1. Sistemas de ecuaciones lineales
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano
bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por
una recta.
Sin resolver el sistema directamente, determina si tiene:
Única solución: La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas
las rectas que representan a las ecuaciones.
Infinitas soluciones: (tres ecuaciones o más). Si, por el contrario, la
intersección de todos los planos es una recta o incluso un plano, el sistema
tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que
forman dicha línea o superficie.
No tiene solución: Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo
tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no
tiene solución.
Método gráfico:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son
las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que
coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en el campo de los
números reales pero si en el campo de los números complejos.
Para ello:
1. Encuentra la pendiente de cada recta.
2. Los puntos de corte de la recta con los ejes coordenados.
3. Luego, comprueba por el método de reducción.

2. Problemas:
Primer sistema lineal:
1. 3x+5y=15
2. 6x+10y=6
Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello,
ordenamos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b.
3푥 + 5푦 = 15
Restamos (3x) en ambos lados de la ecuación.
−3푥 + 3푥 + 5푦 = 15 − 3푥
Eliminamos y ordenamos:
5푦 = −3푥 + 15
Dividimos entre (5) en ambos lados de la ecuación:
5푦
5
= −
3푥
5
+
15
5
Reducimos y obtenemos la forma canónica:푓(푥) = 푦 = 푚푥 + 푏
푦 = −
3푥
5
+ 3
De aquí encontramos:
푚 = −
3
5
; 푏 = 3
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el
punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).
Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos
preguntamos.

3. ¿Qué ocurre si x=0?
푦 = −
3(0)
5
+ 3
Reducimos y obtenemos:
푦 = 3
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el
segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0 = −
3푥
5
+ 3
Ahora restamos (3) en ambos lados de la ecuación:
−3 + 0 = −
3푥
5
+ 3 − 3
Reducimos:
−3 = −
3푥
5
Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−3 = −
3푥
5
)
−15 = −3푥
Dividimos entre (3) en ambos lados de la ecuación.
−
15
3
= −
3푥
3
Reducimos:
−5 = −푥
Eliminamos el signo menos:
5 = 푥

4. Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (5,0).
Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:
6푥 + 10푦 = 6
Restamos (-6x) en ambos lados de la ecuación y ordenamos:
−6푥 + 6푥 + 10푦 = −6푥 + 6
Reducimos y ordenamos:
10푦 = −6푥 + 6
Dividimos entre (10) ambos lados de la ecuación:
10푦
10
= −
6푥
10
+
6
10
Reducimos y Simplificamos:
푦 = −
6푥
10
+
6
10
Simplificamos:
푦 = −
3푥
5
+
3
5
Una vez mostrada en su forma canónica 푓(푥) = 푦 = 푚푥 + 푏;
Encontramos:
푚 = −
3
5
; 푏 =
3
5
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el
punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).
Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos
preguntamos.

5. ¿Qué ocurre si x=0?
푦 = −
3(0)
5
+
3
5
푦 =
3
5
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0, 3
5
). Para encontrar el
segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0 = −
3푥
5
+
3
5
Restamos (3/5) en ambos lados de la ecuación:
−
3
5
+ 0 = −
3푥
5
+
3
5
−
3
5
Reducimos:
−
3
5
= −
3푥
5
Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−
3
5
= −
3푥
5
)
Reducimos:
−3 = −3푥
Eliminamos el signo menos y dividimos entre (3):
3
3
=
3푥
3
Reducimos:
1 = 푥

6. Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (1,0). Con todo esto estamos
listos para graficar.
La grafica
x y  
Conclusión:
 Ambas rectas no se cortan, las coordenadas del punto de corte son diferentes
en las rectas, sus pendientes son iguales.
 Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en el campo de los
números reales.
Resolución mediante el método de reducción.
Primer sistema lineal:
1. 3x+5y=15
2. 6x+10y=6
F1(x)=
3
5 y   x  3
F2(x)=
3 3
5 5

7. Multiplicamos por (-2) a la primera ecuación y se la sumamos a la segunda:
−2(3푥 + 5푦 = 5)
Tenemos:
−6푥 − 10푦 = −10
6푥 + 10푦 = 6
0 + 0 = 4
Por tanto, el sistema no tiene solución.
Segundo sistema lineal
1. 3x+5y=15
2. x+5/3y=5
Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello,
ordenemos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b:
3푥 + 5푦 = 15
Restamos (3x) en ambos lados de la ecuación.
−3푥 + 3푥 + 5푦 = 15 − 3푥
Eliminamos y ordenamos:
5푦 = −3푥 + 15
Dividimos entre (5) en ambos lados de la ecuación:
5푦
5
= −
3푥
5
+
15
5
Reducimos y obtenemos la forma canónica:푓(푥) = 푦 = 푚푥 + 푏

8. 푦 = −
3푥
5
+ 3
De aquí encontramos:
푚 = −
3
5
; 푏 = 3
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el
punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).
Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos
preguntamos.
¿Qué ocurre si x=0?
푦 = −
3(0)
5
+ 3
Reducimos y obtenemos:
푦 = 3
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el
segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0 = −
3푥
5
+ 3
Ahora restamos (3) en ambos lados de la ecuación:
−3 + 0 = −
3푥
5
+ 3 − 3
Reducimos:
−3 = −
3푥
5
Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−3 = −
3푥
5
)

9. −15 = −3푥
Dividimos entre (3) en ambos lados de la ecuación.
−
15
3
= −
3푥
3
Reducimos:
−5 = −푥
Eliminamos el signo menos:
5 = 푥
Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (5,0).
Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:
푥 +
5푦
3
= 5
Restamos (x) en ambos lados de la ecuación:
−푥 + 푥 +
5푦
3
= −푥 + 5
Reducimos y ordenamos:
5푦
3
= −푥 + 5
Multiplicamos por (3) ambos lados de la ecuación:
3(
5푦
3
= −푥 + 5)
Reducimos y Simplificamos:
5푦 = −3푥 + 15
Dividimos entre (5) ambos lados de la ecuación:

10. 5푦
5
= −
3푥
5
+
15
5
Reducimos y simplificamos:
푦 = −
3푥
5
+ 3
Llegamos a su forma canónica f(x) = mx + b, de donde obtenemos:
푚 = −
3
5
; 푏 = +3
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el
punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).
Ambos puntos te dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos
preguntamos.
¿Qué ocurre si x=0?
푦 = −
3(0)
5
+ 3
푦 = 3
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el
segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0 = −
3푥
5
+ 3
Restamos (3) en ambos lados de la ecuación:
−3 + 0 = −
3푥
5
− 3 + 3
Reducimos:
−3 = −
3푥
5

11. Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−3 = −
3푥
5
)
Reducimos:
−15 = −3푥
Dividimos entre (3) ambos lados de la ecuación:
−
15
3
= −
3푥
3
Eliminamos el signo menos y reducimos:
5 = 푥
Así, encontramos el segundo punto de corte C2 ( 5,0 ). Con todo esto estamos
listos para graficar.
La grafica
풇ퟏ(풙) = −
ퟑ풙
ퟓ
+ 3
풇ퟐ(풙) = −
ퟑ풙
ퟓ
+ 3

12. Conclusión:
 Ambas rectas son iguales, las coordenadas del punto de corte son
iguales, sus pendientes son iguales.
 El sistema no tiene solución. Hay una ecuación.
Resolución mediante el método de reducción.
El segundo sistema lineal:
1. 3x+5y=15
2. 푥 + 5푦
3
= 5
Multiplicamos por (-3) a la segunda ecuación y se la sumamos a la primera:
−3 (푥 +
5푦
3
= 5)
−3푥 − 5푦 = −15
+3푥 + 5푦 = + 15
0 + 0 = 0
Por tanto, el sistema no tiene solución.
Tercer sistema lineal
1. 3x+5y=15
2. 5x-3y=-1
Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello,
ordenamos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b.

13. 3푥 + 5푦 = 15
Restamos (-3x) en ambos lados de la ecuación:
−3푥 + 3푥 + 5푦 = 15 − 3푥
Eliminamos y ordenamos:
5푦 = −3푥 + 15
Dividimos entre (5) ambos lados de la ecuación:
5푦
5
= −
3푥
5
+
15
5
Reducimos:
푦 = −
3푥
5
+ 3
Llegamos a su forma canónica f(x) = mx + b, de donde obtenemos:
푚 = −
3
5
; 푏 = +3
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el
punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).
Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos
preguntamos.
¿Qué ocurre si x=0?
푦 = −
3(0)
5
+ 3
푦 = 3
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el
segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?

14. 0 = −
3푥
5
+ 3
Restamos (3) en ambos lados de la ecuación:
−3 + 0 = −
3푥
5
+ 3 − 3
Reducimos:
−3 = −
3푥
5
Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−3 = −
3푥
5
)
Reducimos:
−15 = −3푥
Dividimos entre (3) ambos lados de la ecuación:
−
15
3
= −
3푥
3
Reducimos:
−5 = −푥
Eliminando el signo menos:
5 = 푥
Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (5,0).
Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:
5푥 − 3푦 = −1
Restamos (5x) en ambos lados de la ecuación:
−5푥 + 5푥 − 3푦 = −1 − 5푥
Reducimos y ordenamos:

15. −3푦 = −5푥 − 1
Dividimos entre (-3) ambos lados de la ecuación:
−
3푦
−3
= −
5푥
−3
−
1
−3
Reducimos y Simplificamos:
푦 =
5푥
3
+
1
3
Llegamos a su forma canónica f(x) = mx + b, de donde obtenemos:
푚 = +
3
5
; 푏 =
1
3
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el
punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).
Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos
preguntamos.
¿Qué ocurre si x=0?
푦 =
5(0)
3
+
1
3
푦 =
1
3
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0, 1
3
). Para encontrar el
segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0 =
5푥
3
+
1
3
Restamos ( 1
3
) en ambos lados de la ecuación:
−
1
3
+ 0 =
3푥
5
+
1
3
−
1
3
Reducimos:

16. −
1
3
=
3푥
5
Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−
1
3
=
3푥
5
)
Reducimos:
−
5
3
= 3푥
Dividimos entre (3) ambos lados de la ecuación:
−
5
9
=
3푥
3
Reducimos:
−
5
9
= 푥
Así, encontramos el segundo punto de corte C2 ( −5
9
, 0)
Con todo esto estamos listos para graficar.

17. La grafica
Conclusión:
 Ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los
únicos valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado".
Resolución mediante el método de reducción.
1.3푥 + 5푦 = 15
2.5푥 − 3푦 = −1
Multiplicamos a la primera ecuación por (5):
5(3푥 + 5푦 = 15)
15푥 + 25푦 = 75
Multiplicamos a la segunda ecuación por (-3):
풇ퟏ(풙) = 풚 = −
ퟑ풙
ퟓ
+ ퟑ
풇ퟐ(풙) = 풚 =
ퟓ풙
ퟑ
+
ퟏ
ퟑ
(ퟏ. ퟏퟕퟔퟓ, ퟐ. ퟐퟗퟒퟏ)

18. −3(5푥 − 3푦 = −1)
−15푥 + 9푦 = 3
Sumamos ambos resultados:
15푥 + 25푦 = 75
−15푥 + 9푦 = 3
0 + 34푦 = 78
푦 =
78
34
푦 = 2.2941
Este valor lo remplazamos en la segunda ecuación:
5푥 − 3(2.2941) = −1
5푥 = 6.88 − 1
5푥 = 5.88
푥 =
5.88
5
푥 = 1.1765
La solución del sistema es:
푥 = 1.1765
푦 = 2.2941
Que son los puntos de intersección de las dos rectas.
Cuarto sistema lineal
1.4x+y=2
2.8x-y=4

19. Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello,
ordenamos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b.
4푥 + 푦 = 2
Restamos (4x) en ambos miembros de la ecuación y ordenamos:
−4푥 + 4푥 + 푦 = −4푥 + 2
Reducimos:
푦 = −4푥 + 2
Como hemos llegado a su forma canónica f(x)=y=mx+b, obtenemos:
푚 = −4 ; 푏 = 2
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el
punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).
Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos
preguntamos:
¿Qué ocurre si x=0?
푦 = −4(0) + 2
푦 = 2
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,2) Para encontrar el
segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0 = −4푥 + 2
Restamos (2) en ambos miembros de la ecuación:
−2 + 0 = −4푥 + 2 − 2
Reducimos:
−2 = −4푥

20. Eliminamos el signo y dividimos entre (4) ambos miembros de la ecuación:
2
4
=
4푥
4
Simplificamos:
1
2
= 푥
Entonces encontramos el segundo punto de corte C2 (0,1
2
).
Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:
8푥 − 푦 = 4
Restamos (8x) en ambos lados de la ecuación:
−8푥 + 8푥 − 푦 = 4 − 8푥
Reducimos y ordenamos:
−푦 = −8푥 + 4
Multiplicamos por (-1) en ambos lados de la ecuación:
−1(−푦 = −8푥 + 4)
Obtenemos:
푦 = 8푥 − 4
Como hemos llegado a su forma canónica f(x) = y = mx + b, obtenemos:
푦 = 8푥 − 4
푚 = 8 ; 푏 = −4
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el
punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).
Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos
preguntamos:
¿Qué ocurre si x=0?

21. 푦 = 8(0) − 4
푦 = −4
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,-4). Para encontrar el
segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0 = 8푥 − 4
Sumamos (4) en ambos miembro de la ecuación:
4 + 0 = 8푥 + 4 − 4
Reducimos:
4 = 8푥
Dividimos entre (8):
4
8
=
8푥
8
Reducimos:
1
2
= 푥
Entonces encontramos el segundo punto de corte C2 (1
2
,0).
Con todo esto estamos listos para graficar.

22. La grafica
풇ퟏ(풙) = 풚 = −4푥 + 2
Conclusión:
풇ퟐ(풙) = 풚 = ퟖ풙 − ퟒ
(
ퟏ
ퟐ
, ퟎ )
 Ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los
únicos valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado".
Resolución mediante el método de reducción.
1.4푥 + 푦 = 2
2.8푥 − 푦 = 4
Multiplicamos por (-2) a la primera ecuación y se la sumamos a la segunda
ecuación:

23. −2(4푥 + 푦 = 2)
Obtenemos:
−8푥 − 2푦 = −4
8푥 − 푦 = 4
0 − 3푦 = 0
De aquí:
푦 = 0
Obtenido este valor de y, lo reemplazamos en la primera ecuación:
4푥 + (0) = 2
Dividimos entre (4) ambos miembro de la ecuación:
4푥 = 2
4푥
4
=
2
4
푥 =
1
2
La solución del sistema es:
푥 =
1
2
푦 = 0
Que son los puntos de intersección de las dos rectas.
Con estos ejemplos de manejo de gráfica y método de reducción de solución de
sistemas de ecuaciones lineales, damos nuestro segundo aporte al
conocimiento.