Se explica detalladamente el método de reducción para sistemas de ecuaciones lineales. Este documento formara parte del libro que estoy editando. Solicito sugerencias....

1. Solucion del sistema de ecuaciones lineales por el metodo de reduccion
Sean los sistemas:
1. 2x+y-2z=10
2. 3x+2y+2z=1
3. 5x+4y+3z=4
El método de reducción consiste en ir reduciendo poco a poco lo más que se pueda el sistema de ecuaciones. Así, lo primero que hay que hacer es dividir las ecuaciones por un número tal que nos reduzca a uno por lo menos el coeficiente existente.
Importante que cuando se manipula una ecuación para sumar a otra, esta quede tal como estaba antes de la operación.
Si observamos, cada ecuación tiene coeficientes diferentes a uno, lo que hay que hacer para obtener un uno (1) de coeficiente, es dividir entre el coeficiente inicial. Así: 12(2푥+푦−2푧=10) 푥+ 푦 2−푧=5
Lo hacemos con la segunda ecuación:
15(5푥+4푦+3푧=4) 푥+ 4푦 5+ 3푧 5= 45
Lo hacemos con la tercera ecuación:
13(3푥+2푦+2푧=1) 푥+ 2푦 3+ 2푧 3= 13

2. Nuestro nuevo sistema de ecuaciones equivalente es: 풙+ 풚 ퟐ −풛=ퟓ 푥+ 4푦 5+ 3푧 5= 45 푥+ 2푦 3+ 2푧 3= 13
Multiplico a la primera ecuación por (-1) y se la sumo a la segunda ecuación y a la tercera ecuación: (−1)(푥+ 푦 2−푧=5)
−푥− 푦 2+푧=−5 푥+ 4푦 5+ 3푧 5= 45
0+ 3푦 10+ 8푧 5=− 215
Ahora con la tercera ecuacion: −푥− 푦 2+푧=−5 푥+ 2푦 3+ 2푧 3= 13
0+ 푦 6+ 5푧 3=− 143
Nuevamente obtengo un nuevo sistema de ecuaciones equivalente: +풙+ 풚 ퟐ −풛=ퟓ 0+ 3푦 10+ 8푧 5=− 215 0+ 푦 6+ 5푧 3=− 143

3. Necesito reducir más: para lograr esto multiplicamos a la tercera ecuación por (6): (6)(0+ 푦 6+ 5푧 3=− 143) 0+푦+10푧=−28
Multiplico por (10) a la segunda ecuación:
(10)(0+ 3푦 10+ 8푧 5=− 215) 0+3푦+16푧=−42
El nuevo sistema de ecuaciones equivalente: +풙+ 풚 ퟐ −풛=+ퟓ 0+푦+10푧=−28 0+3푦+16푧=−42
Nuestro siguiente paso consiste en lo mismo, seguir reduciendo más nuestro sistema pero sin cambiar su esencia. Si observas, el segundo término de la tercera ecuación es (3y) y la segunda ecuación es (y). Multiplicando a la segunda ecuación por (-3) y sumándola a la tercera reducimos un poco más nuestro sistema:
(−3)(0+푦+10푧=−28) 0−3푦−30푧=84 0+3푦+16푧=−42
0+0−14푧=42

4. El sistema equivalente queda ahora como se muestra:
1. 풙+ 풚 ퟐ −풛=ퟓ
2. 0푥+푦+10푧=−28
3. 0푥+0푦−14푧=42
De donde como observas, de la tercera ecuación podemos despejar a (z) e ir descubriendo las incógnitas: Procedemos así: −14푧=42 푧=− 4214 풛=−ퟑ
Este valor de (z) lo sustituimos en la segunda ecuación: 푦+10푧=−28 푦+10(−3)=−28 푦−30=−28 풚=ퟐ
Con estos dos valores nos vamos a la primera ecuación y los sustituimos: 푥+ 푦 2−푧=5 푥+ 22−(−3)=5 푥+1+3=5 푥=5−4 풙=ퟏ
Luego, dando respuesta al sistema concluimos que la solución ocurre en el punto de intersección (1, 2,-3).
Segundo Sistema:
4. 5x-y+4z=5
5. 2x+3y+5z=2
6. 7x-2y+6z=5
Dividimos entre los coeficientes de sus primeros términos. Iniciamos con la primera ecuación:

5. ( 15)(5푥−푦+4푧=5) 푥− 푦 5+ 4푧 5=1
Con la segunda ecuación: ( 12)(2푥+3푦+5푧=2) 푥+ 3푦 2+ 5푧 2=1
Con la tercera ecuación: ( 17)(7푥−2푦+6푧=5) 푥− 27+ 6푧 7= 57
Obtenemos un nuevo sistema equivalente sin alterar su esencia: 푥− 푦 5+ 4푧 5=1 푥+ 3푦 2+ 5푧 2=1 푥− 27+ 6푧 7= 57
Ahora manipulamos a la primera ecuación para obtener un sistema más reducido. Multiplicamos a la primera ecuación por (-1) y la sumamos a la segunda ecuación y a la tercera: (−1)(푥− 푦 5+ 4푧 5=1) −푥+ 푦 5− 4푧 5=−1 푥+ 3푦 2+ 5푧 2=1
0푥+ 17푦 10+ 17푧 10=0
Ahora con la tercera ecuación: −푥+ 푦 5− 4푧 5=−1

6. 푥− 27+ 6푧 7= 57
0푥− 3푦 35+ 2푧 35=− 27
Nuevamente obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones lineales sin cambiar su esencia: 푥− 푦 5+ 4푧 5=1 0푥+ 17푦 10+ 17푧 10=0 0푥− 3푦 35+ 2푧 35=− 27
Ahora cambiamos a la segunda y a la tercera ecuación para no trabajar con las fracciones: a la segunda ecuación la multiplicamos por (10) y a la tercera por (35). (10)(0푥+ 17푦 10+ 17푧 10=0) 0푥+17푥+17푧=0
La tercera: (35)(0푥− 3푦 35+ 2푧 35=− 27) 0푥−3푦+2푧=−10
Obtenemos un nuevo sistema equivalente sin alterar su esencia: 푥− 푦 5+ 4푧 5=1 0푥+17푥+17푧=0 0푥−3푦+2푧=−10
Necesitamos que sea aún más reducido y para ello observamos lo que podemos hacer: Si miras la tercera ecuación veras que solo hay dos incógnitas, aquí necesitamos que solo se encuentre una y el sistema se reduce más. Para ello utilizaremos la técnica de la división: queremos sumar la segunda ecuación con la tercera ecuación de forma tal que se elimine la variable (y) en la tercera ecuación. Para ello, dividimos a la segunda por (ퟑ ퟏퟕ ) 푦∶

7. ( 317)(0푥+17푦+17푧=0) 0푥+3푦+3푧=0
La sumamos con la tercera:
0푥+3푦+3푧=0 0푥−3푦+2푧=−10
0푥+0푦+5푧=−10
Nuestro ultimo sistema equivalente queda de la siguiente forma: 푥− 푦 5+ 4푧 5=1 0푥+17푥+17푧=0 0푥+0푦+5푧=−10
De la tercera ecuación resolvemos para la variable buscada (z):
5푧=−10 푧=− 105 풛=−ퟐ
Con este valor nos vamos a la segunda ecuación del nuevo sistema equivalente y sustituimos:
0푥+17푦+17푧=0 17푦+17(−2)=0 17푥푦34 푦= 3417 풚=ퟐ

8. Seguimos escalando hasta llegar a la primera ecuación y sustituimos los valores de las incógnitas encontradas:
푥− 푦 5+ 4푧 5=1 푥− 25+ 4(−2) 5=1 푥=1+ 25+ 85 풙=ퟑ
Luego, dando respuesta al sistema concluimos que la solución ocurre en el punto de intersección (3, 2,-2).
El tercer sistema:
7. x+2y+z=1
8. x +y+2z=4
9. 2x+y+z=3
El sistema nos muestra los unos en la primera y segunda ecuación, entonces procedemos a reducir a la tercera ecuación para obtener un uno en el primer coeficiente: ( 12)(2푥+푦+푧=3) 푥+ 푦 2+ 푧 2= 32
Ahora manipulamos a la primera ecuación multiplicándola por (-1) y sumándola a la segunda ecuación y a la tercera ecuación:
(−1)(푥+2푦+푧=1) −푥−2푦−푧=−1)

9. La sumamos a la segunda ecuación: −푥−2푦−푧=−1) 푥+푦+2푧=4
0푥−푦+푧=3
Ahora la sumamos a la tercera ecuación:
−푥−2푦−푧=−1 푥+ 푦 2+ 푧 2= 32 0푥− 3푦 2− 푧 2= 12
Nuestro nuevo sistema de ecuaciones equivalente sin alterar su esencia queda de la manera siguiente: 푥+2푦+푧=1 0푥−푦+푧=3 0푥− 3푦 2− 푧 2= 12
Ahora para no trabajar con fracciones multiplicamos a la tercera ecuación por (2): (2)( 0푥− 3푦 2− 푧 2= 12) 0푥−3푦−푧=1
Necesitamos seguir reduciendo más nuestro nuevo sistema así que multiplicamos por (-3) a la segunda ecuación y se la sumamos a la tercera:
(−3)(0푥−푦+푧=3) 0푥+3푦−3푧=−9

10. Sumada a la tercera nos queda que:
0푥+3푦−3푧=−9 0푥−3푦−푧=1
0푥+0푦−4푧=−8
El nuevo sistema equivalente sin alterar su esencia queda como sigue. 푥+2푦+푧=1 0푥+3푦−3푧=−9 0푥+0푦−4푧=−8
De la tercera ecuación resolvemos para la variable (z) buscada: −4푧=−8 푧= 84 푧=2
Con este valor escalamos hasta la segunda ecuación en donde sustituimos este valor encontrado: 0푥+3푦−3푧=−9 3푦−3(2)=−9 3푦=−9+6 3푦=−3 푦=− 33 푦=−1
Seguimos escalando hasta llegar a la primera ecuación del nuevo sistema equivalente sin alterar su esencia:
푥+2푦+푧=1 푥+2(−1)+2=1 푥=1

11. Luego, dando respuesta al sistema concluimos que la solución ocurre en el punto de intersección (1, -1,2).
El cuarto sistema:
10. -3x+y-2z=0
11. 2x+7y+9z=5
12. x+5y+6z=4
Procederemos de igual forma que en los anteriores sistemas, dividiendo cada ecuación entre el inverso de su primer coeficiente. Aquí la primera ecuación: ( 13)(−3푥+푦−2푧=0) −푥+ 푦 3− 2푥 3=0
Para la segunda se tiene que:
( 12)(2푥+7푦+9푧=5) 푥+ 7푦 2+ 9푧 2= 52
Y para la tercera no se efectúa pues ya tiene un uno como coeficiente de su primer término. Así, nuestro nuevo sistema de ecuaciones lineales queda como: −푥+ 푦 3− 2푥 3=0 푥+ 7푦 2+ 9푧 2= 52 푥+5푦+6푧=4
Observamos que la primera ecuación se puede sumar con la segunda y con la tercera, entonces procederemos a efectuar las operaciones:

12. −푥+ 푦 3− 2푥 3=0 푥+ 7푦 2+ 9푧 2= 52 0푥+ 23푦 6+ 23푧 6= 52
Para la tercera ecuación: −푥+ 푦 3− 2푥 3=0 푥+5푦+6푧=4
0푥+ 16푦 3+ 16푧 3=4
Encontramos un nuevo sistema equivalente sin alterar su esencia: −푥+ 푦 3− 2푥 3=0 0푥+ 23푦 6+ 23푧 6= 52 0푥+ 16푦 3+ 16푧 3=4
Para no trabajar con las fracciones podemos multiplicar a la segunda ecuación por (6) y a la tercera ecuación por (3) realizando estas operaciones tenemos que:
(6)(0푥+ 23푦 6+ 23푧 6= 52) 0푥+23푦+23푧=15
Y la tercera: (3)(0푥+ 16푦 3+ 16푧 3=4) 0푥+16푦+16푧=12

13. Nuestro nuevo sistema de ecuaciones quedara como: −푥+ 푦 3− 2푥 3=0 0푥+23푦+23푧=15 0푥+16푦+16푧=12
Para eliminar otra variable en la tercera ecuación, multiplicamos a la segunda por (− 1623): (− 1623)( 0푥+23푦+23푧=15) 0푥−16푦−16푧=− 24023
Sumándola a la tercera ecuación: 0푥−16푦−16푧=− 24023 0푥+16푦+16푧=12 0푥+0푦+0푧= 3623
Luego, dando respuesta al sistema concluimos que el sistema no tiene solución.
Quinto sistema:
13. 2x-5y+4z=-1
14. 4x+5y+4z=3
15. 5x-3z=13
Procederemos de igual forma para el quinto sistema: pondremos unos en los coeficientes del primer término de cada ecuación:
( 12)(2푥−5푦+4푧=−1) 푥− 5푦 2+2푧=− 12

14. En la segunda ecuación: ( 14)(4푥+5푦+4푧=3) 푥+ 5푦 4+푧= 34
Y en la tercera ecuación: ( 15)(5푥+0푦−3푧=13 푥+0푦− 3푧 5= 135
Nuestro nuevo sistema lineal de ecuaciones queda como:
푥− 5푦 2+2푧=− 12 푥+ 5푦 4+푧= 34 푥+0푦− 3푧 5= 135
Ahora multiplicamos por (-1) la primera ecuación y la sumamos a la segunda y tercera ecuación para obtener un sistema más reducido: (−1)(푥− 5푦 2+2푧=− 12) −푥+ 5푦 2−2푧= 12
Sumando a la segunda: −푥+ 5푦 2−2푧= 12 푥+ 5푦 4+푧= 34
0푥+ 154−푧= 54

15. Sumando a la tercera: −푥+ 5푦 2−2푧=+ 12 푥+0푦− 3푧 5= 135 0푥+ 5푦 2− 13푧 5= 3110
Este nuevo sistema queda como:
푥− 5푦 2+2푧=− 12 0푥+ 154−푧= 54 0푥+ 5푦 2− 13푧 5= 3110
Arreglamos para no trabajar con las fracciones: multiplicamos a la segunda ecuación por (4) y a la tercera por (2):
(4)(0푥+ 154−푧= 54) 0푥+15푦−4푧=5
Y a la tercera: (2)(0푥+ 5푦 2− 13푧 5= 3110) 0푥+5푦− 26푧 5= 315
Entonces el sistema sin alterar su esencia queda como: 푥− 5푦 2+2푧=− 12 0푥+15푦−4푧=5

16. 0푥+5푦− 26푧 5= 315
Ahora queda eliminar la variable (y) de la tercera ecuación. Para ello, utilizaremos la técnica de la división: Dividimos a la segunda ecuación entre (-530), con lo que tendremos: (− 515)(0푥+15푦−4푧=5) 0푥−5푦+ 4푧 3=− 53
Sumándola a la tercera nos queda: 0푥−5푦+ 4푧 3=− 53 0푥+5푦− 26푧 5= 315 0푥+0푦− 58푧 15= 6815
Después de un largo camino, nos queda este sistema equivalente al que no ha sufrido alteración alguna: 푥− 5푦 2+2푧=− 12 0푥−5푦+ 4푧 3=− 53 0푥+0푦− 58푧 15= 6815
Como podemos observar, de la tercera ecuación se puede despejar la variable (z) requerida: − 58푧 15= 6815 58푧=− (15)(68) 15 푧=− 6858 푧=− 3429
Con este valor, escalamos hacia la segunda ecuación y sustituimos obteniendo:

17. 0푥−5푦+ 4푧 3=− 53 −5푦+ 4(− 3429) 3=− 53 −5푦− 136293=− 53 −5푦− 1362931=− 53 −5푦− (1)(136) (3)(29) =− 53 −5푦=− 53+ 13687 −5푦= −145+13687 −5푦=− 987=− 329 푦= 3145
Seguimos escalando hasta llegar a la primera ecuación y sustituimos las variables encontradas:
푥− 5푦 2+2푧=− 12 푥− 5( 3145) 2+2(− 3429)=− 12
Resuelve: 풙= ퟓퟓ ퟐퟗ
Luego, dando respuesta al sistema concluimos que la solución ocurre en el punto de intersección (5529 , 3145 ,− 3429).