Este documento describe el diseño factorial 2K, que estudia los efectos de dos factores (A y B), cada uno con dos niveles. Explica cómo calcular los efectos principales de cada factor y su interacción mediante la diferencia de promedios. También presenta un ejemplo con datos sobre un experimento químico que estudia la concentración de un reactivo y la cantidad de catalizador. Calcula los efectos principales y de interacción usando las fórmulas dadas.

1. “DISEÑO FACTORIAL 2K”
Curso:
Diseños y Análisis de Experimentos II
Docente:
Dra. Jeanette Gonzales Castro
Integrantes:
Arteaga Tello, Karen.
Salinas Luis, Giancarlos.
Villanueva Amaya, Carlos.
Ciclo:
IX
TRUJILLO – PERÚ
2013

2. DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K UNT2013
DISEÑOS FACTORIALES
1. Principios y definiciones básicas
Muchos experimentos se llevan a cabo para estudiar los efectos producidos por dos o
más factores. Puede mostrarse que en general los diseños factoriales son los más
eficientes para estetipo de experimentos. Por diseño factorial se entiende aquel en el que
se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada
ensayo completo o réplica del experimento.
Por ejemplo, si existen “a” niveles del factor A y “b”niveles del factor B, entonces cada
réplica del experimento contiene todas las “ab”combinaciones de los tratamientos. A
menudo, se dice que los factores están cruzadoscuando éstos se arreglan en un diseño
factorial.
El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un cambio
en el nivel del factor. Con frecuencia, éste se conoce como efecto principalporque se
refiere a los factores de interés primordial del experimento. Por ejemplo, consideremos los
datos de la tabla 1. El efecto principal del factor A podría interpretarse como la diferencia
entre la respuesta promedio en el primer y segundo nivel de ese factor. Numéricamente:
Factor B
B1 B2
A1 20 30
Factor A
A2 40 52
Tabla 1: Un experimento factorial
En otras palabras incrementar el factor A del nivel 1 al 2 produce un cambio en la
respuesta promedio de 21 unidades. Similarmente, el efecto principal de B es:
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Si los factores tienen más de dos niveles, el procedimiento anterior debe ser modificado
ya que las diferencias entre las respuestas promedio pueden expresarse de muchas
formas.
En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los
niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores. Cuando
esto ocurre existe una interacción entre los factores. Por ejemplo, considérense los datos
de la Tabla 2.
Factor B
B1 B2
A1 20 40
Factor A
A2 50 12
Tabla 2: Un experimento factorial con interacción
En el primer nivel del factor B, el efecto de A es:
A = 50 - 20 = 30
Mientras que en el segundo nivel de B, el efecto de A es:
A = 12 - 40 = 28
Puede observarse que existe una interacción entre los factores A y B porque el efecto de
A depende del nivel elegido de B.
Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la Fig. 1 se muestra una gráfica de la
respuesta de los datos de la Tabla 1 contra los niveles del factor A para ambos niveles del
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factor B. Se observa que las rectas B1 y B2 son, aproximadamente, paralelas. Esto indica
que no hay interacción entre los factores. De manera similar, en la Fig. 2 se presenta una
gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 2.
60
B2
50
B1
Respuesta 40
30 B2
20
B1
10
A1 A2
Factor A
Figura 1: Un experimento factorial sin interacciones
En este caso se ve que las rectas B1 y B2 no son paralelas. Esto muestra que existe una
interacción entre A y B. Sin embargo, no debe ser la única técnica para analizar los datos,
porque su interpretación es subjetiva y su apariencia, a menudo, es engañosa.
60 B1
50
B2
Respuesta
40
30
20
B1
10 B2
A1 A2
Factor A
Figura 2: Un experimento factorial con interacciones
Hay que notar que cuando una interacción es grande los correspondientes efectos
principales tienen poco significado práctico. Una estimación del efecto principal de A de
los datos de la Tabla 2 es:
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El cual resulta ser muy pequeño corriéndose el riesgo de concluir que no existe un efecto
debido a A. Sin embargo, cuando se examinó el efecto de A en niveles diferentes de B se
concluyó que éste no era el caso. El factor A tiene un efecto, pero depende del nivel del
factor B. En otras palabras, es más útil conocer la interacción AB que el efecto principal.
Una interacción significativa oculta a menudo el significado de los efectos principales.
Ventajas de los diseños factoriales
Las ventajas de los diseños factoriales pueden ilustrarse fácilmente. Supongamos que se
tienen dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Estos niveles se representan
mediante A1, A2, B1 y B1. La información acerca de ambos factores puede obtenerse
variando un factor a la vez como aparece en la tabla 3. El efecto de variar el factor A está
dada por A2B1 -A1B2. A causa de que existe error experimental, es conveniente realizar,
por ejemplo, dos observaciones de cada combinación de tratamientos y hacer una
estimación de los efectos de los factores usando las respuestas promedio. Por lo tanto, se
requiere un total de seis observaciones.
Factor B
B1 B2
A1 A1 B1 A1 B2
Factor A
A2 A2 B1 A2 B2
Tabla 3 El método de un factor a la vez
Los diseños factoriales poseen algunas ventajas:
 Son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez.
 Los diseños factoriales son necesarios cuando alguna interacción puede estar
presente, para evitar hacer conclusiones engañosas.
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 Los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor en diversos niveles
de los otros factores, produciendo conclusiones que son válidas sobre toda la
extensión de las condiciones experimentales.
2. Diseño factorial 22
El primer diseño de la serie 22 es aquel en el que sólo tiene dos factores, A y B, cada uno
con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial 22. Arbitrariamente, los
niveles del factor pueden llamarse “bajo” y “alto”.
Ejemplo 1:
Considérese una investigación llevada a cabo para estudiar el efecto que tiene la
concentración de un reactivo y la presencia de un catalizador sobre el tiempo de reacción
de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el factor A con dos niveles de
interés, 15% y 25%. El catalizador constituye el factor B; el nivel alto o superior denota el
uso de dos sacos de catalizador y el nivel bajo o inferior denota el uso de un solo saco. El
experimento se realiza (“replica o repite”) tres veces, y los datos son como sigue:
Factor Combinación de Replica
A B tratamientos I II III Total
- - A baja, B baja 28 25 27 80
+ - A alta, B baja 36 32 32 100
- + A baja, B alta 18 19 23 60
+ + A alta, B alta 31 30 29 90
En la figura siguiente se presentan gráficamente las combinaciones de tratamiento para
este diseño, el efecto de un factor se denota por la letra latina mayúscula. De este modo,
“A” se refiere al efecto del factor “A”, y “B” se refiere al efecto del factor “B”, y “AB” se
refiere a la interacción entre AB. En el diseño 22, los niveles bajo y alto de A y B se
denotan por “-“ y “+” respectivamente, en los ejes A y B. Por lo tanto, – en el eje A
representa el nivel bajo de la concentración (15%), mientras que + representa el nivel alto
(25%), y en – en el eje B representa el nivel bajo del catalizador, mientras que + denota el
nivel alto.
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b = 60(18+19+23) ab = 90(31+30+19)
Cantidad de catalizador B
Alto (2 sacos) +
bajo (1 saco) -
(1) = 80(28+25+27) a = 100(36+32+32)
- +
bajo (15%) alto (20%)
25%)
Concentracion de reactivo A
Figura 1: Combinaciones de tratamiento en el diseño factoriall
Fig. 3
Las cuatro combinaciones de tratamientos en el diseño pueden representarse por letras
minúsculas, como se muestra en la figura 3. En esta figura se aprecia que el nivel superior
de cualquier factor de una combinación de tratamientos está representado por la
presencia de la letra minúscula correspondiente, mientras que la ausencia de esta última
representa el nivel inferior del factor.
Así:
 “a” representa la combinación de tratamientos, en la que A se encuentra en el nivel
superior y B en el nivel inferior;
 “b” representa aquella en la que A se halla en el nivel inferior y B en el superior, y
 “ab” representa a ambos factores en el nivel superior.
 Por convención (1) se usa para representar a ambos factores en el nivel inferior.
 El efecto promedio de un factor se define como el cambio en la respuesta producida
por un cambio en el nivel de ese factor, promediado sobre los niveles del otro factor.
Como se ilustra en la figura 3, las letras minúsculas (1), a, b y ab también se usan para
representar los totales de las n réplicas de las combinaciones de tratamientos
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correspondientes. Ahora bien, el efecto de A en el nivel B es {a-(1)}/n. Mientras que el
nivel superior B es {ab-b}/n. Tomando el promedio de estas dos cantidades se obtiene:
El efecto promedio de B se determina a partir de su efecto en el nivel inferior de A (esto
es, {b-(1)}/n, y de su efecto en el nivel superior de A (que es igual a [ab-a]/n obteniéndose:
El efecto de la interacción AB se define como la diferencia promedio entre el efecto de A
en el nivel superior de B y su efecto en el nivel inferior de B, así:
Por otro lado se puede definir AB como la diferencia promedio entre el efecto de B en el
nivel superior de A y el efecto de B en el nivel inferior de A.
Las fórmulas para los efectos de A, B y AB pueden deducirse por otro método. El efecto
de A puede hallarse como la diferencia en la respuesta promedio de las dos
combinaciones de tratamiento en la mitad derecha (que llamaremos Y A+, puesto que es la
respuesta promedio para las combinaciones de tratamientos a las que A que se encuentra
en el nivel alto) y las dos combinaciones de tratamientos en la mitad izquierda (o Y A). Esto
es:
Este es exactamente el mismo resultado, el efecto de B se encuentra como la diferencia
entre el promedio de las dos combinaciones de tratamientos en la parte superior del
cuadrado ( Y B+) y el promedio de las dos combinaciones de tratamientos en la parte
inferior ( Y B-), o
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Finalmente el efecto de interacción AB es el promedio de las combinaciones de
tratamientos en la diagonal de derecha a izquierda del cuadrado ab y (1) menos el
promedio de las combinaciones de tratamientos en la diagonal de izquierda a derecha (a y
b), o
Con los datos que aparecen en la figura 1, las estimaciones de los efectos promedio son:
El efecto de A (concentración de reactivo) es positivo; esto sugiere que al elevar A del
nivel bajo (15%) al nivel alto (25%) incrementará el rendimiento. El efecto de B
(catalizador) es negativo; esto sugiere que elevar la cantidad del catalizador agregada al
proceso reducirá el rendimiento. Al parecer, el efecto de interacciones es pequeño
comparado con los dos efectos principales.
En muchos experimentos que implican diseños 2K se examina la magnitud y la dirección
de los efectos de los factores para determinar cuáles variables es probable que sean
importantes. Por lo general puede emplearse el análisis de varianza para confirmar esta
interpretación. En el diseño 2k existen algunos métodos rápidos especiales para realizar
los cálculos del análisis de varianza.
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Consideremos la suma de cuadrados para A, B y AB. Obsérvese la primera ecuación que
se utiliza un contraste para estimar A, esto es:
Este contraste suele llamarse efecto total de A. A partir de la segunda y tercera ecuación,
puede apreciarse que también se utilizan contraste para estimar B y AB. Además, estos
tres contrastes son ortogonales. La suma de cuadrados de cualquiera de ellos puede
calcularse usando la siguiente ecuación:
Esta ecuación establece que la suma de cuadrados de contraste es igual al contraste
elevado al cuadrado entre el producto del número de las observaciones de cada total del
contraste por la suma de cuadrados de los coeficientes del mismo. En consecuencia, se
obtiene que las sumas de cuadrados de A, B y AB sean:
Con los datos de la figura 1, las sumas de cuadrados se pueden calcular aplicando las
ecuaciones anteriores, obteniéndose:
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La suma total de cuadrados se determina de la manera usual mediante:
En general SST tiene 4n –1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error, con 4(n-
1) G.L. se puede calcular en la forma usual, por diferencia, mediante.
El análisis de varianza completo se presenta en la tabla siguiente. Ambos efectos
principales son significativos al 1%.
A menudo se es conveniente escribir las combinaciones de tratamientos en el orden (1),
a, b, y ab. Este orden se conoce como orden estándar. Cuando se utiliza es posible
apreciar que los coeficientes de los contrastes usados para estimar los efectos son
Efectos (1) a b Ab
A: -1 +1 -1 +1
B: -1 -1 +1 +1
AB: +1 -1 -1 +1
Tabla ANOVA para los datos del ejemplo 3.1 es la siguiente:
F. de V. S.C. G.L. C.M. F p
A 208.33 1 208.33 53.15a 0.0001
B 75.00 1 75.00 19.13a 0.0024
AB 8.33 1 8.33 2.13 0.1826
Error 31.34 8 3.92
Total 323.00 11
a
significativo al 1%
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Signos algebraicos para calcular los efectos en un diseño 22
Combinación de Efecto Factorial
Tratamientos I A B AB
(1) + - - +
a + + - -
b + - + -
ab + + + +
Observe que los coeficientes de los contrastes usados para estimar la interacción son
iguales al producto de los coeficientes correspondientes a los dos efectos principales. Los
coeficientes de los contrastes siempre son +1 o –1 y se puede usar una tabla de signos
positivos y negativos como la mostrada en la de signos algebraicos para determinar el
signo apropiado de cada combinación de tratamientos. En el encabezado de las columnas
de tabla se encuentran los efectos principales (A y B), la interacción AB, e I, que
representa el total el total o el promedio de todo el experimento. Se observa que la
columna encabezada por I se compone de solo de signos positivos. Los renglones
corresponden a las combinaciones de tratamientos.
Para encontrar un contraste con el fin de estimar cualquier efecto, simplemente se
multiplican los signos de la columna apropiada de la tabla por la correspondiente
combinación de tratamientos, y se suma. Por ejemplo, el contraste para estimar A es -(1)
+ a – b + ab, lo cual concuerda con la ecuación.
Los tipos más sencillos de diseños factoriales implican sólo dos factores o conjuntos de
tratamientos. Haya “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B,dispuestos en un
diseño factorial; esto es, cada A repetición o réplica del experimento contiene todas las
combinaciones de tratamiento ab. En general, hay nrepeticiones.
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