El documento aborda el tema de la probabilidad en el contexto de la educación matemática, destacando los elementos fundamentales como los experimentos aleatorios, eventos y sus tipos, así como las reglas para el cálculo de probabilidades. Se discuten enfoques clásicos, empíricos y axiomáticos para entender cómo se forman y calculan los eventos dentro de un espacio muestral. Además, se presentan ejemplos prácticos y ejercicios relacionados con el cálculo de probabilidades y la teoría de conjuntos.

1. FACULTAD
CIENCIAS HUMANAS, DE LA EDUCACIÓN Y DESARROLLO
SOCIAL CARRERA
EDUCACIÓN BÁSICA
MODULO
VII
DOMINIO DEL CONOCIMIENTO MATEMATICO
TEMA:
EXPLICA LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD EN
FUNCIÓN DE CADA UNO DE ELLOS, -IDENTIFICA LOS
ENFOQUES DE PROBABILIDAD DE ACUERDO A LOS
DIFERENTES EXPERIMENTOS ALEATORIOS, -COMPRENDE
LA RELACIÓN ENTRE SUCESOS SUS CARACTERÍSTICAS Y
TIPOS, -RELACIONA EL CÁLCULO DE PROBABILIDAD, LA
REGLA DE LAPLACE, Y LOS DIFERENTES EJERCICIOS QUE SE
DESARROLLAN.
PARALELO 03
ESTUDIANTE:
RAUL PAREDES

2. 1- Elementos de Probabilidades
Los primeros estudios fueron motivados por la posibilidad de acierto o fracaso en los juegos de
azar. La probabilidad es un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios,
es decir, operaciones cuyo resultado no puede ser predicho de antemano con seguridad. Por
ejemplo, el lanzamiento de una moneda o de un dado.
1.1- Enfoques de probabilidad
a- Experimento aleatorio o experimento: Cualquiera operación cuyo resultado no puede ser
predicho con anterioridad con seguridad.
Ejemplo:
- Lanzamiento de una moneda.
- Lanzamiento de un dado.
- Extracción de una carta de una baraja de 52 cartas.
b- Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento.
Su símbolo es la letra griega Ω (omega).Si el espacio muestral tiene un número finito de
elementos o infinito numerable, entonces se dice que éste es discreto y si el espacio muestral
tiene como elemento todos los puntos de algún intervalo real, entonces se dice que éste es
continuo.
Ejemplos:
- Experimento: lanzamiento de un dado
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
3- Evento o suceso: es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Todo subconjunto es un
evento, en particular Ω mismo es un evento llamado suceso seguro y el conjunto vacío, Ø,
también es un evento, llamado suceso imposible. Denotaremos a los eventos por las primeras
letras del alfabeto en mayúsculas: A, B, C, etc.
4- Cardinalidad del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él.
Ejemplos:
A= {obtener un número impar al lanzar un dado}
A= {1, 3, 5}
B= {obtener al menos una cara al lanzar una moneda dos veces}
B= {cs, sc, cc}
Como los eventos son subconjuntos de Ω, entonces es posible alplicar la teoría de
conjuntos para obtener nuevos eventos.
El complemento de un conjunto A se denota por Ac
y se define como la colección de aquellos
elementos de Ω que no pertenecen a A.

3. Si A y B son eventos, entonces también lo son A ∪ B, A ∩ B, Ac
A ∪ B ocurre sí, y solo si ocurre A o solo ocurre B u ocurren A y B a la vez.
A ∩ B ocurre si, y solo si ocurre A y ocurre B a la vez.
Ac
ocurre si, y solo si no ocurre A
En todo esperimento aleatorio Ω se considera el conjunto universal, por lo tanto, todos los
complementos son tomados respecto a Ω.
Ejemplo
Considere el experimento lanzamiento de dados.
a) determine el espacio muestral.
b) Obtenga los siguientes eventos:
A= {La suma de los números es un múltiplo de dos}
B= {Ambos dados muestran la misma cara}
C= {Los dos números son primos}
D= {La resta de los dos números es divisible por tres}
c) Encuentre, si es posible, A ∪ B; BC
; BC
∩ CC
Desarrollo:
a) determine el espacio muestral.
b) Obtenga los siguientes eventos:
- A= {La suma de los números es un múltiplo de dos}
- B= {Ambos dados muestran la misma cara}
B = { (1, 1) (2, 2) (3, 3) (4, 4) (5, 5) (6, 6)}
- C= {Los dos números son primos}

4. - D= {La resta de los dos números es divisible por tres}
D = {(1, 4) (2, 5) (3, 6) (4, 1) (5, 2) (6, 3)}
c) Encuentre, si es posible, A ∪ B; BC
; BC
∩ CC
A ∪ B = A
BC
= {(x, y) / x ≠ y} → El conjunto complemento de B es igual al evento (x, y) tal que x sea
distinto a y.
2- Probabilidad en espacio finito o equiprobable
Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles y no
existe razón que provilegie un resultado sobre otro, es decir todos los resultados son
equiprobables (todos poseen la misma capacidad de ocurrir), se puede calcular la probabilidad
de un evento aleatorio según la regla de Laplace.
Regla de Laplace: La probabilidad de que un suceso A ocurra se puede calcular utilizando:
Ejemplo:
Evento A: que al lanzar un dado salga un múltiplo de 3
Ω = {Lanzamiento de un dado} ⇒ Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ casos totales 6
A= {aparece un múltiplo de tres} ⇒ A= {3, 6} ⇒ casos favorables 2

5. ó 0,33 ó 33%
Ejemplo:
Evento B: que al lanzar un dado salga un número primo.
Ω = {Lanzamiento de un dado} ⇒ Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ casos totales 6
B= {aparece un número primo} ⇒ B= {2, 3, 5} ⇒ casos favorables 3
ó 0,5 ó 50%
Ejemplo 2:
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos, con los experimentos asociados. Para hacerlo
determina espacio muestral e identifica los casos favorables .
a) Lanzar un dado, y obtener un cinco.
Ω = {Lanzamiento de un dado} ⇒ Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ casos totales 6
A = {obtener un cinco} ⇒ A = {5} ⇒ casos favorables 1
b) Escoger un número entre 1 y 20, y que salga el 9.
Ω = {Escoger un número entre 1 y 20} ⇒ Ω= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
18, 19}
B= {que salga el número 9} ⇒ B = {9} ⇒ casos favorables 1
Ejemplo 3:
Se considera el experimento aleatorio "sacar una bolita de una urna" cuyo espacio muestral es:
Ω= {12 bolitas verdes, 24 amarillas, 6 rojas}

6. a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita roja?
Ω= {12 bolitas verdes, 24 amarillas, 6 rojas} ⇒ casos totales 42
S= {extraer una bolita roja} ⇒ casos favorables 6
Respuesta: 6 / 42 → simplificamos por 6 = 1 / 7
b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita amarilla?
Ω= {12 bolitas verdes, 24 amarillas, 6 rojas} ⇒ casos totales 42
S= {extraer una bolita amarilla} ⇒ casos favorables 24
Respuesta: 24 / 42 → simplificamos por 6 = 4 / 7
c) Si extrae una bolita verde sin reponerla, ¿cuál es la probabilidad de extraer una bolita roja?
En este caso debemos sacar una bolita verde del total dado anteriormente:
Ω= {11 bolitas verdes, 24 amarillas, 6 rojas} ⇒ casos totales 41
S= {extraer una bolita roja} ⇒ casos favorables 6
Respuesta: 6/41
3- Conjuntos y probabilidades.
Como los eventos son subconjuntos de Ω, entonces es posible alplicar la teoría de
conjuntos para obtener nuevos eventos.
Podemos utilizar conjuntos para definir distintos sucesos de un experimento aleatorio, y
plantear las relaciones existentes entre ellos que nos permitan deducir sus probabilidades. En
general, dado un experimento aleatorio con dos sucesos A y B, podemos definir las siguientes
operaciones:

7. Si A y B son eventos, entonces también lo son A ∪ B, A ∩ B, Ac
A ∪ B ocurre sí, y solo si ocurre A o solo ocurre B u ocurren A y B a la vez.
A ∩ B ocurre si, y solo si ocurre A y ocurre B a la vez.
Ac
ocurre si, y solo si no ocurre A
El complemento de un conjunto A se denota por Ac
y se define como la colección de aquellos
elementos de Ω que no pertenecen a A.
Dado un experimento aleatorio y sus dos sucesos A y B, se tiene que:
P(A-B) = P(A) - P (A ∩ B)
P (AC
) = 1 - P(A)
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)
A y B son mutuamente excluyentes si ambos sucesos no pueden ocurrir de manera simultánea
A ∩ B = Ø :
P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
Veamos algunos ejemplos resueltos:
Calcula en cada caso la probabilidad pedida:
a) Si, P(A) =0,78; P(B)= 0,65; P(A ∪ B) = 0,8; Calcula : P(A - B)
* Solución:
Paso 1: Se tiene que : P(A-B) = P(A) - P (A ∩ B)
Paso 2: Como no conocemos el valor de P (A ∩ B) utilizaremos la ecuación:
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)

8. Paso 3: Reemplazamos los valores dados en la ecuación:
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)
0,8 = 0,78 + 0,65 - P (A ∩ B)
0,8 = 1,43 - P (A ∩ B)
0,8 - 1,43 = - P (A ∩ B)
- 0,63 = - P (A ∩ B) / • -1
P (A ∩ B) = 0,63
Paso 4: ahora podemos reemplazar en la ecuación para obtener el resultado que me piden:
P(A-B) = P(A) - P (A ∩ B)
P(A-B) = 0,78 - 0,63
P(A-B) = 0,15
b) Si, P(A) = 0,24; Calcula P(Ac
)
Paso 1: Se tiene que → P (AC
) = 1 - P(A)
Paso 2: Entonces reemplanzando:
P (AC
) = 1 - P(A)
P (AC
) = 1 - 0,24
P (AC
) = 0,76
c) Si, P(A) = 0,49; P(B) 0,45; P (A ∪ B) =0,71; Calcula P (A ∩ B)
Paso 1: Se tiene que → P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)
Paso 2: reemplazamos los valores dados en la ecuación:
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)
0,71 = 0,49 + 0,45 - P (A ∩ B)
0,71 = 0,94 - P (A ∩ B)

9. 0,71 - 0,94 = - P (A ∩ B)
- 0,23 = - P (A ∩ B) / • -1
P (A ∩ B) = 0,23
Enfoques de probabilidad
En este punto se mencionaran tres tipos de enfoques:
 Enfoque clásico, a priori o de Laplace,
 Enfoque empírico, frecuencia o a posteriori.
 Enfoque matemático, axiomático o de Kolmogorov.
Enfoque clásico, a priori o de Laplace
Este enfoque define la probabilidad como un número, determinado de la siguiente forma: P(A)=
(n(A))/(n(S))
Dónde:
 S = Cardinal del espacio maestral S del experimento.
 N(A) = Cardinal del evento A.
La aplicación de este enfoque supone las siguientes condiciones:
 Trabaja con espacios muéstrales finitos.
 Los puntos de S deben ser igualmente importantes, esto es, igual peso específico.
Enfoque empírico, frecuencia o a posteriori
El enfoque empírico utiliza la frecuencia relativa como una aproximación al valor de la
probabilidad de un evento, esto se refiere a un valor empírico de la probabilidad de ocurrencia
del evento, la cual es un valor teórico resultante de un cálculo matemático.
Es conveniente por lo tanto tener, presente el concepto de frecuencia, como la cantidad de
veces que ocurre un evento en un determinado periodo. Ahora bien, las frecuencias pueden ser
absolutas o relativas:
 Frecuencia absoluta: Es el número de veces que se presenta un evento determinado en un
experimento.
 Frecuencia relativa: Es la fracción o porción de veces que se presenta un evento
determinado en un experimento.
La frecuencia relativa para un evento A esta dada por:
 fA: (frecuencia absoluta)/(número de ejecuciones del experimento)= (Número de veces
que ocurre A)/(Numero de ensayos)
 fA: nA/n
P(A) = lim(n->inf)nA/n
Come se puede observar en la expresión anterior, la frecuencia relativa tiende a la probabilidad
de ocurrencia del evento en el límite, es decir cuando el experimento se ejecuta un gran número
de veces.
Enfoque matemático, axiomático o de Kolmogorov
Este enfoque se presenta por medio de tres axiomas, los cuales son la fundamentación d toda
la teoría de probabilidad.

10. Axioma 1: 0 < = P(A) < = 1
Esto indica que la probabilidad de ocurrencia de un evento es un número, el cual debe oscilar
siempre entre 0 y 1, sin contradecir la definición dada por Laplace en el enfoque clásico.
El extremo superior representa la certeza absoluta de la no ocurrencia del evento, mientras que
el inferior representa la certeza absoluta de la no ocurrencia del evento. Cualquier otro valor
entre 0 y 1 indica incertidumbre acerca de la ocurrencia del evento.
Axioma 2:
P(S) = 1 P( ø ) = 0
P(S) representa la probabilidad de ocurrencia de algún resultado cuando se realiza un
experimento aleatorio, y de acuerdo con el axioma 1, esta probabilidad debe ser 1. En
consecuencia, la probabilidad del evento vacío debe ser 0.
Axioma 3: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de su unión
es la suma de sus probabilidades individuales.
P(A U B) = P(A) + P(B)
La expresión anterior es generalizable a más de dos eventos, así:
P(A1 U A2 U A3 U … U An ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + … + P(An)
La probabilidad y los fenómenos aleatorios
Sin embargo, la mayor parte de los fenómenos y hechos de la vida cotidiana, no tienen este
comportamiento.
Muchos fenómenos son aleatorios, es decir, los resultados no son predecibles.
La probabilidad se ocupa del estudio de los: La probabilidad y los fenómenos aleatorios
¿Qué es probabilidad?
Como pudimos observar, la palabra probabilidad tiene varios significados.
Es conveniente distinguir los diversos significados de acuerdo al uso que se hace de la palabra
probabilidad.
Vamos a estudiar los cuatro enfoques de probabilidad:
Probabilidad subjetiva, probabilidad frecuencial, probabilidad clásica y probabilidad axiomática
Sucesos y tipos de sucesos
En el contexto probabilístico, denominamos suceso a cualquier subconjunto de un espacio
muestral; esto es, a cualquier posible resultado de un experimento aleatorio.
 Suceso elemental
Un suceso se dice que es un suceso elemental si está formado por un único
elemento del espacio muestral. Por ejemplo, al tirar un dado el suceso consistente
en obtener un cinco.
 Suceso compuesto
Un suceso se dice que es un suceso compuesto si está formado por más de un

11. elemento del espacio muestral. En el mismo ejemplo anterior obtener un número
par, es decir, que salga un 2 o un 4 o un 6.
Entre los diferentes sucesos destacaremos los siguientes:
 Suceso seguro
El suceso seguro es aquél que está formado por todos los resultados posibles del
espacio muestral (E), es decir aquél que se cumple siempre. Por ejemplo al tirar un
dado cúbico obtener un número del uno al seis.
 Suceso imposible
El suceso imposible es aquél que no ocurre nunca. Se expresa con el símbolo Ø. Por
ejemplo, obtener un ocho al tirar un dado cúbico.
 Suceso contrario o complementario de otro suceso
Se define el suceso contrario a A como el suceso que acontece cuando no ocurre A.
EL suceso contrario a obtener un número par es obtener uno impar. Suele
denotarse como:
Cálculo de probabilidades
No siempre es fácil conocer los valores de la función de probabilidad de todos los sucesos.
Sin embargo, muchas veces se pueden conocer las probabilidades de algunos de estos sucesos.
Con la ayuda de ciertas propiedades que se deducen de manera inmediata a partir de la
axiomática es posible calcular las probabilidades de más sucesos.
Por otro lado, en caso de que el número de resultados sea finito y de que todos los resultados
tengan las mismas posibilidades de verificarse, la probabilidad de un suceso cualquiera se puede
calcular a partir de la regla de Laplace:
Si A es un suceso: Probabilidad (A) = (Número de casos favorables)/(Número de casos posibles)
Dónde: Número de casos favorables = Número de resultados contenidos en A (cardinal de A)
Número de casos posibles = Número total de resultados posibles (cardinal del conjunto total de
resultados)
En este caso, el contar número de resultados, ya sean favorables o posibles, debe hacerse por
medio de la combinatoria.
Veamos con unos ejemplos muy sencillos y visuales cómo se obtienen y qué representan los
casos posibles y los casos favorables.
Ejemplo 1
Se dispone de un dado regular. Se lanza el dado una vez. Se elige un suceso entre los que se
proponen.

12. Una vez hecho esto, se visualizan en la parte inferior de la pantalla los casos posibles y los
favorables. También se contabilizan y, mediante la regla de Laplace, se calcula la probabilidad
del suceso elegido.
1) Elegid el
suceso a
estudiar.
2) Desplazad, si
procede, las
barras de
puntos.
3) Comprobad
los sucesos
posibles y los
favorables.
Regla de Laplace
Parece que ya tienes todos los ingredientes para enfrentarte al cálculo de probabilidades. Pero
antes debemos sentar las bases de los conceptos que vamos a utilizar. Para ello vamos a ir
siguiendo un ejemplo aclaratorio, el del lanzamiento de un dado. Definamos los conceptos con
los que debes familiarizarte.
Experimento aleatorio: es un experimento en el que no se puede predecir previamente el
resultado. Por ejemplo, el lanzamiento de un dado.
Espacio muestral: son todos los posibles resultados del experimento. En nuestro ejemplo, el
espacio muestral estaría compuesto por estos resultados: "obtener un 1", "obtener un 2",
"obtener un 3", "obtener un 4", "obtener un 5" y "obtener un 6".
Suceso: es cualquier parte del espacio muestral. Algunos sucesos podrían ser: "obtener un 3",
"obtener un número par", ...
Dentro de los sucesos destacamos:
 Suceso seguro: Es el que siempre se verifica. Por ejemplo, un suceso seguro sería "obtener
un número menor que 7".
 Suceso imposible: Es el suceso que no se puede obtener. Por ejemplo, un suceso imposible
sería "obtener un número mayor que 10".
 Suceso contrario: El suceso contrario a un suceso A es el que se verifica cuando no se
verifica A. Por ejemplo, si A="Obtener un 4", el suceso contrario de A se escribe . Así, en
este ejemplo y

13.  Suceso unión: Es el suceso que se obtiene por unión de otros. Por ejemplo, un suceso unión
sería "obtener un 1 o un 2".
 Suceso intersección: Es el suceso que se obtiene cuando se verifican otros dos. Por
ejemplo, el suceso intersección de: "obtener un número par" y "obtener un número mayor
que 3" sería el suceso "obtener 4 o 6".
 en el caso de que todos los resultados de un experimento aleatorio sean equiprobables,
Laplace define la probabilidad de un suceso A como el cociente entre el número de
resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de
resultados posibles del experimento.

 Así, podemos resumirlo con la siguiente fórmula:



 Si lanzamos un dado y consideramos el suceso A="obtener un 3", tenemos que:
 Casos favorables a A=
 Total de casos posibles=

 Por tanto, la probabilidad del suceso A sería:


 La siguiente línea nos va a sevir para clasificar los sucesos según su probabilidad: