se usa una cámara “Logitech HD 720p”. En el
momento que es usado el bloque, este detecta la cámara conectada mediante el
puerto USB de manera automática. En la imagen 5.7, se puede ver el resultado
después de hacer la configuración inicial de dicho bloque.

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Figura 5. 7 Código en Labview del Vision Acquisition
Fuente: Librería Arduino-Labview
Vision Assistant, este bloque fue desarrollado para integrar muchas de las
funciones que contiene individualmente la librería Vision and Motion, con el objetivo
de brindar una interfaz de usuario más amigable y coherente. En él se puede hacer
un algoritmo secuencial de procesamiento de imágenes. Para el caso del sistema
Plataforma-esfera, se usaron cinco sub-bloques diferentes para obtener al final las
coordenadas x,y de la esfera, en pixeles.
En la figura 5.7, se pueden ver los sub-bloques usados para obtener el resultado
final, obsérvese que hay una imagen original al inicio, correspondiente a la imagen
a manipular, seguido de esta, cada sub-bloque realiza una función específica a la
imagen resultante.
Figura 5. 8 Sub-bloques del Vision Assistant

93
En la imagen 5.9 se puede apreciar el resultado del algoritmo que permite capturar
y procesar la imagen, que en este caso corresponde al video continuo de una
plataforma de 0.35m2 de color negro y sobre ella una esfera de 3.5cm de diámetro
color naranja. Estos dos colores fueron escogidos para dar mayor contraste y
permitir que el programa detectara sin mayor problema a la esfera.
Figura 5. 9 Obtención de la Posición de la Esfera en x y y
5.3.2 Arduino: como se mencionó anteriormente, el Arduino es la tarjeta electrónica
encargada de enviar la señal de control a los servomotores, este proceso es logrado
desde Labview, usando varias herramientas proveídas por la librería que permite la
asociación entre Labview con el ARDUINO UNO.
De los puertos 3 y 5 de la tarjeta, se toman los PWM necesarios para manipular a
los servomotores, esto se logra configurando los bloques que se perciben en la

94
imagen 5.10, obsérvese que al inicio del programa, es decir, lo que está por fuera
del ciclo while, son bloques de inicialización que permiten configurar la
comunicación entre el Arduino y Labview, y los valores iniciales que deben tener los
puertos 3 y 5 para que se puedan usar como PWM. Al interior del ciclo while, pueden
verse dos bloques que son los encargados de recibir el cyle duty, que en este caso
es la señal de control, y a su vez genera la salida con un Ancho de Pulso Modulado
correspondiente para ubicar a los servomotores en la posición deseada.
Figura 5. 10 Configuración ARDUINO en Labview
5.3.3 Control: En esta fase se puede observar el algoritmo de control usado para
estabilizar el sistema Plataforma-esfera. En total son dos algoritmos de control: un
controlador PD con un parámetro N, y un controlador por realimentación de estados
con observador de orden completo.
Control PD, cuyo algoritmo con sus ganancias calculadas previamente, se pueden
observar en la imagen 5.11, allí se establecen una serie de sub-rutinas
representadas por dos bloques creados por el autor. El bloque que lleva el nombre

95
de PID, es un controlador que recibe como parámetros de entrada al error, las
ganancias Kp, Ki, Kd y N, y entrega la señal de control para reducir el error a cero.
Las ganancias mencionadas son calculadas por el bloque con una ‘N’ de color rojo
cuyos parámetros de entrada son el sobre-impulso deseado, en porcentaje (Mp%),
el tiempo de establecimiento deseado, en segundos (ts) y un polo no dominante que
para este caso es -100. La salida del controlador está saturada entre 0.26 y -0.26
correspondientes a los límites de la señal de control para que el sistema
permanezca en su zona lineal. Estos valores corresponden a la inclinación en
radianes que debe de tener la plataforma para ubicar la esfera en el lugar deseado,
por esa razón se ve que esta salida es multiplicada por una constante para
convertirla en grados cuyo valor es llevado a los servomotores.
Figura 5. 11 Código controlador PD
Cabe mencionar que el bloque que calcula las ganancias está diseñado única y
exclusivamente para el sistema Plataforma-esfera, dado que solo genera las
ganancias para un controlador PD con filtro N a partir del modelo del sistema.
Además, este ciclo while tiene un retardo de 1ms para que la velocidad del

96
controlador no supere la velocidad de la realimentación. El set point es dividido por
mil para ubicar allí el valor de la posición en milímetros.
Control por realimentación de estados con observador de orden completo,
cuyo algoritmo puede verse en la gráfica 5.12. Puede verse que la ley de control
está en función de dos cálculos importantes, el primero corresponde a los estados
estimados por el observador en la parte derecha del diagrama, cuyos parámetros
de entrada son las matrices A, B C y L, y la entrada y salida del sistema, y a partir
de estos entrega un vector correspondientes a la posición y velocidad de la esfera.
La segunda parte importante se encuentra en la parte izquierda del diagrama donde
está el vector Km que se multiplica por los estados recién estimados y en la parte
superior el error multiplicado por K1. Estos dos valores sumados determinan el valor
de la señal que hace que el sistema se controle.
Figura 5. 12 Controlador por realimentación de Estados

97
Es importante destacar que en este caso, a diferencia del anterior, los valores de
Km, K1 y L no están siendo calculados por ninguna sub-rutina ya que demanda una
gran cantidad de recurso de máquina, lo que hace que el sistema sufra retardos tan
considerables que comprometen la estabilidad de sistema controlado.
5.3.4 Salida: corresponde a la interfaz gráfica que se puede observar en la figura
5.13 y al diagrama usado para generar las gráficas, representado en la figura 5.14.
En ambas se puede ver que las unidades escogidas para la observación de las
variables es en mm y que en ellas se pueden ver los valores del set point de la
posición de la esfera y de la señal de control.
Figura 5. 13 Interfaz gráfica
Figura 5. 14 Diagrama del código para la salida

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