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Linealización de Sistemas No Lineales
Unidad de Pos Grado
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Universidad Nacional de Ingeniería
Prof. E. Lévano (UNI) Sistemas Lineales y No Lineales 20/04/2024 1 / 29

Índice
1 Motivación
2 Linealización de un sistema no lineal
3 Ecuación de estado discreto
4 Diagrama de bloques

Motivación
La siguiente ecuación diferencial
ℓÿ(t) = −gsen(y(t)) − bẏ(t) (1)
describe el movimiento del péndulo alrededor del origen con
coeficiente de fricción b.

Motivación
La siguiente ecuación diferencial
ℓÿ(t) = −gsen(y(t)) − bẏ(t) (1)
describe el movimiento del péndulo alrededor del origen con
coeficiente de fricción b.
notamos que (1) es una ecuación no lineal.

Aproximación linear
Es posible aproximar la parte no linear de (1) por una parte linear
(este proceso se conoce como linealizar) para obtener
ÿ(t) +
b
ℓ
ẏ(t) +
g
ℓ
y(t) = 0 (2)

Considere la ecuación diferencial
ÿ + a ẏ + b y = 0

ÿ + a ẏ + b y = 0
Hacemos un cambio de variable v1(t) = y(t) y v2(t) = ẏ(t).

ÿ + a ẏ + b y = 0
Hacemos un cambio de variable v1(t) = y(t) y v2(t) = ẏ(t). De este
forma se obtiene la siguiente representación matricial

v̇1(t)
v̇2(t)

=

1 0
−b −a

v1(t)
v2(t)

,

ÿ + a ẏ + b y = 0
Hacemos un cambio de variable v1(t) = y(t) y v2(t) = ẏ(t). De este
forma se obtiene la siguiente representación matricial

v̇1(t)
v̇2(t)

=

1 0
−b −a

v1(t)
v2(t)

,
la que se escribe de forma sucinta
v̇ = Av
esta forma de escribir es llamada ecuación de estado, en donde, A es
la matriz dinámica del sistema.

Espacio de Estado
Una representación matricial de un SLIT es dado por
(
v̇ =Av + Bx
y =Cv + Dx
x(t) ∈ Rn señal de entrada
y(t) ∈ Rq señal de salida
v(t) ∈ Rp vector de estado
A ∈ Rp×p matriz dinámica
B ∈ Rp×n matriz de entrada
C ∈ Rq×p matriz de salida
D ∈ Rq×n matriz de transmisión directa

Ecuaciones en espacio de estado
Los espacios de estado son útiles para describir las propiedades de
cualquier sistema (discreto o continuo).

Los sistemas dinámicos pueden escribirse como una relación de
entrada y salida o a través de una variable interna denominada
variable de estado.

variable de estado.
Una representación gde espacios de estados
(
v̇(t) = f(v(t), x(t)),
y(t) = g(v(t), x(t)).
(3)
en donde, v(t) ∈ Rn es la variable de estado.

variable de estado.
Una representación gde espacios de estados
(
v̇(t) = f(v(t), x(t)),
y(t) = g(v(t), x(t)).
(3)
en donde, v(t) ∈ Rn es la variable de estado. Si (3) es escrita sin
dependencia explicita de x(t), el sistema es llamado sistema
homogéneo.

Solución de un espacio de estado
Dado (3) con v(t) ∈ Rn, llamaremos solucion de (3) a una función
ṽ(t) ∈ Rn definida en un intervalo I y diferenciable en el intervalo I, de
forma que satisface ˙
ṽ = f(ṽ, x) y en todo el intervalo I.

Puntos de equilibrio
Considere v̄ solución de (3).
Si x(t) = x̄ constante (sistema homogéneo), entonces los puntos de
equilibrio de un SLIT se determinan de la siguiente forma
0 = v̇(t) = f(v̄, x̄).

Matrices de estado
Una aproximación de primer orden del sistema alrededor de un punto
de equilibrio mediante las matrices de estado linealizadas
A =

∂fi
∂vj

(v̄,x̄)
, B =

∂fi
∂xj

(v̄,x̄)
C =

∂gi
∂vj

(v̄,x̄)
, D =

∂gi
∂xj

(v̄,x̄)

Matrices de estado
Una aproximación de primer orden del sistema alrededor de un punto
de equilibrio mediante las matrices de estado linealizadas
A =

∂fi
∂vj

(v̄,x̄)
, B =

∂fi
∂xj

(v̄,x̄)
C =

∂gi
∂vj

(v̄,x̄)
, D =

∂gi
∂xj

(v̄,x̄)
en donde,
A =

∂fi
∂vj

(v̄,x̄)
=



∂f1
∂v1
∂f1
∂v2
∂f2
∂v1
∂f2
∂v2



(v̄,x̄)

Modelo Predador-Presa
Ejemplo 1. (Lotka-Volterra) Este modelo describe de forma
simplificada la relación entre depredador v1 y la presa v2 en un hábitat
con disponibilidad infinita de alimento para las presas.
(
v̇1 = − av1 + bv1v2,
v̇2 =cv2 − dv1v2
con a la tasa de muerte del depredador, b factor de ventaja del
depredador vs presa, c es el factor de expansión de las presas, d es el
factor de la presa al encontrar al depredador, entonces
(
f1(v1, v2) = − av1 + bv1v2,
f2(v1, v2) =cv2 − dv1v2
Considerar los parámetros a, b, c y d positivos.

continua ...
Calcular los puntos de equilibrio del sistema haciendo
f1(v1, v2) = −av1 + bv1v2 = 0, y f2(v1, v2) = cv2 − dv1v2 = 0.
Los puntos de equilibrio son (0, 0) y (c
d , a
b ).

continua ...
d , a
b ).
El jacobiano del sistema

∂fi
∂vj

=

−a + bv2 bv1
−dv2 c − dv1


continua ...
d , a
b ).
El jacobiano del sistema

∂fi
∂vj

=

−a + bv2 bv1
−dv2 c − dv1

Sustituimos cada punto de equilibrio en el jacobiano i.e;

∂fi
∂vj

(0,0)
=

−a 0
0 c

,

∂fi
∂vj

(c/d,a/b)
=

0 bc/d
−ad/b 0


Para un análisis computacional considero a = b = c = d = 1,
entonces en el punto de equilibrio (0, 0) se tiene la siguiente
representación lineal
v̇ =

−1 0
0 1

v
en el punto (1, 1) se tiene la siguiente representación lineal
v̇ =

0 1
−1 0

v.

Condición inicial (v1(0), v2(0)) = (0.9; 1.1)
Curva continua representa el predador y la curva punteada la presa.

Condición inicial (v1(0), v2(0)) = (1.1; 1.1)
Curva continua representa el predador y la curva punteada la presa.

Espacio de fase
Plano de fase del modelo Lotka-Volterra para condiciones iniciales
(0.1; 0, 1) (curva punteada) y (0.1; 1) (curva continua) para
(a = b = c = d = 1).

Circuito RC



v̇ = −
1
τ
v +
1
τ
x
y = −v + x.

Circuito RLC










v̇1
v̇2

=

−1/RC 1/C
−1/L 0

v1
v2

+

0
1/L

x
y =

1/R 0

v1
v2

.

Circuito 3 orden



















v̇1
v̇2
v̇3

 =


0 0 1/C1
0 −1/R2C2 −1/C2
−1/L 1/L −R1/L




v1
v2
v3


y =

1 0 0



v1
v2
v3



Ecuación de estado de un sistema discreto
Un sistema discreto de orden n puede ser escrito en función de las
variables x1[k], x2[k], . . . , xn[k]. Esas n variables son relacionadas por
una ecuación de primer orden de la siguiente forma











x1[k + 1] = f1(x1[k], x2[k], . . . , xn[k], k),
x2[k + 1] = f2(x1[k], x2[k], . . . , xn[k], k),
.
.
.
xn[k + 1] = fn(x1[k], x2[k], . . . , xn[k], k),
(4)
en donde, las variables x1[k], x2[k], . . . , xn[k] son llamadas variables
de estado.

Representación matricial de un sistema discreto
Considere un SLIT representados por las siguientes ecuaciones
matriciales (
v[k + 1] =Av[k] + Bx[k],
y[k] =Cv[k] + Dx[k]
(5)
en donde
x[k] ∈ Rn señal de entrada
y[k] ∈ Rq señal de salida
v[k + 1] ∈ Rp vector de estado
A ∈ Rp×p matriz dinámica
B ∈ Rp×n matriz de entrada
C ∈ Rq×p matriz de salida
D ∈ Rq×n matriz de transmisión directa

Representación canónica
Sistema SISO
Un sistema discreto en el tiempo con una señal escalar de entrada
x[n] y una salida escalar y[n] es llamado SISO (single-input
single-output). Estos sistemas pueden ser descritos por ecuaciones
de primer orden en las variables de estado
(
v[n + 1] = f(v[n], x[n]), n ∈ Z
y[n] = g(v[n], x[n]), n ∈ Z
(6)
en donde, v[n] ∈ Rm variable de estado.

Considere v̄ solución de (6). Si
f(v̄[n], x̄[n]) = 0
para x̄[n] = x̄ constante, entonces (v̄, x̄) es un punto de equilibrio del
sistema (6).

f(v̄[n], x̄[n]) = 0
sistema (6).
Ejemplo 3. Considere el sistema discreto
v[n + 1] = β v[n](1 − v[n]), β 0.
Halle los puntos de equilibrio del sistema anterior.

f(v̄[n], x̄[n]) = 0
sistema (6).
Ejemplo 3. Considere el sistema discreto
v[n + 1] = β v[n](1 − v[n]), β 0.
Halle los puntos de equilibrio del sistema anterior.
Solución.
v̄ = 0 y v̄ =
β − 1
β
.

Linealización
Una linealización de (5) representa el comportamiento del sistema de
manera aproximada alrededor de los puntos de equilibrio.

Linealización
Ejemplo 4. Linealice el modelo depredador-presa discreto
(
v1[n + 1] =2(1 − v1[n])v1[n] − βv1[n]v2[n]
v2[n + 1] =0.8v2[n] + 3βv1[n]v2[n].

Linealización
Ejemplo 4. Linealice el modelo depredador-presa discreto
(
v1[n + 1] =2(1 − v1[n])v1[n] − βv1[n]v2[n]
v2[n + 1] =0.8v2[n] + 3βv1[n]v2[n].
Solución:

continua...
El jacobiano es dado por

2 − 4v1 − βv2 βv1
3βv2 0.8 + 3βv1


continua...
El jacobiano es dado por

2 − 4v1 − βv2 βv1
3βv2 0.8 + 3βv1

entonces para el punto de equilibrio (0, 0) se tiene la siguiente
representación lineal
v[n + 1] =

2 0
0 0.8

v[n].

Diagrama de bloques en serie
Y(s) = G3(s)G2(s)G1(s)X(s)
Función de transferencia en malla abierta
Y(s)
X(s)
= G3(s)G2(s)G1(s)

Diagrama de bloques en paralelo
Y(s) = (G3(s) + G2(s) + G1(s))X(s)
Función de transferencia en malla abierta
Y(s)
X(s)
= G3(s) + G2(s) + G1(s)

Diagrama de bloques lazo cerrado
Y(s) = G(s)(X(s) − Y(s)H(s))
Función de transferencia en malla cerrada
Y(s)
X(s)
=
G(s)
1 + G(s)H(s)

¡Muchas gracias!

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