MODELO DE POLIDISPERSIONES BIFASIS

1. TESIS DOCTORAL
CARRERA DE DOCTORADO EN INGENIERÍA NUCLEAR
MODELOS DE
POLIDISPERSIONES BIFÁSICAS
CON APLICACIONES EN SEGURIDAD NUCLEAR
Marcelo Oscar Giménez
Ing. Marcelo Oscar Giménez Dr. Alejandro Clausse
Doctorando Director
Instituto Balseiro
Universidad Nacional de Cuyo
Comisión Nacional de Energía Atómica
Julio 2004

3. RESUMEN
Numerosas aplicaciones tecnológicas, científicas, medicinales y ambientales requieren del
entendimiento de la dinámica de polidispersiones multifase (e.g., inyectores, refrigeración,
farmacología, emisiones industriales, etc.). En lo que respecta al área nuclear, la eventual
liberación de productos de fisión y actínidos en caso de un hipotético accidente grave en un
reactor se haría en forma de gases y aerosoles, cuyo transporte en el circuito primario y
contención es necesario evaluar para el diseño de los sistemas de seguridad y licenciamiento de
la instalación. La refrigeración de los elementos combustibles en dos fases es otra aplicación
que requiere del modelado de flujos con estas características. En esta tesis se presentan
modelos adecuados para el estudio y la comprensión de la dinámica de sistemas polidispersos
(aerosoles y burbujas) transportados en un medio continuo y en ambientes confinados.
Con respecto a la aplicación a la dinámica de aerosoles, el modelo desarrollado parte de una
formulación estadística para describir la evolución del sistema en función del tamaño de las
partículas, considerando el transporte por el gas, la sedimentación, difusión, sustentación,
coagulación, termoforesis y condensación. La ecuación de balance es del tipo integro-
diferencial no lineal, cuya resolución se realiza utilizando el Método de los Momentos, en
donde se propone una forma funcional para describir la distribución del volumen de las
partículas. Se obtiene de esta forma un sistema acoplado de ecuaciones de convección-difusión
con fuente, que describe la dinámica de cada uno de los parámetros que caracterizan dicha
distribución. Este sistema es resoluble numéricamente a un costo computacional muy atractivo,
que, a su vez, permite abordar el modelado de las heterogeneidades espaciales del aerosol.
En base a dicho modelo se desarrolla uno complementario que permite cuantificar coeficientes
de sensibilidad de funcionales de respuesta respecto de incertezas en parámetros del modelo o
de las condiciones del problema a resolver. Este modelo se basa en la teoría de perturbaciones,
usando el Formalismo Diferencial y resulta de gran utilidad tanto para estudios teóricos como
para el diseño de experimentos.
Se realizan diversas comparaciones del modelo, tanto en una como en dos dimensiones, con
soluciones analíticas y datos de bibliografía y se analiza cuidadosamente los efectos de los
mecanismos físicos que intervienen en la dinámica del aerosol. Se presta particular atención a
las consecuencias del modelado de gradientes espaciales de concentración y a la validez de la
hipótesis de homogeneidad espacial utilizada comúnmente en modelos de cálculo. Por un lado,
de la comparación con modelos espacialmente homogéneos se han observado desviaciones y
por otro diferencias de más de un orden de magnitud entre distintos puntos del dominio,
principalmente debido al acople entre coagulación y sedimentación, sustentación y coagulación
y termoforesis, que harían inadecuada la hipótesis de homogeneidad espacial. En general el
modelo desarrollado muestra una buena capacidad de responder a los fenómenos físicos
involucrados, siempre y cuando éstos no produzcan una distorsión de la forma funcional
adoptada para describir la distribución en tamaño del aerosol, como es el caso de sedimentación
pura.
Como contribución adicional y extensión del modelo, se aplicó la formulación desarrollada
para resolver el transporte de burbujas en un dominio vertical, modelando la distribución en
tamaño, la dinámica de las mismas y su distribución espacial. El modelo es comparado
exitosamente con resultados experimentales.

5. ABSTRACT
Many technological, scientific and environmental areas require of the understanding of
multiple-phase, polydisperse systems. Particularly, in nuclear safety area, under hypothetical
severe accident conditions, the fission products are released as gases and airborne particles. In
the present thesis a contribution to the modeling of confined polydisperse systems (aerosols and
liquid-gas) is presented.
A family of one and two dimensional models was developed, describing the impact of the
particles size on the aerosol evolution, taking into account the transport mechanisms by the
carrying media, settling, lift, thermophoresis, diffusion, coagulation and condensation,
considering the spatial dependence. The aerosol general dynamic balance equation -no-linear
integral-differential equation-, is treated by means of the Moments Method, imposing a
prescribed volume size distribution, and obtaining a model based in the first few moments. This
yields to a relatively simple convection-diffusion set of coupled equations, that describes the
evolution of the parameters that characterize the size distribution, with a low computational
cost that allows to deal the heterogeneities of the spatial distribution of the aerosol.
A complementary model, based also on the Moments Method, is developed to perform
sensitivity analysis due to uncertainties in the constitutive equations and in the input
parameters. The Perturbative Method, Differential-formalism, is used to develop a set of
sensitivity equations, which are useful for designing experiments and theoretical studies.
The model results are compared with exact solutions and numerical and experimental data
extracted from the open literature. Various physical phenomena involved in different simulated
case are analysed in detail. Particularly, the study is oriented to the analysis of the
concentration gradients and the validation of the aerosol well-mixed hypothesis, typically used
in present numerical codes. Deviations were observed from the comparison with models that
use this hypothesis, finding also variation in the concentration of one order of magnitude or
more at different points of the domain. In general this is due to the coupling between
coagulation and settling, lift and coagulation and thermophoresis, which showed the situations
in which homogenization fails. The model showed good performance to represent the aerosols
dynamics, whenever no distortion of size spectrum is present (e.g., the case of settling when no
other physical mechanisms present).
As a final contribution and extension of the methodology, a model to simulate the transport and
dynamics of bubbly gas-liquid flows was developed, considering the axial spatial dependence
of bubbles distribution. The results are successfully compared with experimental data of a
bubble column.

7. Por y para ellos,
mis queridos padres, Ana y Cacho
mi querida familia, Britta, Ezequiel, Aldana y Melisa

9. i
INDICE
CAPITULO I ................................................................................................................................1
INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE SISTEMAS POLIDISPEROS BIFÁSICOS ...........1
1 INTRODUCCION................................................................................................................1
1.1 AEROSOLES “NUCLEARES” ...................................................................................4
1.2 FÍSICA DE LA DINÁMICA DE AEROSOLES Y SU MODELADO .......................6
1.3 PRINCIPAL HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVA PARA LA RESOLUCIÓN DE LA
ECUACIÓN GENERAL DE AEROSOLES............................................................................9
1.4 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE AEROSOLES................11
1.5 BASE EXPERIMENTAL...........................................................................................11
2 OBJETIVO DE LA TESIS.................................................................................................14
3 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS .....................................................................................14
CAPITULO II.............................................................................................................................17
MODELO UNIDIMENSIONAL DE DINÁMICA DE AEROSOLES .....................................17
1 INTRODUCCIÓN..............................................................................................................17
1.1 PROPUESTA..............................................................................................................19
2 MÉTODO DE LOS MOMENTOS CON DISTRIBUCIÓN DE POISSON......................19
2.1 Momento de orden cero ..............................................................................................20
2.2 Momento de orden uno...............................................................................................21
2.3 TÉRMINO DIFUSIVO...............................................................................................22
2.3.1 Cálculo del coeficiente Dρ ..................................................................................23
2.3.2 Cálculo del coeficiente Dε...................................................................................23
2.4 TÉRMINO CONVECTIVO .......................................................................................23
2.4.1 Cálculo del coeficiente Uρ ..................................................................................25
2.4.2 Cálculo del coeficiente Uε...................................................................................25
2.5 TÉRMINO DE CONDENSACIÓN ...........................................................................25
2.5.1 Cálculo del coeficiente Gε...................................................................................26
2.6 TÉRMINO DE COAGULACIÓN..............................................................................27
2.6.1 Coagulación Browniana......................................................................................28
2.6.2 Coagulación por sedimentación..........................................................................30
3 MODELO NUMÉRICO.....................................................................................................34
4 RESUMEN Y CONCLUSIONES......................................................................................38
CAPITULO III............................................................................................................................41
COMPARACIÓN DEL MODELO Y ANÁLISIS DE LA DINÁMICA DE AEROSOLES ....41
1 INTRODUCCIÓN..............................................................................................................41
2 SEDIMENTACIÓN............................................................................................................42
2.1 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS ...........................42
2.2 SOLUCIÓN ALTERNATIVA...................................................................................44
2.3 SOLUCIÓN “HOMOGÉNEA”..................................................................................46

10. ii
2.4 RESULTADOS NUMÉRICOS..................................................................................46
3 EVOLUCIÓN CON COAGULACION SIN SEDIMENTACIÓN....................................49
3.1 BREVE DISCUSIÓN SOBRE COAGULACIÓN.....................................................56
4 ESTACIONARIO CON COAGULACIÓN Y SEDIMENTACIÓN .................................57
5 EVOLUCIÓN CON CONDENSACIÓN SIN SEDIMENTACIÓN..................................61
6 ESTACIONARIO CON CONDENSACIÓN Y SEDIMENTACIÓN...............................62
7 EVOLUCIÓN CON COAGULACIÓN Y SEDIMENTACIÓN .......................................64
7.1 SEDIMENTACIÓN Y COAGULACIÓN BROWNIANA .......................................65
7.2 SEDIMENTACIÓN Y COAGULACIÓN GRAVITACIONAL...............................72
7.3 SEDIMENTACIÓN, COAGULACIÓN BROWNIANA Y GRAVITACIONAL ....80
8 AEROSOLES EN UN MEDIO CONVECTIVO...............................................................83
9 RESUMEN Y CONCLUSIONES......................................................................................89
CAPITULO IV ...........................................................................................................................91
MODELO BIDIMENSIONAL DE DINÁMICA DE AEROSOLES CASOS DE ESTUDIO..91
1 INTRODUCCIÓN..............................................................................................................91
2 ECUACIONES DE BALANCE.........................................................................................91
3 SUSTENTACIÓN..............................................................................................................93
3.1 MOMENTO INTERFACIAL ....................................................................................94
3.1.1 Fuerza de sustentación........................................................................................94
3.1.2 Fuerza de arrastre................................................................................................95
3.2 VELOCIDAD DE LAS PARTÍCULAS ....................................................................96
4 TERMOFORESIS ............................................................................................................100
5 TÉRMINO CONVECTIVO: SUSTENTACIÓN - MOMENTOS CERO Y UNO .........101
6 TÉRMINO DE COAGULACIÓN ...................................................................................102
7 MODELO NUMÉRICO...................................................................................................103
8 TRASPORTE DE AEROSOLES EN UN DUCTO CON FLUJO DE AIRE..................106
8.1 FLUJO DE AIRE DESCENDENTE........................................................................106
8.1.1 Sin coagulación.................................................................................................106
8.1.2 Con coagulación ...............................................................................................112
8.2 FLUJO DE AIRE ASCENDENTE ..........................................................................116
8.2.1 Sin coagulación.................................................................................................117
8.2.2 Con coagulación ...............................................................................................120
9 CASO DE COMPARACIÓN Y ESTUDIO I: CONTENCIÓN NAUA..........................122
9.1 CARACTERIZACIÓN DE LA SIMULACIÓN......................................................123
9.2 MODELADO ...........................................................................................................126
9.3 RESULTADOS ........................................................................................................127
10 CASO DE COMPARACIÓN II: EXPERIMENTO STORM -TERMOFORESIS......136
10.1 MODELADO Y RESULTADOS.............................................................................138
11 RESUMEN Y CONCLUSIONES................................................................................142

11. iii
CAPITULO V...........................................................................................................................145
MODELO PARA ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LA DINÁMICA DE AEROSOLES145
1 INTRODUCCIÓN............................................................................................................145
1.1 MÉTODO PERTURBATIVO: RESUMEN TEÓRICO ..........................................146
1.1.1 Formalismo Diferencial ....................................................................................148
2 CASO DE VERIFICACIÓN I: ESTACIONARIO DE SEDIMENTACIÓN Y
COAGULACIÓN .....................................................................................................................149
2.1 ECUACIONES ADJUNTAS ...................................................................................151
2.2 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD .............................................................................152
2.2.1 Funcional de respuesta 1...................................................................................153
2.2.2 Funcional de respuesta 2...................................................................................154
3 CASO DE VERIFICIACIÓN II: EVOLUCIÓN CON SEDIMENTACIÓN Y
COAGULACIÓN CONSIDERANDO HOMOGENEIDAD ESPACIAL...............................156
3.1 ECUACIONES ADJUNTAS ...................................................................................158
3.2 ANÁLISIS PERTURBATIVO.................................................................................158
3.2.1 Funcional de respuesta 1...................................................................................159
3.2.2 Funcional de respuesta 2...................................................................................160
4 ECUACIONES GENERALES ADJUNTAS PARA ESTUDIOS DE SENSIBILIDAD DE
LA EVOLUCIÓN DE AEROSOLES ......................................................................................162
5 CASO DE ESTUDIO III: EVOLUCIÓN DE PARTÍCULAS EN UN RECINTO .........167
5.1 ANÁLISIS PERTURBATIVO.................................................................................168
5.1.1 Funcional de respuesta 1...................................................................................170
5.1.2 Funcional de respuesta 2...................................................................................171
5.1.3 Funcional de respuesta 3...................................................................................172
6 ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LOS CASOS ANALIZADOS...........................173
7 CONCLUSIONES............................................................................................................176
CAPITULO VI .........................................................................................................................179
MODELO DE DINÁMICA DE FLUJO POLIDISPERSO LÍQUIDO-GAS - VERIFICACIÓN
CON DATOS EXPERIMENTALES .......................................................................................179
1 INTRODUCCIÓN............................................................................................................179
2 DESARROLLO DEL MODELO EN BASE AL MÉTODO DE LOS MOMENTOS ....181
2.1 TÉRMINO CONVECTIVO .....................................................................................181
2.1.1 Momento de orden cero ....................................................................................184
2.1.2 Momento de orden uno.....................................................................................186
2.2 TÉRMINO DE COALESCENCIA ..........................................................................187
2.3 TÉRMINO DE ROTURA ........................................................................................189
3 VERIFICACIÓN CON DATOS EXPERIMENTALES Y ESTUDIO ............................191
3.1 COMPARACIÓN CON LOS DATOS EXPERIMENTALES ................................191
3.2 ESTUDIO COMPLEMENTARIO...........................................................................194
3.2.1 De sensibilidad..................................................................................................194
3.2.2 Variación del flujo de aire de entrada...............................................................198
4 CONCLUSIONES............................................................................................................202

12. iv
CONCLUSIONES GENERALES............................................................................................205
APORTES DERIVADOS DE LA TESIS ................................................................................212
NOMENCLATURA.................................................................................................................213
REFERENCIAS .......................................................................................................................215
APÉNDICE A...........................................................................................................................221
COMPARACIÓN DE RESULTADOS CON DISTINTOS MÉTODOS NUMÉRICOS Y
CONVERGENCIA ESPACIAL...............................................................................................221
APÉNDICE B...........................................................................................................................223
ECUACIONES DE TRANSPORTE DE AEROSOLES MÉTODO DE LOS MOMENTOS
CON DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL..................................................................................223
1 MÉTODO DE LOS MOMENTOS ..................................................................................223
2 COMPARACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS USANDO
DISTRIBUCIONES LOGNORMAL Y DE POISSON...........................................................225
APÉNDICE C...........................................................................................................................227
MODELO BIDIMENSIONAL: CASOS DE ESTUDIO DE CONVERGENCIA DE LA
SOLUCIÓN..............................................................................................................................227
1 SUSTENTACIÓN............................................................................................................227
2 TERMOFORESIS ............................................................................................................233
AGRADECIMIENTOS............................................................................................................235

13. 1
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE SISTEMAS
POLIDISPEROS BIFÁSICOS
1 INTRODUCCION
Un flujo de dos fases consta de un fluido continuo de transporte y de una segunda fase dispersa
en éste, que es arrastrada. La fase continua puede ser tanto un líquido como un gas y la fase
dispersa puede ser sólida, líquida o gaseosa. Cuando la fase dispersa presenta una cierta
distribución en tamaños, al sistema se lo conoce como polidisperso. En particular en esta tesis
nos centraremos en el modelado de sistemas gas-líquido o gas-sólido y líquido-gas.
Se denomina aerosol a un conjunto de partículas, ya sea en estado líquido o sólido, suspendidas
en un gas, constituyendo éstas la fase dispersa. Los diámetros de las partículas en suspensión,
catalogados como aerosoles, cubren en general un espectro amplio que va desde unos pocos
nanometros hasta unos 100 µm. Las partículas generadas en procesos de combustión, como en
el transporte automotor, generación eléctrica con combustibles fósiles y quemado de madera,
tienen diámetros comprendidos entre los manómetros y el micrón. El polvo generado o
resuspendido por el viento, el polen y la sal de mar proveniente de gotas de rompientes de olas,
son generalmente mayores que el micrón llegando a valores del orden de los 100 µm. A los
aerosoles se los suele denominar de distintas maneras, dependiendo de su origen o su
apariencia, como humos, polvos, niebla, neblina, nube, smog y spray -en su denominación en
inglés-. En la Figura I.1 se muestran distintos rangos de partículas y su clasificación o
denominación más frecuente.
En la atmósfera, tanto en ambientes urbanos como rurales, se pueden llegar a observar
concentraciones del orden de 108
partículas/cm3
, cuyo origen es mayoritariamente por
condensación de gases, combustión, desintegración de sólidos o por procesos biológicos. A
estos procesos de generación de aerosoles se los suele clasificar según sean naturales (erosión,
rompientes de olas, volcanes, incendios, polinización, etc.) o producto de actividades
antropogénicas (industria, minería, transporte, et.).

14. 2 – Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos

Las emisiones de este segundo grupo, en particular de contaminantes, suelen ser percibidas por
las personas como “normales”, dado que se produce, por su carácter de permanentes y la
convivencia cotidiana con éstas, un cierto grado de acostumbramiento a su exposición, hecho
que a su vez lleva a una minimización –subjetiva- del riesgo asociado. Sin embargo su impacto,
tanto ambiental como en la salud humana es considerable (principalmente por la interacción de
las partículas con las vías respiratorias) y no siempre ha sido bien evaluado debido al carácter
aleatorio y distribuido de las fatalidades inducidas. En un estudio epidemiológico sobre el
impacto en la salud de partículas finas, conocidas como PM2.5 (Particulate Matter 2,5µm -
Environment Protection Agency de EEUU, EPA, 2004), realizado por Abt Associates, Clean
Air Task Force, en EEUU y publicado en el 2000, arroja cifras realmente significativas. En este
estudio se concluye que la contaminación con partículas producto de centrales eléctricas que
queman combustibles fósiles producen alrededor de 30.100 muertes por año tanto por
problemas respiratorios como cardíacos, 18.600 casos de bronquitis crónica y 603.000 ataques
de asma. Sin embargo el impacto en la salud de micropartículas no es un tema de reciente
preocupación. Casos severos de contaminación ocurridos en Los Angeles y Londres a
mediados de siglo, sumados a un desarrollo tecnológico que requería entender el
comportamiento de los aerosoles, hicieron que a partir de los años 50 la investigación en este
tema tomara real dimensión.
Otro aspecto a tener en cuenta es el comportamiento de los aerosoles en la atmósfera. Éstos
tienen un papel importante ya que, por un lado proveen centros de nucleación para la
condensación del vapor y la formación de nubes, y por otro afectan la capacidad de la
atmósfera para absorber la energía emitida por la tierra o de atenuar la radiación solar, siendo
relevante su modelado para predecir efectos de calentamiento o enfriamiento atmosférico. Otro
aspecto relacionado con la nucleación es la producción de niebla que suele afectar al transporte
automotor y aéreo.
Por otro lado, numerosas aplicaciones científicas, médicas y tecnológicas, como ser la industria
alimenticia, de pinturas, de manufactura de materiales en general (fibras, catalizadores,
cerámicos, etc.) y sobre todo la relacionada con la combustión (inyectores) hacen uso de
distintos elementos en forma de aerosoles, cuyos aspectos de generación y dinámica requieren
de un profundo entendimiento para la optimización del proceso tecnológico.
En lo que respecta a la producción eléctrica por energía nuclear, en caso de un hipotético
accidente en un reactor con fusión de núcleo, en donde se ha postulado la falla extrema de uno
o varios sistemas de procesos, de los sistemas de seguridad demandados para mitigar el
incidente y de las acciones de recuperación, los productos de fisión y actínidos se liberarían del
combustible hacia la contención del reactor en forma de gases, vapores y partículas,
interactuando entre sí, determinando una dinámica (de aerosoles) que es necesario evaluar para
el cálculo de la eventual liberación al medio ambiente.

15. Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos - 3

Figura I.1.- Rango de partículas y su clasificación. Reproducido de Standford Research
Institute International.

16. 4 – Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos

1.1 AEROSOLES “NUCLEARES”
Las centrales nucleares están diseñadas para un funcionamiento seguro, estableciéndose una
serie de niveles de protección sucesivos, consistentes en barreras físicas y medidas con el
objetivo de cumplir las funciones de seguridad, que son control de potencia, control de la
refrigeración y contención de los radionucleidos. Este nivel de protección se alcanza
recurriendo a fenómenos físicos que contribuyen en forma intrínseca a la seguridad y con
sistemas de seguridad redundantes y diversos, que llevan a la planta a un estado controlado
luego de la ocurrencia de un incidente operacional. Sin embargo el criterio de defensa en
profundidad utilizado en la industria nuclear impone el análisis y concreción de medidas de
mitigación para la eventual ocurrencia simultánea de la falla de sistemas de procesos y de los
sistemas de seguridad demandados para controlar la perturbación inicial. Es por ello que se
postula para el análisis este escenario accidental extremo, que de no mediar acciones de
recuperación por parte de los operadores, podría derivar en un accidente severo es decir con
fusión de núcleo. En este escenario los productos de fisión y actínidos se liberarían del
combustible hacia el circuito primario y luego hacia la contención del reactor en forma de
gases, vapores y partículas, junto con otros materiales como los constituyentes de las barras de
control y los estructurales (IAEA-TECDOC-1127, 1999).
Para tratar de mitigar el improbable accidente severo, existen sistemas, ya sean activos o
pasivos, que tienen el objetivo de reducir las consecuencias radiológicas en el público. La
función de estos sistemas es la de reducir el inventario de radionucleidos en suspensión en la
contención, además de retardar la liberación en caso de una eventual falla de la misma, de
forma tal de permitir tanto el decaimiento radiactivo como la actuación de los procesos
naturales de remoción. A modo de ejemplo se puede mencionar que si la contención fallase en
la primera hora, cuando los productos de fisión están en la fase de aerosol, se liberaría al medio
ambiente del orden del 80 % del inventario de los más volátiles. Por otro lado si transcurriesen
del orden de 5 días entre el accidente y la rotura de la contención, habrá suficiente tiempo para
que los procesos naturales de remoción y deposición de aerosoles actúen, y la liberación se
reduciría a la diez milésima parte del inventario o menos (Wilson R., 1985). Estas estimaciones
concuerdan con lo sucedido en el accidente ocurrido en 1979 en la central de Three Mile Island
en EEUU, en donde el yodo radiactivo liberado a la atmósfera fue varios órdenes de magnitud
menor que el liberado desde el combustible, quedando la mayoría disuelto en agua, al formar
una sal con el cesio, tanto en la contención como en el circuito primario. Se explica así el papel
protagonista de la última barrera de ingeniería que es la contención del reactor y de los
aerosoles (forma final en la que concurren los productos de fisión a excepción de los gases
nobles) en la evaluación del posible escape de material radioactivo al medio ambiente. Siendo
casi una verdad de perogrullo decir que si el edificio de la contención no falla, no puede haber
liberación de material radiactivo en un accidente nuclear. Por lo tanto, el tiempo y la forma de
la falla de la misma son decisivos para determinar la magnitud de la liberación de
radioactividad.
Este escape de material constituye el denominado Término Fuente caracterizado por la forma
química y física de dicho material, la secuencia temporal de la liberación y la energía del
mismo, y es utilizado para estudios de impacto radiológico y ambiental (Zoulalian A., 1995), y
para el diseño de los sistemas de mitigación.
En general, los estudios del comportamiento del reactor durante accidentes severos, muestran
que a pesar de las diferencias en el diseño de las centrales nucleares y en las secuencias
accidentales, la liberación de productos de fisión y otros materiales hacia la contención puede
ser determinada globalmente en términos del grado de fusión y relocalización del combustible,

17. Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos - 5

la integridad del recipiente de presión y el ataque de los materiales fundidos del núcleo al
hormigón de la cavidad o base del reactor. Es por ello que es posible distinguir claramente tres
fases de liberación de productos de fisión: la que ocurre dentro del recipiente, durante la falla
del recipiente de presión – ya sea en forma temprana o tardía- y la liberación fuera del
recipiente, directamente dentro del edificio de la contención. En la primera fase, los gases
nobles, Kr y Xe, luego de ser liberados del combustible conjuntamente con otros gases (H2)
pueden fugarse casi en su totalidad hacia la contención debido a su gran volatilidad. Este
fenómeno no ocurre con los productos de fisión semivolátiles como el Cs, I y Te, que pueden
quedar retenidos en el circuito primario. Estos elementos son volátiles a las temperaturas
elevadas en las que se encuentra el núcleo degradado, al enfriarse pueden condensar o
combinarse químicamente para formar especies menos volátiles o disolverse en el agua. Estos
productos de fisión pueden encontrarse como partículas líquidas o sólidas.
La resuspensión y revolatilización de los productos depositados en las estructuras del primario
serían los fenómenos dominantes durante la segunda fase, que incluye la rotura del recipiente
de presión. La presencia de aire y en particular oxígeno cambia radicalmente la química
reductora observada hasta ese momento.
Luego de la supuesta rotura del recipiente de presión del reactor, los productos de fisión no-
volátiles, junto con otros materiales no radioactivos, pueden ser liberados en la violenta
interacción del núcleo fundido con el hormigón de la base de la contención, siendo ésta la
tercera fase de liberación. Esta es una fase extrema, en la que el combustible alcanza
masivamente la fusión y se llegaría a vaporizar parcialmente. En este proceso de liberación de
productos de fisión muy probablemente se generen partículas sólidas. A su vez, debe tenerse en
cuenta que en la contención, con una atmósfera cargada de vapor, las partículas absorberán
agua, contribuyendo este hecho a aumentar la precipitación de las mismas sobre las distintas
superficies, favoreciendo su remoción.
El comportamiento o evolución de estos elementos en forma de gases o partículas en el circuito
primario y contención, conjuntamente con la evolución de las distintas variables
termohidráulicas, determinan las características del mencionado Término Fuente y servirá para
determinar las condiciones de contorno o requerimientos para el diseño de los sistemas de
seguridad de mitigación y para fines de licenciamiento de la instalación nuclear.
Los aerosoles “nucleares” cubren un rango amplio de tamaños que va desde 0.01 a 10 µm y
diversas especies químicas, cuya naturaleza y tasa de reacción no está bien entendida, siendo
este uno de los campos de mayor investigación en Seguridad Nuclear en la actualidad. Por otro
lado y sobre todo debido a su comportamiento en la contención de los reactores, debe ponerse
especial énfasis en el modelado de las variaciones espaciales de la concentración de partículas,
debido a los grandes volúmenes presentes en la contención y al carácter no lineal de los
fenómenos involucrados.
En particular en esta tesis se tratará la dinámica de los aerosoles en ambientes cerrados como
cañerías y la contención de reactores, poniendo especial énfasis en la distribución espacial de
los mismos.

18. 6 – Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos

1.2 FÍSICA DE LA DINÁMICA DE AEROSOLES Y SU MODELADO
Diversos procesos afectan o gobiernan la dinámica de los aerosoles (Friedlander S. K., 1977;
Denis R., 1976; Williams M.M.R., 1991). Éstos pueden ser trasladados por el gas que fluye y a
su vez pueden moverse respecto de él; esto último ocurre si las partículas que lo forman están
sometidas a fuerzas externas o si poseen suficiente inercia que les impide seguir los cambios de
la velocidad del gas. Por otro lado pueden difundir si su concentración espacial no es uniforme.
Nuevas partículas pueden formarse por nucleación de vapores saturados o por desintegración
mecánica de masas mayores. Las partículas existentes pueden aumentar o disminuir su tamaño
debido a los fenómenos de condensación y evaporación, respectivamente. Además pueden
incrementar su tamaño y disminuir en cantidad por coagulación. Finalmente pueden depositarse
sobre superficies debido a la difusión, sedimentación o por impacto debido a su inercia.
La cinética de estos procesos depende fuertemente del tamaño de las partículas y de la
concentración de las mismas y en menor grado de su densidad, forma, carga eléctrica, de las
propiedades del gas que las contiene, de las características del movimiento del mismo y de la
geometría del sistema. Una magnitud de particular importancia para la descripción de los
sistemas de aerosoles es la función densidad o concentración de partículas ),,( vtrn . Definida
tal que ),,( vtrn dv es el número de partículas por unidad de volumen de gas en la posición r ,
en el instante t, que tiene un volumen comprendido entre v y v+dv.
La evolución de ),,( vtrn debido a los procesos enumerados anteriormente se puede describir
mediante la siguiente ecuación de balance, citada en la bibliografía como “ecuación general de
la dinámica de aerosoles” o “ecuación de balance para la población de partículas” (Williams
M.M.R., 1986):
)v,t,r(S
t
)v,t,r(n
t
)v,t,r(n
)v,t,r(n)v,t,r(D.)]v,t,r(n)v,t,r(U[.
t
)v,t,r(n
coagcrec
/
//
//////
+





∂
∂
+





∂
∂
+
=∇∇−∇+
∂
∂
(I. 1)
El término ).( nU
/
∇ modela la divergencia del flujo de partículas de volumen v que son
transportadas por el gas, siendo ),,( vtrU el vector suma de las velocidades del gas )),(( tru
/
y
de las velocidades originadas por fuerzas aplicadas sobre las partículas como ser las originadas
por la gravedad (Vs(v)) -sedimentación-, por gradientes térmicos (Vth) -termoforesis-, y por un
flujo de vapor (Ve) -difusioforesis- (Loyalka, 1991, Capítulo 7). Se supone además que el
campo de velocidades )),(( tru
/
está desacoplado de ),,( vtrn , de manera que la partícula es
transportada sin perturbarlo.
El término ∇.(D∇n) representa la divergencia del flujo por difusión de partículas de tamaño v,
relativo al gas, con un coeficiente de difusión D, dependiente del volumen de la partícula y de
las características del gas. Este mecanismo pasa a tener mayor importancia que la
sedimentación para diámetros de partículas por debajo de 0.1 micrón.
El término
crect
)v,t,r(n






∂
∂
representa la tasa de transferencia neta, por unidad de volumen de
gas, de partículas desde otros volúmenes al volumen v, ya sea por evaporación o condensación.

19. Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos - 7

El término )v,t,r(S representa la fuente neta de aerosoles. Puede estar compuesto por
partículas que se originan por nucleación o que provienen de otros compartimentos. También
podría incluir la captura de aerosoles por gotas de agua generadas por sistema de rociado de la
contención (o por la lluvia si es que se modela dispersión atmosférica) eliminándolas del gas
que las transportaba, representando este término para este último caso a un sumidero.
El sumando
coagt
)v,t,r(n






∂
∂
es la tasa de transferencia neta, por unidad de volumen de gas, de
partículas de otros volúmenes al tamaño v por coagulación, es decir son creadas cuando dos
partículas con un volumen total v, colisionan y se adhieren. Partículas con volumen v se pierden
cuando colisionan y se adhieren con otras. Esta transferencia es proporcional a la concentración
de partículas que participan de la coagulación y se puede expresar de la siguiente manera:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) duunv,uKvnduunuvnu,uvK
t
n
0
v
0coag
2
1
∫∫
∞
−−−=





∂
∂
(I. 2)
en donde K(v, u) es el núcleo de coagulación y se ha eliminado en la escritura por simplicidad
la dependencia espacial y temporal en la función )v,t,r(n . El primer término representa la
ganancia de partículas con volumen v y el segundo término la pérdida hacia otros volúmenes.
Hay diferentes mecanismos de coagulación que dan distinta dependencia del tamaño de la
partícula. Debido a que las partículas grandes sedimentan a mayor velocidad que las de menor
tamaño, pueden barrer a las más pequeñas a lo largo de su camino durante la sedimentación.
Estas partículas grandes, incapaces de responder a variaciones rápidas de la velocidad del gas a
causa de su inercia cruzan líneas de corriente e impactan con otras partículas o con estructuras.
El movimiento Browniano y la difusión turbulenta pueden mover partículas pequeñas a través
de las líneas de corriente del gas que las transporta y por lo tanto interceptar a otras. Se
distinguen, entonces, los mecanismos de coagulación por movimiento Browniano, de
coagulación por sedimentación, de coagulación originada por el movimiento turbulento del gas
que las transporta y por impacto debido a la inercia de las partículas.
Otros mecanismos, previamente mencionados y modelados en el término convectivo, que
afectan al transporte de aerosoles son la difusioforesis o deposición por flujo de Stefan (Bayer
C., 1995), y la termoforesis (Durnaz P., 1995). Debido al proceso de condensación de un vapor
sobre una superficie, el mismo tendrá una velocidad neta hacia aquella (flujo de Stefan).
Entonces las partículas suspendidas en un gas con concentración no uniforme, experimentarán
una fuerza que responde a la diferencia de impactos moleculares en un lado respecto de otro.
Este mecanismo será relevante en accidentes con alta concentración de vapor en la contención
y condensación sobre estructuras. No será tratado en el presente trabajo.
La deposición por termoforesis puede llegar a ser un mecanismo relativamente importante en
situaciones particulares cuando hay gradientes importantes de temperatura (5000 K/m) y en
tubos con diámetros pequeños. En esta condición las partículas experimentarán una fuerza que
responderá a los impactos de moléculas más energéticas en una cara respecto de la otra. En el
caso de reactores nucleares se espera que este mecanismo domine la deposición dentro de los
tubos de los generadores de vapor, sobre todo si hay flujo laminar, debido a la dependencia con
el gradiente de temperatura y siempre y cuando el lado secundario de los mismos esté
refrigerado. La velocidad de termoforesis depende de la relación entre el diámetro de la

20. 8 – Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos

partícula y el camino libre medio del gas que la transporta y de la relación entre la
conductividad de la partícula y del gas.
Un aspecto adicional a tener en cuenta en el modelado de las partículas es la forma de las
mismas. Gotas con tamaños menores que 1 mm son esféricas, pero la mayoría de los aerosoles,
principalmente aquellos sólidos, no lo son. Algunos tienen formas geométricas regulares, como
la cúbica en partículas de sal marina o cilíndrica en bacterias o fibras. Otros, tales como los
aglomerados de partículas o los productos de la erosión tienen formas irregulares. Su forma
afecta a la fuerza de arrastre y por lo tanto a su velocidad de sedimentación. Las ecuaciones
para el arrastre y la velocidad de sedimentación están basadas en partículas esféricas. Bajo estas
condiciones y asumiendo el Reynolds de la partícula menor que uno, Stokes derivó la conocida
y ampliamente utilizada expresión para el cálculo de la velocidad terminal de una partícula:
µ
ρ
18
dg
V
2
p
S =
Un factor de corrección, llamado factor de forma dinámico, se aplica para corregir el efecto de
la forma en el movimiento de las partículas (Hinds W. C., 1982). Éste se define como el
cociente entre la fuerza de resistencia real de la partícula no esférica (FD) respecto de la de una
esfera que tiene el mismo volumen y velocidad:
e
D
dV3
F
µ
χ =
donde de es el diámetro equivalente, y el denominador es la fuerza de arrastre dada por la Ley
de Stokes para partículas esféricas. La velocidad de sedimentación con esta corrección resulta:
χµ
ρ
18
dg
V
2
ep
S =
Por ejemplo para un cubo χ = 1.08, para un cilindro (L/D = 4) con su eje axial alineado con la
dirección del flujo χ = 1.07 y para grupos de 2, 3 y 4 esferas en arreglo compacto, χ vale 1.12,
1.15 y 1.17 respectivamente (Davies C.N., 1979). Distintas definiciones del diámetro de las
partículas surgen a partir de esta consideración. Uno de ellos es el de Stokes, dS, que es el
diámetro de una esfera que tiene la misma densidad y velocidad que la partícula en cuestión.
Otro es el aerodinámico, da, que es el diámetro de una esfera con densidad unitaria (ρp=ρ0
=1000 kg/m3
) que tiene la misma velocidad de sedimentación. La ecuación anterior puede,
entonces escribirse en términos de estos diámetros como:
µ
ρ
µ
ρ
χµ
ρ
18
dg
18
dg
18
dg
V
2
a0
2
Sp
2
ep
S ===
De esta forma el diámetro de Stokes estandariza partículas de varias formas teniendo la misma
propiedad aerodinámica, mientras que el diámetro aerodinámico estandariza no solo la forma
sino que también la densidad. Por ejemplo una partícula de cuarzo (χ aproximadamente 1.36)
con un diámetro equivalente de = 5 µm y densidad ρp= 4000 kg/m3
, posee una velocidad
terminal de 0.22 cm/s, un diámetro de Stokes dS = 4.3 µm y uno aerodinámico de 8.6 µm.

21. Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos - 9

Una gran mayoría de los detectores de partículas, en particular aquellos que miden la
distribución en tamaño de una población dada, se basan en el comportamiento aerodinámico de
las mismas y están calibrados con partículas esféricas con densidad unitaria, midiéndose por lo
tanto el diámetro aerodinámico de las mismas. Este es el caso de los impactadores de cascada o
los que usan la técnica de tiempo de vuelo, luego de acelerar las partículas. Esta
caracterización, basada en las propiedades aerodinámicas de las partículas, importa cuando se
pretende analizar los efectos sobre la salud o el filtrado de ambientes (Willeke K., 1993).
También existen otras definiciones y en general están asociadas a la forma de medirlos, tal es el
caso de instrumentos basados en las propiedades ópticas de la partícula (Dennis R., 1978;
Willeke K., 1993).
Por otro lado es importante llamar la atención sobre la complejidad de los fenómenos físicos
involucrados en la dinámica de aerosoles. Es por ello que creemos relevante propagar las
incertezas de los coeficientes que caracterizan los distintos procesos, en parámetros como la
concentración total, para poder evaluar con cierto grado de confidencia las consecuencias de un
contaminante. La necesidad de este tipo de análisis de sensibilidad es resaltada por Williams
M.M.R. (1990).
1.3 PRINCIPAL HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVA PARA LA RESOLUCIÓN DE LA
ECUACIÓN GENERAL DE AEROSOLES
La ecuación (I.1) que describe la dinámica de aerosoles, es una ecuación integro diferencial no
lineal debido a los términos de coagulación, difusión y deposición. La resolución de esta
ecuación en general requiere un considerable esfuerzo numérico, con el consiguiente consumo
de tiempo de cálculo. Estos hechos hacen que un tratamiento directo de esta ecuación no resulte
práctico o viable según los mecanismos físicos que se pretenda simular.
La simplificación más importante y usual que se hace a la ecuación de balance de aerosoles es
la de homogeneidad espacial, que consiste en suponer que éstos están bien mezclados, es decir
que la concentración o la densidad espacial es homogénea, es decir que n(r,t,v) es
prácticamente constante hasta la proximidad de la pared. Bajo esta hipótesis e integrando en un
dominio dado, la ecuación (I.1) se reduce a, (Williams M.M.R., 1986):
)t,v(S
dt
)t,v(dn
dt
)t,v(dn
)t,v(n)t,v(R
dt
)t,v(dn
coagcrec
+





+





=+ (I. 3)
donde R(v,t) es la tasa efectiva de remoción de partículas, y se expresa como:
difthdsp
p
vvvvU
Vol
)UU(A
)t,v(R
+++=
+⋅
=
(I. 4)
siendo A y Vol el área de deposición y el volumen del domino, respectivamente, U la
velocidad media del fluido, sv la velocidad de sedimentación por gravedad, δ/Dvd = la
velocidad equivalente por difusión, con D el coeficiente de difusión y δ el espesor de la capa

22. 10 – Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos

límite difusiva, thv la velocidad equivalente por deposición por termoforesis y difv la velocidad
equivalente de deposición por difusioforesis.
Con respecto al término de coagulación, proceso que depende cuadráticamente con la
concentración de partículas, la hipótesis de “buen mezclado” implica que el promediado en
volumen de este término no lineal sea igual al producto de los promedios, error difícil de
estimar cuya importancia no debe ser olvidada, (Williams M. M. R., Loyalka S. K., 1991,
página 115-116) (Wilson R., 1985).
Los efectos espaciales, generalmente se tratan compartimentando al volumen considerado, en
subcompartimentos o macrovolúmenes en donde se sigue suponiendo homogeneidad espacial,
utilizando funciones de acople entre los mismos (Simpson et al., 1989). Esta aproximación en
general se hace con motivos de facilitar el tratamiento de dicha ecuación integro-diferencial,
pero sin un fundamento teórico que lo avale. En un casos simple como el de sedimentación
pura en un recinto, al comparar la solución exacta con la aproximada obtenida luego de
promediar espacialmente la densidad de aerosoles, indica que cuando aún permanecen en el
recinto el 30 % de las partículas, hay un error del 40 % en el modelo homogéneo, y este error
tiende a un valor constante del 93 % aproximadamente para tiempos mayores, (Williams,
M.M.R., 1986).
Los códigos desarrollados para describir el comportamiento de los aerosoles en la contención
de reactores y en el circuito primario, como ser AEROSOLS-CEA, AEROSIM-UKAEA
(Zoulalian A., 1995), ASTD, CONTAIN-SNL, HAARM-Atomics International, MAEROS-
SNL (Gelbard, 1991), NAUA-KfK (Bunz et all, 1983), RAFT-ANL (Hontañón E., 1993),
VICTORIA (Heanes T. J., 1992) y TRAP-MELT-BNL (Jordan H.,1985), por citar a los más
conocidos y difundidos hacen uso de la hipótesis fundamental que considera a los aerosoles
perfectamente mezclados, es decir postulando la no existencia de inhomogeneidades espaciales
en la distribución de los aerosoles.
Cualquier efecto que dependa de la inhomogeneidad espacial, es tenido en cuenta tomando un
promedio espacial de la ecuación que gobierna la dinámica en todo el volumen de control y
simulando una capa límite virtual con espesor prefijado (Fernandes & Loyalka, 1996). Además
al considerar el fuerte comportamiento no lineal de los aerosoles y la dependencia de las tasas
de distintos procesos con el tamaño de la partícula, no resulta claro cómo tal efecto pueda ser
incorporado cuando se realiza la hipótesis de “buen mezclado”. Park (1989) concluye que el
efecto de la inhomogeneidad espacial puede ser sustancial en la estimación del Término Fuente,
dependiendo de la condición del sistema. Por lo tanto la hipótesis de buen mezclado necesita
más investigación y clarificación. Finaliza diciendo que sería de interés en conjunción explorar
también el uso de tasas de procesos con dependencia espacial más realistas.
Precisamente Fisher y Kanzleleiter (1999) en referencia a la experiencia alcanzada de las
investigaciones experimentales (series DEMONA, VANAM y KAEVER) y de los ejercicios de
validación de códigos (NAUA, CONTAIN, MELCOR, FIPLOC) llegan a la conclusión de que
la hipótesis temprana de condición homogénea en la contención es irreal y no da
necesariamente una estimación conservativa para la estimación de la actividad liberada.

23. Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos - 11

1.4 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE AEROSOLES
La ecuación (I.1) es analíticamente intratable y para resolverla suele requerirse, aún para los
núcleos de coagulación más sencillos, un considerable esfuerzo numérico (Williams M. M. R.
and Loylaka S., 1991; Williams M. M. R., 1986). Soluciones aproximadas para núcleos de
coagulación constantes fueron planteadas por Barrett J.C. (2002).
Una forma de resolución es discretizar la distribución o espectro en tamaño de la población de
partículas, en grupos Nk(t) como una función del tiempo, siendo k el número de grupos de
volúmenes. Aunque esta forma puede ser considerada como una rigurosa representación del
sistema, es realmente restrictivo tratar con un sistema de ecuaciones discretas debido al enorme
rango de volúmenes a considerar, (Seinfeld J. H., 1998) abarcando diámetros con una
diferencia de más de 3 órdenes de magnitud. Por otro lado un problema reconocido en dicha
técnica de modelado seccional es la difusión numérica a través de los bordes de cada grupo de
volúmenes (Whitby, 1997; Seigneur et al., 1986). En particular Chang-Yu (1998) analizó este
problema en detalle, comparando distintas alternativas de tratamiento del intercambio de masa
entre grupos concluyendo que los errores por difusión numérica pueden ser importantes para
coagulación y condensación.
Otro forma que se ha propuesto para la simulación de la dinámica de aerosoles
multicomponentes es el método de Monter Carlo (Kourti N., Schatz A., 1998) con
homogeinización espacial para resolver la interacción entre partículas de distinta especie y
volumen, siendo claramente la mayor limitación los tiempos de cálculo extremadamente largos.
Una técnica elegante propuesta para la resolución de la ecuación general dinámica de
aerosoles, que reduce notoriamente el costo computacional, es utilizar el Método de los
Momentos en donde se utiliza una distribución prefijada para la dependencia del tamaño de una
población de partículas. Entonces, la base racional de la solución de la ecuación general por
dicho método es que la forma funcional de la distribución permanecerá valida a lo largo de la
historia del aerosol. El cambio en la distribución del tamaño de las partículas se verá
caracterizado por la variación temporal de los parámetros que describen la forma funcional
adoptada. Esta distribución deberá satisfacer los primeros momentos de la ecuación de balance
-tantos parámetros como tenga dicha distribución-, lo cual conduce a ecuaciones diferenciales
relativamente más sencillas para cada uno de ellos.
1.5 BASE EXPERIMENTAL
Diversos experimentos sobre la dinámica de aerosoles se han llevado a cabo desde los años 50,
en donde se empezó a percibir la importancia de entender la física involucrada, dado el impacto
en la salud producido por el transporte urbano, las emisiones industriales, la generación
eléctrica con combustible fósiles en conjunción con fenómenos naturales locales, tanto
geográficos como atmosféricos. Sucesos de la alta polución sumamente graves relacionados
con la salud ocurridos en Los Ángeles y Londres, dispararon la investigación en el área. En
particular el ocurrido en esta última ciudad en 1952 causó, durante los 5 días que duró, más de
3000 muertes, 5 veces más que la tasa normal. Este evento se originó por una inversión de
temperatura en la capa límite atmósférica en pleno invierno, que no permitió la dispersión y
dilución de los humos del carbón provenientes de emisiones de hornos, estufas e industrias.

24. 12 – Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos

Los primeros experimentos se orientaron a estudiar aspectos aislados de la física de los
mismos. En los últimos años la investigación en el área de accidentes severos en reactores
nucleares estuvo centrada en el comportamiento de los aerosoles en la contención,
involucrando experiencias de las denominadas integrales, tanto en escala reducida como en
contenciones con dimensiones comparables a las reales. En todos los casos es importante tener
como referencia el volumen del recipiente o contención en donde se desarrollan los
experimentos y compararlos con el volumen de la contención de un PWR (Pressure Water
Reactor) clásico que es del orden de 105
m3
y la de un BWR (Boiling Water Reactor) de unos
104
m3
.
El conocimiento actual y la base de datos sobre el comportamiento de los aerosoles en
contención fue originado principalmente en una serie de experimentos conocidos como LACE
(Light Water Reactor Aerosol Containment Experiments en Handford Energy Development
Laboratory) y ACE, ambos en EEUU, DEMONA, KAEVER y VANAM en Alemania,
MARVIKEN en Suecia, Falcon en Inglaterra, AHMED y VICTORA en Finlandia y PHEBUS
y PITEAS en Francia, estos últimos aún en desarrollo, (Schöck W. et all, 1987; Fisher K.,
1999; Poss G. y Wever D., 1997; Mäkynen J. M. et al., 1997; Wright A. L, 1988; Hosemann et
al., 1988; Saldo V., 1997, Wilson R., 1985, Zoulalian A., 1995, Clement B. et al., 2003).
Una breve descripción de algunos de estos experimentos se presenta a continuación:
DEMONA: es un programa experimental llevado adelante por Battelle-Frankfurt, con fondos
del gobierno alemán y suizo. El objetivo fue demostrar la efectividad de la remoción de
aerosoles por medios naturales, considerando en algunos casos la formación de niebla. Se
inyectan aerosoles a un recinto de ¼ de escala de la contención de Biblis B, con un volumen
de 640 m3
. Los aerosoles estaban constituidos por mezclas de Ag, Fe, U, Sn y Zr. Los
complejos casos experimentales realizados pusieron de manifiesto las grandes diferencias
entre los datos y los resultados de los códigos (Fisher K. 1999).
VANAM: continuación del programa anterior con mayor compartimentación, mejor
instrumentación y aspectos termohidráulicos orientados a secuencias accidentales más
realistas. En relación con DEMONA el resultado de la comparación con modelos numéricos
fue más alentador y mostró claramente que la problemática de multicompartimentos y las
inhomogeneidades locales de las distribuciones son gran importancia (Fisher K. 1999).
LACE: extenso programa bajo la dirección y ejecución de Westinghouse Handford Energy
Development Laboratory con financiación del EPRI. El objetivo fue la medición de la
retención de aerosoles en el primario y del cambio que sufren durante el transporte en
cañerías y de la deposición en un edificio auxiliar, simulando en algunos casos un by-pass a
la contención. En particular la serie LA2 estudió la evolución de aerosoles en una
contención simulada cuya altura es de aproximadamente 20 m y un volumen de 852 m3
, con
de pérdidas al exterior. El problema de las mediciones fue que el muestreo dentro del
recipiente no fue extensivo (sólo 4 posiciones) y con dos de ellas ubicadas en la proximidad
de las fugas simuladas, con lo cual no fue posible concluir directamente sobre del buen
mezclado de los aerosoles (homogeneidad espacial). Los códigos han hecho un trabajo pobre
en la descripción de los datos experimentales (Williams M.M.R., Capítulo 8, 1991).
MARVIKEN: serie de experimentos integrales a escala, realizado en la planta nuclear
Marviken en Suecia, con fondos de la NRC y EPRI. Los aerosoles inyectados fueron Cs,
ICs, hidróxido de Cs y Teluro. Se midió retención en circuito primario, presurizador, tanque

25. Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos - 13

de alivio y en un simulado recipiente de presión ( 134 m3
) en donde se incluyen además
aerosoles con compuestos metálicos (Williams M.M.R., Capítulo 8,1991).
AHMED: serie de experimentos realizados por VVT de Finlandia para estudiar el efecto de las
distintas condiciones termohidráulicas en la contención, sobre todo con elevada humedad
relativa, sobre aerosoles higroscópicos. El recipiente es cilíndrico con un volumen es de 1.81
m3
. Las mediciones fueron realizadas utilizando equipos con distintos métodos de medición
como ser impactadores de cascada, por tiempo de vuelto, cámaras de condensación, ópticos
y medición de masa por oscilación del colector. Las mediciones han sido de buena calidad
en condiciones controladas (Mäkynen J.M. et al., 1997).
Phebus FP: este programa internacional se inició en 1988 y aún continua con la realización de
experimentos integrales. Una sección de un elemento combustible parcialmente quemado es
colocado en una cápsula presurizada y refrigerada en un reactor experimental con el objetivo
de producir fisiones. Al cortar la refrigeración se inicia el proceso de fusión o degradación
del combustible con liberación del material radiactivo al circuito, el cual simula al circuito
primario de un reactor incluyendo a los tubos de los generadores de vapor, para finalmente
liberar el material y gases a un recipiente que simula una contención. El informe final del
primer ensayo denominado FPT0 fue publicado recientemente (Clement B. et al., 2003). El
objetivo, aparte del estudio de la fusión del combustible, es la medición de la deposición en
los tubos de los generadores de vapor por termoforesis y la deposición en la contención.
Se puede decir que los experimentos de gran escala como DEMONA de KfK, MARVIKEN o
Phebus FP, del tipo integrales y con fuertes acoples entre el flujo de aire y los aerosoles, en
presencia de muchos de los fenómenos físicos explicados anteriormente actuando
simultáneamente, dificultan el entendimiento y discernimiento de la importancia relativa de
cada uno de ellos en las distintas etapas de los transitorios realizados. Experimentos de menor
escala o simples no han cubierto un rango amplio de parámetros como sería deseable. En
general el costo de los experimentos con aerosoles es muy elevado (costo total de las series
MARVIKEN V, DEMONA y LACE superior a 30 millones de dólares estadounidenses) y esta
ha sido, junto con la interferencia de la medición con las partículas, una de las mayores
limitaciones al desarrollo experimental. En la inmensa mayoría de los casos los datos
experimentales y las condiciones en las cuales los mismos fueron generados, no están
disponibles en la literatura abierta o su presentación es incompleta (Haware S. K et al., 1997),
para poder reproducir numéricamente el experimento y ser utilizados como verificación de los
modelos en desarrollo. En general son de propiedad y disponibilidad de los participantes de
estos proyectos, es por ello que sólo se ha podido acceder lamentablemente a pocos datos
experimentales.
Estos experimentos han mostrado que diferentes compuestos se distribuyen y comportan en
forma diferente. Especies gaseosas se distribuirán en forma homogénea, principalmente por
convección al comienzo y luego por difusión, siendo la convección turbulenta mucho más
efectiva que la última. Por otro lado, los aerosoles pueden distribuirse de una manera
completamente distinta. Una distribución espacial no homogénea puede encontrarse aún si hay
un mezclado inicial importante, observándose que compartimentos con concentraciones bajas
en una fase temprana, luego presentan concentraciones aún más altas que el promedio. Esto se
debe a los procesos de remoción de aerosoles, los cuales dependen fuertemente de las
características iniciales de la población de partículas y de las condiciones termohidráulicas
locales. En particular sobresale el fenómeno de barrido por sedimentación y coagulación, el
cual depende del tamaño de las partículas y de su concentración, sumándose el de crecimiento

26. 14 – Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos

por condensación relacionado con las condiciones del medio. Dicha estratificación de aerosoles
se observó en compartimentos aislados en los experimentos de la serie LACE. Esta
característica también fue detectada en algunos experimentos de la serie DEMONA, con varios
compartimentos y en el experimento M3 de la serie VANAM (Kanzleiter T., 1993).
2 OBJETIVO DE LA TESIS
El objetivo general de esta tesis es contribuir al avance general en el modelado y el
conocimiento de la dinámica de sistemas polidispersos bifásicos, con aplicación principal al
transporte de aerosoles y de burbujas. Para ello se desarrollará un modelo que permita simular
el transporte en recintos cerrados y profundizar el estudio de la dinámica, considerando los
acoples entre los diversos fenómenos físicos que intervienen, incluyendo el tratamiento de los
efectos de la distribución espacial de dicha población de partículas o burbujas.
Los objetivos particulares son:
• Explorar la aplicación del método de los momentos para la resolución de la ecuación
general de transporte de aerosoles y de burbujas, utilizando una función prefijada para
la distribución de tamaño de partículas, para obtener ecuaciones diferenciales de
convección-difusión con fuente, más fácilmente resolubles. Para ello se analizarán las
fortalezas y debilidades del método a través de la comparación con soluciones
analíticas, con otros métodos y resultados experimentales, mediante la simulación
numérica de un amplio rango de procesos físicos para el caso de aerosoles como ser
sedimentación, difusión, coagulación, condensación, sustentación y termoforesis,
actuando en forma aislada o en conjunto, y para burbujas, el transporte debido a la
fuerza boyante, la coalescencia y la rotura, incluyendo distintos patrones de flujo.
• Estudiar si el modelado de los efectos de distribución espacial redunda en gradientes de
concentración de aerosoles significativos y en evoluciones temporales que los modelos
actuales que usan la hipótesis de homogeneidad espacial no podrían predecir.
• Desarrollar una herramienta que complemente al modelo de dinámica de aerosoles y
que permita la realización de estudios de sensibilidad respecto de incertezas en los
parámetros de dicho modelo y en las condiciones tanto de borde como iniciales.
3 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS
En la presente tesis se desarrolla la formulación de un modelo que permite describir la
dinámica de aerosoles, incluyendo un modelo para el tratamiento de incertezas. Se aplican para
el estudio de algunos temas de interés, involucrando los fenómenos de convección,
sedimentación, difusión, coagulación, sustentación y termoforesis. También se realiza una
derivación del método para el modelado de la dinámica de burbujas considerando su

27. Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos - 15

distribución en tamaño, con el objetivo de mostrar la potencialidad del mismo en otro tipo de
flujos bifásicos.
En el capítulo 2 se desarrolla el modelo unidimensional para describir la evolución temporal y
variación espacial de una población polidispersa (compuesta por distintos tamaños) de
partículas, haciendo uso del método de los momentos para derivar ecuaciones más sencillas que
la ecuación general de balance de aerosoles. Se usa como distribución prefijada a la de Poisson
para describir la distribución en tamaño de las partículas. Se derivan expresiones para los
coeficientes de difusión y condensación, la velocidad de sedimentación y los términos de
coagulación Browniana y gravitacional.
En el capítulo 3 se realizan diversas comparaciones del modelo con soluciones analíticas y
datos de bibliografía procedentes de cálculos realizados con el código AEROSIM de UK-
Atomic Energy Authority, código que asume homogeneidad en la distribución espacial de la
población de partículas. Se analizan los gradientes espaciales y su origen.
En el capítulo 4 se desarrolla y presenta un modelo bidimensional, geometría axial y radial,
que incorpora el modelado de la fuerza de sustentación debido a la presencia de las partículas
en un campo de velocidades con vorticidad no nula, flujo laminar y el transporte radial por
termoforesis. Esto permite ampliar el modelado -y análisis- de la distribución radial de
partículas en un tubo, dando las bases para el modelado de la deposición en paredes. Se
analizan distintos casos y se realizan comparaciones con datos de simulación numérica de
bibliografía de la contención experimental NAUA y del experimento de deposición por
termoforesis denominado STORM.
En el capítulo 5 se desarrolla un modelo para realizar estudios de sensibilidad debido a
incertezas tanto en los parámetros del modelo como en las condiciones de borde e iniciales.
Dicho modelo está basado en el Método Perturbativo, Formalismo Diferencial que permite
obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales para los adjuntos de las variables del problema
para calcular la variación temporal de los coeficientes de sensibilidad de un dado observable
respecto de los parámetros perturbados. Se analizan distintos casos partiendo de situaciones
relativamente simples, en donde se analiza por separado la evolución temporal de una
población homogénea de aerosoles y la distribución espacial en estado estacionario, para luego
presentar un caso completo en donde se hace uso del análisis de estos casos sencillos para
explicar los resultados finales. A modo de ejemplo se obtienen coeficientes de sensibilidad de
algunos parámetros del modelo y de su variación dinámica.
Finalmente en el capítulo 6, a modo de ampliación del espectro de problemas bifásicos a ser
resueltos, se realiza la aplicación del modelo desarrollado para aerosoles al caso de transporte
de burbujas en un dominio vertical, sin intercambio de masa entre fases y con equilibrio
térmico entre ellas, incorporando las correspondientes ecuaciones constitutivas para la
velocidad de burbujas, coalescencia y rotura. El objetivo es aportar al entendimiento de la
dinámica de una distribución de burbujas, régimen tipo “bubbly y slug”, considerando el
modelado de gradientes espaciales. Se realiza una comparación con resultados experimentales y
se analizan casos con variación temporal de la población de burbujas.

28. 16 – Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos


29. 17
CAPITULO II
MODELO UNIDIMENSIONAL DE DINÁMICA DE
AEROSOLES
1 INTRODUCCIÓN
La ecuación general de transporte de aerosoles descripta en el Capítulo I es una ecuación
integro-diferencial no lineal en derivadas parciales, es analíticamente intratable y requiere de
un considerable esfuerzo numérico para resolverla, aún para los núcleos de coagulación más
sencillos (Williams M. M. R. and Loylaka S., 1991; Williams M. M. R., 1986).
Una alternativa de resolución es discretizar dicha ecuación en grupos de tamaños de partículas
y considerar al aerosol distribuido espacialmente en forma homogénea, de forma tal de
contrapesar la complejidad agregada al tener que resolver tantas ecuaciones como grupos de
tamaño de partículas se modele. Es decir se considera la concentración de partículas para cada
grupo en forma discreta, Nk(t), como una función del tiempo, siendo k el número de grupos de
volúmenes en que se divide el espectro de partículas. Aunque esta forma puede ser considerada
como una rigurosa representación del sistema, es realmente limitante tratar con ecuaciones
discretas debido al enorme rango de volúmenes a considerar, (Seinfeld J. H., 1998), ya que se
suelen abarcar, durante una evolución de una población de aerosoles, diámetros con una
diferencia de hasta 3 órdenes de magnitud. El problema puede complicarse aún más si se
incorpora el modelado de la componente espacial. Por otro lado un problema reconocido en
dicha técnica de modelado seccional es la difusión numérica a través de los bordes de cada
grupo de volúmenes (Whitby, 1997; Seigneur et al., 1986). Gelbard (1990) resolvió
parcialmente este problema de crecimiento puro de cada grupo de volumenes en que discretiza
la distribución en tamaño, desarrollando una técnica de bordes móviles, pero ésta no puede ser
aplicada cuando el proceso incluye coagulación.
Un método atractivo propuesto para la resolución de la ecuación integro-diferencial que
describe la dinámica de aerosoles que reduce el costo computacional es el Método de los
Momentos, en donde se asume o prefija una forma funcional para describir la distribución del
tamaño de una población de partículas. La base racional de la solución de la ecuación general
por dicho método es que la forma funcional de la distribución permanecerá válida a lo largo de

30. 18 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles

la historia del aerosol. La evolución de la distribución del tamaño de las partículas se verá
descripta a través de la variación temporal de los parámetros de la forma funcional adoptada.
Esta distribución deberá satisfacer los primeros momentos de la ecuación de balance -tantos
parámetros como tenga dicha distribución-, lo cual conduce a ecuaciones diferenciales
relativamente más sencillas.
En la mayoría de las situaciones, en donde no hay más de una fuente de partículas o reacciones
químicas que puedan hacer que dicha distribución posea varios máximos, los distintos
mecanismos físicos actuantes harán que la distribución en tamaño sea del tipo unimodal. Los
mecanismos de coagulación y condensación hacen que el tamaño de la partícula crezca. Por
otro lado la evaporación lleva a una disminución del volumen medio al igual que la
sedimentación o impacto por inercia en estructuras o filtros, ya que estos dos últimos
mecanismos remueven a aquellas de mayor tamaño. La rotura de cadenas de partículas
generadas por el mecanismo coagulación también limita el tamaño de los mismos. La difusión,
preponderante cuando las partículas tienen diámetros inferiores a las décimas de micrón, hace
incrementar la remoción de éstas en superficies y filtros.
En general todos estos fenómenos físicos llevan a que la distribución en tamaño posea un único
máximo. Shumann en 1940, en los inicios del estudio de aerosoles, sugiere que “desde la
naturaleza del problema uno se inclina a suponer que debería haber una tendencia a
aproximar una misma distribución asintóticamente, sin importar cual pudiera ser la condición
inicial”. Swift y Friedlander (1964) analizaron la posibilidad de que la evolución de los
aerosoles preserve la forma funcional de la distribución en tamaño con el tiempo y concluyen
que esto es posible en fenómenos como la coagulación y la condensación, mientras que para la
sedimentación pura no hay forma de que la forma funcional se preserve en el tiempo, es decir
su forma cambia de un tipo de distribución a otra. Es más, como se explicará más adelante en
este capítulo, dicha función se verá recortada en los volúmenes mayores, constituyendo ésta
una de las limitaciones del método.
Por otro lado, bajo hipótesis de distribución espacial homogénea de los aerosoles Seigneur et al.
(1986) demostraron, para varias situaciones de interés involucrando coagulación Browniana y
condensación, que el método de los momentos se compara favorablemente con los métodos
más intensivos desde el punto de vista de computo, como el J-Space (Williams M.M.R. y
Loyalka S., 1991) o el seccional –en donde se discretiza la distribución en tamaño. Barrett et al.
(1998) comparan, bajo la misma hipótesis de homogeneidad que los autores anteriores, al
método de los momentos con la resolución con elementos finitos (método seccional), y
concluyen que da resultados con precisión comparable con esquemas más complicados, siendo
este método es más fácil de implementar.
Kielkiewcz M (1994), analizó la precisión del método de los momentos comparando la
solución obtenida con este método y soluciones exactas de evoluciones temporales de aerosoles
bajo hipótesis de homogeneidad espacial cuando sólo actúan condensación y remoción,
concluyendo que el método asegura errores pequeños, aún cuando los primeros momentos
cambian en varios órdenes de magnitud en el intervalo de tiempo analizado y que puede ser
usado con garantía para modelar la dinámica de aerosoles.
Un avance en la caracterización de distribuciones multimodales -distribución en tamaño
compuesta de múltiples poblaciones de aerosoles y cada una originada en distintas fuentes- es
el método denominado “Modal Aerosol Dynamics”, que asume un ensamble de dos
distribuciones lognormales y desarrolla un modelo usando el Método de los Momentos con la
hipótesis de homogeneidad espacial (Whitby, 1997).

31. Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles - 19

1.1 PROPUESTA
En el presente trabajo, para la resolución de la ecuación general de dinámica de aerosoles, se
propone utilizar el Método de los Momentos, empleando una función prefijada para la
distribución de tamaño de partículas, a fin de obtener ecuaciones diferenciales de convección-
difusión con fuente más fácilmente resolubles. La distribución en volumen de las partículas,
n(z,t,v), seleccionada para formular el presente modelo de dinámica de aerosoles es la
distribución de Poisson debido a su simplicidad, pues queda determinada por sólo dos
parámetros. Otros autores como M.M.R. Williams y S. Loyalka (1991) o Simpson D. R.
(1989), han propuesto distribuciones como la Log-normal, la gama y la gamma modificada, de
forma tal de tener más flexibilidad para describir a una población dada al tener éstas un mayor
número de parámetros. En particular, el uso de la Log-normal se debe a su característica que
permite obtener algunas soluciones analíticas o que es más fácilmente integrable.
Como uno de los objetivos de este trabajo es investigar el comportamiento espacial de los
aerosoles, modelando los gradientes de concentración, se agrega una mayor complejidad en la
resolución numérica respecto de la resolución estándar del problema que considera
homogeneidad espacial; por lo tanto la selección de la distribución de Poisson en parte
compensa dicho incremento de la complejidad, sin resignar por este hecho calidad en el
modelado. En particular se sospecha que la búsqueda de otras distribuciones en parte tendría su
origen en la hipótesis de homogeneidad en la distribución espacial de los aerosoles. De todos
modos el modelo puede ser extendido utilizando otro tipo de distribución.
2 MÉTODO DE LOS MOMENTOS CON DISTRIBUCIÓN DE POISSON
En la presente sección se describe el modelo desarrollado para simular la evolución de
aerosoles en base al Método de los Momentos. Se presenta inicialmente el modelado
unidimensional, correspondiente a la dirección vertical, coordenada z. Bajo esta hipótesis la
ecuación general de dinámica de aerosoles (I.1) se reduce a:
)v,t,z(S
t
)v,t,z(n
t
)v,t,z(n
)v,t,z(n
z
)v(D
z
)]v,t,z(n)v,t,z(U[
zt
)v,t,z(n
coagcrec
+





∂
∂
+





∂
∂
+
=
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
(II. 1)
Si se quisiese incluir la deposición en una superficie perpendicular a la dirección axial, por
ejemplo modelar la deposición por difusión, termoforesis o difusioforesis en las paredes de un
tubo, estas pueden ser incluidas en el término fuente/sumidero S(z,t,v) y modeladas según (I.4)
en la posición axial deseada.
La forma funcional que se propone para caracterizar la distribución en volumen de los
aerosoles, como ya se mencionó, es la de Poisson de primer orden:
0v/v
0
0 e
v
v
n)v,t,z(n −
= (II. 2)

32. 20 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles

donde v es el volumen del aerosol y “no” y “vo” son parámetros arbitrarios que dependen de z
y t. Tomando el momento de orden cero de la ecuación (II. 2), se obtiene:
00
0
/
0
0
0
0
0
vndvev
v
n
dvnM vv
∫∫
∞
−
∞
=== (II. 3)
M0 es el número total de partículas por unidad de volumen, denominado “densidad espacial de
partículas” o “concentración” y se lo identifica con la letra griega “ρ”, siendo función de z y t.
El momento de orden uno de dicha distribución resulta:
2
00
0
/2
0
0
0
1 20
vndvev
v
n
dvnvM vv
∫∫
∞
−
∞
=== (II. 4)
que representa a la fracción del volumen ocupado por las partículas, y se lo identifica con la
letra griega “ε”. El valor medio del volumen de las partículas en términos de los momentos de
orden cero y uno es:
0
0
1
v2
M
M
v == (II. 5)
De las ecuaciones (II.3) y (II.5) es posible evaluar los parámetros “no” y “vo” en términos de
ρ(z,t) y v (z,t) y reemplazando su expresión en la distribución de Poisson, ecuación (II. 2), se
tiene:
)t,z(v
v2
2
e
)t,z(v
v
)t,z(4)v,t,z(n
−
= ρ (II. 6)
Ecuación que relaciona la densidad de partículas de volumen v, con la densidad y volumen
medio de la población total. También es posible rescribir los momentos de orden cero y uno,
como:
)t,z()t,z(v)t,z(M
)t,z(M
1
0
ερ
ρ
==
=
(II. 7)
A continuación se obtienen las ecuaciones de balance para las variables ρ(z,t) y ε(z,t) que
surgen de reemplazar la distribución de Poisson para el tamaño de las partículas, ecuación (II.6)
en la ecuación (II. 1) y tomar luego los momentos de orden cero y uno.
2.1 MOMENTO DE ORDEN CERO
Integrando la Ecuación (II.1) para todos los volúmenes de partículas se tiene:

33. Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles - 21

∫
∫ ∫∫∫∫
∞
∞ ∞∞∞∞
+
++
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
0 crec
0 0 coag000
dv
dt
dn
dv
dt
dn
dvSdv)
z
n
D(
z
dv
z
)nU(
dv
t
n
(II. 8)
Por simplicidad se obvia en n y U la escritura de su dependencia de z, t, v; en “ρ y ε” de su
dependencia de z y t, y en D de su dependencia con v. Usando la definición de ρ se rescribe la
ecuación anterior en términos más adecuados, correspondientes a un ecuación de convección
difusión con fuente:
ρρ
ρρ ρρρ
SC
z
)D(
z
)U(
t 2
2
+=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂ (II. 9)
En donde se han definido las siguientes expresiones:
∫
∫
∞
∞
=
0
0
dvn
dvnD
Dρ ;
∫
∫
∞
∞
=
0
0
dvn
dvnU
Uρ ;
dv
dt
dn
C
coag
∫
∞






=
0
ρ ;
∫
∞
=
0
dvSSρ
(II. 10)
2.2 MOMENTO DE ORDEN UNO
Tomando el momento de orden uno de la Ecuación (II.1), se obtiene:
∫
∫ ∫∫∫∫
∞
∞ ∞∞∞∞
+
++
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
0 crec
0 0 coag000
dv
dt
dn
v
dv
dt
dn
vdvSvdv)
z
n
D(vdv
z
)nu(
vdv
t
n
v
(II. 11)
Empleando la definición de ε, la ecuación anterior se rescribe de la siguiente manera:
εε
εε εεε
GS
z
)D(
z
)U(
t 2
2
+=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
(II. 12)
En donde:

34. 22 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles

∫
∫
∞
∞
=
0
0
dvnv
dvnDv
Dε ;
∫
∫
∞
∞
=
0
0
dvnv
dvnUv
Uε ;
dv
dt
dn
vG
crec
∫
∞






=
0
ε ;
∫
∞
=
0
dvvSSε
(II. 13)
Las ecuaciones en derivadas parciales (II. 9) y (II. 12), acopladas y no-lineales, permiten
obtener la evolución de ρ(z,t) y ε(z,t) que caracterizan el estado del sistema de aerosoles.
El momento de orden cero representa la variación temporal de la densidad de partículas y es
por ello que el término de condensación no aparece, dado que este mecanismo sólo afecta la
masa de aerosoles y sí en cambio aparece el de coagulación ya que éste reduce el número de
partículas. El momento de orden uno representa la variación de la “fracción de volumen
ocupada por partículas” que hay en el recinto considerado. Dicha variable es adimensional y al
ser multiplicada por la densidad de la partícula y por el volumen de gas que se considera,
representa la masa total de las partículas en dicho recinto. Es por esto que en la ecuación (II.
12) el término de coagulación es nulo ya que la “masa” o la “fracción de volumen” no varían
por dicho mecanismo. Sí en cambio aparece el término de condensación y/o evaporación.
2.3 TÉRMINO DIFUSIVO
Para modelar el término difusivo se propone el coeficiente de difusión correspondiente a la
difusión Browniana de partículas en un gas, dado por la relación de Stokes-Einstein,
(Wilson R., 1985 ), en donde se asume que el tiempo de relajación de la partícula es menor que
el tiempo entre fluctuaciones debido a su interacción con las moléculas del fluido que la rodean
(Seinfeld John H., Pandis Spyros N., 1998):
d3
CTK
D c
µπ
= (II. 14)
Donde:
T = temperatura
K = constante de Boltzmann
µ = viscosidad del gas
Cc = factor de Cunningham
d = diámetro de la partícula
Cc tiene en cuenta la corrección por deslizamiento o por efectos de que el aerosol se encuentra
en un medio continuo, sometido a impactos moleculares. Su inclusión en el modelo debe ser
considerada cuando se modelan partículas con diámetros del orden de decenas de los
nanometros. Cc depende del diámetro d de la partícula y de λ, el camino libre medio del gas:
)]/55.0(exp4.0257.1[)/2(1 λλ ddCc −++= (II. 15)

35. Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles - 23

En principio se supone Cc = 1, esto es razonable para tamaños de partículas del orden o
mayores que 0.5 µm. Para la obtención de los coeficientes Dρ y Dε es conveniente expresar (II.
14) en función del volumen v de la partícula, resultando:
3/1−
= vD α ;
µπ
α 3/2
183.0
TK
= (II. 16)
2.3.1 Cálculo del coeficiente Dρρρρ
Utilizando la definición de Dρ, ecuación (II. 10) y utilizando las ecuaciones (II. 6) y (II. 16) se
tiene:
dvev
v
tzD vv
o
/23/2
2
4
),( −
∞
∫= αρ (II. 17)
La solución de este tipo de integrales son las funciones Gamma, resultando para este caso:
3/52
)/2(
)(4
),(
3/5
vv
tzD −
Γ
=
α
ρ (II. 18)
Resolviendo, finalmente se obtiene:
3/1
135.1),( −
= vtzD αρ (II. 19)
2.3.2 Cálculo del coeficiente Dεεεε
Partiendo de la definición Dε , ecuación (II. 13) y empleando las ecuaciones (II. 6) y (II. 16), se
tiene que:
dvev
v
tzD vv
o
/23/5
2
4
),( −
∞
∫= αε
(II. 20)
Integrando:
3/82
)/2(
)3/8(4
),(
vv
tzD
Γ
=
α
ε (II. 21)
Resolviendo, finalmente se obtiene:
3/1
946.0),( −
= vtzD αε (II. 22)
2.4 TÉRMINO CONVECTIVO
El término convectivo de la ecuación general de dinámica de aerosoles modela el transporte de
partículas por el movimiento del gas y la velocidad de sedimentación por acción de la
gravedad. En el presente tratamiento unidimensional la dirección de la velocidad del gas
portador de las partículas (u(z,t)) tiene la misma dirección que la velocidad de las partículas

36. 24 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles
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(Vs(v)). Si se desea modelar conductos horizontales, la remoción por sedimentación se puede
incluir en el término S(z,t,v). La velocidad de sedimentación de las partículas está dada por la
velocidad de Stokes en donde se desprecian los términos inerciales, es decir se asume que las
partículas “nacen” con la velocidad de estado estacionario o terminal (Zoulalian A., 1995):
2p
s d
18
g
)v(V
µ
ρ
= (II. 23)
en donde µ es la viscosidad del gas, ρp la densidad de la partícula y d su diámetro. Dicha
expresión es válida para Reynolds (Re) de la partícula (longitud característica: diámetro)
menores que la unidad, de no ser así, correcciones para el coeficiente de arrastre deben ser
introducidas. Por ejemplo, esta corrección debiera aplicarse para partículas con diámetros
mayores que 50 µm en aire a presión atmosférica. Por otro lado en dicha expresión no se
incluye la corrección cuando el tamaño de la partícula se aproxima al camino libre medio de las
moléculas en al aire, por estar fuera del alcance del presente modelo o rango de aplicación
esperado del mismo. Para caracterizar a la dinámica de la partícula se suele utilizar la constante
de movilidad, B, régimen de Stokes, definida a partir del cociente entre la velocidad terminal y
la fuerza aplicada sobre la partícula:
F
V
B s
= (II. 24)
En este caso la fuerza es el peso de la partícula. El producto de la constante de movilidad por la
masa de la partícula, mp, es una magnitud frecuente en la mecánica de aerosoles y útil para el
análisis de su dinámica. Ésta tiene unidades de tiempo y se la conoce como tiempo de
relajación, τ. En términos del diámetro de la partícula se tiene que:
2
18
dBm
p
p
µ
ρ
τ == (II. 25)
Este tiempo caracteriza al requerido por una partícula para ajustarse o relajar su velocidad a una
nueva condición de fuerzas. El tiempo para alcanzar la velocidad terminal se evalúa como tres
veces el tiempo de relajación. Por ejemplo para gotas de agua con diámetros de 1 y 10 micrones
vale 1.1 10-5
y 9.4 10-4
segundos, respectivamente. Estos valores sustentan la hipótesis de que
la partícula “nace” con su velocidad terminal. La expresión de la velocidad, ecuación (II.23), en
términos de la variable de interés, el volumen de la partícula, es:
3/2
)( vVvV fs = ;
µ
ρ
π
g
V
p
f
9
2
4
3
3/2






= (II. 26)
La velocidad de la partícula resultante es U(z,t,v) y es igual a la suma de las velocidades del gas
y de sedimentación:
)v(V)t,z(u)v,t,z(U s+= (II. 27)

37. Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles - 25
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2.4.1 Cálculo del coeficiente Uρρρρ
Utilizando la definición de Uρ , ecuación (II.10) y las ecuaciones (II.6), (II. 26) y (II. 27), se
tiene que:
∫
∞ −
+=
0
2
3/5
2
4
),(),( dvev
v
V
tzutzU v
v
f
ρ (II. 28)
Resolviendo resulta:
3/2
947.0),(),( vVtzutzU f+=ρ (II. 29)
2.4.2 Cálculo del coeficiente Uεεεε
Utilizando ahora la definición de Uε , ecuación (II.13) y las ecuaciones (II.6), (II. 26) y (II. 27),
se tiene que:
∫
∞ −
+=
0
2
3/8
3
4
),(),( dvev
v
V
tzutzU v
v
f
ε (II. 30)
Integrando resulta:
3/2
263.1),(),( vVtzutzU f+=ε (II. 31)
2.5 TÉRMINO DE CONDENSACIÓN
El fenómeno de condensación hace que las partículas crezcan, produciéndose un
desplazamiento del espectro en volumen hacia valores mayores, (Seinfiel, Capítulo 12, 1998).
Este es un fenómeno que puede dominar en la fase temprana de un accidente jugando un papel
relevante en el crecimiento de las partículas, y por lo tanto favoreciendo los procesos de
coagulación gravitacional y sedimentación, (Stock, J.D.R., 1987; Hontañon E., 1993). Se
supone en este trabajo que el aerosol y el vapor que condensa son de la misma especie. De no
ser así se debería realizar un seguimiento de la masa de la partícula y del líquido condensado, a
través de ecuaciones de balance.
Se define a Iv(v) como la razón de cambio de volumen de una partícula de volumen v debido a
la transferencia de masa desde la fase gaseosa a la líquida, depositada sobre la partícula, y se
puede expresar como
)(
63.3
)(
,
32
3/1
iepi
p
ii
c
cv
Pp
TR
MD
Gcon
vGvI
dt
dv
−=
==
ρ
π
(II. 32)
donde Di es el coeficiente de difusión de la especie “i” en aire, Mi es el peso molecular, y R la
constante de los gases ideales. La diferencia entre la presión de vapor lejos de la partícula de la