Pendulo invertido rotante

Construcción y Diseño de Controladores
de un Péndulo Invertido Rotante
Sebastián Mallo
Virginia Mazzone
Director: Ing. Roberto Saco
Péndulo Invertido Rotante
Proyecto Fin de Carrera
Ing. Automatización y Control Industrial
Departamento de Ciencia y Tecnolog´ıa
Universidad Nacional de Quilmes
11 de febrero de 2003

Este informe describe el proyecto de fin de carrera Construcción y Diseño de Controladores
de un Péndulo Invertido Rotante, realizado por Sebastián Mallo y Virginia Mazzone, para la
carrera Ingenier´ıa en Automatización y Control Industrial dependiente del Departamento de
Ciencia y Tecnolog´ıa de la Universidad Nacional de Quilmes. Este proyecto fue realizado
bajo la supervisión del profesor Ing. Roberto Saco.
El informe fue tipeado en LATEX y pdfLATEX usando la clase book con los paquetes ba-
bel(spanish) y hyperref. La familia de fuentes utilizada es bookman para texto, y
mathpple para matemática.
Florencio Varela, 11 de febrero de 2003.

Resumen
Este informe sintetiza la construcción de un péndulo invertido rotante y su posterior con-
trol a través de una PC. Utilizamos como actuador un motor de corriente continua y
sensamos los ángulos del brazo rotatorio y del péndulo con un encoder incremental y un
sensor magnético respectivamente.
Construido el sistema lo modelizamos matemáticamente, utilizamos como herramienta
las ecuaciones de Euler-Lagrange. Una vez obtenido el modelo, e identificado, procedimos
al diseño de diversos controladores: control en cascada y control por realimentación de
estados. Para verificar el desempeño de los controladores diseñados, simulamos el modelo
no lineal obtenido en SIMULINK junto con los controles.
Para poder implementar el control por realimentación de estado, fue necesario diseñar
un observador para estimar aquellas variables de estado que no podemos medir. Una
vez diseñado el observador, obtuvimos el desempeño deseado, salvo al pretender que el
brazo siga referencias constantes. Por otro lado, la implementación del control en cas-
cada fue inmediata ya que solo necesitamos las mediciones que tenemos. Para concluir,
diseñamos una variante robusta del control en realimentación de estado, acción integral,
además solucionamos el problema de seguimiento de referencias, la implementamos sa-
tisfactoriamente, obteniendo as´ı el mejor desempeño.
La implementación la realizamos utilizando una placa de adquisición de datos junto
con el software MATLAB, SIMULINK, Real Time Workshop y Real Time Windows Target, que
nos permitieron el control en tiempo real.

Índice General
Resumen iii
Introducción vii
0.1 Formulación del Problema y Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
0.2 Contenido del Informe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
1 Descripción del Sistema 1
1.1 Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Programa de Simulación y Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Adquisición de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Limitaciones debidas al Actuador (Motor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Limitaciones debidas a Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Modelización Matemática del Sistema 7
2.1 Ecuaciones de movimiento del péndulo invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Modelo Matemático de un Motor de CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Representación en Modelo de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Linealización del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Representación Entrada-Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Simplificación del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Ajuste de los Parámetros en forma Aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Diseño de Controladores y Simulación 17
3.1 Control en Cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Diseño de K2(s) por Asignación de Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2 Diseño de K1(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3 Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Control por Realimentación de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Diseño de la Matriz K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Seguimiento Robusto: Acción Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 Estimadores de las variables de Estado no Medidos . . . . . . . . . . . 29
3.2.4 Observador de las variables de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.5 Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Ensayos de Controladores sobre el Sistema Real 37
4.1 Implementación del Control en Cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Implementación del Control en Realimentación de Estados . . . . . . . . . . . 39
4.3 Implementación de la Acción Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

vi Índice General
5 Análisis del efecto de las cuantizaciones y de las perturbaciones del motor 43
5.1 Disminución en la cuantificación del Actuador y de los Sensores . . . . . . . . 43
5.2 Mejoras f´ısicas del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Conclusiones 47
A Descripción detallada de los componentes del Sistema 49
A.1 Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.1.1 Especificaciones de la PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.1.2 Placa de Adquisisción de Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.2 Actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.3 Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A.3.1 Encoder Incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A.3.2 Sensor Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliograf´ıa 55

Introducción
El objetivo de este trabajo es la aplicación de los conocimientos adquiridos a lo largo
de la carrera, donde nos centramos en el diseño de controladores. Para ello elegimos
como sistema un péndulo invertido rotante. Muchas Universidades del mundo poseen
un péndulo invertido para demostrar resultados de control. La razón por la cual este
problema es interesante desde el punto de vista de control es por que ilustra muchas de
las dificultades asociadas con problemas de control del mundo real.
0.1 Formulación del Problema y Objetivos
El péndulo invertido rotante consiste en un brazo giratorio horizontal, el cual posee en su
extremo una barra vertical la cual gira libremente alrededor de un eje paralelo al brazo,
como podemos apreciar en la Figura 1.
m, g
I, l
r
z
x
a
θ
y
ψ
Figura 1: Diagrama del péndulo invertido rotante
Dado que nuestra Universidad no cuenta con un Péndulo Invertido Rotante, por su alto
costo, nos propusimos como objetivo del trabajo, la construcción del mismo. Mientras
que la especificación de diseño de los controladores que nos propusimos, es mantener la
barra, de ahora en más péndulo, en forma vertical mediante la aplicación de una fuerza
en el brazo. Este proceso se ve intuitivamente a través del ejemplo de tratar de mantener
una escoba en forma vertical con una mano. Una especificación secundaria es controlar
el brazo en una posición determinada. Estos objetivos fueron alcanzados implementando
los controladores por medio de una PC.
El proceso de diseño de un sistema de control requiere de los siguientes pasos, seg ún
[4]:
1. Estudiar el sistema a controlar y decidir qué tipo de sensores y actuadores utilizar y
dónde ubicarlos.
2. Modelar el sistema resultante a controlar.

viii Introducción
3. Simplificar el modelo si es necesario para hacerlo más fácil.
4. Analizar el modelo resultante, determinar sus parámetros.
5. Decidir las especificaciones de desempeño.
6. Decidir el tipo de control a utilizar.
7. Diseñar un controlador que alcance las especificaciones, si es posible, si no, modifi-
car las especificaciones.
8. Repetir desde 1 si es necesario.
9. Elegir hardware y software e implementar el controlador.
10. Ajustar el controlador on-line si es necesario.
0.2 Contenido del Informe
Este informe consta de cinco cap´ıtulos y un apéndice. En el Cap´ıtulo 1 describimos
cada uno de los componentes del sistema a controlar, de los sensores y del controlador.
En el Cap´ıtulo 2 modelizamos matemáticamente el sistema, utilizando las ecuaciones de
Euler-Lagrange, linealizamos alrededor del punto donde queremos controlar al sistema y
a partir de ciertas consideraciones, obtuvimos un modelo simplificado del mismo. En el
Cap´ıtulo 3 diseñamos los controladores: control en cascada y realimentación de estados a
partir del modelo lineal simplificado, realizando simulaciones para analizar su desempeño
teniendo en cuenta las alinealidades del sistema. En el Cap´ıtulo 4 implementamos dichos
controladores en el sistema real, verificando los resultados obtenidos por simulación. En
el Cap´ıtulo 5 analizamos el efecto de las cuantizaciones y de las perturbaciones utilizando
simulaciones. En el Capitulo 6 mostramos las conclusiones generales del trabajo. En el
Apéndice A detallamos los componentes descriptos en el Cap´ıtulo 1.
Por último, queremos agregar que este proyecto es una contribución al laboratorio de la
carrera para que otros alumnos puedan seguir profundizando conocimientos y aplicarlos
en un sistema real. En realidad este fue nuestro primer objetivo y estamos orgullos de
haber podido devolver de alguna manera todo lo que recibimos durante estos años.

Cap´ıtulo 1
Descripción del Sistema
En la introducción describimos el sistema sin entrar en detalle de la fuente de movimiento
ni que mediciones debemos realizar para lograr las especificaciones de control propues-
tas. El sistema de movimiento del brazo es básicamente un motor de corriente continua,
mientras que intuitivamente de las especificaciones planteadas podemos deducir que es
necesario medir el ángulo del péndulo y del brazo, en 3.2 demostraremos que esta condi-
ción es necesaria y suficiente.
En la etapa de diseño es de gran utilidad contar con programas que nos permita simu-
lar de forma sencilla sistemas dinámicos en una PC. Estos programas nos proporcionan
un ambiente flexible de trabajo a la hora del diseño y análisis del funcionamiento de dis-
tintos controladores o bien del comportamiento del sistema a lazo abierto. Lo interesante
de esto ser´ıa poder contar con ese ambiente pero no solo para ser utilizado en simulacio-
nes y luego programar el controlador en un microprocesador o un PLC que interactuarán
con el sistema real. Cualquier modificación que queramos realizar sobre el controlador
implica tener que grabar nuevamente el programa en la memoria del microprocesador o
PLC, y en una etapa de diseño en la cual se realizan muchas modificaciones esto resulta
engorroso. Por dicha razón, nuestra idea fue implementar el control a través de una PC.
En la Figura 1.1 podemos ver un diagrama de los componentes del sistema y del flujo de
señales, que sintetiza lo mencionado anteriormente.
Actuador Sensores-

Sistema fisico
Controlador
Figura 1.1: Diagrama del lazo de control
El bloque Sensores representa los sistemas de medición utilizados, el bloque Actuador
representa el sistema de movimiento del brazo y el bloque Controlador la implementación
del controlador. En este capitulo detallaremos cada uno de los bloques que forman parte
del sistema.

2 Descripción del Sistema
1.1 Controlador
La implementación del controlador la realizamos a través de una PC, la cual cuenta con
una placa adquisidora de datos, que es nuestro nexo entre la PC y el sistema real. El
conjunto de programas que utilizamos para el manejo de la placa adquisidora y para la
simulación e implementación de los controladores en la PC son el Real Time Workshop,
Real Time Windows Target [9], MATLAB y SIMULINK. En el diagrama en bloques de la
Figura 1.2 se sintetiza la implementación del controlador.
Placa de
Adquisicion de Datos
Sensores Actuador
Programa de
Simulacion y
Control
Driver
--
6
?
6
?
CONTROLADOR
Figura 1.2: Diagrama de bloques del Controlador
1.1.1 Programa de Simulación y Control
El programa utilizado para las simulaciones y la implementación del control es el SIMU-
LINK. SIMULINK es un paquete de programas para modelado, simulación y análisis de
sistemas dinámicos. Soporta sistemas lineales y no lineales, modelados en tiempo con-
tinuo, discreto o un h´ıbrido de ambos. Las simulaciones son interactivas, es decir, se
pueden cambiar parámetros on-line e inmediatamente ver qué está sucediendo. Para el
análisis de los sistemas se pueden utilizar las herramientas de análisis de MATLAB R . Pa-
ra la implementación de los controladores se utilizaron también los programas Real Time
Workshop y Real Time Windows Target, los cuales nos permiten la ejecución en tiempo
real.
• Real Time Workshop. Es un generador de código en lenguaje C a partir de diagramas
en bloques de SIMULINK. Además construye programas capaces de ser ejecutados en
tiempo real en una gran variedad de entornos, incluyendo dispositivos como micro-
controladores, placas dedicadas o DSP.
• Real Time Windows Target. Es un programa que permite ejecutar programas, com-
pilados en lenguaje C a través del Real Time Workshop, en una PC bajo sistema
operativo Windows en tiempo real.
1.1.2 Adquisición de datos
Placa de Adquisición de Datos La placa adquisidora que utilizamos es una Interfaz
Múltiple para PC de Electroqu´ımica Delta S.R.L. para Slot ISA de PC. Si bien es una placa

1.2 Actuador 3
de bajo costo, cuenta con los requisitos que demanda nuestro proyecto, veamos algunas
de sus principales caracter´ısticas:
• 8 entradas digitales.
• 8 salidas digitales.
• 8 entradas analógicas de 0V a 5V ó 0V a 5.12V con una resolución de 8 bits.
• 2 salidas analógicas de 0 a 5V ó 0V a 5.12V con una resolución de 8 bits.
Driver La forma en la que interact úa esta placa con los distintos programas es a través de
registros o direcciones de memoria de la PC. Las distintas funciones de la placa se efect úan
por medio de operaciones de lectura y escritura en dichas direcciones. Las secuencias de
lectura y escritura sobre estas direcciones de memoria se realizan a través de un programa
denominado driver.
1.2 Actuador
A continuación citamos algunas de las caracter´ısticas principales del motor de corriente
continua que, como mencionamos anteriormente, es quién proveerá el movimiento del
brazo:
• Sin escobillas.
• Tensión nominal de alimentación: 24V.
• Consumo de corriente: 2A.
• Reducción: a engranajes, 1:130.
En la Figura 1.3, mostramos el diagrama de bloques del Actuador.
Bloque
PC

-
--
H
Puente
On/OffPWM
Generador
Dir
M
Figura 1.3: Diagrama de bloques del Bloque motor
El Generador de PWM, es el encargado de generar una señal cuadrada, con tiempo
activo proporcional a una señal de 0 a 5V proveniente de la placa de adquisición de datos.
Mientras la señal de dirección proviene de una salida digital.
El Puente H es la etapa de potencia e inversor de marcha que alimenta al motor.

1.2.1 Limitaciones debidas al Actuador (Motor)
Los actuadores son origen de limitaciones de desempeño en control. En particular, consi-
deraremos
• restricciones en actuación m´ınima, y
• restricciones en actuación máxima.
Estas restricciones pueden ser tanto en amplitud, como en velocidad.
Restricciones de Actuación M´ınima
Una limitación frecuente es la imposibilidad de efectuar actuaciones arbitrariamente pe-
queñas. Un caso t´ıpico es el de un controlador que act úa mediante un dispositivo cuan-
tizado. En nuestro caso la actuación la realizamos a través de una salida analógica de la
placa adquisidora que, como podemos ver en A.1, entrega una tensión de 0-5V a través de
un conversor digital/analógico de 8 bits. Por lo tanto tendremos solo 256 niveles distintos
de actuación.
Cuando la actuación está cuantizada, el m´ınimo error estático de seguimiento estará
limitado por el umbral de cuantización del actuador en general no podrá conseguirse error
nulo en régimen permanente. Otro caso en que existen limitaciones de actuación m´ınima
se origina en la existencia de elementos mecánicos con fricción estática (el actuador ”se
pega”).
Restricciones de Actuación Máxima
En la práctica, todos los actuadores tienen l´ımites máximos de actuación, que pueden
alcanzarse si la señal de control experimenta picos elevados o cambios bruscos en la
referencia, y as´ı, el actuador satura.
El limitador saturación se define, Figura 1.4, por
u(t) = sat( û(t))) =



umax si û(t) umax,
û(t) si umin ≤ û(t) ≤ umax,
umin si û(t) umin.
u(t)
û(t)
umax
umax
umin
umin
Figura 1.4: Saturación
La señal máxima de actuación umax es 15V y la m´ınima umin es −15V, si bien la tensión
nominal del motor es 24V. Elegimos este valor de tensión ya que en las simulaciones
previas el valor de tensión en el régimen permanente rondaba los ±2V. Si utilizamos como
tensión máxima los 24V, debido a la discretización de la placa de adquisición de datos, la
m´ınima actuación es de 24
255 = 0.0941. Es decir, en el rango ±2V tendremos 42 niveles de
actuación distintas, en cambio, si tomamos como actuación máxima 15V aumenta a 68.
Con este razonamiento, una pregunta ser´ıa por qué no bajar más la tensión. El problema
se presenta cuando, a menor tensión, el motor se mueve con menos velocidad, no teniendo
la suficiente reacción.

1.3 Sensores 5
1.3 Sensores
Como vimos anteriormente, las variables del sistema que debemos medir son el ángulo del
brazo y el ángulo del péndulo. En cada uno de los casos utilizamos métodos de medición
diferentes, por lo tanto veamos a cada uno en forma separada.
La descripción detallada de los sensores la encontramos en A.3.
Medición del Ángulo del Brazo En este caso utilizamos un encoder incremental. Una de
las ventajas de este tipo de sensor de ángulo, es que el rango de medición es ilimitado.
Mientras que la mayor desventaja es que los pulsos entregados por el encoder son de alta
frecuencia, por lo tanto es posible que al contarlos se pierdan pulsos. La lógica encargada
de contar los pulsos fue implementada en la PC, utilizando dos entradas digitales de la
placa adquisidora para leer los pulsos del encoder.
Medición del Ángulo del Péndulo El sensor que utilizamos es un sensor magnético, estos
sensores usan la propiedad por la cual un material magnético cambia su resistencia en
presencia de un campo magnético.
1.3.1 Limitaciones debidas a Sensores
Los sensores son una parte crucial de cualquier diseño en un sistema de control, dado
que proveen la información necesaria a partir de la cual se genera la acción de control.
Podemos pensar que son los ”ojos” del controlador, por lo que cualquier defecto signifi-
cativo, o error en la medición tendrá un impacto significativo en el desempeño global del
sistema. Los principales dificultades asociadas a los sensores tienen origen en
• ruido, inherente a la medición, y
• cuantificación, inherente a la discretización, Figura 1.5.
Angulo medido
Angulo real
Figura 1.5: Cuantificación
El ruido por lo general es de alta frecuencia por lo que antes de realizar la medición
filtramos la señal con un filtro pasabajos.
El problema de la cuantificación lo podemos ver en el encoder. Como podemos ver en
A.3, cada pulso entregado por el encoder representa un movimiento de 0.0012 radianes,
lo que hace imposible medir una variación de ángulo menor a ese valor.

El sensor del péndulo, nos entrega una tensión de 0-5V correspondiente a una varia-
ción de ángulo de ±18o (ver A.3). Al ser el conversor de la placa adquisidora de 8 bits,
este sensa solamente 256 niveles de tensión distintos. Por lo que la m´ınima variación de
ángulo que sensará será 18o
256 , en radianes 0.0024.

Cap´ıtulo 2
Modelización Matemática del Sistema
La modelización es el primer paso en el diseño de un lazo de control. Cuanto mayor es el
conocimiento del proceso, mejores son los resultados que obtendremos, ya que el diseño
del control será basado en el modelo. Para conocer la dinámica del sistema, podemos
deducir su comportamiento a partir de las leyes f´ısicas que lo rigen, como eléctricas,
mecánicas, térmicas, etc. o podemos utilizar técnicas de identificación de sistemas, que
tiene que ver con el problema de construir el modelo matemático de sistemas dinámicos a
partir de la observación de entradas y salidas del sistema [6].
En este cap´ıtulo detallaremos la obtención del modelo matemático del péndulo in-
vertido rotatorio a partir de las leyes f´ısicas que lo gobiernan. Para obtener el modelo
matemático utilizamos las ecuaciones de Euler-Lagrange, que proporcionan dos ecuacio-
nes diferenciales ordinarias de segundo orden no lineales, las que escribimos como cuatro
funciones diferenciales de primer orden no lineales (ecuaciones de estado). Dado que el
modelo obtenido es no lineal, linealizamos el sistema alrededor del puntos de operación
(equilibrio del sistema) que propusimos como especificaciones en el Capitulo 0.1: estabili-
zar el péndulo en forma vertical y controlar el ángulo del brazo.
2.1 Ecuaciones de movimiento del péndulo invertido
Una de las formas más eficientes de encontrar las ecuaciones de movimiento de un siste-
ma robótico es aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange. En primer lugar calculamos
el Lagrangiano, que es la energ´ıa cinética menos la energ´ıa potencial del sistema. Para
ello utilizaremos el diagrama simplificado de la Figura 2.1 . Las ecuaciones que des-
criben el movimiento las encontramos calculando algunas derivadas del Lagrangiano e
igualándolas a la fuerza aplicada (fricción y torque del motor).
2.1.1 Ecuaciones de Euler-Lagrange
Para escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange, necesitaremos calcular derivadas parcia-
les del Lagrangiano, donde definimos el Lagrangiano L como
L(q(t), ˙q(t)) = Ecin
Energ´ıa cinética
− Epot
Energia potencial
, (2.1)
con
q(t) =
θ(t)
ψ(t)
y ˙q(t) =
˙θ(t)
˙ψ(t)
(2.2)
Las ecuaciones de Euler-Lagrange en notación vectorial están definidas como
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
= f , (2.3)

8 Modelización Matemática del Sistema
donde f es cualquier momento aplicado al sistema, por ejemplo el torque de un motor o
fricción. La ecuación (2.3) es simplemente una forma diferente del Principio de D’Alambert
o de las ecuaciones de movimiento de Newton.
Calculamos ahora la energ´ıa cinética y potencial para calcular el Lagrangiano y luego
derivarlo En la Figura 2.1 podemos ver un esquema simple del péndulo y las variables.
m, g
x
z
ψ
θ
y
l
r,I
θ: ángulo entre el péndulo y la vertical
ψ: ángulo de giro del brazo
m: masa del péndulo
l: longitud del péndulo
I: inercia del brazo
r: radio de giro del brazo
g: gravedad
Figura 2.1: Esquema del péndulo invertido rotatorio
Energ´ıa potencial del péndulo invertido
La energ´ıa potencial es almacenada en el péndulo invertido y depende de la elevación del
centro de masa m, suponiendo que el brazo del péndulo no tiene masa. Por lo que resulta
Epot = mgl cosθ. (2.4)
Energ´ıa cinética del péndulo invertido
Para calcular la energ´ıa cinética consideramos los dos cuerpos como si estuvieran aisla-
dos. Calculamos la energ´ıa cinética de cada uno de ellos y tomamos como energ´ıa cinética
total la resultante entre ambas.
• Brazo giratorio: La energ´ıa cinética del brazo giratorio es
Ecin1 =
1
2
I ˙ψ2
. (2.5)
siendo ˙ψ la velocidad angular del brazo.
• Centro de masa del péndulo: Para calcular la energ´ıa cinética total absoluta del
centro de masa del péndulo, debemos considerar ambos movimientos, en dirección
vertical y horizontal.
A la componente horizontal de la velocidad del centro de masa contribuye la rotación
del brazo, es decir
vm,h = r ˙ψ + l ˙θ cosθ,
con ˙θ la velocidad angular del péndulo.
La componente vertical de la velocidad es
vm,v = l ˙θ sinθ.

2.1 Ecuaciones de movimiento del péndulo invertido 9
Resultando as´ı el valor absoluto de la velocidad la suma del cuadrado de ambos
componentes
v2
= v2
m,h + v2
m,v = l2 ˙θ2
+ r2 ˙ψ2
+ 2rl cosθ ˙θ ˙ψ,
de donde la energ´ıa cinética total del péndulo resulta
Ecin2 =
1
2
mv2
=
1
2
ml2 ˙θ2
+
1
2
r2
m ˙ψ2
+ rlm ˙θ ˙ψ cosθ. (2.6)
Reemplazando en la ecuación del Lagrangiano, ecuación (2.1), la energ´ıa potencial (2.4)
y la energ´ıa cinética total (suma de (2.5) y (2.6)), obtenemos
L(q(t), ˙q(t)) =
1
2
[I ˙ψ2
+ ml ˙θ2
+ r2
m ˙ψ2
+ 2rlm ˙θ ˙ψ cosθ] − mgl cosθ,
que podemos escribir en forma matricial como
L(q(t), ˙q(t)) =
1
2
˙θ ˙ψ
ml2 mrl cosθ
mrl cosθ I + mr2
˙θ
˙ψ
− mgl cosθ
=
1
2
˙qT
M(q) ˙q − Epot,
donde la matriz M(q) se llama matriz de masa generalizada y ˙q y q vienen dadas por (2.2).
Si derivamos el Lagrangiano respecto de ˙q, y luego respecto de q, tenemos que
∂L
∂ ˙q
= M(q) ˙q (dado que la matriz M es simétrica) y
∂L
∂q
=
1
2
˙qT ∂M(q)
∂q
˙q −
∂Epot
∂q
.
Si ahora derivamos la derivada del Lagrangiano respecto de t, utilizando la regla del pro-
ducto, obtenemos
d
dt
∂L
∂ ˙q
= M(q) ¨q +
d
dt
(M(q) ˙q.
Notemos que
d
dt
(M(q)) ˙q ≡ ˙qT ∂M(q)
∂q
˙q.
Escribamos la ecuación de Euler-Lagrange (2.3) con los resultados obtenidos
M(q) ¨q
1
+
1
2
˙qT ∂M(q)
∂q
˙q
2
+
∂Epot
∂q
3
= f
4
, (2.7)
donde cada uno de los términos de la ecuación anterior representa
1. término referido a la inercia de la masa
2. término de coriólisis
3. término gravitacional
4. fuerzas o momentos externos aplicados

Despejando la derivada de mayor orden, en este caso ¨q, de (2.7) tenemos
¨q =M−1
(q) −
1
2
˙qT ∂M(q)
∂q
˙q −
∂Epot
∂q
+ f
=M−1
(q) −
1
2
d
dt
M(q) ˙q −
∂Epot
∂q
+ f
(2.8)
Notemos que det M = 0, por lo que la matriz M es invertible.
Escribimos la ecuación (2.8) reemplazando a M, a q y ˙q por la matriz y los vectores
correspondientes, quedando as´ı
¨θ
˙ψ
=
ml2 mrl cosθ
−mrl cosθ I + mr2
−1
−
1
2
0 −mrl sinθ ˙θ
−mrl sinθ ˙θ 0
˙θ
˙ψ
−
−mgl sinθ
0
+
fθ
fψ
(2.9)
donde fθ es la fuerza de rozamiento del péndulo y fψ = τ es el torque aportado por el
motor, la entrada del sistema. Dado que no vamos a controlar el péndulo con el torque del
motor sino con la tensión, necesitamos una ecuación que nos relacione el torque τ con la
tensión del motor, u. Para ello calculamos el modelo matemático del motor de corriente
continua.
2.2 Modelo Matemático de un Motor de CC
Para calcular el modelo matemático del motor de corriente continua, planteamos las ecua-
ciones f´ısicas del sistema. Para ello recurrimos a un diagrama del circuito eléctrico del
armadura y al diagrama de cuerpo libre del rotor como mostramos en la Figura 2.2, donde
V
+
−
R L
−
+
ψ
b ˙ψ
e = K ˙ψ
τ
J: momento de inercia del rotor
b: factor de amortiguamiento
K: constante de la fuerza electromotriz
R: resistencia eléctrica
L: inductancia eléctrica
ψ: posición del eje del motor
Figura 2.2: Diagrama de bloques de un motor de CC
El torque del motor, τ, está relacionado linealmente con la corriente de armadura, i,
por un factor Kτ . La fuerza contra electromotriz (fcem), e, depende de la velocidad de giro
como muestran las ecuaciones (2.10) y (2.11).
τ = Kτ i (2.10)
e = Ke
˙ψ (2.11)
En el sistema internacional de medidas (SI), la constante de armadura, Kτ y la cons-
tante del motor Ke son iguales, por lo que Kτ = Ke = K.
De la Figura 2.2, podemos escribir las ecuaciones basadas en las leyes de Newton,
(2.12), y en las leyes de Kirchhoff, (2.13).
J ¨ψ + b ˙ψ = Ki (2.12)
L˙i + Ri = v − K ˙ψ (2.13)

2.3 Representación en Modelo de Estado 11
Dado que J, b y L toman valores muy pequeños, podemos despreciarlos y as´ı obtenemos
el modelo simple aproximado
τ(t) =
K
R
v(t) −
K2
R
˙ψ(t). (2.14)
2.3 Representación en Modelo de Estado
Nos encontramos frente a un sistema que puede ser descripto por un n úmero finito de
ecuaciones diferenciales ordinarias, (2.9) y (2.14). En esta sección representaremos las
ecuaciones en una forma compacta por la ecuación diferencial vectorial de primer grado
(ecuaciones de estado), que en sistemas continuos es de la forma
˙x = f (x, u), (2.15)
donde x es el vector de variables de estado y u es el vector de entradas de control.
Para escribir nuestro sistema como (2.15), elegimos como variables de estado a x1 =
θ, x2 = ψ, x3 = ˙θ y x4 = ˙ψ, de donde (2.9) resulta




˙θ
˙ψ
¨θ
¨ψ



 =




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 ml2 mrl cosθ
0 0 mrl cosθ I + mr2




−1 



1
2




0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 −mrl ˙θ sinθ
0 0 −mrl ˙θ sinθ 0








θ
ψ
˙θ
˙ψ




+




0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0








θ
ψ
˙θ
˙ψ



 −




0
0
−mgl sinθ
0



 +




0
0
fθ
fψ








(2.16)
y si reemplazamos el torque del motor fψ por (2.14), con u = v y el rozamiento dinámico
del péndulo fθ = bs
˙θ, obtenemos el modelo de estado



˙x1 = x3
˙x2 = x4
˙x3 =
(I + mr2)(1
2 mrlx3x4 sin x1 + mgl sin x1 + bsx3)
ml2(I + mr2 − mr2 cos2 x1)
−
r cos x1(1
2 mrlx2
3 sin x1 + K
R u − K2
R x4)
l(I + mr2 − mr2 cos2 x1)
˙x4 =
1
2 mrlx2
3 sin x1 + K
R u − K2
R x4
I + mr2 − mr2 cos2 x1
−
r cos x1(1
2 x3x4 sin x1 + mgl sin x1 + bsx3)
l((I + mr2 − mr2 cos2 x1)
(2.17)
y ahora el sistema del péndulo sobre un brazo giratorio está escrito de la forma (2.15),
donde x ∈ R4 y u ∈ R.
2.4 Linealización del Sistema
El modelo de estado que obtuvimos en (2.17) es no lineal, como la mayor´ıa de los sistemas
f´ısicos. Bajo ciertas condiciones podemos aproximar el modelo (2.17) con un modelo de
estado lineal incremental. La idea de utilizar un modelo lineal que es mucho más simple
el análisis del sistema y el diseño de controladores.
El proceso de obtención de un modelo lineal a partir de uno no lineal se llama ”linea-
lización” [2]. La linealización se realiza alrededor de un punto o trayectoria de operación,
definido por valores nominales, ˜x(t), ˜x0 y ˜u(t), que satisfacen la ecuación (2.15), es decir
˙˜x(t) = f ( ˜x(t), ˜u(t)).

Nos interesa el comportamiento de la ecuación no lineal (2.15) para una entrada y
estado inicial apenas perturbados de los valores nominales, es decir para u(t) = ˜u(t) + uδ(t)
y x0 = ˜x0 + xδ0 con uδ(t) y xδ0 suficientemente pequeños para t ≥ t0. Si suponemos que la
solución permanece cercana a la nominal, en términos de la ecuación de estado no lineal,
tenemos
˙˜x(t) + ˙xδ(t) = f ( ˜x(t) + xδ(t), ˜u(t) + uδ(t)) ˜x(t0) + xδ(t0) = ˜x0 + xδ0.
Supongamos que f (x, u) es diferenciable, entonces podemos usar la serie de Taylor
alrededor de ˜x y ˜u. Si nos quedamos solo con los términos de primer orden para la
componente i de f, resulta
fi( ˜x + xδ, ˜u + uδ) ≈ fi( ˜x, ˜u) +
∂ fi
∂x1
( ˜x, ˜u)xδ1 + · · · +
∂ fi
∂x4
( ˜x, ˜u)xδ4 +
∂ fi
∂u
( ˜x, ˜u)uδ.
Repitiendo para cada i = 1, . . . , 4 y volviendo a la notación vectorial, obtenemos
˙˜x(t) + ˙xδ(t) ≈ f ( ˜x(t), ˜u(t)) +
∂ f
∂x
( ˜x(t), ˜u(t))xδ +
∂ f
∂u
( ˜x(t), ˜u(t))uδ, (2.18)
donde la notación
∂ f
∂x representa la Matriz Jacobiana, del campo vectorial f con respecto al
vector x,
∂ f
∂x




∂ f1
∂x1
· · · ∂ f1
∂x4
...
...
...
∂ f4
∂x1
· · · ∂ f4
∂x4




Por lo que el modelo (2.18) se aproxima con una ecuación de estado lineal de la forma
˙xδ(t) = A(t)xδ(t) + B(t)u(t), xδ(t0) = xδ0,
donde
A(t) =
∂ f
∂x
( ˜x(t), ˜u(t)), B(t) =
∂ f
∂u
( ˜x(t), ˜u(t)). (2.19)
Notemos que el sistema lineal (2.19) resulta inestacionario cuando se trata de una
trayectoria nominal, cuando se trata de un punto de operación, el sistema lineal resulta
estacionario, es decir A(t) = A y B(t) = B .
La trayectoria de operación que nos interesa en nuestro sistema es el punto de equi-
librio del mismo. Un punto x = xeq en el espacio de estado es un punto de equilibrio de
(2.15) con u(t) = 0, si tiene la propiedad de que cuando el estado inicial del sistema es xeq,
el estado permanece en dicho punto en todo tiempo futuro [5].
Buscamos entonces xeq tal que ˙xeq = f (xeq, 0) = 0, as´ı



0 = x3
0 = x4
0 =
(I + mr2)(1
2 mrlx3x4 sin x1 + mgl sin x1 + bsx3)
ml2(I + mr2 − mr2 cos2 x1)
−
r cos x1(1
2 mrlx2
3 sin x1 + K
R u − K2
R x4)
l(I + mr2 − mr2 cos2 x1)
0 =
1
2 mrlx2
3 sin x1 + K
R u − K2
R x4
I + mr2 − mr2 cos2 x1
−
r cos x1(1
2 x3x4 sin x1 + mgl sin x1 + bsx3)
l((I + mr2 − mr2 cos2 x1)
y despejando, obtenemos que el punto de equilibrio resulta
xeq = 0 x2 0 0 ∀ x2 ∈ R
ueq = 0.

2.5 Representación Entrada-Salida 13
Si ahora tomamos el punto de equilibrio xeq y linealizamos el sistema alrededor de
dicho punto utilizando (2.19), obtenemos
A =
∂ f
∂x x=xeq
=





0 0 1 0
0 0 0 1
(I+mr2)g
Il 0 (I+mr2)bs
ml2 I
rK2
lIR
−rmg
I 0 −rbs
lI −K2
IR





B =
∂ f
∂u x=xeq
=




0
0
− rK
lIR
K
IR




Dado que las salidas del sistema son θ y ψ, definimos las matrices
C =
1 0 0 0
0 1 0 0
y D =
0 0
0 0
,
quedando de esta forma el sistema lineal totalmente definido como




˙θ
˙ψ
¨θ
¨ψ



 =





0 0 1 0
0 0 0 1
(I+mr2)g
Il 0 (I+mr2)bs
ml2 I
rK2
lIR
−rmg
I 0 −rbs
lI −K2
IR









θ
ψ
˙θ
˙ψ



 +




0
0
− rK
lIR
K
IR



 u
y =
1 0 0 0
0 1 0 0




θ
ψ
˙θ
˙ψ



 .
(2.20)
2.5 Representación Entrada-Salida
La representación entrada-salida no es más ni menos que una forma de obtener la salida
de un sistema cualquiera en función de su entrada. Para ello sabemos que la salida del
sistema puede calcularse como
y(t) =
t
0
g(t − τ)u(τ) dτ,
donde g(t) es la respuesta al impulso: la salida del sistema a un impulso unitario en el
instante τ. O, si ya tenemos el modelo en variables de estado,
˙x = Ax + Bu
y = Cx + Du
(2.21)
aplicamos la transformada de Laplace a (2.21) y obtenemos
sX(s) − x(0) = AX(s) + BU(s)
Y(s) = CX(s) + DU(s).
Si despejamos X(s) de la primer ecuación y suponemos que las condiciones iniciales son
nulas, x(0) = 0, y la reemplazamos en la segunda, obtenemos la matriz transferencia
G(s) = C(sI − A)−1
B + D. (2.22)
En nuestro sistema, dado que la matriz A es de cuarto orden, resulta complejo calcu-
lar (sI − A)−1. Por eso utilizaremos una simplificación del modelo lineal, bajo algunas
condiciones sobre nuestras variables que detallaremos.

2.6 Simplificación del Modelo
Para obtener el modelo de estado simplificado partiremos de suponer que el sistema tiene
rozamiento dinámico en el péndulo despreciable, es decir bs ≈ 0. Además, como sabemos
la inercia, I, del brazo giratorio del péndulo se puede escribir en función de su masa como
I = Mr2, donde r el radio de giro del brazo.
Si ahora escribimos el término de la fila 3 y 4 de la columna 1 de la matriz A de la
linealización (2.20) en función de la masa del brazo, resulta
a31 =
(I + mr2)g
Il
=
(M + m)g
Ml
y a41 = −
rmg
I
= −
mg
Mr
. (2.23)
Si tenemos en cuenta que M m, entonces a31 =
g
l
y a41 =
mg
Mr
≈ 0, por lo que el modelo
(2.20) se reduce a




˙θ
˙ψ
¨θ
¨ψ



 =




0 0 1 0
0 0 0 1
g/l 0 0 rα/l
0 0 0 −α




¯A




θ
ψ
˙θ
˙ψ



 +




0
0
−rβ/l
β




¯B
u, con α =
K2
Mr2R
y β =
K
Mr2R
. (2.24)
Calculamos ahora la matriz transferencia (2.22) para el sistema (2.24). Para ello pri-
mero calculamos
(sI − ¯A)−1
=




s 0 −1 0
0 s 0 −1
−g/l 0 s −rα/l
0 0 0 s +α




−1
=
1
s(s +α)(s2 − g/l)




s2(s +α) 0 s(s +α) srα/l
0 (s +α)(s2 − g/l) 0 s2 − g/l
s(s +α)g/l 0 s2(s +α) s2rα/l
0 0 0 s(s2 − g/l).




De donde
Y(s) =
Θ(s)
Ψ(s)
=




−s rβ/l
(s +α)(s2 − g/l)
β
s(s +α)



 U(s). (2.25)
2.7 Ajuste de los Parámetros en forma Aproximada
Dado que el diseño de los controladres será basado en el modelo matemático del siste-
ma, necesitamos conocer los valores numéricos de los parámetros. Mucho de ellos son
variables que podemos medir o que conocemos, como
• l = 0.3 [m]
• r = 0.27 [m]
• M = 0.5 [kg]
• m = 0.05 [kg]

2.7 Ajuste de los Parámetros en forma Aproximada 15
• g = 9.8 [m/seg2]
Los parámetros relacionados con el motor, R y K, no los conocemos. Motivo por el cual es-
timaremos es forma aproximada utilizando un método iterativo, previamente verificamos
su funcionamiento en simulación. En esta sección describiremos los pasos que seguimos
para ajustar los parámetros del modelo.
Bajo las consideraciones detalladas en 2.6 para obtener el modelo simplificado, vemos
que el motor se comporta independientemente del péndulo. Por lo que estimaremos los
valores de α y β solo con el motor. Para ello procedimos de la siguiente manera:
1. Excitamos al sistema con un escalón de amplitud 1.5 V a lazo abierto durante un
segundo con un per´ıodo de muestreo de T = 1/1000 seg y guardamos los valores que
obtuvimos en la salida ψ.
2. Obtenemos la función transferencia que relaciona la entrada u con la salida ψ, de
(2.24), en función de α y β, dando como resultado
Ψ(s)
U(s)
=
β
s(s +α)
. (2.26)
3. Dimos valores a α y a β hasta lograr una salida que comparándola con las muestras
obtenidas tenga un error aceptable.
4. La Figura 2.3 muestra el resultado obtenido mediante simulación del sistema (2.26),
con
α = 11.8
β = 9.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tiempo
Radianes
Datos Simulados
Datos Reales
Figura 2.3: Comparación entre la salida real y la aproximada

Por lo tanto queda as´ı definido el sistema (2.24) por todos sus parámetros como ecua-
ción de estado




˙θ
˙ψ
¨θ
¨ψ



 =




0 0 1 0
0 0 0 1
32.66 0 0 10.62
0 0 0 −11.8








θ
ψ
˙θ
˙ψ



 +




0
0
−8.82
9.8



 u
y =
1 0 0 0
0 1 0 0




θ
ψ
˙θ
˙ψ




(2.27)
y como función transferencia
Θ(s)
Ψ(s)
=



−8.82s
(s + 11.8)(s2 − 32.66)
9.8
s(s + 11.8)


 U(s).

Cap´ıtulo 3
Diseño de Controladores y Simulación
En este cap´ıtulo desarrollaremos diversas técnicas de diseño de control basadas en el
modelo matemático del sistema, para lo que debemos plantear cuáles son nuestras es-
pecificaciones de diseño, es decir cómo queremos que se comporte el sistema luego de
calculado el control . Comenzaremos con técnicas de control simples, tomando al sistema
como dos sistemas de una entrada y una salida en cascada, llamada control en casca-
da. Luego desarrollamos técnicas más complejas utilizando las ecuaciones en espacio de
estado como realimentación de estado.
Para el control en cascada utilizamos la representación entrada-salida del sistema
(2.25) y a través de la asignación de polos [3] diseñaremos el control. Para la realimenta-
ción de estado utilizaremos un regulador lineal cuadrático (LQR) y dado que solo podemos
medir dos de las cuatro variables de estados, estimaremos las variables de estado no
medidos.
Para el cálculo de los controladores utilizamos MATLAB. Para analizar el desempeño de
cada controlador en el lazo cerrado del sistema, utilizamos SIMULINK, donde armamos el
diagrama de bloques del modelo no lineal (2.17). Aplicamos cada controlador diseñado a
este sistema para que la simulación se aproxime al sistema real.
A continuación detallaremos cada una de las técnicas utilizadas, desarrollando algu-
nas herramientas necesarias para cada técnicas, y detallaremos también los resultados
obtenidos en la simulación.
3.1 Control en Cascada
El control en cascada es una estructura alternativa de control, cuya idea básica es reali-
mentar variables intermedias en un sistema SISO1 [3]. Esta estructura, representada en
la Figura 3.1, tiene dos lazos:
• un lazo primario con un controlador primario K1(s), y
• un lazo secundario con un controlador secundario K2(s).
Los principales beneficios del control en cascada se obtienen
(i) cuando G2(s) tiene alinealidades significativas que limiten el desempeño del lazo, o
(ii) cuando G1(s) impone limitaciones al ancho de banda en una estructura de control
básica.
El caso (ii) se da, por ejemplo, cuando G1(s) tiene ceros de fase no m´ınima o retardos
temporales. Como veremos en esta sección, en nuestro problema G1(s) tiene un cero de
fase no m´ınima.
1
Siglas que significa una entrada una salida (single input single outpu)

18 Diseño de Controladores y Simulación
d j j d--
6
-..- - .... --
6
R(s)
K1(s) K2(s)
+
−
+
−
Lazo secundario
G1(s)
Y(s)
Lazo primario
G2(s)
T2(s)
Figura 3.1: Estructura de control en cascada
Si pensamos nuestro problema como si fuera SISO, tomando como entrada U(s) y sa-
lida Ψ(s), donde además medimos el ángulo del péndulo Θ(s), podemos reescribir nuestro
sistema como muestra la Figura 3.2, teniendo en cuenta (2.25).
c
c
c-
-
- -−(s2−g/l)
r/l s2
−βr/l s
(s2−g/l)(s+α)
Ψ(s)
Θ(s)
U(s)
Figura 3.2: Diagrama de bloques del péndulo como si fuera un sistema SISO
El diseño de la Figura 3.1, puede separarse en dos etapas:
1. Lazo secundario. Diseñamos K2(s) para estabilizar el ángulo del péndulo Θ(s), as´ı
obtenemos la función de sensibilidad complementaria (transferencia a lazo cerrado)
para el lazo secundario como
T2(s) =
G2(s)K2(s)
1 + G2(s)K2(s)
, donde G2(s) =
−βr/l s
(s2 − g/l)(s +α)
.
2. Lazo primario. Una vez diseñado K2(s) para estabilizar el ángulo del péndulo Θ(s),
el controlador primario K1(s) puede diseñarse tomando como planta equivalente
T2(s)G1(s), donde
G1(s) =
−(s2 − g/l)
r/l s2
.
3.1.1 Diseño de K2(s) por Asignación de Polos
En esta sección detallaremos la técnica utilizada para diseñar el controlador K2(s), que
estabiliza el ángulo del péndulo. La técnica utilizada es por asignación de polos [3], pero
antes mencionaremos de qué se trata esta técnica.
Asignación de Polos La técnica de asignación de polos trata básicamente en ubicar los
polos del polinomio caracter´ıstico a lazo cerrado en forma arbitraria. Dado un lazo de
control de un grado de libertad como muestra la Figura 3.3, con
G(s) =
B(s)
A(s)
=
bn−1sn−1 + bn−1sn−1 + · · · + b0
ansn + an−1sn−1 + · · · + a0
y (3.1)
K(s) =
P(s)
L(s)
=
pnp snp + pnp−1snp−1
+ · · · + p0
lnl
snl + lnl−1snl−1 + · · · + l0
,

3.1 Control en Cascada 19
Las cuatro funciones de sensibilidad asociadas al lazo de la Figura 3.3 vienen dadas por
T(s)
G(s)K(s)
1 + G(s)K(s)
=
B(s)P(s)
A(s)L(s) + B(s)P(s)
Sensibilidad complementaria (3.2)
S(s)
1
1 + G(s)K(s)
=
A(s)L(s)
A(s)L(s) + B(s)P(s)
Sensibilidad (3.3)
Si(s)
G(s)
1 + G(s)K(s)
=
B(s)L(s)
A(s)L(s) + B(s)P(s)
Sensibilidad de perturbación de entrada
(3.4)
Su(s)
K(s)
1 + G(s)K(s)
=
A(s)P(s)
A(s)L(s) + B(s)P(s)
Sensibilidad de control (3.5)
y donde el polinomio Alc(s) A(s)L(s) + B(s)P(s) se llama polinomio caracter´ıstico a lazo
cerrado.
j jj
j
- -- - -
?
-

6
6
?
G(s)
Y(s)U(s)
−
Dm(s)
Di(s) Do(s)
R(s)
K(s)
Figura 3.3: Lazo de control de un grado de libertad
Nuestro objetivo es ver bajo qué condiciones dados B(s) yA(s), que definen nuestra
planta, se pueden diseñar P(s) y L(s) tal que el polinomio caracter´ıstico a lazo cerrado sea
Alc(s). El siguiente lema resume estas condiciones (demostración ver [3]).
Lema 1 (Asignación de Polos SISO). Consideremos un lazo de realimentación de un
grado de libertad con un controlador K(s) y un modelo nominal G(s) dado por (3.1). Su-
poniendo que A(s) y B(s) son coprimos 2 y que sus grados son n y n − 1, respectivamente.
Sea Alc(s) un polinomio arbitrario de grado nlc = 2n − 1. Entonces existen polinomios P(s)
y L(s), con grados np = nl = n − 1 tal que
A(s)L(s) + B(s)P(s) = Alc(s) (3.6)
Notemos que si elegimos Alc(s) estable 3, y si además no existen cancelaciones inesta-
bles entre el controlador K(s) y la planta G(s), el lazo de la Figura 3.3, resulta internamente
estable, es decir que las funciones de sensibilidad (3.2) a (3.5) son estables.
Volvamos a nuestro problema, diseñar K2(s) = P2(s)
L2(S) tal que estabilice el lazo tomando
B(s) = −βr/l s y A(s) = (s2
− g/l)(s +α),
2
no tienen factores en com ún
3
con todos sus ceros con parte real negativa

donde el grado de la planta es n = 3. Seg ún el Lema 1, tenemos que elegir nlc = 2n − 1 = 5
para que existan polinomios P2(s) y L2(s) de grado np = nl = n − 1 = 2 que satisfagan (3.6).
Para la elección de Alc(s) vamos a recurrir a la cancelación estable de los factores de A(s),
es decir vamos a elegir Alc(s) = (s + g/l)(s +α) ¯Alc(s), donde ahora ¯Alc(s) tiene orden 3.
De esta forma nuestro polinomio caracter´ıstico a lazo cerrado se reduce a
(s + g/l)(s +α) ¯Alc(s)
Alc(s)
= P2(s) (−βr/l s)
B(s)
+L2(s) (s2
− g/l)(s +α)
A(s)
,
que para que podamos realizar la cancelación estable, debemos asegurar que P2(s) =
(s + g/l)(s +α) ¯P2(s), por lo que ¯P2(s) = p0, con p0 ∈ R, ya que P2(s) tienen grado 2 . De
esta forma la ecuación diofantina que nos queda es
¯Alc(s) = p0
¯P2(s)
(−βr/l s) + (s2
+ l1s + l0)
L2(s)
(s − g/l). (3.7)
Si tomamos ¯Alc(s) = s3 + c2s2 + c1s + c0, y expresamos (3.7) en forma de sistema de
ecuaciones matricial, obtenemos


1 0 0
0 1 −βr/l
0 0 − g/l


Me


l1
l2
p0

 =


c2 + g/l
c1
c0

 ,
que admite solución ya que Me es no singular, es decir det Me = 0.
Lo único que nos queda ahora es elegir coeficientes de ¯Alc(s) tal que sea estable. La
elección de este polinomio no es trivial ya que nuestra G2(s) es inestable, y existen limi-
taciones de diseño para la sensibilidad complementaria cuando existen polos inestables
en el sistema. En la siguiente sección detallaremos estas limitaciones y cómo elegir el
polinomio caracter´ıstico en estos casos [8].
Limitaciones de Diseño Impuestas por G2(s) para la Elección de ¯Alc(s)
En esta sección discutiremos los compromisos de diseño que existen en la respuesta
temporal debida a la entrada escalón en un sistema SISO. Estos compromisos de diseño
se originan en limitaciones estructurales de la planta a controlar impuestas por polos
inestables y ceros de fase no m´ınima4 de su función transferencia. Estas limitaciones son
inevitables para cualquier controlador que estabilice el lazo. Por ejemplo, como veremos
a continuación, los polos inestables a lazo abierto implican la existencia de sobrevalor en
la respuesta, e inducen un compromiso de diseño entre la magnitud de este sobrevalor y
el tiempo de establecimiento de la respuesta.
Respuesta al escalón Definamos los parámetros que describen las propiedades rele-
vantes de la dinámica de los sistemas 5, considerando como respuesta al escalón la Figura
3.4
• valor en el régimen estacionario, y∞: el valor final de la respuesta al escalón (esto
no tiene sentido si el sistema tiene polos en el SPD 6).
4
ceros con parte real positiva
5
Existen distintas definiciones para estos parámetros en la literatura, nosotros adoptamos las definiciones
propuestas por [7]
6
SPD: semiplano derecho

Tiempo
y∞ + ysob
y∞ + δ
y∞ − δkr y∞
te
y∞
tc tp
−ysub
0
Figura 3.4: Indicadores de la respuesta escalón
• Tiempo de crecimiento, tc: el tiempo que transcurre hasta el instante en el cual
la respuesta al escalón alcanza, la primer vez, el valor kr y∞. La constante kr var´ıa
seg ún el autor, com únmente se toma tanto 0.9 o 1.
• Sobrevalor, ysob: el máximo valor por el que la respuesta el escalón excede su valor
final. Generalmente se expresa como un porcentaje de y∞.
• subvalor, ysub: el máximo (valor absoluto) por el que la respuesta al escalón pasa por
debajo del cero.
• Tiempo de establecimiento, te: el tiempo transcurrido hasta que la respuesta al
escalón ingresa (sin dejarlo en tiempo subsiguiente) a una banda ±δ, alrededor del
valor final. Esta banda δ, generalmente se define como un porcentaje de y∞, 2% a
5%
Veamos el siguiente resultado, que no vamos a demostrar, para más detalles ver [8].
Corolario 1. [Polos inestables reales y sobrevalor]. Si la planta tiene un polo inestable real
en p 0, su respuesta al escalón tiene forzosamente sobrevalor. Más aún, si tc es el tiempo
de crecimiento del sistema a lazo cerrado, entonces se cumple que
ysob ≥
(ptc − 1)eptc + 1
ptc
≥
ptc
2
.
Sigue del Corolario 1 que si la planta tiene un polo inestable:
• necesariamente hay sobrevalor en la respuesta al escalón
• el sobrevalor será mayor cuanto mayor sea el tiempo de respuesta del lazo cerrado.
Es decir los polos inestables demandarán acción de control rápida para un mejor desem-
peño (menor sobrevalor). Cuanto mayores (más rápidos) sean los polos inestables, mayor
será esta demanda.
En conclusión podemos extraer la siguiente regla práctica de diseño para evitar gran-
des sobrevalores.

El polo dominante a lazo cerrado debe ser mayor (en magnitud) que cualquier
polo inestable a lazo abierto del sistema.
Dado que nuestro sistema G2(s) tiene un polo inestable en g/l = 5.7154, elegiremos
como frecuencia de corte del sistema a lazo cerrado alg ún valor un poco mayor para hacer
la acción de control rápida. Utilizamos los valores de los parámetros descriptos en la
sección 2.7, donde
G2(s) =
−8.82s
(s + 11.8)(s2 − 32.66)
.
Propusimos tres polos rápidos para la elección del ¯Alc(s) tal que la frecuencia del lazo
sea mayor que el polo inestable. Los polos propuestos son p=[-14 -13 -12], es decir,
¯Alc(s) = s3 + 39s2 + 506s + 2184, con el que resolvimos la ecuación (3.7) dando como resul-
tado el controlador
K2(s) =
−129.67(s + 11.8)(s + 5.715)
(s + 52)(s − 7.341)
, y T2(s) =
1143.7s
(s + 14)(s + 13)(s + 12)
.
3.1.2 Diseño de K1(s)
Una vez estabilizado el lazo secundario, seleccionamos K1(s) tal que estabilice el lazo de la
Figura 3.5. Para ello debemos tomar como sistema a lazo abierto a
T2(s)G1(s) =
−p0βr/l s
¯Alc
−(s2 − g/l)
r/l s2
=
p0βr/l(s2 − g/l)
r/l s ¯Alc
, (3.8)
que tiene un polo en el origen y un cero de fase no m´ınima que impondrán limitaciones
en el diseño.
clle - -
6
----
6
-
Ψ(s)Θ(s)
−
R(s)
−
−(s2−g/l)
r/l s2
−βr/l s
(s2−g/l)(s+α)
p0(s+
√
g/l)(s+α)
s2+l1s+l0
K1(s)
T2(s) = −p0βr/l s
¯Alc
Figura 3.5: Diseño del lazo primario
Limitaciones de Diseño Impuestas por G1(s)T2(s)
Como viéramos en 3.1.1, tanto los polos inestables como los ceros de fase no m´ınima,
imponen limitaciones en el diseño, por ejemplo, implican la existencia de subvalor, indu-
ciendo un compromiso entre la magnitud de éste y el máximo tiempo de establecimiento de
la respuesta, como veremos a continuación citando un resultado parecido al del Corolario
1, de [8].

Corolario 2. [Ceros de fase no m´ınima y subvalor]. Si la planta tiene un cero de fase no
m´ınima real en q 0, su respuesta al escalón tiene forzosamente subvalor. Más aún, si te
es el tiempo de establecimiento a un nivel δ del sistema a lazo cerrado, entonces se cumple
que
ysub ≥
1 − δ
eqte − 1
.
La interpretación del Corolario 2, es que si la planta tiene un cero real de fase no
m´ınima
• necesariamente hay subvalor en la respuesta al escalón
• el pico del subvalor será mayor cuanto menor sea el tiempo de establecimiento del
lazo cerrado.
Es decir, los ceros de fase no m´ınima demandarán acción de control lenta para un
mejor desempeño (menor subvalor). Cuanto menores (más lentos) sean los ceros de fase
no m´ınima, mayor será esta demanda.
En conclusión podemos extraer la siguiente regla práctica de diseño para evitar gran-
des subvalores.
El polo dominante a lazo cerrado debe ser menor (en magnitud) que el menor cero
de fase no m´ınima del sistema.
Si retomamos nuestro sistema con los valores constantes, con
G1(s) =
−(s2 − 32.66)
0.9s2
⇒ G1(s)T2(s) =
−1270.7(s2 − 32.66)
s(s + 14)(s + 13)(s + 12)
. (3.9)
En la Figura 3.6, vemos el lugar de ra´ıces, obtenido con el comando rlocus de MATLAB,
de G1(s)T2(s). Este gráfico muestra donde se ubicarán los polos cuando realimentamos
solo con una ganancia proporcional. Como podemos apreciar, existen valores de ganancia
tal que los polos se ubiquen todos en el semiplano izquierdo.
Para encontrar un valor de ganancia tal que estabilice el lazo cerrado, utilizamos el
comando rlocfind(G2T2) que nos permite encontrar ganancias en un lugar de ra´ıces en
forma interactiva. De esta forma vimos que tomando K1(s) = 0.02, los polos a lazo cerrado
resultan las cruces, +, de la Figura 3.6. Por lo que la transferencia a el lazo cerrado
resulta
T1(s) =
−25.41(s2 − 32.66)
(s + 20)(s + 0.35)(s2 + 17.7s + 95.05)
.
3.1.3 Simulación
En esta sección tomamos los controles K1(s) y K2(s) y los implementamos en SIMULINK
para analizar el desempeño obtenido. Simular dichos controladores con el sistema lineal
tal como los calculamos, 3.1, sabemos que se comporta de forma deseada. Pero ahora
mostramos los resultados que obtenemos si tomamos el sistema no lineal, descripto por
(2.17) y tomando en cuenta las limitaciones de los sensores y del actuador. En la Figura
3.8, mostramos el diagrama de bloques que implementamos para la simulación, donde el
bloque Alinealidades representa, en forma aproximada las perturbaciones del motor: la

−15 −10 −5 0 5 10 15 20
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Real Axis
ImagAxis
Figura 3.6: Lugar de ra´ıces de G1(s)T2(s)
fricción estática (Figura 3.7) y el juego en el eje del motor (≈ 1o). El bloque K1d es el control
K1(s) discretizado con un tiempo de muestreo T = 0.02 y como condición inicial tomamos
todos las variables de estado en cero salvo θ = 0.05 rad. Los valores de las alinealidades
las obtuvimos comparando el sistema real con el simulado, y as´ı ajustamos el valor de la
fricción estática.
ψ(t)
ˆψ(t)0.15
Figura 3.7: Fricción estática del motor
La Figura 3.9 muestra los resultados obtenidos luego de simular el lazo cerrado duran-
te 20 segundos. En el gráfico de la izquierda mostramos la comparación entre la posición
del brazo sin tener en cuenta el rozamiento estático ni el juego del motor (las alinealidades)
con el que s´ı las tiene en cuenta. A la derecha vemos que estas alinealidades no afectan
tanto a la posición del ángulo.

Discretización Psi
Tita
Step3 Saturacion
de la actuacion
Psi
u
tita
psi
Pendulo no lineal1
K2d
K2
.1
K1
Discretizacióo Tita
Discretizacion
de la Actuacion
In1 Out1
Alinealidades
Figura 3.8: Diagrama de bloques de la simulaci´on
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Tiempo [seg]
Posición[rad]
con alinealidades
sin alinealidades
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Tiempo[seg]
Posición[rad]
sin alinealidades
con alinealidades
Figura 3.9: Resultados obtenidos, a la derecha θ y a la izquierda ψ

3.2 Control por Realimentación de Estado
En esta sección vamos a introducir conceptos y técnicas de control en sistemas descriptos
por ecuaciones de estado. Los resultados y definiciones de esta sección fueron obtenidos
de [2].
Tomemos el sistema a lazo abierto de dimensión n y de una sola entrada descripto por
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t).
(3.10)
En realimentación de estado, como muestra la Figura 3.10, la señal de control se propone
lineal al estado
u(t) = r(t) − Kx(t). (3.11)
ii - -

66
- -- -

SS
−
r u ˙x x y
A
CB
K
Figura 3.10: Realimentación de estado
La substitución de (3.11) en (3.10), da lugar al lazo cerrado del sistema, cuyo modelo
de estado viene dado por
˙x(t) = (A − BK)x(t) + Br(t)
y(t) = Cx(t).
(3.12)
Para utilizar esta técnica estamos suponiendo que todas las variables de estado están
al alcance para medirlos. Pero en realidad no es as´ı, en esta sección detallaremos cómo
podemos calcular la matriz de realimentación K para que la dinámica del sistema a lazo
cerrado se comporte de una determinada manera. Veremos también bajo qué condiciones
esto ocurre y qué hacer en aquellos casos donde no podemos medir todas las variables de
estado.
3.2.1 Diseño de la Matriz K
Una propiedad de sistemas lineales esencial en la realimentación de estado es la de con-
trolabilidad. La controlabilidad tiene que ver con la posibilidad de llevar al sistema de
cualquier estado inicial a cualquier estado final en tiempo finito, no importando qué tra-
yectoria se siga, o qué entrada se use.
La ecuación de estado (3.10), o el par (A, B), se dice controlable si para cual-
quier estado inicial x(0) = x0 ∈ Rn y cualquier estado final x1 ∈ Rn , existe una
entrada que transfiere el estado x de x0 a x1 en tiempo finito. En caso contrario,
la ecuación (3.10), o el par (A, B), se dice no controlable.
El siguiente Teorema afirma bajo qué condiciones existe una matriz K tal que la reali-
mentación de estado con dicha matriz ubique los autovalores del sistema a lazo cerrado
donde queramos (demostración ver [2]).

3.2 Control por Realimentación de Estado 27
Teorema 1 (Asignación de autovalores). Si la ecuación de estado (3.10) es controlable,
entonces mediante la realimentación de estado u(t) = r(t) − Kx(t), donde K es un vector
real constante 1 × n, los autovalores de (A − BK) pueden ser asignados arbitrariamente,
siempre que los autovalores complejos conjugados se asignen en pares.
Un método para analizar controlabilidad de un sistema dado es que la matriz de con-
trolabilidad C tenga rango n (rango(C) = n), donde
C = B AB . . . An−1B
Ahora solo nos resta verificar si nuestro sistema es controlable para poder elegir K.
Para ello tomemos el sistema (2.27), y calculamos
rango C = rango B AB A2B A3B = 4,
por lo que podemos afirmar que el sistema (2.27) es controlable.
Convenientemente, MATLAB tiene la función K=place(A,B,P), que calcula K para ubi-
car los autovalores en los valores dados en el vector P. Lo único que resta hacer es elegir
los autovalores deseados para nuestro sistema, para lo que debemos tener en cuenta las
restricciones estructurales que posee el péndulo invertido, ver sección 3.1.2.
Control LQR Otra forma de calcular la ganancia de realimentación K es siguiendo alg ún
criterio de optimización, por ejemplo minimizando el funcional cuadrático
J =
t∞
0
[xT
(t)Qx(t) + uT
(t)Ru(t)] dt, (3.13)
donde Q y R son matrices constantes que ponderan las variables de estado y la actuación
respectivamente. Como el criterio se basa en funcionales cuadráticos, recibe el nombre
de regulador lineal cuadrático (LQR). El funcional J puede interpretarse como el costo total
de la transición de las variables de estado de un punto a otro.
Obtener la matriz K, minimizando el funcional (3.13) anal´ıticamente no es tarea fácil,
ver [1], pero MATLAB cuenta con la función K=lqr(A,B,Q,R). Para ello es necesario ajustar
Q y R hasta obtener el desempeño deseado.
Para nuestro diseño tomamos
Q =




100 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 y R = 10,
A y B de (2.27) y obtuvimos
K = −24 −0.3 −3.8 −2.4 (3.14)
3.2.2 Seguimiento Robusto: Acción Integral
En esta sección introducimos un esquema de seguimiento de referencias constantes. La
idea se basa en aumentar la cantidad de variables de estado de la planta, agregando una
nueva: xa que integra el error, es decir
˙xa = r − y = r − Cx,
como mostramos en la Figura 3.11.

iii - -

66
- -- -

SS

SS -
6
- --
−
u ˙x x y
A
CB
K
−r
Ka
xa
Figura 3.11: Diagrama de bloques del esquema de seguimiento
Quedando as´ı las ecuaciones de estado del sistema aumentado
˙x
˙xa
=
A 0
−C 0
x
xa
+
B
0
u +
0
1
r
Si consideramos la realimentación de estado u = − K Ka
x
xa
, el sistema a lazo ce-
rrado de la Figura 3.11 es
˙x
˙xa
=
A − BK −BKa
−C 0
x
xa
+
0
1
r (3.15)
La idea ahora es diseñar K Ka de forma tal que el sistema (3.15) sea asintóticamente
estable. En particular, la estabilización de xa, implica que se produzca el seguimiento
deseado ya que
lim
t→∞
˙xa = 0 ⇒ lim
t→∞
y(t) = r.
Para saber si podemos diseñar K Ka para que (3.15) sea estable veamos el siguiente
teorema:
Teorema 2 (Controlabilidad de la planta aumentada). Si (A, B) es controlable y si G(s) =
C(sI − A)−1B no tiene ceros en s = 0, los autovalores de la matriz de evolución aumentada
en (3.15) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando la matriz de realimentación
K Ka .
En la sección 3.2.1, vimos que nuestro sistema es controlable, es decir que rango C = 4
y si tomamos como salida ψ, que es quien queremos que siga la referencia constante, G(s)
no tiene ceros en el origen, ver (2.25). Para calcular las ganancias K y Ka utilizamos el
comando [K,Ka]=lqr(Aa,Ba,Qa,R), donde
Aa =
A 0
−C 0
, Ba =
B
0
, Qa =






100 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1






y R = 10.
La ganancia que obtuvimos es
K = −27 −1.06 −4.29 −2.85 0.316 . (3.16)

El control con realimentación de estado asume la disponibilidad de las variables de
estado. Esto no es lo que pasa en la práctica, en particular nuestro sistema no cuen-
ta con sensores para medir las velocidades angulares (variables de estado del sistema)
por lo que debemos estimar estas variables no medidas. A continuación describiremos
dos ideas para estimar dichas variables de estado y luego mostraremos las simulaciones
correspondientes.
3.2.3 Estimadores de las variables de Estado no Medidos
Esta primer idea es básica, aproximamos la derivada de una variable como cociente incre-
mentales. Esto lo podemos hacer ya que las variables de estado que queremos estimar no
son ni más ni menos que la derivada de las dos variables estado que medimos. Es decir
˙θ ≈
θ(k + 1) −θ(k)
T
˙ψ ≈
ψ(k + 1) − ψ(k)
T
(3.17)
donde T es el per´ıodo con el cual la PC toma los datos y la diferencia corresponde a dos
mediciones consecutivas. Esta forma de estimar las variables de estado es muy sencilla
de implementar en SIMULINK, como vemos en la Figura 3.12, pero para que esta estima
sea buena, T tiene que tomar valores pequeños.
1
Tita P
z
1
Unit Delay
1/T
Gain
1
Tita
Figura 3.12: Estimador de la derivada
Quedando de esta forma un control que en lugar de ser estático 7 es dinámico (o con
memoria).
3.2.4 Observador de las variables de Estado
En esta sección introduciremos un dispositivo dinámico, llamado observador, cuya salida
es una estima del vector de estado. En particular vamos a detallar el observador de orden
completo, que tiene el mismo orden que la planta, y de esta forma estimamos todo el
vector de estado. Representemos con ˆx(t) a la estima de x(t) y tomemos el sistema (3.10),
donde suponemos A, B, y C conocidas, y la entrada u(t) y la salida y(t) son medibles,
aunque no el estado x(t). El problema es estimar x(t) a partir de esta información.
La idea es que dado que conocemos las matrices A, B y C, podemos duplicar el sistema,
˙ˆx(t) = A ˆx(t) + Bu(t)
ˆy(t) = C ˆx(t),
(3.18)
donde ˆy(t) es la salida que se obtiene de las variables de estado estimados. Si inyectamos
al sistema (3.18) una señal de corrección L(y(t) − C ˆx), donde L es una matriz de ganancia
7
que depende en forma instantánea de las variables de estado

constante, de forma tal que si no hay error no debemos corregir nada, pero si hay error,
una elección apropiada de L puede hacer que el error de estimación tienda asintóticamente
a cero. La Figura 3.13 muestra el observador que explicamos, donde las ecuaciones vienen
dadas por
˙ˆx(t) = A ˆx(t) + Bu(t) + L(y(t) − C ˆx(t))
= (A − LC) ˆx(t) + Bu(t) + Ly(t).
(3.19)
Definamos ˜x(t) = x(t) − ˆx(t) como el error de estimación. Si calculamos ˙˜x(t) y reem-
plazamos (3.10) y (3.19) vemos que ˙˜x(t) = (A − LC) ˜x(t), donde los autovalores de (A − LC)
son los que gobiernan la dinámica del error de estimación. Si pudiéramos elegir L tal que
(A − LC) tenga autovalores negativos, estar´ıamos afirmando que el error de estimación
tiende asintóticamente a cero.
i
i- -

-
6

SS

- -

6
-

SS
?
L
ˆx
˙x x
A
CB
B
u
˙ˆx
A − LC
y
Figura 3.13: Observador de estado completo
En la sección 3.2 vimos el concepto de controlabilidad, cómo testear si un sistema es
controlable y para qué sirve. Ahora para ver qué condiciones debe cumplir el sistema para
que exista la matriz L, tal que el estado estimado ˆx(t) tienda asintóticamente al estado real
x(t) , debemos definir el observabilidad. El concepto de observabilidad tiene que ver con
la posibilidad de estimar el vector de estado del sistema a partir del conocimiento de la
salida.
La ecuación de estado (3.10) es observable si para cualquier estado inicial x(0)
(desconocido), existe un tiempo finito t1 tal que el conocimiento de la entrada u y
la salida y sobre el intervalo [0, t1] es suficiente para determinar en forma única
el estado inicial x(0). En caso contrario el sistema se dice no observable.
El siguiente teorema define bajo qué condiciones existirá L (demostración ver [2]).
Teorema 3 (Asignación de Autovalores en Observadores). Dado el par (A, C), todos los
autovalores de (A − LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando una matriz L si
y solo si (A, C) es observable.
Para analizar la observabilidad de un sistema basta ver que la matriz de observabilidad
O
O =







C
CA
CA2
...
CAn−1







,

es de rango n (es decir rango O = n).
Para analizar la observabilidad de nuestro sistema, calculamos
O =




C
CA
CA2
CA3



 =, donde rango O = 4,
por lo que nuestro péndulo invertido es un sistema observable.
Para elegir dónde ponemos los autovalores de A − LC, tomamos los autovalores que
resultan del control LQR a lazo cerrado pero los ponemos 1.2 veces más rápidos y luego
utilizamos el comando de MATLAB L=place(A’,C’,P).
El valor de L obtenido es
L =




0.5335 0.1312
0.0177 0.3533
7.6284 4.3791
0.2567 1.4825



 (3.20)
3.2.5 Simulación
En esta sección describiremos las simulaciones realizadas utilizando el programa SIMU-
LINK. Implementamos al sistema utilizando las ecuaciones no lineales (2.17) en diagrama
de bloques y agregamos las alinealidades y limitaciones descriptas en el Cap´ıtulo 1 para
que se aproxime en mejor forma al sistema real.
En primer lugar simulamos el sistema suponiendo que las variables de estado están
al alcance de ser medidos, utilizando el control por realimentación de estado (3.14). Lue-
go comparamos el desempeño realimentando las variables de estado estimados con los
observados. Una vez que decidimos cual es el mejor método, realizamos pruebas de se-
guimiento a referencias y robustez.
El periodo de muestreo utilizado en todas las simulaciones es T = 0.01 y tomamos
como condiciones iniciales θ(0) = 0.05, ˙θ(0) = 0, ψ(0) = 0 y ˙ψ(0) = 0.
Realimentación de Estado
En la Figura 3.14, mostramos la implementación en diagrama de bloques de SIMULINK
utilizado, y la Figura 3.15 los resultados obtenidos de la simulación, suponiendo que las
cuatro variables de estado son medidos.
Comparación de Desempeño Estimador-Observador
En la Figura 3.16, podemos ver la implementación en diagrama de bloques del sistema, el
control en realimentación de estado, los estimadores de las velocidades y las limitaciones
debidas al actuador y a los sensores. Y en la Figura 3.17 la misma idea pero implementan-
do el observador calculado en (3.20), para ello utilizamos un bloque variable de estado
representando la ecuación (3.19).
En la Figura 3.18 mostramos los resultados que obtuvimos por simulación de la Figura
3.16 y 3.17. Cada uno de los gráficos muestra una salida, ψ(t) a la derecha y θ(t) a la
izquierda, en su versión estimada y observada para comparar desempeño.
Para comparar los resultados obtenidos, y dado que en nuestra simulación podemos
”medir” las velocidades angulares, calculamos la sumatoria de los errores absolutos de
˙θ y ˙ψ dando para el observador 21.71 y 4.1 respectivamente y para el estimador 79.48
y 57.34, respectivamente. Vemos as´ı, como era de esperar, que el observador obtiene
mejores resultados que el estimador y esto se debe a que el observador utiliza mucha

psi
Tita
Saturacion
de la actuacion
u
tita
Fi
titap
Fip
Pendulo no lineal
24
KTita
.3
KPsi
2.4
K TitaP
3.8
K Psip
Dsicretizacion Tita
Discretizacion Psi
Discretizacion
de la Actuacion
In1 Out1
Alinealidades3
Actuación
Figura 3.14: Diagrama de bloques de la realimentaci´on de estado
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Tiempo [seg]
Posición[rad]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Figura 3.15: Resultados obtenidos, a la derecha θ y a la izquierda ψ
psi
Tita
Saturacion
de la actuacion
u
tita
Fi
Pendulo no lineal
24
KTita
.3
KPsi
3.8
K TitaP
2.4
K Psip
In1Out1
Estmador velocidad base
In1Out1
Estmador velocidad Pendulo
Dsicretizacion Tita
Discretizacion Psi
Discretizacion
de la Actuacion
In1 Out1
Alinealidades
Actuación
Figura 3.16: Realimentaci´on de estado con estimador

psi
Tita
Saturacion
de la actuacion
u
tita
Fi
Pendulo no lineal
24
KTita
.3
KPsi
3.8
K TitaP
2.4
K Psip
In1Out1
In1Out1
Estmador velocidad Pendulo
Dsicretizacion Tita
Discretizacion Psi
Discretizacion
de la Actuacion
In1 Out1
Alinealidades
Actuación
Figura 3.17: Realimentación de estado con observador
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Posición del Brazo con Observador
Posición del Brazo con Estimador
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Posición del péndulo con Observador
Posición del péndulo con Estimador
Figura 3.18: Comparación de los resultados de la simulación

más información del sistema para estimar las variables de estado. Para terminar de
confirmar esto, veamos en la Figura 3.19, ambas acciones de control. Para tener una idea
de la potencia consumida por el motor calculamos la sumatoria del valor absoluto de la
actuación en el intervalo simulado, dando 577 para el caso del observador y de 1678 para
el estimador.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−15
−10
−5
0
5
10
15
Tiempo [seg]
Tensión[Volts]
Actuación con observador
Actuación con estimador
Figura 3.19: Comparación de la señal de actuación
Seguimiento a Referencias
Uno de los objetivos básicos en el control es el de seguimiento de la salida a señales de re-
ferencias. En nuestro caso esta referencia es sobre la posición del ángulo del brazo. Para
la simulación, utilizamos el sistema a lazo cerrado, estimando las velocidades angulares
con el observador calculado en 3.2.3. En la Figura 3.20 comparamos los resultados obte-
nidos cuando ponemos una referencia constante re f = 6 rad y tomamos la ganancia (3.16),
utilizando realimentación de estado con ganancia de precompensación 8por un lado, y el
esquema de acción integral que mostramos en 3.2.2 por el otro.
Como dijéramos en 3.2.2, el esquema de acción integral es robusto frente a pertur-
baciones constantes. En la Figura 3.21 mostramos cómo se comporta un lazo con y sin
acción integral, donde perturbamos (corrimos el cero) al ángulo del péndulo θ con 0.2 rad.
8
El sistema tiene una ganancia estática no nula, lo que implica que en el régimen permanente tenderá a
este valor. Si ubicamos una ganancia delante del lazo cerrado con la inversa de la ganancia estática, en el
régimen permanente tenderá al valor de referencia.

0 5 10 15 20 25
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Ganancia de precompensación
Accion Integral
Referencia
Figura 3.20: Comparación entre ganancia de precompensación y acción integral
0 5 10 15 20 25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Ganancia de precompensación
Acción Integral
Referencia
Figura 3.21: Comparación entre ganancia de precompensación y acción integral, pertur-
bando a θ

Cap´ıtulo 4
Ensayos de Controladores sobre el Sistema Real
Una vez que en las simulaciones obtuvimos controladores que nos proveen el desempeño
deseado, implementamos dichos controladores en el sistema real, para comprobar que
los desempeños obtenidos en la simulación concuerdan con los resultados reales. En
este cap´ıtulo mostraremos la implementación de dichos controladores en SIMULINK y los
resultados que obtuvimos al realizar los mismos ensayos con el sistema real.
4.1 Implementación del Control en Cascada
En esta sección mostraremos los resultados que obtuvimos al implementar el lazo de
control en cascada con los controles K1(S) y K2(s) calculados en la sección 3.1. La Figura
4.1 muestra la implementación en diagrama de bloques de SIMULINK, en donde utilizamos
en lugar de una constante para K1(s) implementamos un control proporciona-integral, PI
[7], para que el sistema no tenga error en el régimen permanente.
Referencia
Actuacion
Radianes
Ángulo Péndulo
Radianes
Ángulo Base
Zero−Order
Hold1
Zero−Order
Hold
Selector Manual
Posición Pendulo
Posición Base
Actuación
Motor
numcas(z)
dencas(z)
K2
In1 Out1
K1
0
Constante
0
Figura 4.1: Diagrama de bloques de la implementación del control en cascada
La Figura 4.2 muestra los resultados obtenidos de la implementación. Para ello cuando
comenzamos el ensayo, mantuvimos el péndulo en posición vertical ya que este control no
puede levantarlo desde su reposo (≈ 0.2rad) y tomamos referencia nula.
En la Figura 4.3 mostramos los resultados que obtuvimos para ψ(t), cuando tomamos
como referencia la señal que se muestra en la figura. Como podemos ver, el sobrevalor de
la salida es considerado, esto podr´ıa mejorarse rediseñando el control K2(s), haciéndolo
más lento (eligiendo polos para ¯Alc2 más pequeños). Por otro lado podr´ıamos también
modificar el tiempo de establecimiento, eligiendo K1(s) mayor, ya que cuanto mayor sea
dicha ganancia, más cerca del eje jω estarán los polos a lazo cerrado, ver Figura 3.6.

38 Ensayos de Controladores sobre el Sistema Real
0 5 10 15 20 25 30 35 40
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Tiempo [seg]
Posición[rad]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tiempo [seg]
Poscición[rad]
Figura 4.2: Resultados obtenidos de la implementaci´on del control en cascada, a la iz-
quierda ψ(t) y a la derecha θ(t)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
−2
−1
0
1
2
3
4
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Posición del brazo
Referencia
Figura 4.3: Resultados obtenidos de la implementaci´on del control en cascada, para ana-
lizar seguimiento

4.2 Implementación del Control en Realimentación de Estados 39
4.2 Implementación del Control en Realimentación de Estados
En esta sección describiremos el desempeño obtenido de implementar el control por reali-
mentación de estados en el sistema real utilizando el estimador de estados y el observados,
que calculamos en la sección 3.2. En las Figura 4.4 y 4.5 podemos ver el diagrama de
bloques SIMULINK de dicha implementación.
Radianes
Ángulo Péndulo
Radianes
Ángulo Base
Zero−Order
Hold1
Zero−Order
Hold Step
Selector Manual
Referencia
ProductPosición Pendulo
Posición Base
0
N
Actuación
Motor
3.8
K TitaPunto
24
K Tita
2.4
K Psi Punto
.3
K Psi
In1 Out1
Estmador velocidad base1
In1 Out1
0
Constante
Actuación
Figura 4.4: Diagrama de bloques de la implementación del control por realimentación de
estados y el estimador
Radianes
Ángulo Péndulo
Radianes
Ángulo Base
Zero−Order
Hold1
Zero−Order
Hold
Step
Selector Manual
Referencia
Product
Posición Pendulo
Posición Base
U
Tita
Psi
Tita P
Psi P
Observador
0
N
Actuación
Motor
3.8
K TitaPunto
24
K Tita
2.4
K Psi Punto
.3
K Psi
0
Constante
Actuacion
Figura 4.5: Diagrama de bloques de la implementación del control por realimentación de
estados y el observador
La Figura 4.6, muestra la comparación entre los resultados obtenidos de la imple-
mentación del estimador de las velocidades angulares y el observador. Para obtener este
desempeño utilizamos las mismas ganancias, de K y L calculadas para la simulación.
Como esperábamos, el desempeño con el observador es mejor que el del estimador.
En la Figura 4.7 comparamos las actuaciones con uno y otro método de estimación de
las variables de estado que no podemos medir. Dado que podemos guardar los valores,
calculamos nuevamente la suma absoluta de los valores muestreados de la actuación,
para tener una idea de la potencia consumida por el motor, y obtuvimos para el caso del

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Posición del Brazo con Observador
Posición del Brazo con Estimador
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Posición del Péndulo con Observador
Posición del Péndulo con Estimador
Figura 4.6: Ángulo medido en el sistema real, a la derecha θ y a la izquierda ψ
observador 1764 y para el estimador 3334. SI bien los valores no son los mismos que en
la simulación, la relación entre ambos es bastante parecida.
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
−6
−4
−2
0
2
4
6
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Actuación con Observador
Actuación con Estimador
Figura 4.7: Comparación de actuaciones
4.3 Implementación de la Acción Integral
En esta sección analizaremos cómo se comporta el sistema con realimentación de estados,
calculada en (3.16), observador de las velocidades angulares, calculada en (3.20) y acción
integral. En la Figura 4.8, mostramos la respuesta del sistema cuando la referencia es
una onda cuadrada de amplitud π/2 rad y de frecuencia 60 seg. Los picos que realiza ψ en
los primero 15 seg es debido a que el brazo tuvo que levantar el péndulo desde su reposo,
0.2 rad. El ángulo θ no lo graficamos porque el objetivo es mostrar el seguimiento. El

4.3 Implementación de la Acción Integral 41
gráfico de la izquierda representa a la implementación del esquema de acción integral y el
de la izquierda es la salida obtenida del lazo cerrado con ganancia de precompensación.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Referencia
Posición del Brazo
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Posición del Brazo
Referencia
Figura 4.8: Seguimiento a una señal de referencia onda cuadrada
Dado que los resultados obtenidos con la ganancia de precompensación son bastante
malos, Figura derecha de 4.8, modificamos las ganancias para obtener un mejor desem-
peño. Tomando
K = −32.04 −2.50 5.06− −2.5
obtuvimos los resultados de la Figura 4.9
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Posición del Brazo
Referencia
Figura 4.9: Seguimiento una señal de referencia onda cuadrada con ganancia de precom-
pensación

Cap´ıtulo 5
Análisis del efecto de las cuantizaciones y de
las perturbaciones del motor
Con el fin de realizar el proyecto con un bajo presupuesto, para la construcción del
péndulo utilizamos mayormente componentes que se encontraban en el stock del Labora-
torio de Electrónica de la Universidad. Como vimos en el Capitulo 1 dichos componentes
imponen ciertas restricciones f´ısicas en el desempeño del lazo cerrado, que hicieron que
nuestros objetivos de control no sean muy estrictos en cuanto al desempeño. En este
Capitulo estudiaremos como afectan dichas restricciones al sistema y las posibles mejo-
ras. Para comprobar si dichas mejoras son justificables en cuanto al desempeño posterior
del sistema, analizamos el comportamiento del sistema a lazo cerrado a través de si-
mulaciones, basándonos en el hecho de que el sistema simulado se comporta en forma
aproximada al real.
5.1 Disminución en la cuantificación del Actuador y de los Sensores
La primera mejora que se nos ocurre es aumentar la resolución de los conversores digital-
analógico (para la actuación), y analógico-digital (para el sensor del péndulo). La reso-
lución actual del conversor-digital analógico es de ocho bits obteniendo una variación
m´ınima de tensión de 0.05859 V, aumentaremos dicha resolución con un conversor de do-
ce bits (0.0036 V). El mismo aumento de resolución utilizamos para el sensor de posición
del péndulo, pasando de 0.0024 rad a 0.0012 rad. En cuanto al sensor de posición del bra-
zo, no podremos aumentar la la resolución en forma categórica, debido a la velocidad del
contador de pulsos implementado en la PC comenzar´ıa a perder pulsos. Una solución es
implementar dicho contador a través de un circuito integrado dedicado y luego leer dicho
valor en la PC a través de un conversor digital-analógico. Para la simulación supusimos
que podr´ıamos aumentar la resolución del sensor a 0.0003rad.
En la Figura 5.1 podemos ver el resultado de la simulación, donde comparamos el
sistema mismo bajo las mismas condiciones que en 3.2.5, con el sistema agregando las
mejoras mencionadas.
Como pudimos ver en la Figura 5.1, el aumento en la resolución de los conversores
no representa una mejora en el desempeño del sistema. Pero como vimos en 1.2.1 s´ı
es mejor aumentar la resolución del conversor digital-analógico ya que podemos de esa
forma aumentar la tensión de alimentación al motor, de esa forma aumentar su reacción.
5.2 Mejoras f´ısicas del motor
Otra de las cosas que se podr´ıan mejorar tienen que ver con el motor. Como vimos en
3.1.3 existen dos tipos de perturbaciones ocasionadas por el motor fricción estática y

44 Análisis del efecto de las cuantizaciones y de las perturbaciones del motor
0 5 10 15 20 25
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Con mejoras
Sin mejoras
0 5 10 15 20 25
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Con mejoras
Sin mejoras
Figura 5.1: Comparación entre el sistema con y sin ampliación en la resolución del actua-
dor y de los sensores, derecha ψ(t) y a la izquierda θ(t)
juego en el eje. Veamos que sucede si disminuimos el roce estático en 20 veces, Figura
5.2. Esta disminución se puede lograr, por ejemplo, utilizando un motor con rodamientos
a rulemanes.
0 5 10 15 20 25
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Con mejoras
Sin mejoras
0 5 10 15 20 25
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Con mejoras
Sin mejoras
Figura 5.2: Comparación entre el sistema con fricción estática y reduciéndola 20 veces,
derecha ψ(t) y a la izquierda θ(t)
Veamos ahora que sucede si además disminuimos el juego del eje, Figura 5.3. Esta
disminución se puede lograr, por ejemplo, utilizando una reducción con correas dentadas
en lugar de engranajes.
Concluimos, a partir de los ensayos realizados, que para obtener un mejor desempeño
hay que centrarse en la disminución las perturbaciones originadas por el motor.

5.2 Mejoras f´ısicas del motor 45
0 5 10 15 20 25
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Con mejoras
Sin mejoras
0 5 10 15 20 25
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Tiempo [seg]
Posición[rad]
Con mejoras
Sin mejoras
Figura 5.3: Comparaci´on entre el sistema , derecha ψ(t) y a la izquierda θ(t)

46 An´alisis del efecto de las cuantizaciones y de las perturbaciones del motor

Cap´ıtulo 6
Conclusiones
En este informe describimos la construcción y el posterior control a través de una PC del
péndulo invertido rotatorio. La elección de utilizar un software en tiempo real fue una
gran ventaja, dado que pudimos desarrollar controladores, observadores y estimadores
en forma sencilla. Además nos permitió almacenar los datos obtenidos del sistema para
análisis y ajuste de los parámetros del modelo matemático.
El modelo matemático que obtuvimos, y el método de ajuste de los parámetros en forma
iterativa, mostró ser fiel al sistema real. Esto resulta una ventaja cuando los controladores
que diseñamos están basados en dicho modelo.
Las técnicas de control que desarrollamos son técnicas lineales. Aunque utilizamos
un sistema no lineal, mostramos que es posible desarrollar técnicas simples aunque el
modelo es complejo. Todas las técnicas coinciden en la especificación de diseño que
planteamos: estabilización asintótica del ángulo del péndulo y seguimiento a referencias
constantes del ángulo de giro del brazo.
El diseño del control en cascada fue sencillo ya que supone que el sistema es de una
entrada y una salida y de esta forma permite utilizar cualquier técnica de control que
utilice la representación entrada salida. La implementación fue inmediata dado que solo
necesitamos medir las variables que tenemos disponibles. Si bien el desempeño obtenido
a lazo cerrado fue bueno, la estabilidad resulta muy sensible a perturbaciones.
El diseño de control por realimentación de estado, siguiendo el criterio de optimización
LQR, no lo calculamos anal´ıticamente por su complejidad. Para ello utilizamos el software
de control MATLAB, donde la ventaja es que los únicos parámetros que ajustamos fueron
las ponderación de cada una de las variables de estado y de la señal de control. Para im-
plementar el control por realimentación de estados fue necesario desarrollar técnicas que
aproximen las variables de estado que no podemos medir. En nuestro caso propusimos
dos: estimador de derivadas y observador lineal de estado. Si bien el primero es simple de
implementar, el desempeño alcanzado por el segundo mejor, dado que la amplitud de las
oscilaciones que produce es menor. El único inconveniente de este control, es que para
que siga referencias constantes es necesario agregar una ganancia de precompensación,
que para resulta sensible frente a perturbaciones.
Por último, al sistema con realimentación de estado, le agregamos acción integral para
lograr seguimiento de referencias constantes. Con este esquema, logramos no solo que
siga referencias constantes sino también hicimos más robusto el lazo cerrado del sistema.
Una pregunta que nos planteamos cuando finalizamos los ensayos, fue si era posible
mejorar los desempeños obtenidos con los controladores diseñados modificando aquellos
componentes f´ısicos, sensores y actuador,que nos imponen limitaciones. La conclusión
que obtuvimos por simulación es que para mejorar el desempeño, hay que centrarse en
disminuir el roce estático y el juego en el eje del motor.

Apéndice A
Descripción detallada de los componentes del
Sistema
A.1 Controlador
A.1.1 Especificaciones de la PC
A.1.2 Placa de Adquisisción de Datos
En la Tabla A.1, podemos ver las distintas direcciones de la placa. La dirección de memo-
DIR h Lectura Escritura
xx0 Entrada Salida Digital
xx1 DAC1 Salidas
xx2 DAC2 Analógicas
xx8 Datos Start 0
xx9 EOC Start 1
xxA Start 2
xxB Start 3 Entradas
xxC Start 4 Analógica
xxD Start 5
xxE Start 6
xxF Start 7
Tabla A.1: Direcciones de memoria
ria base se elige a través de tres jumpers ubicados en la placa. La dirección por defecto es
la 300h.
Driver
La forma de programar estos drivers en el SIMULINK es a través de un bloque denominado
S-Function.
S-Function Permiten agregar algoritmos propios a bloques de SIMULINK. Se pueden es-
cribir en MATLAB o en C. Las S-function las incorporamos mediante un bloque llamado
S-function. En nuestro caso programamos cuatro S-functions distintas:
• lectura de entradas analógicas,
• escritura de entradas analógicas,

50 Descripción detallada de los componentes del Sistema
• lectura de entradas digitales, y
• escritura de entradas digitales.
Las cuatro fueron programadas en C.
A.2 Actuador
Existen principalmente tres problemas a la hora de controlar un motor de corriente con-
tinua.
1. Señal de actuación de baja potencia. La señal de actuación entregada por la PC es de
5V y en el orden de los mA., mientras que la tensión nominal de trabajo del motor es
de 24V y la corriente que consume es de 2A.
2. Sentido de giro. Para cambiar el sentido de giro de un motor de corriente continua es
necesario invertir la tensión que lo alimenta.
3. Consumo de energ´ıa. Para variar la velocidad de un motor de corriente continua exis-
ten varios métodos. El más com ún de ellos es variar la tensión de alimentación del
mismo, obteniendo una variación proporcional en el n úmero de revoluciones. Uno
de los problemas es la disipación de potencia de los amplificadores utilizados para
alimentar el motor, ya que si queremos alimentar al motor con la mitad de tensión
de alimentación nominal, la mitad de la potencia entregada por la fuente de alimen-
tación se disipa en el amplificador. Este método es muy utilizado si necesitamos que
el motor se encuentre en las proximidades de su velocidad nominal.
Los dos primeros problemas los solucionamos a través de un Puente H, Figura A.1.
Este puente esta compuesto por cuatro transistores MosFet, dos de canal N y dos de
canal P que los haremos trabajar en corte o saturación, es decir, conducen o no conducen.
Cuando queremos que el motor gire hacia un lado hacemos conducir a los transistores
MOS1 y MOS3, en este caso el potencial positivo se encuentra en el borne 1 del motor,
si queremos que gire en sentido contrario, hacemos conducir los transistores MOS2 y
MOS4, en este caso el potencial positivo se encuentra en el borne 2 del motor, es decir,
invertimos la tensión aplicada. Para lograr que los transistores conduzcan o no en el
momento indicado, se le agrega una etapa de lógica que evita que transistores del mismo
lado de la H conduzcan al mismo tiempo, ya que eso provocar´ıa que ambos se quemen
debido a que no tienen una resistencia que limite la corriente que circula a través de ellos.
El método que utilizamos para solucionar el problema 3, es el de modulación de ancho
de pulso (PWM), en el cual se alimenta al motor con una señal cuadrada de una frecuencia
determinada y amplitud igual a la tensión nominal del motor, a la cual se le modifica el
tiempo activo, obteniendo una media de tensión proporcional a ese tiempo. Al ser la
frecuencia de la onda mucho mayor al tiempo de respuesta del motor, éste ve en sus
bornes la tensión media resultante. La diferencia que existe con el primer método es que
en este caso, siempre se le aplica la tensión nominal al motor.
El circuito PWM que implementamos, Figura A.2, tiene como entrada una señal analógica
de 0 - 5V, la variación del tiempo activo de la señal PWM se realiza a través de dicha en-
trada. La frecuencia de PWM que utilizamos es 250Hz.

A.2 Actuador 51
5V 5V
5V
15V15V
15V 15V
15V
Motor
5V
On/Off
Direccion
Logica de Control
820Ω
820Ω
820Ω
820Ω
10KΩ
820Ω
10KΩ
820Ω
10KΩ
10KΩ
820Ω
1 2MOS1
MOS3 MOS4
MOS2
Figura A.1: Puente H
−12V
−12V
1
2
3
4
7
8
74HC14
5V
PWM
12V
47nF
ne555
5V
12V 12V
1
2
6
7
48
+
−
+
−
50KΩ
Vin
10KΩ
1MΩ 1MΩ
47KΩ
1KΩ
50KΩ
820Ω
Figura A.2: Circuito de implementaci´on del PWM

A.3 Sensores
A.3.1 Encoder Incremental
El encoder incremental consta de dos diodos emisores de luz cada uno enfrentado con un
fotodiodo, entre los cuales se ubica un disco con n ranuras que gira solidaria a un eje,
como podemos ver en la Figura A.3 ,
s1
s2
tiempo
Emisor
A
B
Receptor
Placa ranurada
Figura A.3: Diagrama de un encoder incremental
Cuando una ranura se encuentra entre el diodo emisor de luz y el fotodiodo, el fotodio-
do sensa la luz emitida, no as´ı cuando entre ambos se encuentra la placa. A medida que
el disco gira, obtenemos en los fotodiodos dos señales como las que vemos en la Figura
A.4.
s1
s2 s2
s1
t t
Sentido de giro
Figura A.4: Señales en los fotodiodos
El defasaje de 90 grados de las señales es debido a la ubicación de los sensores. Este
defasaje es útil para detectar el sentido de giro del eje, si prestamos atención a la Figura
A.4, podemos ver que dependiendo del sentido de giro una señal adelanta a la otra. To-
mamos a una señal s1 para contar los pulsos, en cada flanco ascendente de s1 contamos
un pulso, ahora tenemos que saber si lo sumamos o lo restamos, dependiendo el sentido
de giro. Esa información la obtenemos de la señal s2. Si s2 esta en alto, la sumamos, si
esta en bajo la restamos.
Una de las ventajas de este tipo de sensor de ángulo, es que el rango de medición es
ilimitado, mientras que la mayor desventaja es que los pulsos entregados por el encoder
son de alta frecuencia, por lo tanto es posible que al contarlos se pierdan pulsos.

A.3 Sensores 53
En nuestro caso este sensor se encuentra solidario al eje del motor y la placa ranurada
cuenta con 20 ranuras, lo que representa una precisión de 360o
40 , ya que contamos los
pulsos de ambas señales. Debido a que el motor posee una reducción 1:130, al dar el
motor una vuelta el eje exterior da 1
130 vueltas. Por lo tanto aumentamos la precisión a
2π
40∗130 = 0.0012 rad/pulso.
La lógica para contar los pulsos fue realizada en el SIMULINK, en la Figura A.5 podemos
ver dicha implementación.
1
Radianes
In1
In2
Out1
SubSystem1
In1
In2
Out1
SubSystem
2*pi/5150
Conversion de
pulsos a Radianes
2
S2
1
S1
1
Out1
NOT
Logical
Operator
Trigger
2
In2
1
In1
Figura A.5: Diagrama de bloques SIMULINK de la Implementación del Contador de Pulsos
A.3.2 Sensor Magnético
El sensor magnético consta de un puente de Wheatstone como el de la figura A.6, el cual al
variar el valor de una de las resistencias se desbalancea provocando una ca´ıda de tensión
Vout.
Vcc
Vout
RR
R R
Figura A.6: Sensor Magneto-Resistivo
En nuestro caso, colocamos un imán solidario al péndulo, Figura A.7, al moverse el
péndulo var´ıa el campo magnético sobre el sensor. La señal entregada por el sensor
es del orden de los ±50 µV, por lo tanto fue necesario acondicionar la señal para que
se encuentre en el rango de 0V a 5V requeridos por la placa de adquisición de datos.
Podemos ver el circuito de implementación en la Figura A.8.
Debido al imán que colocamos, este sensor solo trabaja en un rango de ángulo de-
terminado, ±60o. Como solamente utilizaremos el rango ±18o, ajustamos la señal para
que los 0-5V correspondan a una variación de ±18o, as´ı obtenemos mayor precisión en la
conversión.

Sensor Magnetico
Pendulo
±60o
Iman
Eje
Brazo
Figura A.7: Montaje del sensor magnético sobre el péndulo
Amplificador Diferencial
Ajuste del Offset
12V 12V
12V
−12V
−12V
−12V
12V −12V
Ajuste de la Ganancia
+
−
+
−
+
−
47nF
22KΩ
22KΩ
220KΩ
Vo Sensor Magnetico
1MΩ
47nF
820KΩ
10KΩ
47nF
25KΩ
4, 7KΩ
Vo : 0 − 5V
Figura A.8: Acondicionador de señal

Bibliograf´ıa
[1] John S. Bay. Linear Space Systems. McGraw-Hill, 1999.
[2] C-T Chen. Linear System Theory and Design. Oxford University Press, 1999.
[3] Graham C. Goodwin, Stefan F. Graebe, and Mario E. Salgado. Control System Design.
Prentice Hall International, 2001.
[4] Bruce A. Francis John C. Doyle and Allen R. Tannenbaun. Feedback Control Theory.
Maxwell Macmillan International Editions, 1992.
[5] H. Khalil. Nonlinear Systems. Prentice Hall, 1996.
[6] Lennart Ljung. System Identiﬁcation: Theoty for the User. Prentice-Hall, 1987.
[7] Katsiuko Ogata. Control Moderno. Pentice Hall, 1998.
[8] Mar´ıa M. Seron, Julio H. Braslavsky, and Graham C. Goodwin. Fundamental Limita-
tions in Filtering and Control. Springer, 1997.
[9] Real Time Windows Target. User’s Guide Version 1. The Math Works Inc., 1998.

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