1. QUIZAS, UNO DE LOS MAYORES PROBLEMAS AL ENTRAR EN LAS TECNICAS DE
CONTEO ES EL DE SABER DIFERENCIAR ENTRE UNA PERMUTACIÓN Y UNA
COMBINACIÓN .VEAMOS LOS CONCEPTOS QUE SOBRE ELLOS TENEMOS:
PERMUTACIÓN:ES UN ARREGLO EN UN ORDEN PARTICULAR DE LOS OBJETOS QUE
FORMAN UN CONJUNTO .
COMBINACIÓN: UNA COMBINACIÓN DE LOS OBJETOS DE UN CONJUNTO ES UNA
SELECCIÓN DE ESTOS SIN IMPORTAR EL ORDEN. SE ENTENDERA POR EL NÚMERO DE
COMBINACIONES DE R OBJETOS , AL NÚMERO DE SELECCIONES DISTINTAS EN LAS
QUE CADA UNA DE ESTAS CONTIENE R OBJETOS.
LA DIFERENCIA ENTRE UNA PERMUTACIÓN Y UNA COMBINACIÓN RADICA , EN QUE
EN LA PRIMERA , EL INTERÉS SE CENTRA EN CONTAR TODOS LOS POSIBLES ARREGLOS
DE ESTOS , EN LOS CUALES IMPORTA EL ORDEN EN QUE SE SELECCIONEN .

2. MIENTRAS QUE EN UNA COMBINACIÓN , EL INTERÉS SOLO RECAE EN CONTAR EL
NÚMERO DE SELECCIONES DIFERENTES. VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS.
¿De cuantas formas diferentes pueden situarse las letras a , b ,c y tomando 2 de ellas
sin repetición de letra?
SLN : ab , ac , ba , bc , ca y cb .6 maneras a lo que igual
hubiésemos podido hacer :
P(N,R) = N!/(N-R)! CON N =3 Y R = 2 ENTONCES : 3!/(3-2)! =
3X2X1/1 =6.
ESTE MISMO PROBLEMA COMO UNA COMBINACIÓN SERIA
¿ Cuantas combinaciones distintas podría hacerse con las
letras a , b y c tomando dos de ellas ?
Sln : recordemos que debemos encontrar las selecciones
diferentes , en este caso , ab , seria igual que ba , (ó lo
mismo que si a = José b=roberto . Entonces , jose y roberto=
roberto y jose . y no habría una selección diferente . Por
tanto las únicas soluciones serían : ab, ac y cb .Por la
fórmula tendríamos :

4. PROBLEMA 2.
Se decide premiar a 3 estudiantes de una universidad . Si los estudiantes opcionados son: Pedro , Pablo ,
Felipe , Rodrigo , y Juan . ¿Cuáles son las diferentes opciones que resultarían?
Sln: 1.pedro , pablo , Felipe. 2. pedro , pablo , Rodrigo. 3.pedro , pablo ,juan
4. pablo , felipe , juan . 5. felipe, rodrigo , pedro. 6. felipe, rodrigo , pablo.
7. juan , pedro , felipe. 8. juan , pedro , rodrigo. 9. rodrigo , juan , felipe.
10. rodrigo, juan , pablo.

5. Permutaciones con repetición :Dado un conjunto de n elementos , el número de
permutaciones que pueden formarse con ellas de manera que el primer elemento este
repetido k1 veces , el segundo k2 veces , el tercero k3 veces y el k-ésimo , kn veces esta
dado por la fórmula :
𝑝
𝑛
𝑘1!𝑘2!𝑘3!……..𝑘𝑛!=
𝑛!
𝑘1!𝑘2!𝑘3!………..𝑘𝑛!
Ejemplo: ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra Mississippi ?
Sln: algunas formas serían: mssssiiiipp, iimssiisspp , ssssiiiimpp etc .
N=11 letras i = 4 veces repetida , s=4 veces repetida , p=2 veces repetida.
11!
4!4!2!
=34.650 formas

6. Variaciones con repetición : cuando en las permutaciones de n elementos tomamos (r
) de ellas y se admite que en cada grupo formado se repitan elementos se habla de
variaciones con repetición .El número de variaciones con repetición que pueden
formarse en un conjunto de n elementos , tomados en grupos de r es P(n,r)= 𝑛 𝑟
Ejemplo: ¿Cuántas formas puedo obtener de las letras ae si las puedo repetir?
Sln: aa , ae , ea , ee , por fórmula tendríamos : p(n,r)= 22
= 4 formas .

7. Combinaciones con Repetición : Las combinaciones con repetición es el número de selecciones distintas
en las que se compone de m objetos ,tomados de n admitiendo la repetición de sus elementos .
La fórmula de las combinaciones con repetición esta dada por la fórmula:
CR
𝑚
𝑛
= 𝑚+𝑛−1
𝑛
=
𝑚+𝑛−1 !
(𝑛! 𝑚−1 !
Ejemplo : ¿Cuántas combinaciones ó selecciones diferentes pueden obtenerse con las cifras :
1 2 3 3 2 1. usando 4 de ellas ? Sln : algunas de las cantidades que podríamos formar serian: 2 331,
1133, 1212, 3322 etc. Al hacer la fórmula tenemos entonces :
CR
6
4
= 6+4−1
4
=
6+4−1 !
(4! 6−1 !
= 126 selecciones ó cifras diferentes admitiendo la repetición de números.

8. Elementos de la probabilidad.
Experimento aleatorio:experimentos cuyos resultados no pueden predecirse antes de su realización.
Suceso elemental: Es el resultado de cada una de las realizaciones del experimento aleatorio.
Espacio Muestral: es el conjunto de posibilidades del evento ó suceso .se representa por la letra (s)
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD: Dado un experimento aleatorio con su respectivo espacio muestral
, al considerar un evento E , se tiene que la probabilidad de ocurrencia de E , notada P(E) es el cociente entre el
número de elementos del evento y el número de elementos del espacio muestral , así :
P(E) : NÚMERO DE ELEMENTOS DEL EVENTO (CASOS FAVORABLES)
ESPACIO MUESTRAL (CONJUNTO DE TODAS LAS POSIBILIDADES)
Con esta definición se puede trabajar infinidad de ejercicios como por ejemplo : en una bolsa se tienen 40 bolas
, clasificadas de la siguiente forma : 15 son chinas , 2 son colombianas , 4 son bolonchos . 6 son plateadas ,9 son
amarillas y el resto son azules.calcule la probabilidad de que al sacar una bola esta sea :a) china b) azul
c) boloncho d) plateada e) colombiana f ) amarilla.
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD:
1ª Si A y B son dos sucesos tales que A C B , entonces P(A) ≤ P(B) .
2ª. P(A’) = 1 – P(A)
3ª . P(ø) = 0
4ª . Para cualquier suceso A , se tiene que 0 ≤ P(A) ≤ 1.
5ª. Si los dos sucesos A y B son compatibles , es decir , su intersección es no vacía , la probabilidad de la unión es
P(AUB) =P(A) + P(B) – P(A ∩ B) . 6ª la probabilidad del espacio muestral es igual a la suma de los eventos que lo
componen es decir , si S= { E1 , E2, E3, …….En } entonces P(S) = { P(E1) + P(E2) + P(E3) +………+ P(En) } = 1.

9. PROBABILIDAD CONDICIONAL .
Dados dos eventos A y B , se define la probabilidad condicional P(A/B) , como la
probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ya ocurrió el evento B , y se lee : ‘
probabilidad de A dado B’ .
Ejemplo : Un estudiante contesta un examén con 4 preguntas en las cuales se puede
responder falso ó verdadero .¿ Cual es la probabilidad de que conteste a la segunda
pregunta verdadero dado que a la primera pregunta contestó falso ?
Sln : veamos el espacio muestral que se tenía antes de empezar el exámen: si se considera V
al contestar verdadero y F , falso , entonces
s = { VVVV , VVVF , VVFV , VFVV,
FVVV, VVFF, VFVF, FVVF,
VFFV, FFVV,FVFV, VFFF,
FVFF, FFVV, FFFV, FFFF }
Si llamamos al evento A ‘’Contestar la primera pregunta falso’’ y B ‘Contestar la segunda
pregunta con verdadero entonces , de acuerdo al enunciado , se tiene que el evento A ya
sucedió . Es decir , ya se contestó a la primera pregunta con falso , y por tanto , se debe
calcular la probabilidad de que contesté verdadero la segunda dado que contestó f la
primera es decir P(B/A).El espacio muestral del evento A esta formado por A= { FVVV, FVVF,
FVFV , FFVV , FFFV ,FFVF ,FVFF, FFFF } .
La ocurrencia del evento B depende del espacio muestral de A puesto que ya ocurrió por lo
tanto :
B= { FVVV, FVVF, , ,FVFF, FVFF } entonces ,
P(B/A) = #B = 4 / 8 = 0,5 =50% .Es decir que la probabilidad de que el estudiante habiendo
#A contestado la primera pregunta falsa ,conteste a la segunda
pregunta de manera verdadera es del 50%.

10. Conclusión: Al calcular la probabilidad de un evento , dado que ha ocurrido otro , lo que se
tiene realmente es una restricción en el espacio muestral . El nuevo espacio muestral estará
formado por todos los elementos del evento que ha sucedido primero. Por tanto , de la
definición de dos eventos A Y B la probabilidad de A dado B es (ó viceversa) :
P(A/B)=P(A∩B)/P(B) ó P(B/A)= P(B∩A) / P(A) .
INDEPENDENCIA DE EVENTOS : Dados dos eventos A y B , se tiene que A y B son
independientes si se cumple que :
P(A/B)=P(A∩B) / P(B) =P(A) Y P(B/A)= P(B∩A) / P(A) =P(B) .
Calcular la probabilidad de ocurrencia de A dado B , es igual a calcular la probabilidad de A y
por tanto el evento B no es una condición que afecte directamente la ocurrencia del evento
A. En términos del cálculo de probabilidades , para que A y B sean independientes , además
de que se cumpla la definición , debe existir la probabilidad de ocurrencia de la intersección
de los dos .podemos demostrar la independencia de dos eventos a través de una ilustración
sencilla veamos :
Se lanza un par de dados de diferente color y se anota el resultado obtenido en cada uno de
ellos . Se determinan entonces los eventos A : ‘ El resultado del primer dado es par ‘ y
B : ‘El resultado del segundo dado es menor que 3 ’. Son A y B eventos Independientes?
Veamos : el espacio muestral de este experimento es :
S= { (1,1) , (1,2), (1,3) , (1,4) , (1,5) ,(1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) ,(2,5) , (2,6) ,(3,1),
(3,2), (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,(4,1), (4,2) ,(4,3) , (4,4) (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) , (5,3)
(5,4) , (5,5) ,(5,6) , (6,1) (6,2) ,(6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

11. Los eventos A y B están formados por :
A= {(2,1 ) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) ,(2,6) , (4,1) ,(4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) (4,6) ,(6,1) , (6,2)
(6,3) , (6,4),(6,5) , (6,6) }
B= {(1,1) , (1,2) , (2,1) ,(2,2) ,(3,1), (3,2) , (4,1) , (4,2) , (5,1) , (5,2) , (6,1) , (6,2) }
La Intersección entre A y B es : P(A∩B)= { (2,1) , (2,2) , ( 4,1) ,(4,2) , (6,1) , (6,2) }
Por tanto , P(A) = 18/36= , P(B) = 12 / 36 , P(A∩B)= 6 / 36 . Al considerar las
probabilidades condicionales se tiene que :
P(A/B)=P(A∩B) / P(B)= (6 / 36) / ( 12 / 36) = ( 6 / 12 ) = 18 / 36 = P(A) .
P(B/A)= P(B∩A) / P(A)= (6 / 36) / ( 18 / 36) = ( 6 / 18 ) = 12/ 36 = P(B) .Entonces se puede
afirmar que A y B son eventos Independientes.!!!!!!!!!!
Por ultimo y para finalizar esta presentación , como consecuencia de lo anterior : ‘ SI dos
eventos son independientes , entonces P(A∩B) = P(A) * P(B) . Una ecuación sencilla y
bastante útil en el cálculo de probabilidades.