Introducción al tema probabilidad de conjuntos. Nivel 2do año Bachillerato.

1. 1
TEMA: PROBABILIDAD
INTRODUCCIÓN:
ACTIVIDAD:
Lee con atención las siguientes listas de experimentos y responde a las interrogantes que
se te realizan:
E1: Soltamos una piedra desde una altura dada y anotamos lo que sucede.
E2: Lanzamos un dado y observamos el número que aparece en la cara superior.
E3: Lanzamos una moneda cuatro veces y anotamos la cantidad de caras obtenidas.
E4: Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos
defectuosos producidos en un período de 24 horas.
E5: Enfriamos agua hasta cero grados centígrados a presión atmosférica normal y anotamos
el estado de agregación en que se encuentra.
1. ¿Es posible predecir el resultado del primer y quinto experimento?
2. ¿Qué tienen en común los experimentos E2, E3 y E4?
3. ¿Cuáles son los resultados posibles en los experimentos E2 y E3?
EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS: Son aquellos en que las condiciones bajo las cuales
se realiza el experimento determinan el resultado del mismo.
EXPERIMENTOS ALEATORIOS: Son aquellos para los cuales el resultado depende del
azar.
Observa: Aunque no podemos predecir el resultado particular de un experimento, si
podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles.
En las siguientes actividades trabajaremos con experimentos aleatorios simétricos, es
decir, experimentos en los cuales los distintos resultados tienen la misma oportunidad de
ocurrir. Ejemplo: supondremos dados no cargados, monedas honestas, etc.
ACTIVIDAD:
Calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
1. Obtener cara al lanzar una moneda
2. Sacar un 5 al tirar un dado.
3. Sacar una bolilla negra de un bolillero que tiene 3 bolillas blancas, 2 negras y 5
rojas.
4. Obtener exactamente dos caras al lanzar una moneda tres veces.
5. Ganar el 5 de oro.
OBSERVACIÓN:
Para calcular probabilidades es necesario introducir herramientas que faciliten el conteo
de casos

2. 2
TÉCNICAS DE CONTEO
PROBLEMA 1
Si queremos ir a un cine o a un teatro pero no a ambos, ¿de cuántas maneras podemos hacer
la elección si hay tres cines y cuatro teatros posibles?
PROBLEMA 2
Un matrimonio tiene dos hijos. Si cada uno tiene a su vez tres hijos, ¿cuántos nietos tiene
el matrimonio?
Principio de la suma: Si un objeto A puede ser elegido de n maneras y otro objeto B, de p
maneras, entonces la elección de A o B (pero no de ambos) se puede realizar de n+p
formas.
Principio del producto: Si un objeto A puede ser elegido de n maneras y si, después de
cada una de estas elecciones, un objeto B puede elegirse de p modos, la elección de A y B
(en el orden indicado) puede realizarse de n.p formas.
PROBLEMA 3
Calcula el número de resultados posibles en los siguientes experimentos aleatorios:
E1: se seleccionan tres bolillas al azar, de forma consecutiva, de una urna con seis
bolillas numeradas del 1 al 6.
E2: se extraen tres bolillas al azar, simultáneamente, de una urna con seis bolillas
numeradas del 1 al 6.
Definiciones:
1. Sea un conjunto E de cardinal n, se llama arreglo de orden p de n elementos a
todo subconjunto ordenado de E con p elementos distintos.
Notación: Al cardinal del conjunto de todos los arreglos de orden p de n lo
designaremos n
pA .
2. Sea un conjunto E de cardinal n , se llama combinación de orden p de n elementos
a todo subconjunto de E con p elementos.
Notación: Al cardinal del conjunto de todas las combinaciones de orden p de n lo
designaremos n
pC (habitualmente llamado número combinatorio).
3. Sea un conjunto E de cardinal n, se llama permutación de orden n a todo
conjunto ordenado de n elementos.
Notación: Al cardinal del conjunto de todas las permutaciones de orden n lo
designaremos Pn.

3. 3
Aplicación de las definiciones anteriores
Considera el conjunto A = {a, b, c}.
a. Con los elementos del conjunto A escribir todos los arreglos que tengan dos
elementos.
b. Con los elementos del conjunto A escribir todas las combinaciones que
tengan dos elementos.
c. Escribir todas las permutaciones que se pueden formar con los elementos
del conjunto A.
CÁLCULO DE n
pA
n
pA = n(n-1)(n-2) ...… (n-(p-1))
CÁLCULO DE nP
nP =n.(n-1)…….3.2.1
Definición:
Para un número natural n, n factorial (que se denota n!) se define de la siguiente manera:
 0 =1
 n = n.(n-1)…….3.2.1
FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE ARREGLOS Y PERMUTACIONES UTILIZANDO
FACTORIAL:
Del cálculo realizado anteriormente y utilizando la definición de factorial se deduce que:
 Pn = n




n
p
n
A
(n-p)
CÁLCULO DE
n
pC

n
pn
p
n
n!
A (n- p)! n!
C = = =
P p! (n- p)!p!
Ejercicio:
Borracho, pero con flores......
Un señor llega a su casa a las tres de la mañana con varias copas de más y quiere abrir la
puerta de la misma que está trancada con llave. Pero esta tarea no es fácil ya que tiene en
su bolsillo 10 llaves similares pero solamente una es la que le sirve. Suponiendo que sus dos
primeros intentos fueron fallidos:
CASO 1: calcular la probabilidad de que el señor tenga éxito en el tercer intento si en cada
intento fallido apartó la llave de las demás.
p factores

4. 4
CASO 2: calcular la probabilidad de que el señor abra la puerta en el tercer intento si no
apartó las llaves fallidas de su bolsillo debido a su estado de borrachera.
Definición clásica de probabilidad (de Laplace):
Dado un experimento aleatorio con resultados igualmente posibles, se denomina
probabilidad de un evento, al número que se obtiene dividiendo la cantidad de “casos
favorables” entre la cantidad de “casos posibles”.
Ejercicio:
De un montón de 48 cartas españolas se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de los
siguientes sucesos:
a) La carta es de copas. b) La carta no es de oros. c) La carta es menor o igual a 5.
Observar los distintos espacios muestrales
Definiciones
Al conjunto de los resultados posibles asociado a un experimento aleatorio lo anotaremos
con la letra E y se denomina espacio muestral.
Llamamos suceso a todo subconjunto del espacio muestral. Los representaremos con letras
mayúsculas: A,B,C,…
Propiedades
 Para cualquier suceso A se tiene:  0 ( ) 1P A
 Si A = { } entonces ( ) 0P A
 P( E ) =1