Este documento describe los diseños factoriales 2k, donde k factores se estudian cada uno a 2 niveles. Explica que un diseño 22 estudia 2 factores y permite estimar sus efectos principales y su interacción. Un diseño 23 estudia 3 factores y permite estimar efectos principales, interacciones dobles y triples. Los diseños 2k con más factores estiman más efectos pero usualmente se asume que las interacciones de orden superior a 2 son despreciables.

2. Un experimento 2k proporciona el menor número de ensayos
con los cuales se pueden estudiar k factores en un diseño
factorial completo.
Existen varios casos especiales del diseño factorial, pero el
más importante de todos ocurre cuando se tienen k factores,
cada uno de ellos a dos niveles (22 es el factorial más
pequeño).
Debido a que sólo hay dos niveles para cada factor,
asumimos que la respuesta es aproximadamente lineal en el
rango de los niveles elegidos de los factores.
El efecto de un factor se define como el cambio en la
respuesta que produce un cambio en el nivel del factor.

3. Diseño 2k para k = 2 factores
Este diseño, es el más sencillo de la serie.
Consideramos dos factores: A y B, cada uno a 2
niveles.
Normalmente consideramos estos niveles como los
niveles alto y bajo del factor ojtet El diseño 22 puede
ser representado geométricamente como un
cuadrado con 4 ensayos.

4. Para cualquier diseño 2k con n replicas, la estimación del
efecto y de los cuadrados se estiman de la siguiente forma:
Efecto = Contraste/n2K-1
SSx = [Contraste]2/n2k
Los efectos de interés en el diseño 22, son los efectos
principales de A y B y la interacción AB.
Estimaremos cada uno de los efectos de la siguiente forma:
A = [a+ab-b-(1)]/2n
B = [b+ab-a-(1)]/2n
AB = [ab+(1)-a-b]/2n

5. Las cantidades entre corchetes en las ecuaciones
anteriores se llaman contrastes. Podemos utilizar los
contrastes para calcular las sumas de cuadrados
para A, B y la interacción AB.
SSA = [a+ab-b-(1)]2/4n
SSB = [b+ab-a-(1)]2/4n
SSAB = [ab+(1)-a-b]2/4n

6. SIGNOS ALGEBRAICOS PARA CALCULAR LOS
EFECTOS DEL DISEÑO 22
Comb.
Tratamiento
s
I A B AB
(1) + - - +
a + + - -
b + - + -
ab + + + +

7. TABLA DE ANOVA DISEÑO 22
Fuente de
Variación
Suma de
Cuadrados
Grados de
libertad
Cuadrado
Medio
FO
Tratamiento A SSA a-1
MSA = SSA /
a-1
MSA / MSE
Tratamiento B SSB b-1
MSB = SSB
/b-1
MSB/MSE
Interacción
AB
SSAB (a-1)(b-1)
MSA = SSAB
/ (a-1)(b-1)
MSAB/MSE
Error SSE ab(n-1)
Total SST abn - 1
MSE = SSE /
ab(n-1)
La SSE (Suma de cuadrados del Error) la obtendremos por diferencia, respecto
a la SST

8. Diseño 2k para k = 3 factores
Es un diseño de 3 factores, cada uno a 2 niveles y
consta de 8 combinaciones. Geométricamente el diseño
es un cubo, cuyas esquinas son las 8 combinaciones.
Este diseño permite estimar los 3 efectos principales (A,
B, y C), las tres interacciones de dos factores
(AB,AC,BC) y la interacción de los tres factores (ABC).
La estimación de cualquier efecto principal o interacción
en un diseño 2k se determina al multiplicar las
combinaciones de tratamientos de la 1ª columna de la
tabla por los signos del correspondiente efecto principal
o columna de interacción, sumando los resultados para
obtener un contraste, y dividiendo el contraste por la
mitad del nº total de réplicas.

9. A = [a+ab+ac+abc-(1)-b-c-bc]/4n
B = [b+ab+bc+abc-(1)-a-c-ac]/4n
C = [c+ac+bc+abc-(1)-a-b-ab]/4n
AB = [abc-bc+ab-b-ac+c-a+(1)]/4n
AC = [(1)-a+b-ab-c+ac-bc+abc]/n
BC = [(1)+a-b-ab-c-ac+bc+abc]/4n
ABC = [abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)]/4n

10. SIGNOS ALGEBRAICOS PARA CALCULAR LOS
EFECTOS DEL DISEÑO 23
Comb.
Tratam
ientos
I A B AB C AC BC ABC
(1) + - - + - + + -
a + + - - - - + +
b + - + - - + - +
ab + + + + - - - -
c + - - + + - - +
ac + + - - + + - -
bc + - + - + - + -
abc + + + + + + + +

11. TABLA DE ANOVA DISEÑO 23
Fuente de
Variación
Suma de
Cuadrados
Grados de
Libertad
Cuadrado
Medio
F0
Tratamiento A SSA a-1 MSA = SSA/a-1 MSA/MSE
Tratamiento B SSB b-1 MSB = SSB/b-1 MSB/MSE
Tratamiento C SSC c-1 MSC =SSC/c-1 MSC/MSE
Interacción AB SSAB (a-1)(b-1)
MSAB = SSAB/(a-
1)(b-1)
MSAB/MSE
Interacción AC SSAC (a-1)(c-1)
MSAC=SSAC/(a-
1)(c-1)
MSAC/MSE
Interacción BC SSBC (b-1)(c-1)
MSBC =SSBC/(b-
1)(c-1)
MSBC/MSE
Interacción ABC SSABC (a-1)(b-1)(c-1)
MSABC
=SSABC/(a-1)(b-
1)(c-1)
MSABC/ME
Error SSE abc(n-1)
Total SST abcn-1
MSE
=SSE/abc(n-1)
Eliminaremos la interacción triple ABC, por lo que tendremos un grado de
libertad más para el error.

12. Diseño 2k con una réplica
Si aumentamos el número de factores en un
experimento factorial, también aumenta el
número de efectos que pueden ser estimados.
Así un experimento 24 tiene 4 efectos principales,
6 interacciones dobles, 4 triples, y 1 cuádruple.
La mayoría de las veces las interacciones de
orden superior a dos son despreciables.

13. En experimentos factoriales 2k,con un k=3,4,5 o
superior es común efectuar una sola replica,
despreciar las interacciones de orden superior a
dos, y de estos modo poder utilizar los grados de
libertad de dichas interacciones para la
estimación del error.
Esta forma de actuar puede conducirnos a
decisiones erróneas si realmente alguna de
estas interacciones que son de orden superior a
dos son significativas.