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Tema 2
Teor´ıa de la Probabilidad
2.1 Introducci´on
Un experimento aleatorio es aquel que repetido en condiciones iniciales similares puede
conducir a resultados distintos.
Ejemplo 1: (Experimentos aleatorios)
1. Lanzar una moneda y observar si sale cara o cruz.
2. Lanzar una moneda hasta que salga cara.
3. Elegir dos n´umeros reales del intervalo [0,1].
Definici´on: Se llama suceso asociado a un experimento aleatorio a cualquier cuesti´on
relacionada con dicho experimento que tenga respuesta, en el sentido de si ha ocurrido o
no, despu´es de realizar el experimento.
Ejemplo 2: (Sucesos asociados a los experimentos aleatorios del ejemplo 1)
1. Al lanzar la moneda se obtiene cara.
2. La cara se obtiene antes de la quinta tirada.
3. La diferencia entre ambos n´umeros es menor que 0.5.
Definici´on: Se llama suceso elemental a cada uno de los posibles resultados del ex-
perimento aleatorio.
Definici´on: Se llama espacio muestral al conjunto formado por todos los posibles
resultados del experimento aleatorio. Lo denotaremos por Ω.
Ejemplo 3: Los espacios muestrales asociados a los experimentos aleatorios del ejem-
plo 1 son:
1. Ω = {C, X}
2. Ω = {C, XC, XXC, . . .}
3. Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1}
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Un espacio muestral Ω se dice que es de tipo discreto si tiene una cantidad finita o
infinita numerable de elementos. En caso contrario se dice que el espacio muestral es
continuo.
El c´alculo de probabilidades exige, en muchos casos, el uso de la Teor´ıa de Conjuntos
con objeto de poder definir adecuadamente distintas cuestiones relacionadas los experi-
mentos aleatorios. Por este motivo, vamos a “redefinir” el concepto de suceso.
Definici´on: Dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es Ω, se llama
suceso asociado a dicho experimento, a cualquier subconjunto de Ω. Los subconjuntos
unitarios de Ω son los sucesos elementales. Los denotaremos por ω.
Ejemplo 4: Los sucesos del ejemplo 2 se expresar´ıan como:
1. S1 = {C}
2. S2 = {C, XC, XXC, XXXC}
3. S3 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, |x − y| < 0.5}
De los sucesos del ejemplo 2, s´olo el primero es un suceso elemental.
Definici´on: Al realizar una prueba de un experimento aleatorio diremos que se ha
verificado el suceso A si el resultado obtenido en el experimento pertenece a A.
• Ω representa el suceso seguro.
• ∅ representa el suceso imposible.
2.2 Operaciones con sucesos
Dados dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio:
• A ∪ B es el suceso que se verifica siempre que se verifique al menos uno de los dos
sucesos.
• A ∩ B es el suceso que se verifica siempre que se verifiquen los dos sucesos.
• BA es el suceso que se verifica siempre que se verifique B y no se verifique A.
Ejemplo 5: Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado con 6 caras.
Si definimos los sucesos:
• A: Lanzar un dado y obtener un n´umero par.
• B: Lanzar un dado y obtener un m´ultiplo de 3.
entonces:
A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A ∪ B = {2, 3, 4, 6} A ∩ B = {6} BA = {3}
Definici´on: Diremos que dos sucesos A y B son incompatibles o mutuamente
excluyentes si A ∩ B = ∅ (esto es, no pueden ocurrir los dos a la vez).
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Definici´on: Dado un suceso A, se denota por A al suceso complementario o suceso
contrario de A. Es el suceso que se verifica si y s´olo si no se verifica A.
Propiedades: Dados dos sucesos A y B
• A ∪ B = A ∩ B
• A ∩ B = A ∪ B
• BA = B ∩ A
Definici´on: Un conjunto de sucesos A1, A2, . . . , An, . . ., asociados a un experimento
aleatorio, cuyo espacio muestral es Ω, se dice que forman un sistema completo de sucesos
si:
1.
∞
i=1
Ai = Ω
2. Ai ∩ Aj = ∅ ∀ i = j
Ejemplo 6: En el experimento consistente en lanzar un dado con 6 caras Ω =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Los sucesos A1 = {1, 2}, A2 = {3, 4}, A3 = {5, 6} constituyen un sistema
completo de sucesos.
2.3 Axiomas de probabilidad
Definici´on: Consideremos un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es Ω. Sea
A una σ-´algebra de sucesos asociada a dicho experimento aleatorio. Una aplicaci´on
P : A −→ R se dice que es una funci´on de probabilidad si cumple las siguientes condi-
ciones:
1. P(A) ≥ 0 ∀ A ∈ A
2. P(Ω) = 1
3. Si A1, A2, . . . , An, . . . ∈ A y Ai ∩ Aj = ∅ ∀ i = j, entonces P(
∞
i=1
Ai) =
∞
i=1
P(Ai)
A la terna (Ω, A, P) se le llama espacio de probabilidad.
Nota: podemos interpretar A como el conjunto de sucesos a los que asignamos una
probabilidad.
Consecuencias: Dado (Ω, A, P) y dos sucesos A, B ∈ A:
• Si A ⊆ B entonces P(A) ≤ P(B)
• P(A) = 1 − P(A)
• P(∅) = 0
• P(BA) = P(B) − P(B ∩ A)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
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Llegados a este punto, tenemos que decidir c´omo asignar las probabilidades:
• Si el espacio muestral Ω es de tipo discreto, bastar´a con asignar probabilidades a
cada uno de los sucesos elementales ωi con lo cual dado un suceso A, por el axioma
3:
P(A) =
ωk∈A
P(ωk)
• Si el espacio muestral es continuo el problema necesita un tratamiento diferente y
conduce al c´alculo, generalmente mediante integrales, de las longitudes o vol´umenes
asociados a los sucesos y al espacio muestral.
2.4 Regla de Laplace
Sea Ω = {ω1, ω2, . . . , ωn} un espacio muestral discreto formado por n sucesos elementales
EQUIPROBABLES. En este caso, todos los P(ωk) son iguales, y como
1 = P(Ω) =
n
i=1
P(ωi) = n · P(ωj) para cualquier j
resulta que P(ωj) = 1
n ∀ j
En consecuencia, dado un suceso A = {ω1, ω2, . . . , ωk} la probabilidad de A viene dada
por:
P(A) =
k
i=1
P(ωi) =
k
i=1
1
n
=
k
n
es decir,
Probabilidad =
n´umero de casos favorables
n´umero de casos posibles
Ejemplo 7: Se extrae una bola de una urna que contiene 3 bolas blancas y 5 bolas
negras. ¿Cu´al es la probabilidad de que la bola extra´ıda sea blanca?
Nota: la Regla de Laplace es v´alida ´unicamente si los SUCESOS ELEMENTALES
SON EQUIPROBABLES. Si los sucesos elementales no son equiprobables, la naturaleza
del problema nos indicar´a como determinar las probabilidades.
2.5 Probabilidad condicionada
Se utiliza en los casos siguientes:
1. Cuando se conoce alguna informaci´on “extra” (o condici´on) sobre el experimento.
2. Cuando el problema es complejo y se puede abarcar mediante la descripci´on de un
sistema completo de sucesos adecuado.
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Veamos un ejemplo: encuestando a un grupo de personas se ha obtenido la siguiente
informaci´on
F F Total
M 75 125 200
H 115 100 215
Total 190 225 415
donde H son hombres, M mujeres y F y F significan fumador y no fumador respecti-
vamente. Se elige una persona al azar. ¿Cu´al es la probabilidad de que fume?
P(F) =
190
415
= 0.45
Sabiendo que es mujer, ¿cu´al es la probabilidad de que fume?
Definici´on: Se define la probabilidad de un suceso B condicionado a otro suceso A
tal que P(A) > 0, y se representa por B|A, como:
P(B|A) =
P(B ∩ A)
P(A)
Mediante este concepto podemos responder a la pregunta anterior as´ı:
P(F|M ) =
P(F ∩ M)
P(M)
=
75/415
200/415
Propiedad: P(·|A) verifica los axiomas de probabilidad, esto es
1. P(B|A) ≥ 0 ∀ B ∈ A
2. P(Ω|A) = 1
3. Si B1, B2, . . . , Bn, . . . ∈ A y Bi ∩ Bj = ∅ ∀ i = j, entonces P(
∞
i=1
Bi|A) =
∞
i=1
P(Bi|A)
Por tanto, verifica tambi´en las consecuencias que se deducen de los axiomas.
Ejemplo 8: En una bolsa tenemos tres fichas: la primera tiene las dos caras blancas,
la segunda tiene las dos caras rojas y la tercera tiene una cara blanca y otra roja. Se
saca una ficha y se mira la cara superior, que resulta ser de color blanco. ¿Qu´e es m´as
probable, que la otra cara sea blanca o que sea roja?
2.6 Teoremas de Probabilidad
2.6.1 Teorema del producto
Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad y dos sucesos A y B con P(A) > 0. Entonces:
P(B ∩ A) = P(B|A) · P(A)
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Este resultado se puede generalizar a una colecci´on finita de sucesos como sigue:
Dados n sucesos A1, . . . An tales que P(
n−1
i=1
Ai) > 0, entonces:
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P(A1) · P(A2|A1 ) · · · P(An|A1∩···∩An−1 )
Ejemplo 9: ¿Cu´al es la probabilidad de acertar 6 n´umeros en el sorteo de la loter´ıa
primitiva?
2.6.2 Independencia de sucesos
Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad y A, B ∈ A con P(A) = 0. Se dice que el suceso
B es independiente de A si se verifica que P(B|A) = P(B).
Consecuencias:
1. B es independiente de A si y s´olo si P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
2. Si B es independiente de A entonces A es independiente de B
La segunda consecuencia nos lleva a la siguiente definici´on:
Definici´on: Dos sucesos A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Se puede comprobar que si A y B son sucesos independientes, tambi´en lo son A y B,
A y B, A y B.
2.6.3 Teorema de la probabilidad total
Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad y A1, A2, . . . , An, . . . un sistema completo de
sucesos tal que P(Ai) > 0 ∀ i. Dado un suceso B ∈ A, entonces:
P(B) =
∞
i=1
P(Ai) · P(B|Ai )
2.6.4 Teorema de Bayes
En las mismas condiciones del teorema anterior, si P(B) > 0 se verifica que:
P(Ak|B) =
P(Ak) · P(B|Ak
)
∞
i=1
P(Ai) · P(B|Ai )
Ejemplo 10: Se dispone de una urna con 4 bolas blancas y 3 bolas negras, y de una
segunda urna con 1 bola blanca y 5 bolas negras. Se lanza una moneda con probabilidad
2/3 de obtener cara y 1/3 de obtener cruz. Si el resultado es cara, se saca una bola de la
primera urna, y si es cruz, se saca de la segunda urna. ¿Cu´al es la probabilidad de extraer
una bola negra? Si la bola extraida es blanca, ¿cu´al es la probabilidad de que al lanzar la
moneda haya salido cara?
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Anexo: Combinatoria
Dada una colecci´on de n objetos, se llama permutaci´on a cualquier ordenaci´on de
esos objetos. El n´umero de posibles permutaciones se denota por Pn y es:
Pn = n!
Si con los n objetos se pueden formar k grupos de objetos iguales entre s´ı y en los
distintos grupos hay m1, m2, . . . , mk elementos, cada ordenacion reciben el nombre de
permutaci´on con repetici´on. El n´umero de permutaciones con repetici´on que se pueden
formar viene dado por:
Pm1,...,mk
n = n!
m1!···mk!
siendo m1 + · · · + mk = n.
Ejemplo: el n´umero de formas que hay de ordenar 3 bolas rojas y 5 blancas viene dado
por:
P3,5
8 =
8!
3! · 5!
Supongamos ahora que de los n objetos se desea seleccionar m. Al realizar la selecci´on
puede ocurrir que “importe” el orden en que se eligen los objetos (ej: resultados de la
quiniela de f´utbol) o puede ocurrir que el orden sea indiferente (ej: combinaci´on ganadora
en un sorteo de la Loter´ıa Primitiva). En el primer caso cada elecci´on recibe el nombre
de Variaci´on, mientras que en el segundo recibe el nombre de Combinaci´on. Si cada
objeto puede ser elegido m´as de una vez, diremos que las elecciones se han realizado con
repetici´on. Si esto no ocurre (cada objeto puede seleccionarse s´olo una vez), diremos que
se han realizado sin repetici´on.
El n´umero de combinaciones y variaciones, con o sin repetici´on, de n objetos tomados
de m en m, viene dado en la siguiente tabla:
Combinaciones Variaciones
Con repetici´on CRn,m =
n + m − 1
m
V Rn,m = nm
Sin repetici´on
(Ordinarias)
Cn,m =
n
m
Vn,m = n · (n − 1) · · · (n − m + 1)
(m ≤ n) (m ≤ n)
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