Tema practico para la solución de ecuaciones lineales, mediante varios métodos.

1. Ecuaciones simultáneas y métodos de solución
6 2
5 5
Lo que se da, se mantiene
Juane18gonzalez@gmail.com
Sean las ecuaciones:
1) 4x +3y = -1
2) 2x - 5y = 6
3) 4x + y = -3
4) 4x - 2y = 6
5) 2x - 5y = 16
6) 3x + 5y = 1
7)
1
3
x + 6y = -11
8)
1
3
x -3y = 5
9)
4
5
x – y =
4
5
10)
9
5
x + 4y =
4
5
Encuentre por medio de los métodos de resolución de ecuaciones
simultáneas los valores de (x) y de (y), para los pares de ecuaciones
mostradas.
I) Igualación: Este método requiere encontrar la variable (x) o (y) del par
de ecuaciones e igualarlas. De uno (1) y dos (2) tenemos:
1) 4x +3y = -1
3y = -1 -4x
y = -
1
3
-
4
3
x
2) 2x - 5y = 6
- 5y = 6 -2x
y = -
6
5
+
2
5
x
En este paso, igualamos la (y) de uno (1) con la y de dos (2)
y (1) = y (2)
1 4
3 3
y    x =
y    x

2.  x   x  

 x  x  
 x 
Lo que se da, se mantiene
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De aquí despejamos la (x)
4 2 6 1
3 5 5 3
 x  x   
Buscamos el máximo común denominador:
5( 4) 3( 2) 3( 6) 5(1)
15 15
Dividimos, multiplicamos y sumamos:
20 6 18 5

15 15
26 13

15 15
Despejamos la (x) y simplificamos:
13
26
x 
1
2
x 
Con este valor de (x) lo reemplazamos en la ecuación (1) para encontrar el
valor de (y):
4x 3y  1
1
4( ) 3 1
2
 y  
4
( )  3 y  
1
2
23y  1
3y  1 2
y  1

3. Ahora el siguiente paso es verificar si estos dos valores encontrados cumplen
con los requisitos de las dos ecuaciones. Para ello, reemplazamos los valores
encontrados de (x) y de (y) en cualquiera de las ecuaciones en consideración,
sea la (1) o la (2):
2) 2x - 5y = 6
1
2( ) 5( 1) 6
2
  
1+5=6
De esta manera los dos valores encontrados satisfacen el par de
ecuaciones. Luego entonces, tenemos como respuesta. x= 1
y
   y  
Lo que se da, se mantiene
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2
, y=-1.
II) Sustitución: Este es otro método de resolución de sistema de
ecuaciones simultáneas. Este método requiere despejar cualquier
variable sea (x) o (y) y sustituirla en la otra ecuación. En el ejemplo
utilizaremos la ecuación (3) para despejar la (x) y la ecuación (4)
para reemplazarla o sustituirla:
3) 4x + y = -3
4x = -3 -y
y
3
4 4
x   
Reemplazamos este valor en la ecuación (4)
4) 4x - 2y = 6
3
4( ) 2 3
4 4
Resolvemos multiplicando y sumando algebraicamente:

4. 12 4
  y  y 
2 6
4 4
3 y  2y  6
3 3 6 y   
3 6 3 y   
3 y 
Este valor lo sustituimos en la ecuación (3) para encontrar el valor de (x):
4) 4x + y = -3
4x3  3
4x  33
0 x 
Ahora el siguiente paso es verificar si estos dos valores encontrados cumplen
con los requisitos de las dos ecuaciones. Para ello, reemplazamos los valores
encontrados de (x) y de (y) en cualquiera de las ecuaciones en consideración,
sea la (3) o la (4):
4) 4x - 2y = 6
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5. 4(0)  2(3)  6
6  6
De esta manera los dos valores encontrados satisfacen el par de
ecuaciones. Luego entonces, tenemos como respuesta. x=0 , y=-3.
III) Reducción: Este es otro método de resolución de sistema de
ecuaciones simultáneas. Este método requiere encontrar un
número tal que al multiplicarlo por el coeficiente de unas de las
ecuaciones nos permita reducir el sistema a una sola ecuación.
Para lograr el objetivo, tenemos que observar cuidadosamente los
coeficientes de una y de la otra ecuación. En el ejemplo
utilizaremos la ecuación (5) y la ecuación (6):
5) 2x - 5y = 16
6) 3x + 5y = 1
Observando los coeficientes tenemos que en la ecuación (5) y en la ecuación
(6) hay un coeficiente (-5) y (5) respectivamente los que nos lleva a pensar
que al sumarlas algebraicamente nos reduce el sistema. Veamos:
x y
2 5 16
 
x y

3 5 1
5x=17
 
De aquí encontramos el valor de (x):
17
5
x 
Con este valor, nos movemos a la ecuación (6) y lo reemplazamos:
3x 5y 1
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6. 17
3( ) 5 1
5
 y 
Ahora, multiplicamos dividimos y sumamos para encontrar el valor de (y):
51
 y 
5 1
5
51
y 
51
5
5 51
5
y 
55
46
5
5
y  
46
25
y  
Ahora el siguiente paso es verificar si estos dos valores encontrados
cumplen con los requisitos de las dos ecuaciones. Para ello,
reemplazamos los valores encontrados de (x) y de (y) en cualquiera de
las ecuaciones en consideración, sea la (5) o la (6):
5) 2x - 5y = 16
17 46
2( ) 5( ) 16
  
5 25
34 230
( )  ( ) 
16
5 25
Lo que se da, se mantiene
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7. 170 230
16

25

400
16
25

400  400
De esta manera los dos valores encontrados satisfacen el par de
ecuaciones. Luego entonces, tenemos como respuesta. x=
  
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15
5
,
y=-
46
25
.
IV) La regla de Cramer: Se aplica para resolver sistemas de ecuaciones
lineales que cumplan las siguientes condiciones:
1 El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
2 El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de
cero.
Para aplicar este método verificamos el número de ecuaciones, el número
de incógnitas y si el determinante es distinto de cero; utilicemos las
ecuaciones (7) y (8):
1
6 11
3
1
3 5
3
x y
x y
 
Como tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas, cumplimos con la
primera condición. Pasamos ahora a verificar si el determinante es
diferente de cero, no sin antes decirte lo que es un determinante y una
matriz: el primero determina la unicidad de la solución de un sistema de

8. ecuaciones lineales y el segundo (matriz) es un arreglo bidimensional de
números. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de
ecuaciones lineales. En álgebra lineal, se utiliza la matriz aumentada para
representar los coeficientes así como las constantes de cada ecuación. En
nuestro caso es:
a b c
a b c
 
11 12 13
 
 21 22 23

 
 
Donde a y b son los coeficientes de las variables y c representa las
constantes de cada ecuación. Es un arreglo de filas (renglones) y
columnas y se representan por los subíndices (ij), así, el coeficiente (a)
está en la primera fila y primera columna, el (b) está en la primera fila y
segunda columna y el (c) está en la primera fila tercera columna. Esta es
nuestra matriz aumentada:
 
 6  11
12 13

 11

 

3 5
 22 23

21
 
 
 
 
1
3
1
3
Pasamos ahora a encontrar el determinante que no es más que el módulo
de la matriz de la siguiente forma:
1
 
 6
3

 
 1
   3

 3

Multiplicamos en diagonales teniendo en cuenta los signos así: + 11 a x 22 b -
12 b x 21 a ; al resolver nos queda que: D= +(
1
3
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x 3)-( 6 x
1
3
)=-1-2=-3. Luego
entonces, nuestro determinante o el módulo de la matriz tiene un valor
diferente de cero: D=-3.

9. Ahora, para encontrar el valor de (x), tenemos que realizar un nuevo
arreglo, poniendo los valores de las constantes donde están los
coeficientes de la incógnita (x) y dividir entre el valor del determinante
encontrado. Al desarrollar nos queda que:
 
 
  
   

  

 
   
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x=
11 6
5 3

3
= ( 11)( 3) (6)(5)
3
= 33 30


3
=-1
Para encontrar el valor de (y) realizamos la misma operación, poniendo
los valores de las constantes donde están los coeficientes de la variable (y)
y dividirlo entre el valor del determinante encontrado. Al desarrollar nos
queda que:
1
11
3
1
5
3
3
y
 
  
 
 
 
  

=
1 1
( )(5) ( 11)( )
3 3
3
=
5 11
( ) ( )
3 3

3
=
16
()
3
3


=
16
9

Ahora el siguiente paso es verificar si estos dos valores encontrados
cumplen con los requisitos de las dos ecuaciones. Para ello,
reemplazamos los valores encontrados de (x) y de (y) en cualquiera de las
ecuaciones en consideración, sea la (7) o la (8):
1
6 11
3
x  y  
1 16
(  1)  6(   
11
3 9
1 96
11
3 9

10.  
3 96
 
11
9

99

11
9
11 11
De esta manera los dos valores encontrados satisfacen el par de
ecuaciones. Luego entonces, tenemos como respuesta. x= -1 , y= - 16
Lo que se da, se mantiene
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9
.
V) El método de Gauss Jordan: Este método requiere los siguientes
pasos:
 Ir a la columna no cero extrema izquierda.
 Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo
con otro que no lo tenga.
 Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando
múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de
este.
 Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la
submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este
punto la matriz se encuentra en la forma de escalón).
 Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba:
para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba
de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones
correspondientes.
 El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las
mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son
estas:
 Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
 Intercambiar de posición dos ecuaciones
 Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

11. Para lograr esto utilizaremos las ecuaciones (9) y (10):
44
xy

55
94
xy
4

55
Nuestra matriz ampliada o aumentada es:
4 4
 
  1
5 12
5

 11 13

 9 4

4
 5 22

21 5
23
 
 
 
 
Nuestro objetivo consiste en lograr hacer uno los elementos 11a y 22b y ceros
los elementos 12b y 21a , de esta forma logramos una matriz escalonada
reducida. Iniciemos:
Para lograr que el término 11a sea un uno (1), tenemos que multiplicar ese
renglón o fila por su inverso o sea
5
4
, lo que resulta en:
5 4 4
(  1 
)
4 5 12
11 5
13
Nuestra nueva matriz ahora será:
5
 
 1  1
4

 
 9 4
4

 5 5

 
 
 
 
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12. Para lograr que el término 21 a sea un uno (1), tenemos que multiplicar ese
renglón o fila por su inverso o sea
5
9
, lo que resulta en:
5 9 4
(  4 
)
9 5 5
Nuestro nuevo renglón (2) es:
20 4
(1 )

99
 
   
 
   
 
 
 
 
 
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Y nuestra nueva matriz es:
5
1 1
4
20 4
1
9 9
Ahora, tenemos que lograr hacer un cero en el lugar del elemento 21 a , para
lograr este objetivo multiplicamos al renglón uno (R1) por menos uno (-1), el
resultado se lo sumamos algebraicamente al renglón dos (R2), lo que nos da
un nuevo renglón dos (R2), asi:
(-1)(1 -
5
4
+1)= (-1 +
5
4
-1)
+ (1+
20
9
4
9
 )
_____________
(0 +
125
36
5
9
 )
Este es nuestro nuevo renglón dos (R2) para nuestra nueva matriz:

13. 5
 
 1   1
4

 
 125 5
0
  
 36 9

 
 
 
 
El método de Gauss Jordan requiere también un cero en el elemento 12a
pero con lo que hemos logrado se puede encontrar el valor de (y) en el
segundo renglón (R2) de la siguiente manera:
125
36
y  =
5
9

(36)(5)
(9) 125
x  y 
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De donde:
 
y


180 20 4
1125 125 25
y      
Con este valor nos vamos ahora al primer renglón (R1) que nos dice que:
5
1
4
Sustituimos el valor de (y) encontrado y resolvemos encontrando el valor de
(x) que nos hacía falta:
5 4
( ) 1
4 25
x   

14. 20 1 5 1 4
x  1   1
   
100 5 5 5 5
Ahora el siguiente paso es verificar si estos dos valores encontrados cumplen
con los requisitos de las dos ecuaciones. Para ello, reemplazamos los valores
encontrados de (x) y de (y) en cualquiera de las ecuaciones en consideración,
sea la (9) o la (10):
44
xy

55
94
xy
4

55
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Entonces:
4 4
x  y 
5 5
4 4 4 4
( )  (  )

5 5 25 5
16 4 4
25 25 5
 
20 4

25 5
4 4

5 5
De esta manera los dos valores encontrados satisfacen el par de
ecuaciones. Luego entonces, tenemos como respuesta: x=
4
5
, y= -
4
25
.

15. Concluimos nuestra primera entrega para estudiantes que inician su primer
paso en la resolución de ecuaciones simultáneas de primer orden en
matemáticas.
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