GEOTECNIA GBAUTISTA.pdf

GEOTECNIA VIAL
GERARDO BAUTISTA GARCÍA
MAGISTER EN INGENIERIA CIVIL EN EL AREA DE GEOTECNIA – UNIANDES
INGENIERO CIVIL – UIS
Bucaramanga, Octubre de 2014

I
INTRODUCCIÓN
El material presentado a continuación corresponde a unas notas de clase y material bibliográfico
recopilado de algunos de autores y libros de varios temas del área de geotecnia (se aclara lo
presentado a continuación no pretende ser un libro y menos tener animo de lucro) y solo es un apoyo
de clase dirigido a los estudiantes de la asignatura GEOTECNIA VIAL de la especialización en vías
terrestres de la facultad de ingeniería civil de la Universidad Pontificia Bolivariana Seccional
Bucaramanga.
El documento está dividido en seis capítulos. En el primer capítulo se presentan algunos conceptos
básicos de la geotecnia como lo son la clasificación y la compactación de los suelos. En el segundo
capitulo se aborda lo correspondiente al diseño de cimentaciones, tanto superficiales como profundas
y además se explica de manera sencilla el procedimiento de calculo de deformaciones en vigas de
cimentación por el método de las diferencias finitas. En el tercer capítulo se explican los
procedimientos para calcular las presiones laterales de tierras de acuerdo con el tipo de suelo de
relleno y la geometría del mismo. En el cuarto capítulo se ve lo correspondiente al dimensionamiento
de muros de contención y diseño de tablestacas. El quinto capítulo explica la metodología de cálculo
de muros de contención reforzados con geotextil, explicación que se complementa con un ejemplo de
diseño. Finalmente en el sexto capítulo se presentan algunos métodos utilizados para realizar análisis
de estabilidad de taludes.

III
CONTENIDO
CAPITULO 1. GEOTECNIA BASICA
1.1. Clasificación de suelos 1
1.1.1. Sistema Unificado de Clasificación de Suelos 1
1.2.Compactación y CBR 14
1.2.1 Compactación 14
1.2.2. Prueba de CBR de laboratorio 17
CAPITULO 2. CAPACIDAD DE SOPORTE
2.1. Cimentaciones superficiales 21
2.1.1. Métodos de calculo de la capacidad de soporte para cimentaciones superficiales 21
2.1.2. Vigas de cimentación. Método de las diferencias finitas 13
2.1.3. Cimentaciones con pilotes 42
2.1.4. Asentamiento de pilotes 58
2.1.5. Formulas para el calculo de asentamientos para cimentaciones superficiales 60

IV
CAPITULO 3. PRESIÓN DE TIERRAS
3.1. Teoría de Rankine en suelos arenosos 63
3.2. Teoría de Rankine en suelos arcillosos 69
3.3. Teoría de Rankine en suelos con cohesión y fricción 73
3.4. Teoría de Coulomb en suelos arenosos 77
CAPITULO 4. MUROS DE CONTENCIÓN
4.1. Dimensionamiento de muros 81
4.2. Revisiones de estabilidad 81
4.3. Muros de tablestacas 87
4.3.1. Muros de tablestacas en voladizo 88
4.3.2. Muros de tablestacas ancladas 100
CAPITULO 5. DISEÑO DE MUROS DE CONTENCIÓN REFORZADOS CON GEOTEXTIL
5.1. Introducción 109
5.2. Metodología de calculo 109
5.3. Ejemplo 119

V
CAPITULO 6. METODOS DE ANALISIS DE ESTABILIDAD DE TALUDES
6.1. Métodos basados en dovelas para análisis de estabilidad de taludes 141
6.1.1. Método ordinario 143
6.1.2. Método simplificado de Bishop 144
6.1.3. Método de Spencer 146
6.1.4. Método riguroso de Janbu 149
6.1.5. Método simplificado de Janbu 152
6.2. Taludes con superficies de falla planas 153
6.3. Taludes con superficies falla circulares (sin dividir la masa deslizante en dovelas) 165
BIBLIOGRAFÍA 179

1
1. GEOTECNIA BASICA
1.1.CLASIFICACIÓN DE SUELOS
A continuación se presentan dos de los sistemas de clasificación de los suelos más
utilizados: el sistema unificado de clasificación de suelos (S.U.C.S.) y el sistema de
clasificación AASHTO.
1.1.1. SISTEMA UNIFICADO DE CLASIFICACIÓN DE SUELOS (S.U.C.S.)
El sistema unificado de clasificación de los suelos divide a estos en dos grandes grupos: los
suelos gruesos y los suelos finos.
Se considera que un suelo es grueso, si mas del 50% en peso de una muestra
representativa no pasa por el tamiz No 200 (cuya abertura es de 0.075mm). En caso
contrario, es decir cuando más del 50% de dicha muestra pasa por el tamiz mencionado,
entonces el suelo es fino.
Los suelos gruesos se dividen en grupos adicionales de acuerdo con su gradación y con el
contenido y naturaleza de su fracción fina, mientras que los suelos finos se dividen más
grupos de acuerdo con la plasticidad.
1.1.1.1. GRUPOS DE SUELOS GRUESOS.
Los suelos gruesos se dividen en gravas arenas así:
Gravas: Se considera que un suelo grueso es una grava si mas del 50% (en peso) de su
fracción gruesa (aquella que no pasó por la malla No 200) no pasa por el tamiz No 4 (cuya
abertura es de 4.75 mm). Las gravas se simbolizan con la letra G.
Arenas: Se considera que un suelo es arenoso si mas del 50% (en peso) de su fracción
gruesa (aquella que no pasó por la malla No 200) no pasa por el tamiz No 4. Los suelos
arenosos se simbolizan con la letra S.

2
Como se mencionó atrás los suelos gruesos se subdividen en más grupos de acuerdo con
su gradación, con su contenido y naturaleza de finos o ambos. A continuación se explican
estos grupos.
1.1.1.1.1. GRUPOS DE SUELOS GRUESOS DE ACUERDO CON SU GRADACIÓN.
Cuando un suelo grueso tiene un contenido de finos inferior al 5% solamente se tiene en
cuenta su gradación para clasificarlo, ya que el contenido de finos se considera tan bajo que
no interfiere ni con la resistencia ni la permeabilidad de la fracción gruesa. Los grupos de
suelos gruesos cuya clasificación se basa únicamente en gradación son las gravas bien y
mal gradadas y las arenas bien y mal gradadas.
Gravas bien gradadas. GW.
Son gravas cuyo contenido de finos es inferior al 5%. Además cumplen con las dos
condiciones para considerarse como grava bien gradada, es decir su coeficiente de
uniformidad (Cu) es mayor de 4 y su coeficiente de curvatura (Cc) está entre 1 y 3.
Vale la pena recordar que:
10
60
D
D
Cu  y
60
10
2
30
D
D
D
Cc


Donde:
D60=Tamaño (en milímetros) tal que el 60% de una muestra de suelo es menor que ese
tamaño.
tamaño.
tamaño.

3
Arenas bien gradadas. SW.
Son arenas cuyo contenido de finos es inferior al 5%. Además cumplen con las dos
condiciones para considerarse como arena bien gradada, es decir su coeficiente de
uniformidad (Cu) es mayor de 6 y su coeficiente de curvatura (Cc) está entre 1 y 3.
Gravas mal gradadas. GP.
Son gravas cuyo contenido de finos es inferior al 5%. Además no se cumple con una o las
dos condiciones para considerarse como grava bien gradada (coeficiente de uniformidad
mayor de 4 y coeficiente de curvatura entre 1 y 3).
Arenas mal gradadas. SP.
Son arenas cuyo contenido de finos es inferior al 5%. Además no se cumple con una o las
dos condiciones para considerarse como arena bien gradada (coeficiente de uniformidad
mayor de 6 y coeficiente de curvatura entre 1 y 3).
1.1.1.1.2. GRUPOS DE SUELOS GRUESOS DE ACUERDO CON EL CONTENIDO Y
NATURALEZA DE SUS FINOS.
Cuando un suelo grueso tiene un contenido de finos superior al 12% se debe tener en
cuenta para su clasificación la plasticidad, la cual está dada por su límite líquido y su índice
de plasticidad. Esto debido a que dicho contenido de finos (superior al 12%) se considera
alto, de tal forma que afecta resistencia y permeabilidad de la fracción gruesa. Los grupos de
suelos gruesos cuya clasificación se complementa con el contenido y naturaleza de sus finos
son las gravas limosas y arcillosas y las arenas limosas y arcillosas.
Gravas limosas. GM.
Son gravas con un contenido de finos superior al 12%. Además los límites de plasticidad
efectuados sobre la fracción de la muestra que pasa por el tamiz No 40 ubican al suelo en la
zona de los limos de la carta de plasticidad, es decir que lo ubican o bien por debajo de la

4
línea A o bien en la zona por encima de la línea A con un índice de plasticidad (IP) menor a
4.
Arenas limosas. SM.
Son arenas con un contenido de finos superior al 12%. Además los límites de plasticidad
zona de los limos de la carta de plasticidad, es decir que lo ubican o bien por debajo de la
línea A o bien en la zona por encima de la línea A con un índice de plasticidad (IP) menor a
4.
Gravas arcillosas. GC.
Son gravas con un contenido de finos superior al 12%. Además los límites de plasticidad
zona de las arcillas de la carta de plasticidad, es decir lo ubican por encima de la línea A y
además el índice de plasticidad es superior a 7.
Arenas arcillosas. SC.
Son arenas con un contenido de finos superior al 12%. Además los límites de plasticidad
zona de las arcillas de la carta de plasticidad, es decir lo ubican por encima de la línea A y
además el índice de plasticidad es superior a 7.
1.1.1.1.3. GRUPOS DE SUELOS GRUESOS DE ACUERDO CON LA GRADACIÓN Y EL
CONTENIDO Y NATURALEZA DE SUS FINOS.
Los suelos gruesos con un contenido de finos entre 5 y 12% son considerados como frontera
o límite y se requiere de su gradación y plasticidad para clasificarlos, es decir tienen doble

5
nomenclatura. A continuación se da una breve descripción de los grupos de suelos gruesos
con doble nomenclatura.
Gravas limosas bien gradadas. GW-GM.
Este grupo corresponde a gravas con un contenido de finos entre 5 y 12%. Estas gravas se
caracterizan por que cumplen con las dos condiciones para considerarse como gravas bien
gradadas, es decir su coeficiente de uniformidad (Cu) es mayor de 4 y su coeficiente de
curvatura (Cc) está entre 1 y 3. Además los límites de plasticidad efectuados sobre la
fracción de la muestra que pasa por el tamiz No 40 ubican al suelo en la zona de los limos
de la carta de plasticidad, es decir que lo ubican o bien por debajo de la línea A o bien en la
zona por encima de la línea A con un índice de plasticidad (IP) menor a 4.
Gravas limosas mal gradadas. GP-GM.
caracterizan porque no se cumple con una o las dos condiciones para considerarse como
gravas bien gradadas (coeficiente de uniformidad mayor de 4 y coeficiente de curvatura
entre 1 y 3). Además los límites de plasticidad efectuados sobre la fracción de la muestra
que pasa por el tamiz No 40 ubican al suelo en la zona de los limos de la carta de
plasticidad, es decir que lo ubican o bien por debajo de la línea A o bien en la zona por
encima de la línea A con un índice de plasticidad (IP) menor a 4.
Gravas arcillosas bien gradadas. GW-GC.
caracterizan por que cumplen con las dos condiciones para considerarse como gravas bien
fracción de la muestra que pasa por el tamiz No 40 ubican al suelo en la zona de las arcillas
de la carta de plasticidad, es decir lo ubican por encima de la línea A y además el índice de
plasticidad es superior a 7.

6
Gravas arcillosas mal gradadas. GP-GC.
Este grupo corresponde a gravas con un contenido de finos entre 5 y 12. Estas gravas se
gravas bien gradadas (coeficiente de uniformidad mayor de 4 y coeficiente de curvatura
que pasa por el tamiz No 40 ubican al suelo en la zona de las arcillas de la carta de
plasticidad, es decir lo ubican por encima de la línea A y además el índice de plasticidad es
superior a 7.
Arenas limosas bien gradadas. SW-SM.
Este grupo corresponde a arenas con un contenido de finos entre 5 y 12%. Estas arenas se
caracterizan por que cumplen con las dos condiciones para considerarse como arenas bien
fracción de la muestra que pasa por el tamiz No 40 ubican al suelo en la zona de los limos
de la carta de plasticidad, es decir que lo ubican o bien por debajo de la línea A o bien en la
zona por encima de la línea A con un índice de plasticidad (IP) menor a 4.
Arenas limosas mal gradadas. SP-SM.
arenas bien gradadas (coeficiente de uniformidad mayor de 6 y coeficiente de curvatura
que pasa por el tamiz No 40 ubican al suelo en la zona de los limos de la carta de
plasticidad, es decir que lo ubican o bien por debajo de la línea A o bien en la zona por
encima de la línea A con un índice de plasticidad (IP) menor a 4.

7
Arenas arcillosas bien gradadas. SW-SC.
caracterizan por que cumplen con las dos condiciones para considerarse como arenas bien
fracción de la muestra que pasa por el tamiz No 40 ubican al suelo en la zona de las arcillas
de la carta de plasticidad, es decir lo ubican por encima de la línea A y además el índice de
plasticidad es superior a 7.
Arenas arcillosas mal gradadas. SP-SC.
Este grupo corresponde a arenas con un contenido de finos entre 5 y 12. Estas arenas se
arenas bien gradadas (coeficiente de uniformidad mayor de 6 y coeficiente de curvatura
que pasa por el tamiz No 40 ubican al suelo en la zona de las arcillas de la carta de
plasticidad, es decir lo ubican por encima de la línea A y además el índice de plasticidad es
superior a 7.
1.1.1.2. GRUPOS DE SUELOS FINOS.
Como se mencionó atrás los suelos finos son aquellos en los cuales más del 50% (en peso)
de una muestra representativa pasa por el tamiz No 200.
Para clasificar a los suelos finos basta con entrar a la carta de plasticidad con el límite líquido
y el limite plástico. La carta de plasticidad corresponde a un plano (IP VS LL) el cual se
divide en varias zonas de acuerdo con la plasticidad y compresibilidad. La figura 1.1 muestra
la carta de plasticidad del Sistema Unificado de clasificación de suelos.

8
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
INDICE DE PLASTICIDAD
LIMITE LIQUIDO
CARTADE PLASTICIDAD
PARA CLASIFICACION DE SUELOS DE PARTICULAS FINAS EN EL LABORATORIO
CL - ML
7
4
CL
CH
ML
MH
OL
OH
O
CL - ML
7
4
CL
CH
ML
MH
OL
OH
O
ML
FIGURA 1.1. Carta de plasticidad.
Tal como puede apreciarse en la carta de plasticidad, las arcillas se ubican por encima de la
línea “A”, estas arcillas se simbolizan por la letra C. Los limos, representados con la letra M y
los suelos con apreciable contenido de materia orgánica, representados con la letra O, se
encuentran localizados por debajo de la línea “A”.
De acuerdo con su compresibilidad los suelos finos se dividen en dos grupos, los de baja
compresibilidad (a los cuales se les agrega la letra L), correspondientes a aquellos con un
límite líquido inferior al 50% y los de alta compresibilidad (a los cuales se les agrega la letra
H), correspondientes a aquellos con un límite líquido superior al 50%.
De acuerdo con lo anterior, los suelos finos y dependiendo de sus límites de plasticidad, un
suelos fino puede pertenecer a uno de los siguientes grupos:

9
Arcillas inorgánicas de baja a media plasticidad. CL.
Estas arcillas tienen un límite líquido inferior al 50% (L) y se ubican en la carta de plasticidad
en la zona por encima de la línea “A” y además tienen un índice de plasticidad superior a 7.
Arcillas inorgánicas de alta plasticidad. CH.
Estas arcillas tienen un límite líquido superior al 50% (H) localizándose en la carta de
plasticidad en la zona por encima de la línea “A”.
Limos inorgánicos de baja a media plasticidad. ML.
Los limos inorgánicos de plasticidad baja a media se caracterizan por tener un límite líquido
inferior al 50% (L) y localizarse o bien por debajo de la línea “A” o bien en la zona por encima
de la línea “A” con IP menor a 4.
Limos inorgánicos de alta plasticidad. MH.
Los limos inorgánicos de alta plasticidad se caracterizan por tener un límite líquido superior
al 50% (H) y localizarse bien por debajo de la línea “A”.
Limos orgánicos y arcillas limosas orgánicas de baja plasticidad. OL.
La ubicación de estos suelos finos en la carta de plasticidad es la misma de los
pertenecientes al grupo ML pero próxima a la línea “A”, además de contener materia
orgánica.

10
Arcillas orgánicas de alta plasticidad y limos orgánicos de alta plasticidad. OH.
La ubicación de estos suelos finos en la carta de plasticidad es la misma de los
pertenecientes al grupo MH pero próxima a la línea “A”, además de contener materia
orgánica.
Arcillas limosas inorgánicas de baja plasticidad. CL-ML.
A estos suelos finos se les considera como un caso limite o frontera y por esta razón reciben
doble nomenclatura. Estos suelos están ubicados en la carta de plasticidad en la zona sobre
la línea “A” con un índice de plasticidad entre 4 y 7.
Turbas y otros suelos altamente orgánicos. Pt.
Son suelos con un contenido muy alto de materia orgánica y muy compresibles. El límite
líquido se encuentra entre 300 y 500% y su índice de plasticidad entre 100 y 200%,
ubicándose por debajo de la línea “A”.
1.1.2. SISTEMA DE CLASIFICACIÓN AASHTO
El sistema de clasificación AASHTO se resume en la tabla 1.1. En esta tabla puede
observarse que este sistema divide a los suelos materiales granulares, los cuales se
caracterizan porque 35% o menos del total pasa por el tamiz No 200 y los materiales limo-
arcillosos, para los cuales más del 35% del total pasa por el tamiz No 200.
El código que identifica al grupo al cual pertenece el suelo se obtiene recorriendo la tabla 1.1
de izquierda a derecha, siendo dicho grupo aquel que primero cumpla con las condiciones
exigidas para pertenecer a dicho grupo
Los materiales granulares corresponden a los grupos A-1, A2 y A3 y los materiales limo-
arcillosos corresponden a los grupos A-4, A-5, A-6 y A7. Además de estos grupos existe uno
mas correspondiente a la turba, este grupo se denomina A-8.

11
A-3 A-4 A-5 A-6 A-7
Indice de Grupo 0 8 max 12 max 16 max 20 max
40 max
10 max
41 min
10 max
40 max
11 min
41 min
11 min
Características de
la fracción que
pasa el tamiz No 40
Límite Líquido, L
Indice Plástico, Ip 6 max NP
0 0 4 max
40 max
10 max
41 min
10 max
40 max
11 min
41 min
11 min
35 max 35 max 36 min 36 min 36 min 36 min
Porcentaje de
material que pasa
el tamiz
No10
No 40
No 200
50 max
30 max
15 max
50 max
25 max
51 min
10 max 35 max 35 max
A-2-4 A-2-5 A-2-6 A-2-7
A-1-a A-1-b
Clasificación de
Grupo
A-7-5
A-7-6
Materiales limo-arcillosos
(más del 35% del total pasa el
tamiz No 200)
Clasificación
General
A-1 A-2
Materiales Granulares
(35% o menos del total pasa el tamiz No 200)
Tabla 1.1. Sistema de clasificación AASHTO.
El índice de grupo se puede calcular por medio de la ecuación 1.1.
bd
01
.
0
ac
005
.
0
a
2
.
0
IG 

 …………….(ec 1.1)
donde:
a = porcentaje de material que pasa por la malla No 200 mayor que 35% pero menor que
75%, dado como un número entero positivo (1 ≤ a ≤ 40).
b = porcentaje de material que pasa por la malla No 200 mayor que 15% pero menor que
55%, dado como un número entero positivo (1 ≤ b ≤ 40).
c = parte del límite líquido mayor que 40 pero menor que 60, dada como un número entero
positivo (1 ≤ c ≤ 20).
d = parte del índice de plasticidad mayor que 10 pero menor que 30, dada como un número
entero positivo (1 ≤ d ≤ 20).
El índice de grupo también se puede estimar como la suma de las dos lecturas de los ejes
verticales de los triángulos de la figura 1.2. Esta figura fue tomada del libro Manual de

12
Laboratorio de Suelos en Ingeniería Civil de Joseph E Bowles, segunda edición de la
editorial McGraw Hill, año 1980, página 70.
Figura 1.2. Ábacos para determinar el índice de Grupo. Fuente: Bowles Joseph E.
Manual de laboratorio de Suelos. 2 Edición. McGraw Hill. 1980. Página 70.

13
Los grupos A-7 son el A-7-5 y el A-7-6, La figura 1.3 (tomada del libro Manual de
Laboratorio de Suelos en Ingeniería Civil de Joseph E Bowles, segunda edición de la
editorial McGraw Hill, año 1980, página 70) muestra la forma de diferenciar entre dichos
grupos.
Figura 1.3. Límite líquido e índice de plasticidad característicos de los grupos A-7-5,
A-7-6, A-4, A-5 y A-6. . Fuente: Bowles Joseph E. Manual de laboratorio de Suelos. 2
Edición. McGraw Hill. 1980. Página 70.

14
1.2.COMPACTACIÓN Y CBR
1.2.1. COMPACTACIÓN
La compactación es importante para aumentar la densidad y resistencia de los suelos y por
lo tanto también para disminuir los vacios y las deformaciones producidas por cargas
posteriores a la compactación.
Cuando se va a realizar un relleno o adecuación de suelo como subrasante el proceso de
compactación se da de la siguiente manera.
 Primero se escoge el posible material de relleno y se toma una muestra para ensayos de
laboratorio.
 Luego se lleva el material a un laboratorio para verificar si este se puede utilizar como
material de relleno mediante ensayos tales como: contenido de materia orgánica,
granulometría por tamizado, límites de plasticidad, CBR de laboratorio, expansión en
prueba CBR, índice de colapso, contenido de sales solubles. Los resultados de estos
ensayos de laboratorio se comparan con las especificaciones vigentes.
 Si el material cumple con todas las especificaciones exigidas, se procede a determinar la
humedad óptima y la densidad seca máxima mediante la prueba de compactación
apropiada.
 Una vez obtenida la humedad óptima y el peso especifico seco máximo se procede a
compactar el material en la obra con dicha humedad y usando el equipo adecuado.
 Finalmente se procede a determinar el peso específico seco del material compactado
para determinar su grado de compactación y compararlo con el exigido y de esta forma
tener un criterio para aceptar o rechazar el relleno. Esta determinación se realiza con
ensayos de densidad en el terreno tales como la prueba con cono y arena o la prueba
con balón o con densímetro nuclear.

15
Pruebas de compactación de laboratorio.
Las pruebas más usadas para determinar la humedad óptima de compactación y el peso
específico seco máximo son los ensayos conocidos como “Proctor”.
En 1933 R.R. Proctor propuso una prueba de laboratorio (conocida como Proctor estándar)
para reproducir las densidades obtenidas con los equipos de la época. Para la prueba
Proctor estándar al usar las dimensiones del molde de dicha prueba, el número de golpes
por capa y número de capas apropiado, así como también el peso del martillo de
compactación y altura de compactación del mismo. La energía de compactación del suelo
con este quipo es de 593.7 kJ/m3
.
A mediados de la década de los 40 del siglo 20 aparecieron equipos de compactación
nuevos, con los cuales se obtenían densidades muy superiores a los que la prueba estándar
podía reproducir, por lo tanto la prueba sufrió una modificación aumentando las dimensiones
del molde, el número de golpes y número de capas, también se aumento el peso del martillo
de compactación y la altura de caída de dicho martillo. La energía de compactación con
este equipo modificado es de 2710 kJ/m3
.
A continuación se dan algunas diferencias entre la prueba estándar y la modificada.
CARACTERISTICA PROCTOR ESTÁNDAR PROCTOR MODIFICADO
Diámetro del molde 4 pulgadas 6 pulgadas
Volumen del molde 944 cm3
2700 cm3
Energía de compactación 593,7 kJ/m3
2710 kJ/m3
Peso del martillo de
compactación
5.5 libras 10 libras
Altura de caída del martillo
de compactación
12 pulgadas 18 pulgadas
Número de capas 3 5
Número de golpes por
capa
25 55
Cantidad de material que
pasa por el tamiz No 4.
3 Kg 7 Kg

16
El procedimiento para las pruebas de compactación Proctor es el siguiente:
a) Seleccionar la cantidad necesaria de material que pasa por el tamiz No 4.
b) Pesar el molde con la base puesta pero sin la extensión.
c) Tomar el diámetro del molde y su altura sin la extensión.
d) Colocarle la extensión al molde.
e) Compactar el material en el molde con el número de capas y el número de golpes por
capa según el tipo de ensayo Proctor que se esté realizando.
f) Quitar la extensión, nivelar la cara superior del molde y limpiar muy bien el molde y la
base.
g) Pesar el material compactado dentro del monde con la base puesta.
h) Extraer el material del molde y tomar una muestra representativa para determinar la
humedad.
i) Aumentar progresivamente la humedad (3 a 4%) y repetir el procedimiento anterior
desde el paso d) hasta que se sobrepase la humedad óptima, es decir, hasta que la
densidad disminuya al aumentar el contenido de agua.
Una vez concluido el ensayo en el laboratorio se procede a calcular las humedades y el peso
específico seco para cada una de esas humedades y dibujar la curva de compactación, de la
cual se obtienen la humedad óptima y el peso específico seco máximo.
Prueba de densidad en el terreno con cono y arena.
El ensayo de densidad en el terreno con cono y arena consta de tres etapas:
 La primera etapa consiste en determinar el peso de la arena que llena al cono en el
terreno. Esto se hace, primero pesando el frasco con el cono y la totalidad de la arena,
luego se invierte el cono en el lugar preciso en que se va a realizar el ensayo para
posteriormente dejar salir dicha arena del frasco hasta llenar el cono. Finalmente se
pesa el frasco con el cono y la arena que queda. La diferencia de pesos corresponde al
peso de la arena que llena al cono en el terreno. Vale la pena anotar que esta etapa
siempre debe realizarse en el sitio exacto donde se va a realizar el ensayo y no
previamente en el laboratorio.

17
 La segunda etapa corresponde al ensayo propiamente dicho. Básicamente consiste en
hacer un hueco sobre el terreno compactado, pesar el material extraído y determinar el
volumen de dicho hueco. Para determinar el volumen del hueco simplemente se vuelve
a llenar el frasco con arena, pesarlo y colocarlo en posición invertida sobre el hueco para
luego dejar salir la arena, la cual llenará no solamente al cono sino también al hueco,
después se pesa el frasco con el cono y la arena que queda. La diferencia de pesos
corresponderá al peso de la arena en el cono y hueco, al cual se le descuenta el peso de
la arena en el cono determinado en la etapa de calibración, para de esta forma obtener
el peso de la arena en el hueco. Al dividir el peso de la arena en el hueco entre la
densidad de dicha arena se tendrá el volumen del hueco y finalmente se debe calcular el
peso específico húmedo dividiendo al peso del material extraído entre el volumen del
hueco.
 En la tercera y última etapa debe determinarse la humedad del relleno usando una
pequeña muestra del material extraída del hueco de la etapa anterior. Con esta
humedad y el peso específico húmedo se calcula el peso específico seco del relleno
compactado en campo, el cual se compara con el máximo obtenido en una prueba de
compactación de laboratorio (Proctor) y obtener el grado (o porcentaje) de
compactación.
1.2.2. PRUEBA CBR DE LABORATORIO (RELACIÓN DE SOPORTE DE CALIFORNIA)
El CBR corresponde a la relación entre la presión sobre el suelo que se está ensayando y la
presión patrón para una misma penetración del pistón. El CBR se expresa como porcentaje
así:
100
n
esiónPatró
Pr
Ensayado
esiónSuelo
Pr
(%)
CBR 
 ……………(ec 1.2)
Los valores de la presión patrón dependen de la profundidad de penetración del pistón. La
siguiente tabla muestra dichos valores.

18
Penetración (pulg) Presión Patrón (psi)
0.10 1000
0.20 1500
0.30 1900
0.40 2300
0.50 2600
Existen tres métodos de ensayo CBR de laboratorio:
a) CBR METODO I. Se realiza sobre gravas y arenas sin cohesión. El ensayo inicia
tamizando la muestra por la malla de ¾ “, seleccionando solamente el material que pasa
por dicha malla. Luego se compacta el material en 3 moldes, uno con 55 golpes por
capa, otro con 26 golpes por capa y uno con 12 golpes por capa. En los tres moldes se
usa el pisón de compactación cuyo peso es de 10 libras y una altura de caída de 18
pulgadas, el número de capas es de cinco y la humedad de compactación es la óptima.
Una vez compactado el material en cada uno de los tres moldes se realiza el ensayo de
penetración, registrando la carga cuando la penetración es de 0.005, 0.025, 0.05, 0.075,
0.100, 0.150, 0.200, 0.250, 0.300, 0.400 y 0.500 pulgadas. Luego se dibujan las curvas
de penetración (esfuerzo VS penetración) de los tres moldes y se calcula para cada uno
el CBR para una penetración de 0.100 pulgadas y el CBR para una penetración de 0.200
pulgadas, escogiéndose como valor de CBR para cada molde el mayor de estos dos.
Finalmente se dibuja la gráfica d VS CBR con los valores de los tres moldes,
obteniendo tres puntos cuya tendencia es una línea recta, de esta gráfica se obtiene el
CBR para la densidad seca exigida.
b) CBR METODO II. Esta prueba se realiza sobre suelos con plasticidad baja a media poco
expansivos. A diferencia del CBR método I, el ensayo CBR método II se realiza usando
9 moldes, con humedades de compactación correspondientes a la óptima, algunos
puntos porcentuales por debajo y por encima de esta, para 55, 26 y 12 golpes por capa.
También se dibujan las curvas de penetración para los 9 moldes y se determina el CBR
de cada uno como el mayor del correspondiente a 0.100 y 0.200 pulgadas de

19
penetración. También se determina la expansión total para la muestra de cada molde
después de 4 días de inmersión. Vale la pena aclarar que la penetración se realiza
después de los 4 días de inmersión. Se deben dibujar en una misma hoja las tres curvas
d VS humedad para 55, 26 y 12 golpes por capa y por último se dibujan las curvas de
igual expansión e igual CBR en esta misma hoja, para finalmente escoger el CBR de
diseño.
c) CBR METODO III. Este ensayo se realiza sobre suelos expansivos y su procedimiento y
cálculos son muy similares al los del método II.

21
2. CAPACIDAD DE SOPORTE.
En el presente capitulo se va a estudiar la capacidad de carga de un suelo en el cual se va a
cimentar una estructura. Inicialmente se verán algunas de las teorías existentes para el
calculo de la capacidad de soporte última para cimientos superficiales y por último se
estudiarán las cimentaciones profundas, en donde se abordarán temas tales como la
capacidad de un pilote por algunos métodos existentes para tal fin, asentamientos, la
resistencia por ficción, grupos de pilotes, etc.
2.1. CIMENTACIONES SUPERFICIALES.
La capacidad de soporte última es la máxima presión que es capaz de resistir un suelo al
nivel de su fundación sin que se produzca la falla por corte debido a la formación de
superficies de falla de corte.
La capacidad de soporte admisible corresponde a la capacidad de soporte última dividida en
el factor de seguridad por capacidad portante. El factor de seguridad por capacidad portante
debe ser superior al mínimo exigido por la normativa local (para el caso de Colombia la NSR-
98).
La capacidad de soporte admisible adoptada como presión de contacto asegura que el suelo
al nivel de la fundación no fallará por cortante, sin embargo no garantiza que los
asentamientos que se produzcan sean inferiores a los permitidos por las normas locales
(NSR-98 para Colombia), de tal forma que estos deben calcularse y se debe verificar que no
sobrepasen los valores admisibles.
2.1.1. METODOS DE CALCULO DE LA CAPACIDAD DE SOPORTE PARA
CIMENTACIONES SUPERFICIALES.
Las metodologías de calculo de la capacidad portante en cimentaciones superficiales que se
van a estudiar en el presente capitulo son las siguientes:
a) La ecuación de capacidad portante deducida de la condición de estados de equilibrio
plástico de Rankine.
b) La ecuación de capacidad de portante de Terzaghi.

22
B
H
1 2
45+
2
_
φ
qúlt q
_
D
γ
φ
c
Ea Ep
c) La ecuación de capacidad de portante de Meyerhof.
Existen otras metodologías de calculo como la ecuaciónes de Vesic, Hansen y la de Balla
entre otras, pero en estas memorias solamente se presentan las 3 primeras mencionadas
atrás.
2.1.1.1 ECUACION DE CAPACIDAD PORTANTE DEDUCIDA DE LA CONDICION DE
ESTADOS DE EQUILIBRIO PLASTICO DE RANKINE.
La capacidad portante última qúlt se determina a partir de suponer que se forman zonas en
estado de equilibrio plástico en las cuales las superficies de falla son curvas. En el estado
plástico de Rankine las superficies de deslizamiento se consideran planas (error), de tal
forma que el valor de qúlt obtenido por la ecuación de capacidad portante derivada de esta
suposición no es mas que una aproximación, la cual produce resultados en exceso
conservativos en algunas ocasiones.
El mecanismo de falla que se supone se ilustra en la figura 2.1.
FIGURA 2.1

23
Esta metodología de calculo de la capacidad portante última hace las siguientes
suposiciones:
• El suelo es homogéneo con un peso especifico γ.
• El suelo por encima del nivel de fundación se reemplaza por una sobrecarga q cuyo
valor se define por medio de la ecuación 2.1. Además las superficies de falla no se
extienden por encima del nivel de fundación.
D
q γ
= ....................(ec 2.1)
• Por debajo del cimiento se forma una zona 1, en estado de equilibrio plástico activo de
Rankine . En esta zona el esfuerzo principal mayor es el vertical.
• Lateralmente a la zona 1, y confinándola, se forma una zona 2, en estado plástico pasivo
de Rankine. El esfuerzo principal mayor en esta zona es el horizontal.
• El ancho de la zona 1 es igual a B/2.
• La capacidad portante última al nivel de la fundación es qúlt, valor que corresponde a la
presión de contacto entre el cimiento y el suelo en dicho nivel por encima de la zona 1.
Ahora, de la figura 2.1 se puede deducir fácilmente que el valor de H es el dado por la
ecuación 2.2.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
45
2
φ
Tan
B
H ....................(ec 2.2)
Tal como se verá en el capitulo 3, el valor del coeficiente de presión pasiva de tierras Kp se
puede expresar de la siguiente forma:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
=
2
45
2 φ
φ Tan
N
Kp .......................(ec 2.3)

24
o
z
H −
H
+
qúltKa
= +
qKp
_
ZONA 1. ESTADO ACTIVO ZONA 2. ESTADO PASIVO
φ
N
c
2
−
φ
γ
N
c
zo
2
=
φ
φ
γ
N
c
N
H 2
−
φ
N
c
2
φ
φ
γ N
c
HN 2
+
De tal forma que si se relacionan las ecuaciones 2.2 y 2.3 el valor de H se puede hallar
según lo expresado en la ecuación 2.4:
φ
N
B
H
2
= ....................(ec 2.4)
De manera similar, y como también se estudiará en el capitulo 3 el coeficiente de presión
activa de tierras Ka se puede expresar de la siguiente forma:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
=
2
45
1 2 φ
φ
Tan
N
Ka .................(ec 2.5)
De tal que si se considera el equilibrio, entonces se deben igualar el empuje total en la zona
1 (Ea) y el de la zona 2 (Ep). Para ilustrar mejor esta situación se da la figura 2.2.
FIGURA 2.2
De la figura anterior se obtiene la siguiente expresión igualando los empujes en la zona 1 y
en la zona 2.

25
KaH
q
N
c
N
c
N
c
N
H
N
c
H últ
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− φ
φ
φ
φ
φ
γ
γ
γ
2
2
2
1
2
2
2
1
( ) KpH
q
N
c
HN
N
c
H +
+
+
=
2
2
2 φ
φ
φ γ
..............................(ec 2.6)
Reemplazando el valor de Kp (ec 2.3), Ka (ec 2.5) y H (ec 2.4) en la ecuación 2.6 y
despejando qúlt se obtiene:
( )
[ ]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
+
+
+
=
2
2
2
2
/
1
2
/
5
2
2
/
1
2
/
3 φ
φ
φ
φ
φ
γ N
N
B
N
q
N
N
c
qúlt ....................(ec 2.7)
De esta forma se llega a una ecuación general para el calculo de la capacidad portante cuya
estructura es similar la de las ecuaciones obtenidas por otros métodos más exactos.
La ecuación general de capacidad portante es la siguiente:
γ
γ
N
B
N
q
cN
q q
c
últ
2
+
+
= ....................(ec 2.8)
donde Nc, Nq y Nγ son los factores de capacidad portante.
Por tal motivo, los factores de capacidad portante deducidos a partir de la condición de
estados de equilibrio plástico de Rankine son los siguientes:
( )
2
/
1
2
/
3
2 φ
φ N
N
Nc +
= ....................(ec 2.9)
2
φ
N
Nq = ....................(ec 2.10)
( )
2
/
1
2
/
5
2
1
φ
φ
γ N
N
N −
= .................(ec 2.11)

26
B
qúlt q
_
D
γ
φ
c
Los factores de capacidad portante calculados con las ecuaciones 2.9, 2.10 y 2.11 son
excesivamente conservadores. A continuación se verán otros dos métodos que dan
resultados más exactos.
2.1.1.2. ECUACION DE CAPACIDAD PORTANTE DE TERZAGHI.
La ecuación de capacidad portante de Terzaghi tiene una estructura similar la ecuación 2.8,
solamente que los valores de los factores de capacidad portante Nc, Nq y Nγ son calculados
de forma diferente y además Terzaghi incluye dos factores de forma: uno afectando al
termino de la cohesión Sc y otro al termino de la base Sγ.
La diferencia en los valores de los factores de capacidad portante (Nc, Nq y Nγ ) obtenidos
por Terzaghi con los obtenidos a partir de la ecuación deducida a partir de la condición de
estados plásticos de Rankine radica en la suposición que hace Terzaghi que las líneas de
falla bajo la zapata se ajustan a una espiral logarítmica (ver figura 2.3).
FIGURA 2.3
En resumen, la ecuación de capacidad portante de Terzaghi es la siguiente:

27
γ
γ
γ
S
N
B
N
q
S
cN
q q
c
c
últ
2
+
+
= ....................(ec 2.12)
Los factores de capacidad portante a usar en la ecuación de Terzaghi se pueden calcular de
la siguiente forma.
Primero se calcula el factor Nq así:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
2
45
cos
2 2
2
φ
a
Nq ....................(ec 2.13)
donde :
( ) φ
φ
π tan
2
/
75
.
0 −
= e
a .....................(ec 2.14)
Luego se procede a calcular el factor Nc por medio de la ecuación 1.15 o de la ecuación 1.16
según sea el caso:
( ) φ
cot
1
−
= q
c N
N para φ ≠ 0 ......................(ec 2.15)
1
5
.
1 +
= π
c
N para φ = 0......................(ec 2.16)
A continuación se calcula el factor Nγ por medio de la ecuación 2.17:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= 1
cos
2
tan
2
φ
φ γ
γ
p
K
N ....................(ec 2.17)
Terzaghi nunca explico muy bien como fue que obtuvo el valor de Kpγ usado para el calculo
del factor de capacidad de carga Nγ. Sin embargo el dio una curva de φ versus Nγ y además
dio los valores especificos de Nγ para tres valores de φ (0, 34 y 48°).

28
Joseph Bowles tomó mas puntos de la curva dada por Terzaghi para recalcular
Kpγ obteniendo un mejor ajuste. En la tabla 2.1 se presentan los valores de Kpγ obtenidos por
Bowles para el calculo del factor Nγ por medio de la ecuación 2.17.
φ° Kpγ
0 10.8
5 12.2
10 14.7
15 18.6
20 25
25 35
30 52
35 82
40 141
45 298
50 800
TABLA 2.1
Las ecuaciones de capacidad portante de Terzaghi fueron hechas para cimentaciones poco
profundas donde D≤B, tal que la resistencia al corte por encima del nivel de la cimentación
sea despreciable.
Los factores de forma que afectan al termino de la cohesión Sc y al termino de la base Sγ y
que se van a utilizar en la ecuación 2.12 para el calculo de la capacidad portante última se
pueden obtener de la tabla 2.2.
CIMIENTO CIMIENTOS CONTINUOS CIRCULAR CUADRADO
Sc 1.0 1.3 1.3
Sγ 1.0 0.6 0.8
TABLA 2.2

29
Los valores de la capacidad portante última obtenidos a partir de la ecuación de Terzaghi (ec
2.12) son mas exactos que los obtenidos a partir de la ecuación deducida de los estados de
equilibrio plástico de Rankine.
2.1.1.3. ECUACION DE CAPACIDAD PORTANTE DE MEYERHOF.
Meyerhof propuso una ecuación para hallar la capacidad portante similar a la de Terzaghi,
solamente que incluye el factor de forma Sγ afectando al termino de q . Meyerhof también
incluyó los factores de profundidad dc, dq y dγ y los factores de inclinación ic, iq e iγ, estos
últimos para los casos en los cuales la carga sobre la cimentación está inclinada con
respecto a la vertical, de tal forma que la ecuación de Meyerhof para calcular la capacidad
portante es la siguiente:
γ
γ
γ
γ
γ
i
d
S
N
B
i
d
S
N
q
i
d
S
cN
q q
q
q
q
c
c
c
c
últ
2
+
+
= ....................(ec 2.18)
Si la carga es vertical, los factores de inclinación ic, iq e iγ son iguales a 1. Además si la carga
sobre la cimentación está inclinada con respecto a la vertical los factores de forma Sc, Sq y
Sγ son iguales a 1. De igual forma si la cimentación es continua Sc, Sq y Sγ son iguales a 1.
A continuación se explica una de las múltiples formas de hallar los factores de capacidad
portante Nc, Nq y Nγ; los factores de forma Sc, Sq y Sγ; los factores de profundidad dc, dq y dγ y
los factores de inclinación ic, iq e iγ. Existen otras formas de calcular los factores
mencionados atrás, para ser reemplazados en la ecuación de Meyerhof (ec 2.18)
recomendadas por varios autores.
• Factores de capacidad portante.
φ
π
φ tan
2
2
45
tan e
Nq ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
= ....................(ec 2.19)
( ) φ
cot
1
−
= q
c N
N ...................(ec 2.20)
( ) φ
γ tan
1
2 +
= q
N
N .................(ec 2.21)

30
El valor de Nγ dado en la ecuación 2.21 fue propuesto por Vesic (1973).
• Factores de forma (Hansen 1970).
c
q
c
N
N
L
B
S +
= 1 ....................(ec 2.22)
φ
tan
1
L
B
Sq +
= ...................(ec 2.23)
L
B
S 4
.
0
1−
=
γ ....................(ec 2.24)
donde : L = Longitud del cimiento.
B = Ancho del cimiento.
B < L.
• Factores de profundidad (Hansen 1970).
a) Para D/B ≤ 1
B
D
dc 4
.
0
1+
= ....................(ec 2.25)
( )
B
D
sen
dq
2
1
tan
2
1 φ
φ −
+
= ....................(ec 2.26)
1
=
γ
d ....................(ec 2.27)
b) Para D/B > 1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
= −
B
D
dc
1
tan
4
.
0
1 ...................(ec 2.28)

31
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
= −
B
D
sen
dq
1
2
tan
1
tan
2
1 φ
φ .................(2.29)
1
=
γ
d ....................(ec 2.30)
En las ecuaciones 2.28 y 2.29 el valor de ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
B
D
1
tan está dado en radianes.
• Factores de inclinación (Meyerhof 1963).
2
90
1 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
°
°
−
=
=
ψ
q
c i
i ...................(ec 2.31)
2
1 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
φ
ψ
γ
i ....................(ec 2.32)
donde: ψ = Inclinación de la carga sobre la cimentación con respecto a la vertical.
Si la cimentación está cargada excéntricamente se debe hacer lo siguiente:
a) Si la excentricidad es en dirección del ancho de la cimentación:
• Determinar el ancho efectivo B’ = B - 2e.
• El largo efectivo L’=L
b) Si la excentricidad es en dirección del largo de la cimentación:
• Determinar el largo efectivo L’ = L – 2e
• El ancho efectivo B = B’
Donde e es la excentricidad.

32
q
Ps
L
B
dx
q
Ps
Q
Q+dQ
M M+dM
dx
2.1.2. VIGAS DE CIMENTACION. METODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS.
A continuación se presenta el método de las diferencias finitas para el calculo de
deformaciones, fuerzas de corte y momentos flexionantes. Para el desarrollo de las formulas
correspondientes se utilizará como ayuda la figura 2.4.
FIGURA 2.4
Con respecto a la figura 2.4 se hacen las siguientes definiciones:
q = Presión transmitida por la superestructura a la viga.
Ps = Presión de contacto.
B = Ancho de la viga.
B < L
L = Longitud de la viga.
M = Momento flexionante
Q = Fuerza de corte

33
yi
i
Del curso de resistencia de materiales se sabe que:
( )
Ps
q
B
dx
dQ
−
= ....................(ec 2.33)
dx
dM
Q −
= ....................(ec 2.34)
2
2
dx
y
d
EI
M −
= ....................(ec 2.35)
Reemplazando (2.35) en (2.34) se tiene que:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
= 2
2
dx
y
d
EI
dx
d
Q ⇒ 3
3
dx
d
EI
Q
y
= .....................(ec 2.36)
Reemplazando (1.36) en (1.33) se tiene lo siguiente:
( )
Ps
q
B
dx
y
d
EI
dx
d
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
3
⇒ BPs
Bq
dx
y
d
EI −
=
4
4
⇒ Bq
BPs
dx
y
d
EI =
+
4
4
.........(ec 2.37)
La presión de contacto Ps en cualquier punto de la viga es proporcional a la deformación (o
asiento) en dicho punto.
FIGURA 2.5
i
s y
K
Ps = ....................(ec 2.38)

34
donde Ks es la constante de proporcionalidad llamada coeficiente de balasto. Ks tiene
unidades de densidad.
Si se reemplaza (2.38) en (2.37) se tiene lo siguiente:
Bq
y
BK
dx
y
d
EI i
s =
+
4
4
....................(ec 2.39)
Se sabe que:
x
y
y
dx
dy i
i
Δ
−
= +1
......................(ec 2.40)
Si se deriva (2.40) una vez mas con respecto a x se obtiene:
( ) ( )
x
x
y
y
x
y
y
dx
y
d
i
i
i
i
Δ
Δ
−
−
Δ
−
=
−
+ 1
1
2
2
⇒ 2
1
1
2
2
2
x
y
y
y
dx
y
d i
i
i
Δ
+
−
= −
+
..............(ec 2.41)
Y ahora derivando (2.41) otra vez con respecto a x se obtiene:
( ) ( )
x
x
y
y
y
x
y
y
y
dx
y
d
i
i
i
i
i
i
Δ
Δ
+
−
−
Δ
+
−
=
−
−
−
+
2
2
1
2
1
1
3
3
2
2
⇒ 3
2
1
1
3
3
3
3
x
y
y
y
y
dx
y
d i
i
i
i
Δ
−
+
−
= −
−
+
....................(ec 2.42)
La ecuación 2.42 también se puede expresar también de la siguiente forma, desplazándola
un nodo adelante:
3
1
1
2
3
3
3
3
x
y
y
y
y
dx
y
d i
i
i
i
Δ
−
+
−
= −
+
+
................(ec 2.43)

35
La ecuación 2.42 tal como se podrá apreciar mas adelante en el ejemplo se utiliza para
calcular el cortantes en el último nodo exterior con base en la ecuación 2.36 y la ecuación
2.43 se utiliza para calcular el cortante desde el primer nodo exterior hasta el último nodo
interior utilizando la misma ecuación 2.36.
Ahora, si se deriva la ecuación 2.43 con respecto a x nuevamente se obtiene lo siguiente:
( ) ( )
x
x
y
y
y
y
x
y
y
y
y
dx
y
d
i
i
i
i
i
i
i
i
Δ
Δ
−
+
−
−
Δ
−
+
−
=
−
−
+
−
+
+
3
2
1
1
3
1
1
2
4
4
3
3
3
3
⇒ a
i
i
i
i
i
x
y
y
y
y
y
dx
y
d
Δ
+
−
+
−
= −
−
+
+ 2
1
1
2
4
4
4
6
4
....................(ec 2.44)
Por lo tanto la ecuación diferencial 2.39 se convierte en un conjunto de ecuaciones lineales
para cada nodo interno i así:
( ) Bq
y
BK
y
y
y
y
y
x
EI
i
s
i
i
i
i
i =
+
+
−
+
−
Δ
−
−
+
+ 2
1
1
2
4
4
6
4 ....................(ec 2.45)
La carga distribuida q se puede expresar como una carga concentrada Pi actuando en el
nodo i en un área ΔxB así:
xB
P
q i
Δ
= ....................(ec 2.46)
Si se remplaza (2.46) en (2.45) se obtiene:
( )
x
P
y
BK
y
y
y
y
y
x
EI i
i
s
i
i
i
i
i
Δ
=
+
+
−
+
−
Δ
−
−
+
+ 2
1
1
2
4
4
6
4 .....................(ec 2.47)
En la ecuación 2.47 Pi es la carga actuando en el nodo i. Por otra parte dicha ecuación solo
se aplica a los nodos interiores y no en los exteriores (apoyos).

36
6 Ton
3m 4m
5Ton
4m
La metodología de calculo implica que se tomen dos nodos ficticios adicionales, uno al lado
de cada apoyo, esta situación quedará clara al lector con el ejemplo que se da mas
adelante.
Por otra parte tal como se ha presentado la metodología de calculo, se tendría un sistema
estáticamente indeterminado, siendo el grado de indeterminación de 4. de tal forma que se
tiene hasta el momento un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas y n-4
ecuaciones. Por esta razón se deben buscar 4 ecuaciones adicionales. Como no existe
algún impedimento para el desplazamiento o rotación en los apoyos se supone que dichos
apoyos son simples. De tal forma que se cuentan con 4 ecuaciones adicionales, dos en las
cuales el momento en cada uno de los dos apoyos es cero y dos en las cuales el cortante en
cada uno de los dos apoyos también es cero.
0
2
2
=
−
=
dx
y
d
EI
M apoyos ..............................(ec 2.48)
0
3
3
=
=
dx
y
d
EI
Qapoyos ..............................(ec 2.49)
Las ecuaciones 2.48 y 2.49 solamente se aplican en los apoyos. Una vez calculadas las
deformaciones con el sistema de ecuaciones lineales proveniente del uso de las ecuaciones
2.47 en los nodos interiores y 2.48 y 2.49 en los nodos exteriores. Se procede a calcular los
cortantes por medio de la ecuación 2.36 y los momentos por medio de la ecuación 2.35.
2.1.2.1 EJEMPLO DE CALCULO DE UNA VIGA DE CIMENTACIÓN POR EL METODO DE
LAS DIFERENCIAS FINITAS.
Para la viga de cimentación mostrada calcule cada metro las deformaciones, los cortantes y
los momentos. Escriba todas las formulas que utilice para cada caso, de lo contrario no vale
el punto
FIGURA 2.6
Econcreto = 2’000,000 T/m2

37
6 Ton 5Ton
0
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
13
Ks = 30 T/m3
Ancho de la viga, B = 1.2m
Altura de la Viga, h = 1m
Longitud de la viga, L = 11m
# Partes= 11
SOLUCION:
Primero se divide a la viga en 11 partes iguales, es decir vamos a tener un Δx = 1 m
La metodología de calculo implica que se adicionen 2 nodos ficticios, los cuales
corresponden a los nodos 0 y 13 de la figura 2.7.
FIGURA 2.7
En la figura 2.7 podemos ver que tenemos los siguientes tipos de nodos:
Nodos imaginarios: 0 y 13.
Nodos Exteriores: 1 y 12.
Nodos interiores: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11
Luego de calcula el momento de inercia de la sección transversal así:
4
3
3
1
.
0
1
2
.
1
12
1
12
1
m
Bh
I =
×
×
=
=
Enseguida se calcula el producto EI
2
200000
1
.
0
2000000 m
T
EI −
=
×
=

38
A continuación aplicamos la ecuación 2.47 a los nodos interiores así:
Nodo 2: 0
20000
800000
1200036
800000
200000 0
1
2
3
4 =
+
−
+
− y
y
y
y
y
Nodo 3: 0
20000
800000
1200036
800000
200000 1
2
3
4
5 =
+
−
+
− y
y
y
y
y
Nodo 4: 6
20000
800000
1200036
800000
200000 2
3
4
5
6 =
+
−
+
− y
y
y
y
y
Nodo 5: 0
20000
800000
1200036
800000
200000 3
4
5
6
7 =
+
−
+
− y
y
y
y
y
Nodo 6: 0
20000
800000
1200036
800000
200000 4
5
6
7
8 =
+
−
+
− y
y
y
y
y
Nodo 7: 0
20000
800000
1200036
800000
200000 5
6
7
8
9 =
+
−
+
− y
y
y
y
y
Nodo 8: 5
20000
800000
1200036
800000
200000 6
7
8
9
10 =
+
−
+
− y
y
y
y
y
Nodo 9: 0
20000
800000
1200036
800000
200000 7
8
9
10
11 =
+
−
+
− y
y
y
y
y
Nodo 10: 0
20000
800000
1200036
800000
200000 8
9
10
11
12 =
+
−
+
− y
y
y
y
y
Nodo 11: 0
20000
800000
1200036
800000
200000 9
10
11
12
13 =
+
−
+
− y
y
y
y
y
La cuatro ecuaciones faltantes las obtenemos por medio de las ecuaciones 2.48 y 2.49,
aplicándolas a los nodos exteriores 1 y 12 bajo la suposición de apoyos simples.
Nodo 1: 0
1
2
2
2
1 2
0 y
y
y
dx
y
d
EI
M +
−
=
=
−
=
0
1
2
3
3
3
1 3
3
0 y
y
y
y
dx
y
d
EI
Q −
+
−
=
=
=
Note que Q1 se calculó con 3
3
dx
y
d
obtenido a partir de la ecuación 2.43.
Nodo 12: 11
12
13
2
2
12 2
0 y
y
y
dx
y
d
EI
M +
−
=
=
−
=
10
11
12
13
3
3
12 3
3
0 y
y
y
y
dx
y
d
EI
Q −
+
−
=
=
=

39
MATRIZ DE COEFICIENTES
Y0 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12 Y13
N2 200000 -800000 1200036 -800000 200000 0 0 0 0 0 0 0 0 0
N3 0 200000 -800000 1200036 -800000 200000 0 0 0 0 0 0 0 0
N4 0 0 200000 -800000 1200036 -800000 200000 0 0 0 0 0 0 0
N5 0 0 0 200000 -800000 1200036 -800000 200000 0 0 0 0 0 0
N6 0 0 0 0 200000 -800000 1200036 -800000 200000 0 0 0 0 0
N7 0 0 0 0 0 200000 -800000 1200036 -800000 200000 0 0 0 0
N8 0 0 0 0 0 0 200000 -800000 1200036 -800000 200000 0 0 0
N9 0 0 0 0 0 0 0 200000 -800000 1200036 -800000 200000 0 0
N10 0 0 0 0 0 0 0 0 200000 -800000 1200036 -800000 200000 0
N11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200000 -800000 1200036 -800000 200000
M1 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Q1 -1 3 -3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
M12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1
Q12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 3 -3 1
MATRIZ INVERSA
0,012688727 0,010454943 0,008233875 0,006026357 0,003831742 0,001648296 -0,0005264 -0,00269507 -0,00486034 -0,00702434 449,7567941 2986,502226 -432,800595 1837,669478
0,011155773 0,009272403 0,007397026 0,005530964 0,003674208 0,001825754 -1,6063E-05 -0,00185324 -0,00368776 -0,00552129 377,6738464 2608,82838 -366,705809 1470,96367
0,009622818 0,008089864 0,006560177 0,00503557 0,003516674 0,002003212 0,000494277 -0,0010114 -0,00251518 -0,00401823 306,5908986 2231,154533 -300,611023 1104,257861
0,008089864 0,006907324 0,005723328 0,004540176 0,003359139 0,00218067 0,001004617 -0,00016956 -0,0013426 -0,00251518 236,5079509 1854,480687 -234,516237 737,5520517
0,006560177 0,005723328 0,004885298 0,004043876 0,003200972 0,002357768 0,001514868 0,000672455 -0,00016956 -0,0010114 167,3698168 1479,405233 -168,367341 370,6474763
0,00503557 0,004540176 0,004043876 0,003544946 0,003040934 0,002533752 0,00202476 0,001514868 0,001004617 0,000494277 99,07873852 1106,192756 -102,068013 3,212608763
0,003516674 0,003359139 0,003200972 0,003040934 0,002877212 0,002707444 0,002533752 0,002357768 0,00218067 0,002003212 31,50683174 734,8415505 -35,4916221 -365,150793
0,002003212 0,00218067 0,002357768 0,002533752 0,002707444 0,002877212 0,003040934 0,003200972 0,003359139 0,003516674 -35,4916221 365,1507933 31,50683174 -734,841551
0,000494277 0,001004617 0,001514868 0,00202476 0,002533752 0,003040934 0,003544946 0,004043876 0,004540176 0,00503557 -102,068013 -3,21260876 99,07873852 -1106,19276
-0,0010114 -0,00016956 0,000672455 0,001514868 0,002357768 0,003200972 0,004043876 0,004885298 0,005723328 0,006560177 -168,367341 -370,647476 167,3698168 -1479,40523
-0,00251518 -0,0013426 -0,00016956 0,001004617 0,00218067 0,003359139 0,004540176 0,005723328 0,006907324 0,008089864 -234,516237 -737,552052 236,5079509 -1854,48069
-0,00401823 -0,00251518 -0,0010114 0,000494277 0,002003212 0,003516674 0,00503557 0,006560177 0,008089864 0,009622818 -300,611023 -1104,25786 306,5908986 -2231,15453
-0,00552129 -0,00368776 -0,00185324 -1,6063E-05 0,001825754 0,003674208 0,005530964 0,007397026 0,009272403 0,011155773 -366,705809 -1470,96367 377,6738464 -2608,82838
-0,00702434 -0,00486034 -0,00269507 -0,0005264 0,001648296 0,003831742 0,006026357 0,008233875 0,010454943 0,012688727 -432,800595 -1837,66948 449,7567941 -2986,50223
TERMINOS
INDEPENDIENTES
N0 0
N1 0
N2 6
N3 0
N4 0
N5 0
N6 5
N7 0
N8 0
N9 0
N10 0
N11 0
N12 0
N13 0
Y(m)
y0= 0,046771236
y1= 0,044301842
y2= 0,041832448
y3= 0,039363053
y4= 0,036886129
y5= 0,03438706
y6= 0,031874592
y7= 0,029351279
y8= 0,02681394
y9= 0,02425411
y10= 0,021683498
y11= 0,019109446
y12= 0,016535395
y13= 0,013961343
Note que Q12 se calculó con 3
3
dx
y
d
obtenido a partir de la ecuación 2.42.
Se tienen en este momento 14 ecuaciones para 14 incógnitas, luego el sistema es
estáticamente determinado. A continuación se presenta la solución hecha con la ayuda de
una hoja electrónica. Primero se presenta la matriz de los coeficientes, luego se halla su
inversa y por ultimo la matriz inversa se multiplica por el vector de términos independientes
para obtener las deformaciones y.

40
Y VS X
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0,05
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00
X(m)
Y(m)
Con los valores de y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10, y11 y y12 se dibuja la deformada:
Los valores de y0 y y13 se utilizan solamente para calcular momentos y cortantes ya que
tanto el nodo 0 como el 13 son imaginarios, por esta razón es que dichos valores no se
tuvieron en cuanta para dibujar la deformada.
Una vez calculadas las deformaciones y, a partir de dichos valores calculamos los cortantes
en cada uno de los nodos reales (exteriores e interiores).
Las fuerzas de corte desde el nodo 1 hasta el nodo 11 se calculan por medio de la ecuación
2.36 con la derivada tercera de y con respecto a x hallada a partir de la ecuación 2.43. Y la
fuerza de corte en el nodo 12 se calcula por medio de la ecuación con la derivada tercera de
y con respecto a x hallada a partir de la ecuación 2.36 2.42.
Por último se calculan los momentos desde el nodo 1 hasta el nodo 12 por medio de la
ecuación 2.35.

41
Q(Ton)
Q1= 0
Q2= -1,51
Q3= -2,92
Q4= 1,75
Q5= 0,51
Q6= -0,64
Q7= -1,69
Q8= 2,34
Q9= 1,47
Q10= 0,69
Q11= 0
Q12= 0
M(Ton-m)
M1= 0
M2= 0
M3= 1,51
M4= 4,43
M5= 2,68
M6= 2,17
M7= 2,81
M8= 4,50
M9= 2,16
M10= 0,69
M11= 0
M12= 0
Q VS X
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00
X(m)
Q(Ton)
M VS X
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00
X(m)
M(Ton-m)

42
NODO X(m) Y(m) Q(Ton) M(Ton-m)
1 0,00 0,044302 0 0
2 1,00 0,041832 -1,51 0
3 2,00 0,039363 -2,92 1,51
4 3,00 0,036886 1,75 4,43
5 4,00 0,034387 0,51 2,68
6 5,00 0,031875 -0,64 2,17
7 6,00 0,029351 -1,69 2,81
8 7,00 0,026814 2,34 4,50
9 8,00 0,024254 1,47 2,16
10 9,00 0,021683 0,69 0,69
11 10,00 0,019109 0 0
12 11,00 0,016535 0 0
La siguiente tabla presenta un resumen de los resultados obtenidos en este ejemplo:
2.1.3. CIMENTACIONES CON PILOTES.
Los pilotes son elementos estructurales que sirven para transmitir cargas al suelo de
cimentación a una profundidad considerable, estos pueden ser de acero, concreto, o
compuestos. Las cimentaciones piloteadas son ideales para situaciones como las que se
enumeran a continuación:
• Cuando los estratos superiores de suelo son blandos, y en los cuales el proyectar
cimentaciones superficiales comprometería la estabilidad de la estructura debido a una
capacidad de soporte baja y a los asentamientos superiores a los admisibles. En estos
casos los pilotes se extenderán hasta un manto rocoso o por lo menos tienen que
penetrar en un estrato duro.
• Cuando las cimentaciones van a ser sometidas a fuerzas horizontales altas, tales como
sismos, las cimentaciones con pilotes soportarán por flexión tales fuerzas además de
soportar la carga vertical transmitida por la estructura arriba de estas.

43
SUELO BLANDO
ROCA
Qu
L
Qp
• Cuando los niveles superiores están sometidos a erosión es conveniente llevar mediante
pilotes las cargas transmitidas por la superestructura a un estrato estable y duro, ya que
dicha erosión traerá como consecuencia una disminución en la capacidad portante si se
utilizan cimentaciones superficiales, tal es el caso de los estribos y pilas para puentes,
en los cuales generalmente las cimentaciones son profundas.
• Cuando los estratos superiores corresponden a suelos expansivos, en los cuales los
cambios en el contenido de agua traen consigo cambios volumétricos, es recomendable
llevar las cimentaciones con pilotes hasta un estrato estable.
De acuerdo con el mecanismo de transferencia de la carga al suelo los pilotes se dividen
entres grupos: los pilotes de carga de punta, los pilotes de fricción y los pilotes de
compactación:
a) Pilotes de carga de punta.
Cuando la profundidad del manto rocoso no es muy alta, los pilotes se extienden hasta la
superficie de dicho manto, en este caso la capacidad última de los pilotes depende de la
capacidad de soporte del manto rocoso y los pilotes en cuestión se denominan pilotes de
carga de punta (ver figura 2.8).
FIGURA 2.8

44
SUELO BLANDO
Qu
L
Qp
Lb SUELO DURO
Qs
Si debajo del estrato débil no se encuentra la roca pero si un estrato duro y estable (ver
figura 2.9), el pilote penetra en este una profundidad denominada Lb, en este caso la carga
última del pilote Qu se expresa como:
s
p
u Q
Q
Q +
= ....................(ec 2.50)
donde : Qp = Carga en la punta del pilote.
Qs = Carga por fricción generada a los lados del pilote, dicha fricción se genera por
la resistencia al corte entre el suelo y el pilote.
Cuando Qs es muy pequeña se puede despreciar, es decir:
p
u Q
Q = ...................(ec 2.51)
FIGURA 2.9
b) Pilotes de fricción.
Si el estrato duro o la roca se encuentran a una gran profundidad resulta muy costoso llevar
los pilotes hasta dicha profundidad, por tal motivo los pilotes se hincan solo en el estrato

45
SUELO BLANDO
Qu
L
Qp
Qs
blando (ver figura 2.10), en este caso la carga última del pilote se puede hallar por medio de
la ecuación 2.50, solamente que Qp es muy pequeño y se puede despreciar, es decir Qu se
puede hallar mediante la siguiente expresión:
s
u Q
Q = ....................(ec 2.52)
FIGURA 2.10
c) Pilotes de compactación.
En ocasiones los pilotes se hincan para mejorar la compactación de suelos granulares cerca
de la superficie, estos pilotos son mas cortos y la longitud de esos depende de la densidad
relativa inicial, de la densidad relativa deseada final y de la profundidad hasta la que se
desea compactar.
2.3.1.1. ECUACIONES PARA EL CALCULO DE LA CAPACIDAD DE UN PILOTE.
La capacidad de carga última de un pilote se puede calcular según la ecuación 2.50 vista
atrás como la carga tomada en la punta mas la resistencia por fricción total así:
s
p
u Q
Q
Q +
= ....................(ec 2.50)

46
Qp y Qs ya fueron definidos atrás.
a) Capacidad de carga de punta, Qp.
De manera similar al calculo de la capacidad de carga de cimentaciones superficiales se
puede calcular la capacidad última en la punta por área unitaria así:
*
*
*
' γ
γDN
N
q
cN
q q
c
p +
+
= ....................(ec 2.53)
En la ecuación 2.53, D es el ancho del pilote y el termino γDNγ* es muy pequeño y se puede
despreciar de tal forma que la ecuación 2.53 se transforma así:
*
*
' q
c
p N
q
cN
q +
= ....................(ec 2.54)
En este caso q’ es el esfuerzo efectivo vertical al nivel de la punta. Si se quiere calcular la
carga de punta del pilote basta con multiplicar el valor de qp por el área de la punta del pilote
Ap, obteniendo el valor dado en la ecuación 2.55.
( )
*
*
' q
c
p
p
p
p N
q
cN
A
q
A
Q +
=
= ....................(ec 2.55)
Nc* y Nq* son los factores de capacidad de carga y se calculan de forma diferente a los
factores de capacidad de carga vistos para cimentaciones superficiales.
b) Resistencia por fricción, Qs.
La resistencia por fricción de un pilote se puede calcular con la ecuación 2.56:
∑ Δ
= Lf
p
Qs ....................(ec 2.56)
En la ecuación 2.56: p = perímetro de la sección del pilote.
ΔL = longitud del pilote en la cual p y f son constantes.
f = resistencia a la fricción unitaria a la profundidad z.

47
A continuación se explican algunas de las metodologías existentes para el calculo de Qp y
Qs.
2.3.1.1.1. ECUACIONES PARA EL CALCULO DE Qp.
A continuación se presentan dos de los dos métodos existentes para el calculo de la
capacidad de punta de un pilote:
METODO DE MEYERHOF PARA EL CALCULO DE Qp.
a) En arenas.
Si se define a Lb/D como la relación de empotramiento, recordando que Lb es la profundidad
de empotramiento, entonces si se tiene un pilote en arena la capacidad última en la punta qp
crece con Lb/D (tal como se muestra en la figura 2.11 - Tomada del libro: Principios de
Ingeniería de Cimentaciones, Das Braja, 2001) hasta que el valor de qp adquiere un valor
constante ql cuando la relación de empotramiento alcanza su valor (Lb/D)cr.
FIGURA 2.11

48
Note que cuando se tiene un solo estrato homogéneo Lb = L, mientras que si el pilote penetra
un estrato firme de apoyo Lb < L.
Note que si el pilote está sobre arena (con c = 0) la ecuación 2.55 se puede expresar de la
siguiente forma:
*
' q
p
p
p
p N
q
A
q
A
Q =
= ....................(ec 2.57)
El factor de capacidad portante Nq* se puede obtener de la figura 2.12 (Tomada del libro:
Principios de Ingeniería de Cimentaciones, Das Braja, 2001).
FIGURA 2.12

49
Note en la figura 2.11 que Qp no debe exceder el valor de Apql es decir:
l
p
q
p
p q
A
N
q
A
Q ≤
= *
' ....................(ec 2.58)
La resistencia de punta limite ql se puede calcular por medio de la ecuación 2.59 o de la
ecuación 2.60 según el sistema de unidades que se utilice:
φ
tan
50
)
/
( *
2
q
l N
m
kN
q = ......................(ec 2.59)
φ
tan
1000
)
/
( *
2
q
l N
pies
lb
q = ....................(ec 2.60)
b) En arcillas (φ = 0).
Bajo condiciones no drenadas para pilotes en arcillas saturadas, y teniendo en cuenta que
φ = 0, Qp se puede calcular por medio de la ecuación 2.61:
p
u
p
u
c
p A
c
A
c
N
Q 9
*
=
= ....................(ec 2.61)
Nc* también se puede obtener de la figura 2.12 (Tomada del libro: Principios de Ingeniería de
Cimentaciones, Das Braja, 2001) y cu es la cohesión no drenada del suelo por debajo de al
punta del pilote.
METODO DE COYLE Y CASTELLO PARA EL CALCULO DE Qp EN ARENAS.
Coyle y Castello después de varias pruebas de carga propusieron la siguiente ecuación para
el calculo de la carga de punta de pilotes en arenas:
*
' q
p
p N
q
A
Q = ....................(ec 2.62)
El valor del factor de capacidad de carga Nq* se puede obtener por medio de la figura 2.13
(Tomada del libro: Principios de Ingeniería de Cimentaciones, Das Braja, 2001) propuesta
también por Coyle y Castello (1981) y q’ es el esfuerzo vertical efectivo en el suelo por
debajo de la punta del pilote.

50
FIGURA 2.13
2.3.1.1.2. CALCULO DE LA RESISTENCIA POR FRICCIÓN Qs.
EN ARENA
Tal como se mencionó atrás Qs se puede calcular por medio de la ecuación 2.56 así:
∑ Δ
= Lf
p
Qs ....................(ec 2.56)

51
También se mencionó que f es la resistencia a la fricción unitaria. El valor de f aumenta con
la profundidad, hasta que esta última alcanza un valor L’ tal como lo muestra la figura 2.14
(Tomada del libro: Principios de Ingeniería de Cimentaciones, Das Braja, 2001).
FIGURA 2.14
La profundidad L’ se puede calcular de manera aproximada por medio de la ecuación 2.63:
D
L 15
'= ....................(ec 2.63)
Recordemos que D es el ancho del pilote. De acuerdo con lo anterior Das propone lo
siguiente para calcular el valor de f:
Desde z=0 hasta z=L’:
δ
σ tan
'
v
K
f = ....................(ec 2.64)
y desde z=L’ hasta z=L:

52
'
L
z
f
f =
= .....................(ec 2.65)
En la ecuación 2.64: K = Coeficiente efectivo de la tierra, el cual varía entre el valor del
coeficiente de presión pasiva de tierras Kp en la parte superior
del pilote y es menor que el valor del coeficiente de presión de
tierras en reposo para una profundidad mayor. K puede
obtenerse de la tabla 2.3.
σ’v = Esfuerzo efectivo vertical.
δ = Angulo de fricción entre suelo y pilote 0.5φ ≤ δ ≤ 0.8φ.
TIPO DE PILOTE K
Preexcavado Ko = 1-senφ
Hincado de bajo desplazamiento Ko---1.4Ko
Hincado de alto desplazamiento Ko---1.8Ko
TABLA 2.3
Coyle y Castello propusieron hallar un valor promedio de la resistencia a la fricción unitaria
fprom, cuyo valor puede hallarse por medio de la ecuación 2.66:
δ
σ tan
'
v
prom K
f = ....................(ec 2.66)
En la ecuación 2.66
'
v
σ es el esfuerzo efectivo promedio de sobrecarga, y δ=0.8φ y
nuevamente es el ángulo de fricción entre pilote y suelo.
Por lo tanto la resistencia por fricción se puede calcular por medio de la ecuación 2.67
después de reemplazar K,
'
v
σ y δ en 2.66 y 2.56 :
( )pL
K
Q v
s φ
σ 8
.
0
tan
'
= ...................(ec 2.67)

53
EN ARCILLA
Algunos de los métodos para determinar la resistencia por fricción Qs en arcillas son los
siguientes:
A. METODO λ.
Este método fue formulado por Vijayvergiva y Focht (1972) y parte de la base que debido al
desplazamiento del suelo como consecuencia del hincado del pilote se produce una presión
lateral pasiva, de tal forma que la resistencia a la fricción unitaria promedio se puede calcular
por medio de la ecuación 2.68:
( )
u
v
prom c
f 2
'
+
= σ
λ ....................(ec 2.68)
En la ecuación 2.68
'
v
σ es el esfuerzo efectivo medio y cu es la resistencia cortante no
drenada promedio (φ=0).
En suelos estratificados
'
v
σ se calcula como la sumatoria del área del diagrama de
presiones efectivas en cada estrato dividida en la longitud total tal como se expresa en la
ecuación 2.69.
L
Ai
v
∑
=
'
σ ...................(ec 2.69)
De forma similar, también en suelos estratificados, cu se calcula como la sumatoria del
producto de la cohesión no drenada en cada estrato por la longitud de dicho estrato, dividida
por la longitud total, tal como se define en la ecuación 2.70.
L
L
c
c
i
u
u
i
∑ ×
= ....................(ec 2.70)
λ varía con la longitud del pilote. El valor de λ se puede obtener de la figura 2.15 (Tomada
del libro: Principios de Ingeniería de Cimentaciones, Das Braja, 2001).

54
FIGURA 2.15
Por último el valor de la resistencia por fricción Qs se puede calcular por medio de la
ecuación 2.71:
prom
s pLf
Q = ...................(ec 2.71)
B. METODO α.
Según este método la resistencia a la fricción unitaria f en arcillas se puede calcular por
medio de la ecuación 2.72.

55
u
c
f α
= ....................(ec 2.72)
En la ecuación 2.72 α es el factor de adhesión empírico, el cual se puede obtener por medio
de la figura 2.16 (Tomada del libro: Principios de Ingeniería de Cimentaciones, Das Braja,
2001).
FIGURA 2.16
Una vez obtenido el valor de a se calcula la resistencia por fricción Qs por medio de la
ecuación 2.73.
∑ ∑ Δ
=
Δ
= L
p
c
L
fp
Q u
s α ....................(ec 2.73)

56
C. METODO β.
Según este método la resistencia a la fricción unitaria f se determina de acuerdo con los
parámetros de esfuerzo efectivo en estado remoldeado así:
'
v
f βσ
= ....................(ec 2.74)
En la ecuación 2.74 σv’ es el esfuerzo efectivo vertical y β se puede calcular por medio de la
ecuación 2.75.
R
K φ
β tan
= ....................(ec 2.75)
En la ecuación 2.75 φR es el ángulo de fricción drenada de la arcilla remoldeada y K es el
coeficiente de presión de tierras en reposo, el cual se puede calcular por medio de la
ecuación 2.76 o de la ecuación 2.77 dependiendo de si la arcilla es normalmente
consolidada o preconsolidada respectivamente.
Para arcillas normalmente consolidadas:
R
sen
K φ
−
= 1 ....................(ec 2.76)
Para arcillas preconsolidadas:
OCR
sen
K R )
1
( φ
−
= ....................(ec 2.77)
donde OCR es la relación de sobreconsolidación., obtenida de la curva de compresibilidad
de un ensayo de consolidación.
Una vez calculada la resistencia a la fricción unitaria f se procede a calcular la resistencia por
fricción Qs por medio de la ecuación 2.56 así:
∑ Δ
= Lf
p
Qs ....................(ec 2.56)

57
2.3.1.2. CAPACIDAD DE CARGA POR PUNTA EN PILOTES SOBRE ROCA.
Cuando se hace necesario llevar al pilote hasta el manto rocoso la capacidad de carga por
punta se puede calcular por medio de la ecuación 2.78, la cual fue propuesta por Goodman.
( )
1
+
= φ
N
q
q u
p ....................(ec 2.78)
En la ecuación 2.78: Nφ = tan2
(45 + φ/2)
qu = Resistencia a la compresión inconfinada de la roca.
φ = Angulo de fricción interna.
La resistencia a la compresión inconfinada en roca se realiza sobre muestras obtenidas de
las perforaciones llevadas a cabo en la investigación del subsuelo. Estas muestras por lo
general son pequeñas, es decir su diámetro es pequeño.
También se ha comprobado que a medida que aumentan los diámetros de las muestras, la
resistencia a la compresión disminuye. Esta disminución en la resistencia a la compresión se
debe a que como las muestras pequeñas utilizadas para los ensayos no poseen las grietas,
discontinuidades, fisuras y otra serie de irregularidades que probablemente el macizo rocoso
si posee.
Se ha comprobado que para los tamaños comunes de especimenes utilizados en el ensayo
de resistencia a la compresión inconfinada, qu puede ser hasta cinco o cuatro veces superior
que para diámetros grandes de tal forma que el valor de diseño de qu a utilizar en la
ecuación 2.78 debe ser el obtenido en el laboratorio dividido entre cinco tal como lo expresa
la ecuación 2.79.
5
)
(
)
(
o
laboratori
u
diseño
u
q
q = ....................(ec 2.79)
Una vez obtenido el valor de la resistencia a la compresión inconfinada de diseño y el valor
de Nφ se calcula la carga última en pilotes por medio de la ecuación 2.80.
( ) p
diseño
u
p A
N
q
Q 1
)
( +
= φ ....................(ec 2.80)

58
Como se mencionó anteriormente Ap es el área de la punta del pilote. Por último se debe
dividir a la carga última de punta en pilotes por un factor de seguridad superior a 3 para
obtener la carga admisible de punta en pilotes tal como lo expresa la ecuación 2.81.
( )
FS
A
N
q
Q
p
diseño
u
adm
p
1
)
(
)
(
+
=
φ
....................(ec 2.81)
2.1.4. ASENTAMIENTO DE PILOTES.
Para pilotes bajo cargas de trabajo Qw, el asentamiento se produce por tres factores tal
como se expresa en la ecuación 2.82.
3
2
1 s
s
s
s +
+
= ....................(ec 2.82)
En la ecuación 2.82: s = asentamiento total del pilote
s1 = asentamiento elástico del pilote
s2 = asentamiento causado por la carga de punta del pilote
s3 = asentamiento causado por la carga transmitida en el fuste del
pilote
SI el pilote esta hecho de un material elástico s1 se puede calcular por medio de la ecuación
2.83.
( )
p
p
ws
wp
E
A
L
Q
Q
s
ξ
+
=
1 ....................(ec 2.83)
En la ecuación 2.83: Qwp = carga en la punta del pilote bajo condición de carga de trabajo
Qws = carga por resistencia a la fricción bajo condición de carga de
trabajo
Ap = área de la sección transversal del pilote
L = longitud del pilote
Ep = Modulo de elasticidad del material del cual está hecho el pilote

59
ξ depende de la distribución de la resistencia unitaria por fricción, f con la profundidad. Si la
distribución es uniforme (rectangular) o parabólica ξ = 0.5, mientras que si la distribución es
triangular entonces ξ = 0.62.
El asentamiento causado por la carga de punta del pilote, s2, se puede calcular por medio de
la ecuación 2.84.
( ) wp
s
s
wp
I
E
D
q
s 2
2 1 μ
−
= ....................(ec 2.84)
En la ecuación 2.84: qwp = Qwp/Ap = presión en la punta del pilote
D = ancho o diámetro del pilote
ES = modulo de elasticidad del suelo bajo la punta del pilote
μs = relación de Poisson del suelo
Iwp = factor de influencia = 0.85
El asentamiento causado por la carga transmitida en el fuste del pilote, s3, se puede calcular
por medio de la ecuación 2.85.
( ) ws
s
s
ws
I
E
D
pL
Q
s 2
3 1 μ
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ....................(ec 2.85)
En la ecuación 2.85: p = perímetro del pilote
L = longitud empotrada del pilote
Iws = factor de influencia
El factor de influencia Iws se puede calcular por medio de la ecuación 2.86, la cual fue
propuesta por Vesic.
D
L
Iws 35
.
0
2 +
= ....................(ec 2.86)

60
2.1.5. FORMULAS PARA EL CALCULO DE ASENTAMIENTOS PARA CIMENTACIONES
SUPERFICIALES
Los asentamientos en suelos arenosos y en suelos arcillosos bajo las presiones transmitidas
por las cimentaciones superficiales se vieron en el curso de mecánica de suelos por tal
motivo y en vista de que el presente trabajo constituye las memorias del curso de cimientos y
muros para los estudiantes de especialización en vías terrestres de la Universidad Pontificia
Bolivariana solamente recordaremos las formulas utilizadas para tal fin.
Para suelos en los cuales la teoría de la consolidación no es aplicable (suelos granulares)
los asentamientos se pueden calcular por medio de la siguiente ecuación:
w
s
s
I
E
qB
s ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
2
1 μ
..............................(ec 2.87)
donde: s = asentamiento
q = presión de contacto
B = ancho del cimiento
μs = relación de Poisson del suelo
Es = Modulo de elasticidad del suelo, obtenido mediante ensayos de compresión
triaxial
Iw = factor de influencia (depende de la forma del cimiento)
El modulo de Poisson del suelo μs se puede calcular por medio de la ecuación 2.88.
0
0
1 K
K
s
+
=
μ ....................(ec 2.88)
En la ecuación 2.88 Ko es el coeficiente de presión de tierras en reposo, el cual para suelos
granulares se puede calcular de forma aproximada por medio de la ecuación 2.89.
φ
sen
Ko −
=1 .....................(ec 2.89)
donde: φ = ángulo de fricción interna del suelo de fundación

61
Para asentamientos en suelos arcillosos, dichos asentamientos se calculan por medio de la
teoría de la consolidación, tal como se expone en la ecuación 2.90.
∫ +
Δ
=
Δ
H
dz
e
e
H
0
0
1
..................(ec 2.90)
donde: e = relación de vacíos
H = espesor del estrato arcilloso
z = profundidad

63
z
Pv
Ph
γ
φ
c=0
3. PRESIÓN DE TIERRAS
En el presente capitulo se aprenderá a calcular la presión horizontal ejercida por una masa
de suelo sobre muros de retención. Primero se verá la metodología de Rankine para suelos
arenosos, para suelos cohesivos y para suelos con cohesión y fricción; después se verá la
metodología de Colulomb para suelos arenosos. Para las diferentes metodologías de calculo
expuestas se harán ejemplos bajo diferentes condiciones de carga y diferentes geometrías
del terreno.
3.1.TEORÍA DE RANKINE EN SUELOS ARENOSOS.
Considere un elemento de suelo a una profundidad z en estrato arenoso, tal como se
muestra en la figura 3.1. El elemento de suelo estará sometido a la presión vertical Pv=γz y a
una presión horizontal Ph=Koγz, donde Ko es el coeficiente de presión de tierras en reposo,
el cual se puede calcular de manera aproximada para arenas por medio de la ecuación 3.1.
φ
sen
Ko −
= 1 ....................(ec 3.1)
FIGURA 3.1

64
(Kg/cm2)
(Kg/cm2)
τ
σ
φ
ENVOLVENTE DE FALLA
Pa Ph Pv Pp
1
2
3
Suponga que el suelo está en reposo, es decir no se permite ningún desplazamiento. El
circulo de Mohr que representa a los esfuerzos principales para el estado de reposo se
encuentra por debajo de la envolvente de falla tal como se ve en la figura 3.2 (circulo 1). En
el estado de reposo el esfuerzo principal mayor σ1 corresponde a la presión vertical Pv y el
esfuerzo principal menor σ3 corresponde a la presión horizontal Ph.
Figura 3.2
El muro puede llegar fallar de dos formas:
a) Por disminución de la presión lateral desde el estado de reposo hasta que esta alcanza
su valor mínimo Pa=Kaγz (presión activa), donde Ka es el coeficiente de presión activa
de tierras. En este el caso el suelo llega a un estado plástico llamado activo. En el
estado activo el esfuerzo principal mayor σ1 nuevamente corresponde a la presión
vertical Pv y el esfuerzo principal menor σ3 corresponde a la presión activa Pa (circulo 2
en la figura 3.2).

65
b) Por aumento de la presión lateral desde el estado de reposo hasta que esta alcanza su
valor máximo Pp=Kpγz (presión pasiva), donde Kp es el coeficiente de presión pasiva de
tierras. En este caso el suelo llega a un estado plástico llamado pasivo. En el estado
pasivo el esfuerzo principal mayor σ1 ahora corresponde al valor de la presión pasiva Pp
y el esfuerzo principal menor σ3 corresponde a la presión vertical Pv (circulo 3 en la
figura 3.2).
Un estado plástico según Rankine es un estado de falla inminente. Es decir existen dos
estados plásticos: el estado plástico activo y el estado plástico pasivo. Al estado plástico
activo se puede llegar por acción del relleno, el cual presiona al muro y lo hace girar hacia su
frente y al estado plástico pasivo se puede llegar por la acción de una fuerza externa que
presiona al muro contra su respaldo.
Para llegar al estado activo o pasivo basta con un pequeño giro en torno a su base en el
sentido conveniente.
A continuación se dan las relaciones entre las presiones horizontal y vertical para los
estados activo (ec 3.2) y pasivo (ec 3.3); la demostración de estas relaciones entre esfuerzos
principales se encuentra en cualquier libro de mecánica de suelos.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
=
=
=
=
2
45
1 2
1
3 φ
σ
σ
φ
Tan
Ka
N
Pv
Pa
Pv
Ph
....................(ec 3.2)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
=
=
=
=
2
45
2
3
1 φ
σ
σ
φ Tan
Kp
N
Pv
Pa
Pv
Ph
....................(ec 3.3)
Para calcular el empuje activo por ancho unitario basta con calcular el área del diagrama de
presiones activas, para tal efecto refiérase a la figura 3.3. En dicha figura se puede apreciar
un muro de altura H soportando el empuje de un relleno arenoso.
Considere un elemento del respaldo del muro con un ancho unitario y una altura dz (ver
figura 3.3), sobre dicho elemento obra una presión horizontal igual a la presión activa
suponiendo que el suelo de relleno entra en estado plástico activo.

66
1
dz
z
Pa
H
FIGURA 3.3
El empuje activo que obra sobre el elemento de ancho unitario es igual a la presión activa
multiplicada por el área de dicha sección, así:
( ) dz
z
N
dz
Pa
dEA ×
×
×
=
×
×
= γ
φ
1
1 ....................(ec 3.4)
Integrando la ecuación 3.4 se obtiene lo siguiente:
2
2
2
0
2
H
K
N
H
dz
N
z
E A
H
A
γ
γ
γ
φ
φ
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∫ ....................(ec 3.5)
De manera análoga el empuje pasivo por ancho unitario se puede calcular como el área del
diagrama de presiones activas obteniendo la siguiente ecuación:
( )
2
2
2
0
2
H
K
N
H
dz
zN
E P
H
P
γ
γ
γ
φ
φ =
=
= ∫ ....................(ec 3.6)
Todas las ecuaciones anteriores son validad para muros de respaldo vertical conteniendo la
presión producida por un relleno de superficie horizontal (muro liso).

67
q
σ1
*
σ3
*
z
Como hasta el momento no se ha tenido en cuento la presión lateral producida por rellenos o
por el agua se puede suponer que el empuje está actuando a una altura de H/3 con respecto
a la base del muro, donde H es la altura del muro (es decir en el centroide del diagrama de
presiones activas).
Ahora vamos a ver de que forma influye el valor de una sobrecarga de magnitud q en el
calculo de la presión activa Pa. Considere el muro de respaldo vertical mostrado en la figura
3.4, el cual está conteniendo el empuje producido por un relleno arenoso de superficie
horizontal y soportando además una sobrecarga uniforme de magnitud q sobre la superficie
del relleno. Ayudándonos de la figura mencionada vamos a calcular el esfuerzo horizontal
producido por la sobrecarga, para luego sumárselo a la presión lateral de tierras, obteniendo
así la presión horizontal total
FIGURA 3.4
Se sabe que el coeficiente de presión activa de tierras, KA, es una constante, de tal forma
que si no se considera la sobrecarga en la figura 3.4 el valor de KA será:
1
3
σ
σ
=
A
K ....................(ec 3.7)
Es decir que si se despeja σ1 de la ecuación 3.7 se obtiene:

68
1
3 σ
σ A
K
= ....................(ec 3.8)
Al considerar el efecto de la sobrecarga se tiene un nuevo esfuerzo vertical σ1*=σ1+q, y un
nuevo esfuerzo horizontal σ3*=σ3+Δσ3, si se sabe que el valor de KA es una constante, este
valor se puede hallar por medio de la siguiente ecuación:
q
KA
+
Δ
+
=
1
3
3
σ
σ
σ
..................(ec 3.9)
Despejando σ3+Δσ3 de la ecuación 3.9 se obtiene:
q
K
K A
A +
=
Δ
+ 1
3
3 σ
σ
σ ....................(ec 3.10)
Como en la ecuación 3.8 se demostró que σ3=KAσ1, por esta razón se puede concluir
fácilmente de la ecuación 3.10 que:
q
KA
=
Δ 3
σ ....................(ec 3.11)
Hasta el momento no se ha tenido en cuenta para nada la presencia del nivel freático en el
calculo de los empujes activos. En estos casos deben calcularse primero las presiones
verticales efectivas, posteriormente se deben calcular las presiones horizontales efectivas
como el producto de KA por las presiones verticales efectivas así:
V
A
H K σ
σ = ....................(ec 3.12)
Después de calcular las presiones horizontales efectivas, se debe calcular la presión neutral,
u, producida por el agua como el producto de la profundidad sumergida H’ por el peso
especifico del agua γw. Si existen sobrecargas se deberá calcular además la presión
horizontal producida por la sobrecarga según la ecuación 3.11.
Para concluir se calcula el empuje total como la suma de las áreas de los diagramas de
presiones horizontales producidos por el suelo, por el agua y por la sobrecarga. Para ilustrar
esta situación se da la figura 3.5.

69
q
H1
H2
γ
φ
U Pv Ka q
γ H2
w
γ H1 γ H2
'
__
FIGURA 3.5
En resumidas cuentas, el valor del empuje activo total EA se puede calcular por medio de la
ecuación 3.13:
( )
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
´
2
H
H
q
K
H
H
K
H
H
K
H
K
E A
w
A
A
A
A +
+
+
+
=
γ
γ
γ
γ
....................(ec 3.13)
Si el relleno esta inclinado con respecto a la horizontal un ángulo β, el empuje activo se
puede calcular con la ecuación 3.5 y la presión pasiva se puede calcular con la ecuación 3.6,
pero KA y KP deben ser calculados con las ecuaciones 3.14 y 3.15 respectivamente:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
=
φ
β
β
φ
β
β
β
2
2
2
2
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
A
K ....................(ec 3.14)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
+
=
φ
β
β
φ
β
β
β
2
2
2
2
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
P
K ....................(ec 3.15)
3.2.TEORIA DE RANKINE EN SUELOS ARCILLOSOS.
Considere un estrato de suelo arcilloso, homogéneo, en reposo con un peso específico γ y
cuna cohesión c. El suelo se encuentra sujeto a una presión vertical Pv=γz y a una presión

70
(Kg/cm2)
(Kg/cm2)
τ
σ
ENVOLVENTE DE FALLA
Pa Ph Pv Pp
1
2 3
c
horizontal Ph=Koγz, donde Ko nuevamente es el coeficiente de presión de tierras en reposo,
el cual para arcillas depende de la historia de esfuerzos. La envolvente de falla
correspondiente es una línea horizontal tal como se muestra en la figura 3.6. El estado de
esfuerzos correspondiente al equilibrio se representa por el circulo 1 en la figura 3.6.
FIGURA 3.6
Nuevamente se puede llegar a la falla de dos formas:
a) Por disminución de la presión horizontal desde el estado inicial de reposo, hasta que
esta alcanza su valor mínimo correspondiente a la presión activa Pa (circulo 2 de la
figura 2.6). El valor de Pa puede deducirse fácilmente de la figura 3.6 y es el siguiente:
c
z
Pa 2
−
= γ ....................(ec 3.16)
Como en hasta el momento no se ha tenido en cuenta la presencia del nivel freático,
podemos reemplazar el valor de γz por σv’ correspondiente al esfuerzo vertical efectivo, para
los casos en que el relleno se encuentre parcial o totalmente sumergido transformándose la
ecuación 3.16 en la siguiente:
c
Pa v 2
'−
= σ ....................(ec 3.17)

71
γ
c
zo
2
=
c
v 2
' −
σ
c
2
o
z
H −
H
Si se quiere dibujar el diagrama de presiones activas actuando sobre un muro de altura H se
obtendrá lo siguiente:
FIGURA 3.7
En la figura 3.7 se puede apreciar que existe una zona de tensión, la cual se extiende
hasta una profundidad zo. Debido a que la resistencia del suelo a la tensión es muy baja,
generalmente la zona de tensión se desprecia para el calculo del empuje activo. La
profundidad zo se puede calcular reemplazando Pa por cero en la ecuación 3.16,
obteniéndose la siguiente ecuación:
γ
c
zo
2
= ....................(ec 3.18)
b) Por aumento de la presión horizontal desde el estado inicial de reposo, hasta que esta
alcanza su valor máximo correspondiente a la presión pasiva Pp (circulo 3 de la figura
3.6). El valor de Pp puede deducirse de la figura 3.6 así:
c
z
Pp 2
+
= γ ...................(ec 3.19)

72
H
c
2
c
v 2
' +
σ
Nuevamente para tener en cuenta la presencia del nivel freático se puede reemplazar el
valor de γz por el valor del esfuerzo vertical efectivo σv’ en la ecuación 3.19, obteniendo
la siguiente:
c
Pp v 2
'+
= σ ....................(ec 3.20)
En la figura 3.8 se puede apreciar la distribución de presiones pasivas actuando sobre
un muro de altura H.
Figura 3.8
De igual forma como se hizo para los suelos arenosos, los empujes horizontales debidos a la
presión de la tierra únicamente (activa y pasiva), pueden calcularse integrando los
diagramas de presión activa y pasiva respectivamente obteniendo los siguientes resultados:
cH
H
Ea 2
2
2
−
=
γ
....................(ec 3.21)
cH
H
Ep 2
2
2
+
=
γ
.....................(ec 3.22)

73
(Kg/cm2)
(Kg/cm2)
τ
σ
φ
ENVOLVENTE DE FALLA
Pa Ph Pv Pp
1
2
3
c
La altura máxima Hc a la que puede llevarse una excavación en un suelo cohesivo se puede
calcular a partir de la suposición que el empuje activo es cero, de tal forma que
reemplazando el valor de Ea por cero en la Ecuación 3.21 se obtiene:
γ
c
Hc
4
= ....................(3.23)
Todas las formulas vistas son aplicables únicamente si la superficie del relleno es horizontal
y el respaldo del muro es vertical.
3.3.TEORIA DE RANKINE EN SUELOS CON COHESIÓN Y FRICCION.
Considere un estrato de suelo con cohesión y fricción, homogéneo, en reposo con un peso
específico γ y cuna cohesión c. El suelo se encuentra sujeto a una presión vertical Pv=γz y a
una presión horizontal Ph=Koγz, donde Ko nuevamente es el coeficiente de presión de
tierras en reposo. La envolvente de falla correspondiente es una línea inclinada que no parte
del origen tal como se muestra en la figura 3.9. El estado de esfuerzos correspondiente al
equilibrio queda representado por el circulo 1 en la figura 3.9.
FIGURA 3.9
Nuevamente se puede llegar a la falla de dos formas:
a) Por disminución de la presión horizontal desde el estado inicial de reposo, hasta que
esta alcanza su valor mínimo correspondiente a la presión activa Pa (circulo 2 de la

74
o
z
H −
H
( ) 2
/
1
2
Ka
c
zo
γ
=
( ) 2
/
1
2 Ka
c
−
( )
2
/
1
2
' Ka
c
Ka
v −
σ
figura 3.9). La relación de esfuerzos principales para suelos con cohesión y fricción se
puede encontrar en cualquier libro de mecánica de suelos y es la siguiente:
Ka
c
Ka
N
c
N 2
2 3
3
1 +
=
+
= σ
σ
σ φ
φ ....................(ec 3.24)
En el estado plástico activo el esfuerzo principal mayor σ1 corresponde a la presión vertical
Pv=γz y el esfuerzo principal menor es la presión horizontal Pa. Reemplazando estos valores
en la ecuación 3.24 y despejando el valor de Pa se obtiene :
Ka
c
Ka
Ka
c
zKa
N
c
N
z
Pa v 2
'
2
2
−
=
−
=
−
= σ
γ
γ
φ
φ
....................(ec 3.25)
Si se quiere dibujar el diagrama de presiones activas actuando sobre un muro de altura H se
obtendrá el siguiente:
FIGURA 3.10

75
H
( )
2
/
1
2 Kp
c
( )
2
/
1
2
' Kp
c
Kp
v +
σ
En la figura 3.10 se puede apreciar que existe una zona de tensión, la cual se extiende hasta
una profundidad zo. Debido a que la resistencia del suelo a la tensión es muy baja,
generalmente la zona de tensión se desprecia para el calculo del empuje activo. La
profundidad zo se puede calcular reemplazando Pa por cero en la ecuación 3.25,
obteniéndose la siguiente ecuación:
Ka
c
N
c
zo
γ
γ
φ
2
2
=
= ....................(ec 3.26)
b) Por aumento de la presión horizontal desde el estado inicial de reposo, hasta que esta
alcanza su valor máximo correspondiente a la presión pasiva Pp (circulo 3 de la figura
3.9). En el estado plástico pasivo el esfuerzo principal mayor σ1 corresponde a la presión
pasiva Pp y el esfuerzo principal menor σ3 corresponde a la presión vertical Pv=γz.
Reemplazando estos valores en la ecuación 3.24 y despejando el valor de Pp se
obtiene:
Kp
c
Kp
Kp
c
zKp
N
c
zN
Pp v 2
'
2
2 +
=
+
=
+
= σ
γ
γ φ
φ ....................(ec 3.27)
El diagrama de presiones pasivas se encuentra en la figura 3.11.
FIGURA 3.11

76
α
γ
c
φ
H
zo
α
α
Ea
H-zo
3
De igual forma como se hizo para los suelos arcillosos y para los suelos arenosos, los
empujes horizontales debidos a la presión de la tierra únicamente (activa y pasiva), pueden
calcularse integrando los diagramas de presión activa y pasiva respectivamente obteniendo
los siguientes resultados:
Ka
cH
Ka
H
N
cH
N
H
Ea 2
2
2
2
2
2
−
=
−
=
γ
γ
φ
φ
....................(ec 3.28)
Kp
cH
Kp
H
N
cH
N
H
Ep 2
2
2
2
2
2
+
=
+
=
γ
γ
φ
φ .....................(ec 3.29)
La altura máxima Hc a la que puede llevarse una excavación en un suelo cohesivo se puede
calcular a partir de la suposición que el empuje activo es cero, de tal forma que
reemplazando el valor de Ea por cero en la Ecuación 3.28 se obtiene:
Ka
c
N
c
Hc
γ
γ
φ
4
4
=
= ....................(ec 3.30)
Si el relleno con cohesión y fricción tiene una superficie inclinada un ángulo α con respecto a
la horizontal tal como se muestra en la figura 3.12, el coeficiente de presión activa de tierras
se pude calcular por medio de la ecuación 3.31.
FIGURA 3.12

77
α
γ
φ
H
Ea
H/3
δ
n
ω
W
φ
F
n W
F
Ea
β
( ) 1
cos
cos
8
cos
4
cos
cos
cos
4
cos
2
cos
2
cos
1
' 2
2
2
2
2
2
2
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
= φ
φ
α
γ
φ
γ
φ
α
α
φ
φ
γ
α
φ
sen
z
c
z
c
sen
z
c
KA
....(ec 3.31)
Nótese que en este caso el valor de KA’ varia con la profundidad, es decir no es constante.
Una vez calculado KA’ con la ecuación 3.31 procedemos a calcular el valor de la presión
activa en la base PAB, con la ecuación 3.32.
α
γ cos
'
A
AB zK
P = ....................(ec 3.32)
La profundidad de la grieta de tensión se calcula con la ecuación 3.33.
φ
φ
γ sen
sen
c
zo
−
+
=
1
1
2
...................(ec 3.33)
Por último se calcula el empuje activo por medio de la ecuación 3.34.
( ) AB
o
A P
z
H
E −
=
2
1
..................(ec 3.34)
3.4.TEORIA DE COULOMB EN SUELOS ARENOSOS.
El método de Coulomb para el calculo del empuje activo en suelos arenosos consiste en
suponer diferentes superficies de falla y construir el diagrama de fuerzas de la cuña de falla
mostrada según se muestra en la figura 3.13.
FIGURA 3.13

78
El procedimiento de calculo consiste en hallar por tanteos la cuña de falla que produzca el
mayor empuje.
Con respecto a la figura 3.13 se dan las siguientes definiciones:
W: Peso de la masa deslizante (suelo por encima de la superficie de falla)
F: resultante de las fuerzas cortantes y normales en la superficie de falla (hace un ángulo φ
con dicha superficie).
δ: ángulo de fricción entre el muro y el suelo de relleno. Este ángulo según investigaciones
realizadas por Terzaghi varía entre φ/2 y 2φ/3.
α: ángulo formado entre la superficie del relleno y la horizontal.
β: ángulo formado entre la horizontal y el respaldo del muro.
θ: ángulo formado entre la horizontal y la superficie de falla.
El empuje activo máximo lo podemos hallar por medio de la ecuación 3.5:
2
2
H
K
E A
A
γ
= ..................(ec 3.5)
Pero el coeficiente de presión activa de tierras se debe calcular con la ecuación 3.35:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
+
+
−
+
=
β
α
δ
β
α
φ
δ
φ
δ
β
β
φ
β
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
KA ....................(ec 3.35)

79
α
γ
φ
H
β
q
Si sobre el relleno se localiza una sobrecarga uniforme de intensidad q, tal como se muestra
en la figura 3.14 se debe hallar un peso especifico equivalente por medio de la ecuación
3.36 y luego se calcula el empuje activo por medio de la ecuación 3.37.
FIGURA 3.14
( )
α
α
β
β
γ
γ cos
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
H
q
sen
sen
eq ....................(ec 3.36)
2
2
H
K
E
eq
A
A
γ
= ....................(ec 3.37)

81
4. MUROS DE CONTENCIÓN
4.1.DIMENSIONAMIENTO DE MUROS
El proceso de dimensionar un muro consiste en darle a este unas dimensiones y hacer las
revisiones de estabilidad pertinentes, estas revisiones son las siguientes:
a) Revisión de la estabilidad al volteo.
b) Revisión de la estabilidad al deslizamiento a lo largo de la base.
c) Revisión de la capacidad portante del suelo de fundación.
d) Revisión del asentamiento.
El procedimiento de cálculo consiste simplemente en darle unas dimensiones al muro y
hacer las revisiones de estabilidad mencionadas atrás. Si alguna de las revisiones da como
resultado que el factor de seguridad respectivo es menor que el permitido por la norma local
(NSR-98 para Colombia) se deben cambiar las dimensiones escogidas y volver a hacer las
revisiones.
Es claro también que si el muro se sobredimensiona los factores de seguridad se cumplirán
con suficiencia; pero la ingeniería no es solo seguridad, debe existir un equilibrio entre la
seguridad y la economía, de tal forma que un buen diseño es aquel que sea seguro,
cumpliendo con la normativa y especificaciones exigidas, pero a su vez tiene que ser
económico.
4.2.REVISIONES DE ESTABILIDAD.
a) Revisión de la estabilidad al volteo.
Para la revisión de la estabilidad al volteo, se va a tomar como ayuda el muro mostrado en la
figura 4.1. En la figura mencionada se puede apreciar a un muro de retención de concreto
soportando la presión ejercida por un relleno cuya inclinación con respecto a la horizontal es
el ángulo α. Nótese además que se va a tomar como altura H’ del muro a la distancia desde
el punto a hasta el punto b. La profundidad de cimentación es D y el ancho de la cimentación
es B.

82
α
γ
φ
H'
c
1
1
1
2
φ c2
γ2
D
B
Ea α
H'/3
a
b
o
FIGURA 4.1
Con respecto a la figura 4.1 se dan las siguientes definiciones:
Ea = Empuje activo.
Ep = Empuje Pasivo.
B = Ancho del muro
D = Profundidad de cimentación del muro.
γ1 = Peso específico del suelo de relleno.
φ1 = Angulo de fricción interna del suelo de relleno.
c1 = Cohesión del suelo de relleno.
γ2 = Peso específico del suelo de fundación.
φ2 = Angulo de fricción interna del suelo de fundación.
c2 = Cohesión del suelo de fundación.
Se debe calcular el factor de seguridad al volteo como la relación entre los momentos
resistentes y los momentos actuantes, según la ecuación 4.1 así:

83
∑
∑
=
A
R
VOLTEO
M
M
FS ....................(ec 4.1)
donde: ΣMR = Sumatoria de todos los momentos que se oponen al volteo del muro con
respecto al punto O, ver figura 4.1.
ΣMA = Sumatoria de todos los momentos que tienden a voltear al muro con respecto
al O, ver figura 4.1.
Según la figura 4.1, los momentos resistentes corresponden al producido por las siguientes
fuerzas con respecto al punto O: el peso del muro en concreto, el peso del suelo por encima
del talón y la componente vertical del empuje activo. Nótese que no se tiene en cuenta el
momento producido por Ep.
También con base en la figura 4.1 puede apreciarse que el momento que tiende a voltear al
muro es el producido por la componente horizontal del empuje activo. Este momento se
puede calcular como el producto de Eav por H/3.
Según la Norma Sismorresistente del 98 (NSR-98) el factor de seguridad por volteo debe ser
superior a 3 para rellenos arenosos y superior a 2 para rellenos cohesivos.
b) Revisión de la estabilidad al deslizamiento.
Para la deducción del factor de seguridad por deslizamiento con respecto a la base se va a
utilizar como ayuda la figura 4.2. Con respecto a la figura 4.2 se hacen las siguientes
definiciones:
N = Sumatoria de las fuerzas verticales, en este caso las fuerzas verticales son: El peso del
muro de concreto, el peso del suelo de relleno por encima del talón del muro y la
componente vertical del empuje activo.
R = Suma de las fuerzas resistentes debidas a la fricción y a la cohesión, R1 y R2
respectivamente.
R1 = N Tan δ2. Donde δ2 es el ángulo de fricción entre el muro y el suelo de fundación, el
cual se puede calcular como kφ2 (k=2/3).
R2 = Bkc2 (k varía entre 0.5 y 2/3).

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