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1
Cuatro tipos de probabilidad
Marginal
La probabilidad
de que ocurra
X
Unión
La probabilidad
de que ocurra
X o Y
Conjunta
La probabilidad
de que ocurra
X e Y
Condicional
La probabilidad
de que ocurra
X sabiendo que
ha ocurrido Y
YX YX
Y
X
P X( ) P X Y( )∪ P X Y( )∩ P X Y( | )
2
Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco.
¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3?
x
x
36/2)3( =P
3
Supongamos que hemos lanzado ya el dado rojo y ha salido
un 1. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que sumen 3?
x
6/1)1|3( =rojodadosumadeP
4
sexo edad
B.R H 18
C.C M 19
C.G H 19
G.P M 20
M.P M 21
J.L H 20
L.A. M 21
N.D M 21
V.C H 22
V.F. H 19
L.L. H 18
J.N. M 21
J.P. M 21
U.P M 18
Sucesos
A = ser hombre (H)
B = edad< 20
A Ac
B
Bc
Probabilidades
P(A) =
4
62
2
6/14 = 0.43
P(B) = 6/14 = 0.43
P(A ∩ B) = 4/14 = 0.29
P(A ∪B) =
6/14 + 6/14 - 4/14 = 0.43+ 0.43 - 0.29 = 0.57
P(AB) = 4/6 = 0.67
P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
5
Intuir la probabilidad condicionada
A
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A ∩ B) = 0,10
A
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=1 P(A|B)=0,8
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A ∩ B) = 0,08
B
B
6
Intuir la probabilidad condicionada
A
B
A
B
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=0,05 P(A|B)=0
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A ∩ B) = 0,005
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A ∩ B) = 0
7
Probabilidad condicionada
Se llama probabilidad de A condicionada a B
o probabilidad de un suceso A sabiendo que
se ha producido un suceso B:
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP
∩
=
8
Probabilidad condicionada
Una vez A ha ocurrido, ya es seguro:
1
)(
)(
)(
)(
)|( ==
∩
=
AP
AP
AP
AAP
AAP
Cuando A y B son excluyentes, una vez ha ocurrido
A, B es imposible:
0
)(
0
)(
)(
)|( ==
∩
=
APAP
BAP
ABP
9
Espacio restringido
Negro
Color
Palo Rojo Total
As 2 2 4
No-As 24 24 48
Total 26 26 52
¿Cuál es la probabilidad de que una carta
escogida al azar sea un as sabiendo que es roja?
26
2
52/26
52/2
)(
)(
)|( ==
∩
=
RojoP
RojoAsP
RojoAsP
¿Y la probabilidad de que una carta escogida al azar sea roja
sabiendo que es un as?
10
Los sucesos A y B serán independientes si la
ocurrencia de B no influye en la probabilidad
de A y al revés. Es decir, si:
)()|()(
)(
)(
)|(
)()|()(
)(
)(
)|(
APABPBAP
AP
BAP
ABP
BPBAPBAP
BP
BAP
BAP
=∩⇒
∩
=
=∩⇒
∩
=
)()()( BPAPBAP =∩
Independencia
)()|(y)()|( BPABPAPBAP ==
Como:
Entonces:
11
Vamos a verificar la independencia de los dados.
Sea A = dado rojo sale 1 y B = dado blanco sale 1.
)(
6
1
6
1
36
1
)(
)(
)|( AP
BP
BAP
BAP ===
∩
=
Independencia
Sea C = suma de los dos dados es 3. ¿Afecta A =
que el dado rojo salga 1 a la probabilidad de C?
36
2
)(
6
1
6
1
36
1
)(
)(
)|( =≠==
∩
= CP
AP
ACP
ACP
12
Independencia de m sucesos
Similarmente, m sucesos A1...., Am se llaman independientes
si:
P(A1 ∩ ... ∩ Am) = P(A1) ⋅... · P(Am)
y además para cada posible subconjunto de k sucesos:
P(Aj+1 ∩ ... ∩ Aj+k) = P(Aj+1) ⋅... · P(Aj+k)
donde j+k < m.
De modo que, p. ej. tres sucesos A, B y C son independientes si:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
P(B ∩ C) = P(B) ⋅ P(C)
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(C)
13
Una caja contiene 10 bolas, 3 son rojas. Escogemos dos bolas al
azar. Encuentra la probabilidad de que ninguna de ellas sea roja:
(a) con reemplazo y (b) sin reemplazo.
Consideremos los sucesos:
A: Primera bola no-roja
B: Segunda bola no-roja
P(A) = 7/10
Si el muestreo es con reemplazo, la situación para la segunda
elección es idéntica que para la primera, y P(B) = 7/10.
Los sucesos son independientes y la respuesta es:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) = 0.7 ⋅ 0.7 = 0.49
Si es sin reemplazo, hemos de tener en cuenta que una vez
extraída la primera bola, quedan solo 9 y 3 deben ser rojas.
Así: P(B|A) = 6/9 = 2/3. En este caso la respuesta es:
P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = (7/10) ⋅ (2/3) ≈ 0.47
14
Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos
A3 A4
Se trata de una colección de
sucesos A1, A2, A3, A4…
tales que la unión de todos
ellos forman el espacio
muestral, y sus intersecciones
son disjuntas.
A1
A2
Divide y vencerás: Todo suceso B, puede ser
descompuesto en componentes de dicho sistema.
B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2 ) U ( B ∩ A3 ) U ( B ∩ A4 )
15
Teorema de la probabilidad total
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad
de B en cada uno de los
componentes de un sistema
exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces podemos
calcular la probabilidad de B
como la suma:
P(B) = P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + P( B ∩ A3) + P( B ∩ A4)
P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + P(B|A3)P(A3) + P(B|A4)P(A4)
16
Supongamos que A1, A2, ... ,An son una partición de E,
es decir que los sucesos son mútuamente excluyentes
entre sí (Ai∩Aj=∅ para todo par) y su unión es E
entonces:
)()|()(
1
i
n
i
i APABPBP ∑=
=
La ley de probabilidad total
)()(
1
∑=
∩=
n
i
iABPBPA1 A2
A3 A4
B
17
Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son hombres.
De ellos el 10% son fumadores. El 20% de las mujeres son
fumadoras.
• ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?
Mujeres
Hombres
Fumadores
Podemos aplicar la ley de
la probabilidad total:
Hombres y mujeres forman
un sistema exhaustivo y
excluyente de sucesos.
18
Estudiante
Hombre
No fuma
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,2
0,3
0,8
0,9
Mujer
P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)
= 0,1 · 0,7 + 0,2 · 0,3 = 0,13
19
Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra.
Su padre fue ministro presbiteriano.
Posiblemente De Moivre fue su maestro
particular, pues se sabe que por ese entonces
ejercía como profesor en Londres.
Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y
muere en 1761. Sus restos descansan en el
cementerio londinense de Bunhill Fields. La
traducción de la inscripción en su tumba es:
"Reverendo Thomas Bayes.
Hijo de los conocidos Joshua y Ann
Bayes. 7 de abril de 1761. En
reconocimiento al importante trabajo que
realizó Thomas Bayes en probabilidad. Su
tumba fue restaurada en 1969 con
donativos de estadísticos de todo el
mundo".
20
Teorema de Bayes
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en
cada uno de los n componentes de un
sistema exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de
ocurrencia de cada Ai, (i = 1, 2, ... , n):
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad
total:
P(B)
)AP(B
|B)P(A i
i
∩
=
)()(
1
∑=
∩=
n
i
iABPBP
21
P(M) = 0,3, P(F) = 0,13
P(M|F) = P(F ∩ M)/P(F) = P(F|M) P(M) / P(F) =
0,2·0,3 / 0,13 = 0,46
Estudiante
Hombre
No fuma
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,2
0,3
0,8
0,9
Mujer
En el problema
anterior: Se elige a un
individuo al azar
y resulta fumador.
¿Cuál es la
probabilidad de que
sea una mujer?
22
Ejemplo: Pruebas diagnósticas
Las pruebas o tests de diagnóstico se evalúan con anterioridad sobre
dos grupos de individuos: sanos y enfermos. De modo frecuentista
se estima:
– Sensibilidad (verdaderos +) = Tasa de acierto sobre enfermos.
– Especificidad (verdaderos -) = Tasa de acierto sobre sanos.
A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos calcular
las probabilidades a posteriori (en función de los resultados del test) de
los llamados índices predictivos:
– P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo
– P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo
23
La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una
consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de
diabetes. Su sensibilidad (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,3
y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99. Calcular los
índices predictivos (P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo y
P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo).
Individuo
Enfermo
Sano
T-
T+
T-
T+
0,3
1 - 0,99 = 0,01
1 - 0,3 = 0,7
0,99
0,2
1 - 0,2 = 0,8
24
)(
)(
)|(
+
+∩
=+
TP
TEnfP
TEnfP
Los índices predictivos son: la probabilidad de que, sabiendo que
el test sea positivo, el paciente sea diabético y la probabilidad de
que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano.
Individuo
Enfermo
Sano
T-
T+
T-
T+
0,3
0,01
0,7
0,99
0,2
0,8
06,03,02,0)( =⋅=+∩TEnfP
068,001,08,03,02,0)( =⋅+⋅=+TP
88,0
068,0
06,0
==
25
Individuo
Enfermo
Sano
T-
T+
T-
T+
0,3
0,01
0,7
0,99
0,2
0,8
85,0
7,02,099,08,0
99,08,0
=
⋅+⋅
⋅
=
=
−
−∩
=−
)(
)(
)|(
TP
TSanoP
TSanoP
26
Observaciones
• En el ejemplo anterior, al llegar un
individuo a la consulta tenemos una idea a
priori sobre la probabilidad de que tenga
una enfermedad.
• A continuación se le pasa una prueba
diagnóstica que nos aportará nueva
información: Presenta glucosuria o no.
• En función del resultado tenemos una
nueva idea (a posteriori) sobre la
probabilidad de que esté enfermo.
– Nuestra opinión a priori ha sido
modificada por el resultado de un
experimento.
-¿Qué probabilidad
tengo de estar
enfermo?
- En principio un 20%.
Le haremos unas
pruebas.
- Presenta glucosuria.
La probabilidad ahora
es del 88%.
27
La pro babilidad de q ue una m uje r co n e dad co m pre ndida e ntre lo s 40 -50 te ng a cánce r
de m am a e s 0 . 8 % . Si una m uje r tie ne cánce r de m am a, la pro babilidad de po sitivo e n
te st = 9 0 % . Si una m uje r no tie ne cánce r de m am a, la pro babilidad de po sitivo e n
te st = 7 % . Supo ng am o s q ue una pacie nte da po sitivo e n un te st. ¿ Cuále s la
pro babilidad de q ue te ng a cánce r de m am a?
1000 mujeres
8: enfermas 992: no enfermas
7: positivos 1: negativo 69: positivos 923: negativos
p(enferma | positivo) = 7 / (7+69) = 0.09
0.09
enf)no|(posenf)(noenf)|(pos(enf)
enf)|(pos(enf)
pos)|(enf
0.07enf)no|(pos0.90,enf)|(pos0.992,enf)(no0.008,(enf)
=
+
=
====
PPPP
PP
P
PPPP
28
En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una
bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se
vuelve a sacar otra bola que es verde.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido
verde?
(b) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la
probabilidad de que la primera sea verde?
(c) ¿Y azul?
Nota: Realiza un árbol de sucesos. Llama (A1 y A2), al
suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y
análogamente los restantes:
(A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).
29
30
Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el
supuesto que la segunda ha sido verde)
Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:
Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el
supuesto que la segunda ha sido azul)
Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:
31
Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el
supuesto que la segunda ha sido azul)
Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:
32
Supongamos que la incidencia del consumo de drogas
en la población es del 5%. Hacemos una prueba de
drogas, que tiene una fiabilidad del 95%, a un sujeto
escogido al azar y el resultado es positivo.
¿Cuál es la probabilidad de que consuma drogas?
5,0
1000
95
100
95
100
5
)(
)(
)|(
1000
95
100
95
100
5
100
5
100
95
)(
=
=
∩
=
=+=
positivoP
positivodrogadictoP
positivodrogadictoP
positivoP
33
The Monty Hall Problem
Let’s Make a Deal fue un famoso concurso en las décadas 60-70
de la televisión de EEUU presentado por Monty Hall y Carol Merril.
34
¡Bienvenidos al
show de Monty Hall!
Detrás de una de estas
puertas hay un coche.
Y detrás de las dos
restantes hay una cabra.
35
A B C
Elijo la
puerta A
Nuestro concursante
seleccionará una puerta ...
36
A B C
PUERTA
SELECCIONADA
C
Monty Hall (que
conoce dónde está
el coche) abre la
puerta C.
Ahora sabemos que
el coche está o bien
en A o bien en B.
Monty Hall nos permite cambiar de
elección si queremos …
¿Es más probable ganar el coche si cambiamos
de puerta? (En este caso de A a B).
37
B CA
A C
CA B
B CA B CA B CA
Si el concursante
CAMBIA
su elección original
Pierde Gana Gana
Gana
Gana
Pierde
PierdeGana
Gana
38
Si el concursante CAMBIA su elección original gana 6 veces de
las 9: su probabilidad de ganar es 6/9 = 2/3. Si no cambia, su
probabilidad de ganar es de 3/9 = 1/3. ¡Tiene el doble de
posibilidades de ganar si cambia de puerta!
Pierde Gana Gana
Gana
Gana
Pierde
PierdeGana
Gana
Juega y compruébalo estadísticamente en
http://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html
39
Existe una manera intuitiva de comprender este
resultado anti-intuitivo:
Cuando elijo la puerta, en promedio, dos de cada
tres veces detrás de la puerta habrá una cabra.
O sea, la mayor parte de las veces habré elegido
una puerta con cabra.
Después Monthy me enseña una puerta con cabra.
Así que es razonable cambiar mi elección previa...
40
En el problema de Monthy Hall, si nosotros
escogemos la puerta A y Monthy abre la puerta
B, por ejemplo, la pregunta que nos estamos
haciendo es: ¿Cuál es la probabilidad de ganar si
cambio a la puerta C, teniendo la información
adicional de que el coche no está en la B?
Lo dejamos como ejercicio.
Podemos probar este resultado sin hacer una
lista de todos los casos. Usando la noción de
probabilidad condicional. Recuerda que la
probabilidad condicional nos muestra cómo la
ocurrencia de un suceso afecta a la probabilidad
de otro.
41
Problemas
propuestos
42
43
44
45
46
Problemas
resueltos
47
48
49
50
51
52
53
2/ Se lanza una moneda si sale cara se saca una canica de la caja I que
contiene 3 rojas y 2 azules, si sale cruz se saca una canica de la caja II
que contiene 2 rojas y 8 azules. a) Determinar la probabilidad de que se
saque una canica roja. b) Habiendo sacado bola roja, ¿cuál es la
probabilidad de que haya salido cara?






=





+






+





+






=
=+=
5
2
82
2
2
1
23
3
2
1
)|()()|()( IIRPIIPIRPIPPCaja I
Caja II






2
1






2
1 





10
2






5
3
a)
b)
4
3
82
3
2
1
23
3
2
1
23
3
2
1
)|()()|()(
)|()(
=






+






+





+












+






=





+
=
IIRPIIPIRPIP
IRPIP
P
54
8/ Un ladrón es perseguido por un coche de policía y al llegar a un
determinado cruce se encuentra tres posibles calles por las que huir (A, B y
C), de tal manera que las dos ultimas son tan estrechas que por ellas no cabe
el coche de policía, de lo cual el ladrón no se da cuenta
Si huye por la calle A le atrapan seguro puesto que la final de la misma hay
otra patrulla de policía. Si huye por la calle C se escapa seguro puesto que no
está vigilada. Si huye por la calle B se encontrará que esta se bifurca en dos
callejuelas: la BA, que conduce a A y la BC que conduce a C-
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ladrón sea atrapado?
b) Sabiendo que escapó, ¿cuál es la probabilidad de que huyera por la C
entrando por la B y llegando a C por la callejuela BC?
Ladrón
A
B
C
Policía
BABC
Policía
Vía
libre
A
B
C
BA
BC
3
1
3
1
3
1 2
1
2
1
a)
Atrapado
Atrapado
Escapa
Escapa
55
[ ]
2
1
=+=×+





×+×+×=×+
+×+××+
+×=
6
1
3
1
0
3
1
0
2
1
1
2
1
3
1
1
3
1
C)enatraparle(C)(
BC)enatraparle(BC)(BA)enatraparle(BA)(B)(
A)enatraparle(A)(atraparle)(
PP
PPPPP
PPP
b)
3
1
2
1
1
2
1
3
1
escapar)(
C)escapar(BC)(B)(
BC)porescapar( =
••
=
××
=
P
PPP
P
2
1
2
1
-1atrapado)ser(-1escapar)( === PP
56
13/ Dados los sucesos A y B , tales que P(A)=0,4 y P(B)=0,3 y P(A∩B)=0,1 , calcúlense las
siguientes probabilidades:
a) P( / )
b) P(A/A U B)
c) P(A/A ∩ B)
d) P( /B)
a)
b)
c)
d)
57
17/ En unos laboratorios se preparan tres vacunas contra la misma enfermedad. Las probabilidades de obtener
en el mercado cada una de ellas son: vacuna 1=1/6; vacuna 2=1/3; vacuna 3=1/2. Las probabilidades de
inmunidad con cada una son: vacuna 1=0,90; vacuna 2=0,94; vacuna 3=0,88. Calcúlese la probabilidad de que,
utilizando cualquiera de ellas, el sujeto vacunado resulte inmune.
Para calcular la probabilidad de inmunización aplicamos el teorema de la probabilidad total:
58
19/ Sean las urnas de bolas U1 = (5b, 8n) y U2 = (6b, 9r). Se toma una bola de U1 y se pasa a U2 y seguidamente
una de U2 y se pasa a U1. ¿cuál es la probabilidad de que esta última sea roja?
(b = bola blanca, n = bola negra, r = bola roja)
Las posibles dobles extracciones de U1 son: bb, br, nn, nb y nr ; cuyas probabilidades respectivas son:
Sea B el suceso cuya probabilidad queremos calcular. Por el teorema de la probabilidad total tenemos que:
59
20/ Un test detecta la presencia de un cierto tipo T de bacterias en el agua con probabilidad 0,9 en caso de
haberlas. Si no las hay, detecta la ausencia con probabilidad 0,8. sabiendo que la probabilidad de que una
muestra de agua contenga bacterias de tipo T es 0,2 , calcular la probabilidad:
a) De que realmente haya presencia de bacterias cuando el test ha dado resultado positivo
b) Ídem cuando del resultado del test es negativo
c) De que haya bacterias y el test sea positivo
d) De que, o haya bacterias, o el test sea positivo
Designaremos por T el suceso “que haya bacterias tipo T” y por C el suceso “el test dio positivo”.
a) Por el teorema de Bayes:
b)
c)
d)
60
21/ A un puesto aduanero llegan periódicamente misiones diplomáticas procedentes de un determinado país y que
están constituidas por 10 miembros. El citado país es un gran productor de marihuana, circunstancia que, de vez
en cuando, es aprovechada por sus misiones diplomáticas para introducir algún que otro cargamento en el país
que visitan, siendo la forma de hacerlo el que dos de los diez miembros lleven en sus maletas la hierba.
Los aduaneros tienen ya información del truco, pero, para no producir incidentes diplomáticos, se limitan a
inspeccionar dos de las diez maletas dejando pasar a la misión si en las maletas inspeccionadas no encuentran
droga. Su experiencia les dice además que el 10% de las misiones portan la droga.
Si una misión inspeccionada no arroja resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente dicha misión
no lleve droga alguna?
Denominaremos:
A1 al suceso “la delegación porta droga”
A2 al suceso “la delegación no lleva droga”
B al suceso “una misión inspeccionada arroja resultado negativo”
Conocemos:
Y nos pide P(A2/B). Esta probabilidad podemos calcularla con ayuda del teorema de Bayes:
61
22/ Una caja contiene 3 monedas, 2 normales y una con dos caras. Se elige una moneda al azar y se efectúa una
tirada. Si sale cara se tira otra vez. Si sale cruz se elige una de las otras dos que quedan en la caja y se tira. Se pide:
a) Probabilidad de que hayan salido dos caras
b) En este caso, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda que se ha lanzado dos veces sea la que tiene dos
caras?
c) ¿cuál es la probabilidad de que salgan dos cruces?
a)
(donde A1 es el suceso consistente en que la moneda extraída sea normal y A2 que la moneda extraída sea la especial)
b)
c) Saldrán dos cruces si la primera moneda era normal y el lanzamiento fue cruz y la segunda moneda era también normal y asimismo arrojó
cruz. Llamaremos:
Mi : La moneda extraída en el lugar i-ésimo es normal , i = 1 , 2
C : Salir cruz al lanzar una moneda
H : Salir dos cruces
62
23/ Una urna contiene 2 bolas blancas, 5 negras y 4 rojas, y de ella extraemos tres bolas, una a continuación de
otra. La primera que se extrajo resultó roja, la segunda no se miró y la tercera fue negra.
Determinar la probabilidad de que la bola extraída en segundo lugar sea blanca.
La información de que la primera bola extraída fue roja reduce el problema inicial a este otro:
Una urna con 2 bolas blancas, 5 negras y 3 rojas y de ella extraemos 2 bolas, una después de la otra. La primera no se miró y la segunda era
negra. ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída en primer lugar sea blanca?
Llamamos B, N y R a los sucesos salir bola blanca, negra o roja en primer lugar y C al suceso “segunda bola extraída sea negra”
Y pretendemos calcular es P(B/C) lo que haremos con ayuda del teorema de Bayes. Así tenemos:
Análogamente se calcula que: P(N/C) = 4/9 P(R/C) = 3/9
63
Sean tres urnas con las siguientes posiciones de bolas blancas y negras:
U1: (3 blancas y 2 negras)
U2: (4 blancas y 2 negras)
U3: (1 blanca y 4 negras)
Calcúlese:
a) Probabilidad de extraer bola blanca
b) Probabilidad de que una bola negra que se ha extraído proceda de la
segunda urna.
SOLUCIÓN:
a) Suponemos que las tres urnas son equiprobables:
P(U1) = P(U2) = P(U3) = 1/3.
Por el teorema de la probabilidad total:
P(blanca) = P(blanca/U1) P(U1) + P(blanca/U2) P(U2) + P(blanca/U3) P(U3) = 3/5 x
1/3+ 4/6 x 1/3 +1/5 x 1/3 = 22/45 = 0,48888
b) P (U2/negra) = P (negra/ U2)P (U2)/P(negra) =
= (P(negra/U2) P(U2)/(P(negra/U1)P(U1)+P(negra/ U2) P ( U2)+P(negra/U3) P/U3) =
También se podría haber obtenido con la probabilidad del complementario:
P (negra) = 1 – P (blanca) = 1 – 22/45 = 23/45
23
5
3
1
5
4
3
1
6
2
3
1
5
2
3
1
6
2
=
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Estadistica y probabilidades cap VI-2

  • 1. 1 Cuatro tipos de probabilidad Marginal La probabilidad de que ocurra X Unión La probabilidad de que ocurra X o Y Conjunta La probabilidad de que ocurra X e Y Condicional La probabilidad de que ocurra X sabiendo que ha ocurrido Y YX YX Y X P X( ) P X Y( )∪ P X Y( )∩ P X Y( | )
  • 2. 2 Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3? x x 36/2)3( =P
  • 3. 3 Supongamos que hemos lanzado ya el dado rojo y ha salido un 1. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que sumen 3? x 6/1)1|3( =rojodadosumadeP
  • 4. 4 sexo edad B.R H 18 C.C M 19 C.G H 19 G.P M 20 M.P M 21 J.L H 20 L.A. M 21 N.D M 21 V.C H 22 V.F. H 19 L.L. H 18 J.N. M 21 J.P. M 21 U.P M 18 Sucesos A = ser hombre (H) B = edad< 20 A Ac B Bc Probabilidades P(A) = 4 62 2 6/14 = 0.43 P(B) = 6/14 = 0.43 P(A ∩ B) = 4/14 = 0.29 P(A ∪B) = 6/14 + 6/14 - 4/14 = 0.43+ 0.43 - 0.29 = 0.57 P(AB) = 4/6 = 0.67 P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
  • 5. 5 Intuir la probabilidad condicionada A P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,10 A ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=1 P(A|B)=0,8 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,08 B B
  • 6. 6 Intuir la probabilidad condicionada A B A B ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0,05 P(A|B)=0 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0
  • 7. 7 Probabilidad condicionada Se llama probabilidad de A condicionada a B o probabilidad de un suceso A sabiendo que se ha producido un suceso B: )( )( )|( BP BAP BAP ∩ =
  • 8. 8 Probabilidad condicionada Una vez A ha ocurrido, ya es seguro: 1 )( )( )( )( )|( == ∩ = AP AP AP AAP AAP Cuando A y B son excluyentes, una vez ha ocurrido A, B es imposible: 0 )( 0 )( )( )|( == ∩ = APAP BAP ABP
  • 9. 9 Espacio restringido Negro Color Palo Rojo Total As 2 2 4 No-As 24 24 48 Total 26 26 52 ¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja? 26 2 52/26 52/2 )( )( )|( == ∩ = RojoP RojoAsP RojoAsP ¿Y la probabilidad de que una carta escogida al azar sea roja sabiendo que es un as?
  • 10. 10 Los sucesos A y B serán independientes si la ocurrencia de B no influye en la probabilidad de A y al revés. Es decir, si: )()|()( )( )( )|( )()|()( )( )( )|( APABPBAP AP BAP ABP BPBAPBAP BP BAP BAP =∩⇒ ∩ = =∩⇒ ∩ = )()()( BPAPBAP =∩ Independencia )()|(y)()|( BPABPAPBAP == Como: Entonces:
  • 11. 11 Vamos a verificar la independencia de los dados. Sea A = dado rojo sale 1 y B = dado blanco sale 1. )( 6 1 6 1 36 1 )( )( )|( AP BP BAP BAP === ∩ = Independencia Sea C = suma de los dos dados es 3. ¿Afecta A = que el dado rojo salga 1 a la probabilidad de C? 36 2 )( 6 1 6 1 36 1 )( )( )|( =≠== ∩ = CP AP ACP ACP
  • 12. 12 Independencia de m sucesos Similarmente, m sucesos A1...., Am se llaman independientes si: P(A1 ∩ ... ∩ Am) = P(A1) ⋅... · P(Am) y además para cada posible subconjunto de k sucesos: P(Aj+1 ∩ ... ∩ Aj+k) = P(Aj+1) ⋅... · P(Aj+k) donde j+k < m. De modo que, p. ej. tres sucesos A, B y C son independientes si: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) P(B ∩ C) = P(B) ⋅ P(C) P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) P(A ∩ B ∩ C) = P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(C)
  • 13. 13 Una caja contiene 10 bolas, 3 son rojas. Escogemos dos bolas al azar. Encuentra la probabilidad de que ninguna de ellas sea roja: (a) con reemplazo y (b) sin reemplazo. Consideremos los sucesos: A: Primera bola no-roja B: Segunda bola no-roja P(A) = 7/10 Si el muestreo es con reemplazo, la situación para la segunda elección es idéntica que para la primera, y P(B) = 7/10. Los sucesos son independientes y la respuesta es: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) = 0.7 ⋅ 0.7 = 0.49 Si es sin reemplazo, hemos de tener en cuenta que una vez extraída la primera bola, quedan solo 9 y 3 deben ser rojas. Así: P(B|A) = 6/9 = 2/3. En este caso la respuesta es: P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = (7/10) ⋅ (2/3) ≈ 0.47
  • 14. 14 Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos A3 A4 Se trata de una colección de sucesos A1, A2, A3, A4… tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. A1 A2 Divide y vencerás: Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2 ) U ( B ∩ A3 ) U ( B ∩ A4 )
  • 15. 15 Teorema de la probabilidad total A1 A2 A3 A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B como la suma: P(B) = P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + P( B ∩ A3) + P( B ∩ A4) P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + P(B|A3)P(A3) + P(B|A4)P(A4)
  • 16. 16 Supongamos que A1, A2, ... ,An son una partición de E, es decir que los sucesos son mútuamente excluyentes entre sí (Ai∩Aj=∅ para todo par) y su unión es E entonces: )()|()( 1 i n i i APABPBP ∑= = La ley de probabilidad total )()( 1 ∑= ∩= n i iABPBPA1 A2 A3 A4 B
  • 17. 17 Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son hombres. De ellos el 10% son fumadores. El 20% de las mujeres son fumadoras. • ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? Mujeres Hombres Fumadores Podemos aplicar la ley de la probabilidad total: Hombres y mujeres forman un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos.
  • 18. 18 Estudiante Hombre No fuma Fuma No fuma Fuma 0,7 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 Mujer P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) = 0,1 · 0,7 + 0,2 · 0,3 = 0,13
  • 19. 19 Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres. Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba es: "Reverendo Thomas Bayes. Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo".
  • 20. 20 Teorema de Bayes A1 A2 A3 A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los n componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai, (i = 1, 2, ... , n): donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B) )AP(B |B)P(A i i ∩ = )()( 1 ∑= ∩= n i iABPBP
  • 21. 21 P(M) = 0,3, P(F) = 0,13 P(M|F) = P(F ∩ M)/P(F) = P(F|M) P(M) / P(F) = 0,2·0,3 / 0,13 = 0,46 Estudiante Hombre No fuma Fuma No fuma Fuma 0,7 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 Mujer En el problema anterior: Se elige a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer?
  • 22. 22 Ejemplo: Pruebas diagnósticas Las pruebas o tests de diagnóstico se evalúan con anterioridad sobre dos grupos de individuos: sanos y enfermos. De modo frecuentista se estima: – Sensibilidad (verdaderos +) = Tasa de acierto sobre enfermos. – Especificidad (verdaderos -) = Tasa de acierto sobre sanos. A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos calcular las probabilidades a posteriori (en función de los resultados del test) de los llamados índices predictivos: – P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo – P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo
  • 23. 23 La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,3 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99. Calcular los índices predictivos (P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo y P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo). Individuo Enfermo Sano T- T+ T- T+ 0,3 1 - 0,99 = 0,01 1 - 0,3 = 0,7 0,99 0,2 1 - 0,2 = 0,8
  • 24. 24 )( )( )|( + +∩ =+ TP TEnfP TEnfP Los índices predictivos son: la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético y la probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano. Individuo Enfermo Sano T- T+ T- T+ 0,3 0,01 0,7 0,99 0,2 0,8 06,03,02,0)( =⋅=+∩TEnfP 068,001,08,03,02,0)( =⋅+⋅=+TP 88,0 068,0 06,0 ==
  • 26. 26 Observaciones • En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad. • A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no. • En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo. – Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento. -¿Qué probabilidad tengo de estar enfermo? - En principio un 20%. Le haremos unas pruebas. - Presenta glucosuria. La probabilidad ahora es del 88%.
  • 27. 27 La pro babilidad de q ue una m uje r co n e dad co m pre ndida e ntre lo s 40 -50 te ng a cánce r de m am a e s 0 . 8 % . Si una m uje r tie ne cánce r de m am a, la pro babilidad de po sitivo e n te st = 9 0 % . Si una m uje r no tie ne cánce r de m am a, la pro babilidad de po sitivo e n te st = 7 % . Supo ng am o s q ue una pacie nte da po sitivo e n un te st. ¿ Cuále s la pro babilidad de q ue te ng a cánce r de m am a? 1000 mujeres 8: enfermas 992: no enfermas 7: positivos 1: negativo 69: positivos 923: negativos p(enferma | positivo) = 7 / (7+69) = 0.09 0.09 enf)no|(posenf)(noenf)|(pos(enf) enf)|(pos(enf) pos)|(enf 0.07enf)no|(pos0.90,enf)|(pos0.992,enf)(no0.008,(enf) = + = ==== PPPP PP P PPPP
  • 28. 28 En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde? (b) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde? (c) ¿Y azul? Nota: Realiza un árbol de sucesos. Llama (A1 y A2), al suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes: (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).
  • 29. 29
  • 30. 30 Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta: Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:
  • 31. 31 Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:
  • 32. 32 Supongamos que la incidencia del consumo de drogas en la población es del 5%. Hacemos una prueba de drogas, que tiene una fiabilidad del 95%, a un sujeto escogido al azar y el resultado es positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que consuma drogas? 5,0 1000 95 100 95 100 5 )( )( )|( 1000 95 100 95 100 5 100 5 100 95 )( = = ∩ = =+= positivoP positivodrogadictoP positivodrogadictoP positivoP
  • 33. 33 The Monty Hall Problem Let’s Make a Deal fue un famoso concurso en las décadas 60-70 de la televisión de EEUU presentado por Monty Hall y Carol Merril.
  • 34. 34 ¡Bienvenidos al show de Monty Hall! Detrás de una de estas puertas hay un coche. Y detrás de las dos restantes hay una cabra.
  • 35. 35 A B C Elijo la puerta A Nuestro concursante seleccionará una puerta ...
  • 36. 36 A B C PUERTA SELECCIONADA C Monty Hall (que conoce dónde está el coche) abre la puerta C. Ahora sabemos que el coche está o bien en A o bien en B. Monty Hall nos permite cambiar de elección si queremos … ¿Es más probable ganar el coche si cambiamos de puerta? (En este caso de A a B).
  • 37. 37 B CA A C CA B B CA B CA B CA Si el concursante CAMBIA su elección original Pierde Gana Gana Gana Gana Pierde PierdeGana Gana
  • 38. 38 Si el concursante CAMBIA su elección original gana 6 veces de las 9: su probabilidad de ganar es 6/9 = 2/3. Si no cambia, su probabilidad de ganar es de 3/9 = 1/3. ¡Tiene el doble de posibilidades de ganar si cambia de puerta! Pierde Gana Gana Gana Gana Pierde PierdeGana Gana Juega y compruébalo estadísticamente en http://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html
  • 39. 39 Existe una manera intuitiva de comprender este resultado anti-intuitivo: Cuando elijo la puerta, en promedio, dos de cada tres veces detrás de la puerta habrá una cabra. O sea, la mayor parte de las veces habré elegido una puerta con cabra. Después Monthy me enseña una puerta con cabra. Así que es razonable cambiar mi elección previa...
  • 40. 40 En el problema de Monthy Hall, si nosotros escogemos la puerta A y Monthy abre la puerta B, por ejemplo, la pregunta que nos estamos haciendo es: ¿Cuál es la probabilidad de ganar si cambio a la puerta C, teniendo la información adicional de que el coche no está en la B? Lo dejamos como ejercicio. Podemos probar este resultado sin hacer una lista de todos los casos. Usando la noción de probabilidad condicional. Recuerda que la probabilidad condicional nos muestra cómo la ocurrencia de un suceso afecta a la probabilidad de otro.
  • 42. 42
  • 43. 43
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  • 47. 47
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  • 53. 53 2/ Se lanza una moneda si sale cara se saca una canica de la caja I que contiene 3 rojas y 2 azules, si sale cruz se saca una canica de la caja II que contiene 2 rojas y 8 azules. a) Determinar la probabilidad de que se saque una canica roja. b) Habiendo sacado bola roja, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido cara?       =      +       +      +       = =+= 5 2 82 2 2 1 23 3 2 1 )|()()|()( IIRPIIPIRPIPPCaja I Caja II       2 1       2 1       10 2       5 3 a) b) 4 3 82 3 2 1 23 3 2 1 23 3 2 1 )|()()|()( )|()( =       +       +      +             +       =      + = IIRPIIPIRPIP IRPIP P
  • 54. 54 8/ Un ladrón es perseguido por un coche de policía y al llegar a un determinado cruce se encuentra tres posibles calles por las que huir (A, B y C), de tal manera que las dos ultimas son tan estrechas que por ellas no cabe el coche de policía, de lo cual el ladrón no se da cuenta Si huye por la calle A le atrapan seguro puesto que la final de la misma hay otra patrulla de policía. Si huye por la calle C se escapa seguro puesto que no está vigilada. Si huye por la calle B se encontrará que esta se bifurca en dos callejuelas: la BA, que conduce a A y la BC que conduce a C- a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ladrón sea atrapado? b) Sabiendo que escapó, ¿cuál es la probabilidad de que huyera por la C entrando por la B y llegando a C por la callejuela BC? Ladrón A B C Policía BABC Policía Vía libre A B C BA BC 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 a) Atrapado Atrapado Escapa Escapa
  • 56. 56 13/ Dados los sucesos A y B , tales que P(A)=0,4 y P(B)=0,3 y P(A∩B)=0,1 , calcúlense las siguientes probabilidades: a) P( / ) b) P(A/A U B) c) P(A/A ∩ B) d) P( /B) a) b) c) d)
  • 57. 57 17/ En unos laboratorios se preparan tres vacunas contra la misma enfermedad. Las probabilidades de obtener en el mercado cada una de ellas son: vacuna 1=1/6; vacuna 2=1/3; vacuna 3=1/2. Las probabilidades de inmunidad con cada una son: vacuna 1=0,90; vacuna 2=0,94; vacuna 3=0,88. Calcúlese la probabilidad de que, utilizando cualquiera de ellas, el sujeto vacunado resulte inmune. Para calcular la probabilidad de inmunización aplicamos el teorema de la probabilidad total:
  • 58. 58 19/ Sean las urnas de bolas U1 = (5b, 8n) y U2 = (6b, 9r). Se toma una bola de U1 y se pasa a U2 y seguidamente una de U2 y se pasa a U1. ¿cuál es la probabilidad de que esta última sea roja? (b = bola blanca, n = bola negra, r = bola roja) Las posibles dobles extracciones de U1 son: bb, br, nn, nb y nr ; cuyas probabilidades respectivas son: Sea B el suceso cuya probabilidad queremos calcular. Por el teorema de la probabilidad total tenemos que:
  • 59. 59 20/ Un test detecta la presencia de un cierto tipo T de bacterias en el agua con probabilidad 0,9 en caso de haberlas. Si no las hay, detecta la ausencia con probabilidad 0,8. sabiendo que la probabilidad de que una muestra de agua contenga bacterias de tipo T es 0,2 , calcular la probabilidad: a) De que realmente haya presencia de bacterias cuando el test ha dado resultado positivo b) Ídem cuando del resultado del test es negativo c) De que haya bacterias y el test sea positivo d) De que, o haya bacterias, o el test sea positivo Designaremos por T el suceso “que haya bacterias tipo T” y por C el suceso “el test dio positivo”. a) Por el teorema de Bayes: b) c) d)
  • 60. 60 21/ A un puesto aduanero llegan periódicamente misiones diplomáticas procedentes de un determinado país y que están constituidas por 10 miembros. El citado país es un gran productor de marihuana, circunstancia que, de vez en cuando, es aprovechada por sus misiones diplomáticas para introducir algún que otro cargamento en el país que visitan, siendo la forma de hacerlo el que dos de los diez miembros lleven en sus maletas la hierba. Los aduaneros tienen ya información del truco, pero, para no producir incidentes diplomáticos, se limitan a inspeccionar dos de las diez maletas dejando pasar a la misión si en las maletas inspeccionadas no encuentran droga. Su experiencia les dice además que el 10% de las misiones portan la droga. Si una misión inspeccionada no arroja resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente dicha misión no lleve droga alguna? Denominaremos: A1 al suceso “la delegación porta droga” A2 al suceso “la delegación no lleva droga” B al suceso “una misión inspeccionada arroja resultado negativo” Conocemos: Y nos pide P(A2/B). Esta probabilidad podemos calcularla con ayuda del teorema de Bayes:
  • 61. 61 22/ Una caja contiene 3 monedas, 2 normales y una con dos caras. Se elige una moneda al azar y se efectúa una tirada. Si sale cara se tira otra vez. Si sale cruz se elige una de las otras dos que quedan en la caja y se tira. Se pide: a) Probabilidad de que hayan salido dos caras b) En este caso, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda que se ha lanzado dos veces sea la que tiene dos caras? c) ¿cuál es la probabilidad de que salgan dos cruces? a) (donde A1 es el suceso consistente en que la moneda extraída sea normal y A2 que la moneda extraída sea la especial) b) c) Saldrán dos cruces si la primera moneda era normal y el lanzamiento fue cruz y la segunda moneda era también normal y asimismo arrojó cruz. Llamaremos: Mi : La moneda extraída en el lugar i-ésimo es normal , i = 1 , 2 C : Salir cruz al lanzar una moneda H : Salir dos cruces
  • 62. 62 23/ Una urna contiene 2 bolas blancas, 5 negras y 4 rojas, y de ella extraemos tres bolas, una a continuación de otra. La primera que se extrajo resultó roja, la segunda no se miró y la tercera fue negra. Determinar la probabilidad de que la bola extraída en segundo lugar sea blanca. La información de que la primera bola extraída fue roja reduce el problema inicial a este otro: Una urna con 2 bolas blancas, 5 negras y 3 rojas y de ella extraemos 2 bolas, una después de la otra. La primera no se miró y la segunda era negra. ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída en primer lugar sea blanca? Llamamos B, N y R a los sucesos salir bola blanca, negra o roja en primer lugar y C al suceso “segunda bola extraída sea negra” Y pretendemos calcular es P(B/C) lo que haremos con ayuda del teorema de Bayes. Así tenemos: Análogamente se calcula que: P(N/C) = 4/9 P(R/C) = 3/9
  • 63. 63 Sean tres urnas con las siguientes posiciones de bolas blancas y negras: U1: (3 blancas y 2 negras) U2: (4 blancas y 2 negras) U3: (1 blanca y 4 negras) Calcúlese: a) Probabilidad de extraer bola blanca b) Probabilidad de que una bola negra que se ha extraído proceda de la segunda urna. SOLUCIÓN: a) Suponemos que las tres urnas son equiprobables: P(U1) = P(U2) = P(U3) = 1/3. Por el teorema de la probabilidad total: P(blanca) = P(blanca/U1) P(U1) + P(blanca/U2) P(U2) + P(blanca/U3) P(U3) = 3/5 x 1/3+ 4/6 x 1/3 +1/5 x 1/3 = 22/45 = 0,48888 b) P (U2/negra) = P (negra/ U2)P (U2)/P(negra) = = (P(negra/U2) P(U2)/(P(negra/U1)P(U1)+P(negra/ U2) P ( U2)+P(negra/U3) P/U3) = También se podría haber obtenido con la probabilidad del complementario: P (negra) = 1 – P (blanca) = 1 – 22/45 = 23/45 23 5 3 1 5 4 3 1 6 2 3 1 5 2 3 1 6 2 = •+•+• •

Notas del editor

  1. 22