El documento explica el método de diseño de experimentos de Taguchi. Describe los pasos del método, incluyendo el diseño del sistema, diseño de parámetros y diseño de tolerancias. Explica cómo Taguchi desarrolló arreglos ortogonales particulares como L4, L8, L12, etc. para experimentos con factores a dos niveles. Proporciona un ejemplo de cómo usar un arreglo L8 para analizar cinco factores que afectan la emisión de formaldehido.

1. Seis Sigma Programa de certificación de Black Belts ASQ 8. Diseño de experimentos De Taguchi, Mezclas y Diseño Central Compuesto P. Reyes / Octubre 2003

2. 8A6. Diseño de Experimentos de Taguchi

3. Diseño de experimentos de Taguchi Sugiere tres pasos que son: a) Diseño del sistema b) Diseño de parámetros c) Diseño de tolerancias De estas tres etapas, la más importante es el diseño de parámetros cuyos objetivos son: a) Identificar qué factores afectan la característica de calidad en cuanto a su magnitud y en cuanto a su variabilidad. b) Definir los niveles “optimos” en que debe fijarse cada parámetro o factor, a fin de optimizar la operación del producto y hacerlo lo más robusto posible. c) Identificar factores que no afecten substancialmente la característica de calidad a fin de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas.

4. DISEÑO DE EXPERIMENTOS Taguchi ha propuesto una alternativa no del tododiferente que se que conoce como Arreglos Ortogonales y las Gráficas Lineales. La herramienta son diseños Factoriales fraccionados, sin embargo cuando el número de factores se ve incrementado, las posibles interacciones aumentan, así como la complicaciones para identificar cuáles son las condiciones específicas a experimentar.

5. Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicación factorial fraccionada, de manera que conserva el concepto de ortogonalidad y contrastes.Un experimento factorial fraccionado es también un arreglo ortogonal . Taguchi desarrolló una serie de arreglos particulares que denominó: La (b) C a = Representa el número de pruebas o condiciones experimentales que se tomarán. Esto es el número de renglones o líneas en el arreglo. b = Representa los diferentes niveles a los que se tomará cada factor c = Es el número de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el número de columnas. Ejemplo : L4 Experimento de 2 niveles y 3 factores por lo que se requieren 4 pruebas . En la matriz se pueden observar los contrastes de cada factor , formando las columnas de los factores ; (1) significa que el factor esta a su nivel bajo (-) y (2) a su nivel alto o de signo (+).

6. Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos niveles: La. L4 L8 L12 L16 L32 L64 Número de condiciones experimentales(renglones) lineas o pruebas. Número de factores o efectos maximo que se pueden analizar y número de columnas 4 8 12 16 32 64 3 7 11 15 31 63 Ejemplo: En un proceso de formación de paneles, una característica no deseada es la emisión de formaldehido en el producto final. Se cree que 5 factores pueden estar afectando la emisión, éstos son : Se desea analizar el efecto de cada factor y proponer las mejores condiciones de operación. En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5 factores o efectos, a dos niveles cada uno. Por lo tanto, se utilizará un arreglo ortogonal L8.

7. Se ejecutarán por lo tanto 8 pruebas o condiciones experimentales, ¿ A qué columna especificamente se asignará cada factor?, en estos casos se pueden asignar a cualquier columna, aunque se recomienda que aquellos factores que en la practica sea más dificil de variar de nivel continuamente, sean los que se asigne a las primeras columnas. El arreglo L8 y su descripción para este caso se muestra a continuación:

8. Observe que los factores Resina, concentración, tiempo, humedad y presión fueron asignados en orden a las columnas A, B, C, D, y E. En las columnas restantes, F y G no se asignó ningún factor y nos ser- virán para tener una estimación del error aleatorio. Esto se explica porque con ocho observaciones tenemos siete grados de libertad, como estamos interesados únicamente en cinco factores quedan dos grados de libertad para el error aleatorio. El análisis de variancia de los resultados es: A1 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 1 = 0.49 + 0.42 + 0.38 + 0.30 = 1.59 A2 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 2 = 0.21 + 0.24 + 0.32 + 0.28 = 1.59 SSA = Suma de cuadrados debido al factor A SSA = (A2 - A1) 2 /8 = 0.3645 con 1 g.l Similarmente : SSB = (B2 - B1)sq/8= 0.00080 con 1g.l SSC = (C2 -C1)sq/8 = 0.01805 con 1g.l SSD = (D2 -D1)sq/8= 0.00320 con 1g.l SSE = (E2 - E1)sq/8= 0.00245 con 1g.l Sse1 = (F2 - F1)sq/8= 0.00080 con 1g.l, 1a. Columna de error F Sse2 = (G2 -G1)sq/8= 0.00045 con 1g.l 2a. Columna de error G Las sumas de cuadrados de las columnas donde no se asignó factor se toman como asignaciones del error, en este caso SSF y SSG se consideran como error y se obtiene: Sse = SSF + SSG = 0.00080 + 0.00045 = 0.00125 con 2g.l.

9. La tabla ANOVA es : * significante al nivel 5% ya que F0.05 (1,2) = 18.51 ** significante al nivel 10% ya que F0.10 (1,2) = 8.16 Nota : No se incluye en esta tabla específicamente la suma de cuadrados del promedio o media. El error total es la suma de cuadrados total corregida por el factor de corrección. Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se consideren como error aleatorio a fin de obtener una mejor estimación del error aleatorio, (con mayor número de grados de libertad).

10. En éste caso, por ejemplo, la estimación de Sse es : Sse = SSB + SSD + SSE + Sse = 0.00080 + 0.00320 + 0.00245 + 0.00125 = 0.0077 Con , 1 + 1 + 1 + 2 = 5 grados de libertad. Y (Ve) = (Sse) /5 = 0.0077 / 5 = 0.00154 Al nivel 5%, el valor crítico de tablas es F 0.05 (1,5) = 6.607877 Las estimaciones que se obtienen de esta forma se suelen escribir entre paréntesis. Fc para el factor (A ) = 23.66 y Fc para el factor (C) = 11.72, comparando ambos contra Fcrítico = 6.6, continuan siendo significativos los factores A y C Los promedios de la emisión de Formaldehido para cada nivel son:

11. Diseños de experimentos - Taguchi El promedio global es _ Y = (0.3975+ 0.34+ 0.3775+ 0.35 + 0.3475+ 0.2625+ 0.32+ 0.31+0.3125)/ 10 = 0.33 Sí únicamente los factores A y C son significativos, estos factores deberán fijarse al nivel que minimice la emisión de Formaldehido, ésto es A2 y C2; resina tipo II y 15 segundos como tiempo de prensado. El resto de los factores se fijará a su nivel más económico, ya que no afectan la característica de calidad dentro del intervalo analizado ¿Cuál será el nivel esperado de emisión ?, el efecto de cada factor respecto al promedio general es: EF A = A2 - Y = 0.2665 - 0.33 = -0.06435 EF C = C2 - Y= 0.2825 - 0.33 = -0.0475 Y el efecto estimado bajo las condiciones A2 y C2 es EF A + EF C + Y = -0.0635 - 0.0475 + 0.33 = 0.219

12. Diseños de Taguchi Si las lecturas no siguen un orden secuencial, o se toman en otra prueba bajo las mismas condiciones se le conoce como “Replica”. Taguchi considera dos tipos de error aleatorio con lecturas multiples: Error Primario. (e1). Error que existe entre las diferentes condiciones de experimentación, aparte del efecto de los factores en si. Es decir lo que hace diferentes a las lecturas bajo diferentes condiciones de experimentación. Error Secundario (e2). Aquel que hace diferentes las lecturas tomadas bajo una misma condición experimental. Cuando se toma una lectura no es posible evaluar el error secundario. 1 2 3 Lecturas

13. Ejemplo : Considere que el acabado superficial de un proceso de maquinado, medido en picos/plg. Se puede ver afectado por cinco factores que son: Dado que se tienen 5 factores, se necesitan por lo menos 5 grados de libertad, se usará por lo tanto un arreglo ortogonal . Los factores se asignarán en orden, a las primeras cinco columnas .

14. La suma de cuadrados del total es: SST =  Yi 2 - T 2 / n donde  Yi 2 es la suma de lecturas individuales al cuadrado. n es el número de lecturas y T es el total de las Yi’s. Para este caso : 2 2 2 2 2 2 2 SST = 15 + 17 + 18 +…………..17 + 16 + 18 - 463/24 SST = 278.9584 con 24 - 1 grados de libertad. El error secundario se calcula individualmente Sse 2 = Y1 2 + Y2 2 + Y3 2 - T 2 i / ni Por ejemplo para el experimento i = 1 se tiene: Sse 2 = 15*15 + 17*17 + 18*18 - (15 + 17 + 18) 2 / 3 = 4.6666 Y así se continua para cada uno de los restantes 7 experimentos obteniéndose la tabla de la página siguiente.

15. 1 4.6667 2 0.6667 3 4.6667 4 2.6667 5 4.6667 6 24.6667 7 4.6667 8 2.000 Condición SSe2 El error primario es localizado en las columnas F y G ¿por que?. SSe1 = SSeF + SSeG SSe1 = 4.08334 con 2 grados de libertad La suma de cuadrados de los factores se calcula de la misma manera que ya se conoce. SSA = (A2 -A1) 2 / n y así sucesivamente para todas las columnas, SSA = 26.04167, SSB = 5.04167……... Finalmente recordemos que suma de cuadrados del error primario, secundario, primario y de los efectos es igual a la suma de cuadrados total 278.9586. Total SSe2 = 48.669

16. Reglas de Análisis: 1.-Antes de la ANOVA el primer críterio es probar el error 1 e1 vs. el error 2 e2. Sí no resulta significante se adicionan y se obtiene una estimación del error aleatorio “e”, contra el que se prueban todos los demás factores. 2.- Sí el error 1 es significativo, entonces todos los factores se prueban contra el. 3.- Realizar la ANOVA. Prueba de e1 vs e2 Fexp = e1/e2 = 4.08334/2 / 48.666/16 Fexp para e1 = 0.6712 con 2 gL en el numerador y 16 en el denominador. El F de tablas con (0.05, 2, 16) = 3.63; por lo tanto los errores se suman 4.08334 + 48.6667 = 52.7500 La tabla ANOVA queda como: Dado que F tablas con (0.05, 1, 18) = 4.41 , sólo los efectos A y C son significantes al nivel del 5%. Sólo lubricante y ángulo de corte

17. Nota: Sí las lecturas provienen de “Replicas”, no se puede diferenciar el error 1 y 2, por lo que se adicionan sin más tramites. Regla del pulgar . Sí la Fc = Fexp. es menor a 2, no es significante . Arreglos con Interacciones. Al analizar una característica de calidad con n factores se tiene la posibilidad de que interactuen entre si y se afecten positiva o negativamente. En ese caso la interacción pasa a ocupar una columna en los arreglos ortogonales, como si fuera otro factor. Se deberá tener cuidado especial, en la manera como se asignan las columnas, para que sus interacciones no se confundan con otros factores principales. Gráficas Lineales. Para ayudar en la asignación de factores en las columnas de un arreglo G. Taguchi diseñó las gráficas lineales cuyo objetivo es simplificar el diseño del experimento y evitar patrones indeseables de confusión.

18. A B C Gráficas lineales para el arreglo ortogonal L8

19. A La matriz triangular las columnas están remarcadas, las interacciones forman la parte interior del triangulo. Como ejemplo, sí asignamos el factor A en la columna 3 y el factor B en la columna 5, la interacción AxB aparecerá en la en la intersección de las columnas, el número 6. B En esta gráfica se observa el arreglo de tres factores ( 1,2 y 4) y la interacción entre ellos líneas 3, 5 y 6. C En esta gráfica se indican cuatro factores (puntos 1,2,4 y 7) y las interacciones en las lineas 3, 5 y 6. El arreglo ortogonal es exactamente el mismo, en este caso un L8.

22. A B C Resp1 Resp2 1 1 1 19.0 16.0 1 1 1 18.4 18.0 1 2 2 17.5 17.0 1 2 2 18.6 17.5 2 1 2 19.3 17.0 2 1 2 19.1 18.5 2 2 1 18.4 16.0 2 2 1 17.0 16.5 Arreglo Interno Arreglo Externo

24. Response Table for Signal to Noise Ratios Larger is better Level A B C 1 24.9490 25.1379 24.7692 2 24.9302 24.7412 25.1099 Delta 0.0188 0.3967 0.3408 Rank 3 1 2 Response Table for Means Level A B C 1 17.750 18.1625 17.4125 2 17.725 17.3125 18.0625 Delta 0.025 0.8500 0.6500 Rank 3 1 2 Response Table for Standard Deviations Level A B C 1 0.98789 1.17022 1.16700 2 1.03722 0.85489 0.85810 Delta 0.04933 0.31533 0.30890 Rank 3 1 2

27. Diseños de experimentos con Mezclas Las proporciones de los componentes debe sumar la unidad

30. Aumento de puntos Minitab augments (or adds points to) the design using the axial points shown below. Each added point is half way between a vertex and the center of the design. ( (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q ) ( 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q ) ( 1/2q, 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q ) ( 1/2q, 1/2q, 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, …, 1/2q ) . . . . . . . . . . . . . . ( 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, (q+1)/2q ) By augmenting a design, you can get a better picture of what happens on the interior of the design, instead of just relying on points on the edges.

34. Corrida con Minitab Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design > choose Simplex lattice > Designs Generates settings for the components in an experiment with a simplex lattice design. You can · choose the degree of a simplex lattice design · add a center point or axial points to the interior of the design ( added by default) · replicate the design Dialog box items Degree of lattice: Choose a degree for your design from the drop-down list. Augument the design with center points: Check to add a center point to the design. Augument the design with axial points: Check to add axial points to design. See Placement of axial points in augmented designs. Replicate Design Points: Number of replicates for the whole design: Choose to replicate the whole design, then choose a number of to 50 for the number of replicates. Number of replicates for the selected types of points: Choose to replicate only certain types of design points from the base design enter the number of replicates for each point type.

35. Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design > choose Simplex centroid > Designs Generates settings for the components in an experiment with a simplex centroid design. You can · add axial points to the interior of the design (by default, Minitab adds ) · replicate the design Dialog box items Augment the design with axial points: Check to augment (or adds points to) the base design. See Placement of axial points in augmented designs. Replicate Design Points Number of replicates for the whole design: Choose to replicate the whole design, then choose a number of to 50 for the number of replicates. Number of replicates for the selected types of points: Choose to replicate only certain types of design points from the base design. Then, under Number, enter the number of replicates for each point type.

40. Regression for Mixtures: Elongación versus A, B, C Estimated Regression Coefficients for Elongación (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A 11.700 0.6037 * * 1.750 B 9.400 0.6037 * * 1.750 C 16.400 0.6037 * * 1.750 SINERGIA A*B 19.000 2.6082 7.28 0.000 1.750 ANTAGONICO A*C 11.400 2.6082 4.37 0.002 1.750 B*C -9.600 2.6082 -3.68 0.005 1.750 S = 0.85375 PRESS = 18.295 R-Sq = 95.14% R-Sq(pred) = 86.43% R-Sq(adj) = 92.43% Analysis of Variance for Elongación (component proportions) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 5 128.296 128.2960 25.6592 35.20 0.000 Linear 2 57.629 50.9200 25.4600 34.93 0.000 Quadratic 3 70.667 70.6669 23.5556 32.32 0.000 Residual Error 9 6.560 6.5600 0.7289 Total 14 134.856

41. 8A8. Análisis del diseño Simplex Minitab: Regression for Mixtures: Resp versus A, B, C Est . Regression Coefficients for Resp ( component proportions) Y=11.7X1+9.4X2+16.4 X3 + 17.4X1X2 + 12X1X3 –12.2 X2X3 Term Coef SE Coef T P VIF A 11.70 0.4941 * * 1.500 B 9.40 0.4941 * * 1.500 C 16.40 0.4941 * * 1.500 A*B 17.40 2.4207 7.19 0.000 1.500 A*C 12.00 2.4207 4.96 0.003 1.500 B*C -12.20 2.4207 -5.04 0.002 1.500 S = 0.69881 PRESS = 11.720 R-Sq = 97.44% R-Sq(pred) = 89.78% R-Sq(adj) = 95.31%

43. Análisis con Minitab – Trace Plot Stat > DOE > Mixture > Response Trace Plot A response trace plot (also called a component effects plot) shows the effect of each component on the response. Several response traces, which are a series of predictions from the fitted model, are plotted along a component direction. The trace curves show the effect of changing the corresponding component along an imaginary line (direction) connecting the reference blend to the vertex. Each component in the mixture has a corresponding trace direction. The points along a trace direction of a component are connected thereby producing as many curves as there are components in the mixture. Response trace plots are especially useful when there are more than three components in the mixture and the complete response surface cannot be visualized on a contour or surface plot. You can use the response trace plot to identify the most influential components and then use them for a contour or surface plot.

48. Salida del Optimizador Minitab

50. Simplex Design Plot

51. Ecuación de regresión Estimated Regression Coefficients for Ymillas/ga (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A 24.744 0.3225 * * 1.548 B 24.311 0.3225 * * 1.548 C 23.178 0.3225 * * 1.548 A*B 1.514 1.8168 0.83 0.429 1.718 A*C 1.114 1.8168 0.61 0.557 1.718 B*C -1.086 1.8168 -0.60 0.566 1.718 S = 0.46528 PRESS = 5.2730 R-Sq = 70.91% R-Sq(pred) = 11.44% R-Sq(adj) = 52.74%

52. Response Surface plot

53. Gráfica de contornos

54. Salida del optimizador

55. 8B1. Diseños de superficie de respuesta

57. 9B1. Trayectoria de ascenso rápido 80.3 Orig.+8  8 3.36 75 173 70.4 Orig.+9  9 3.78 80 175 77.6 Orig.+10  10 4.20 85 177 Orig.+11  11 4.62 90 179 76.2 Orig.+12  12 5.04 95 181 75.1

58. 8B1. Trayectoria de ascenso rápido Respuesta Pasos

60. 8B2. Diseño central compuesto Puntos axiales en 1.414 Réplicas en (0,0) para el error puro

61. 8B2. Diseño central compuesto del Proceso codificadas Rendimiento Corrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y2 1 80 170 -1 -1 76.5 2 80 180 -1 1 77.0 3 90 170 1 -1 78.0 4 90 180 1 1 79.5 5 85 175 0 0 79.9 6 85 175 0 0 80.3 7 85 175 0 0 80.0 8 9 85 85 175 175 0 0 0 0 79.7 79.8 10 11 12 13 92.07 77.93 85 85 175 175 182.07 167.93 1.414 -1.414 0 0 0 0 1.414 -1.414 78.4 75.6 78.5 77.0

62. 8B2. Diseño central compuesto Estimated Regression Coefficients for Y Term Coef SE Coef T P Constant 79.940 0.11896 671.997 0.000 A 0.995 0.09405 10.580 0.000 Si P<0.05 son signif. B 0.515 0.09405 5.478 0.001 A*A -1.376 0.10085 -13.646 0.000 B*B -1.001 0.10085 -9.928 0.000 A*B 0.250 0.13300 1.880 0.102 Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 5 28.2478 28.2478 5.64956 79.85 0.000 Linear 2 10.0430 10.0430 5.02148 70.97 0.000 Square 2 17.9548 17.9548 8.97741 126.88 0.000

64. 8B2. Diseño central compuesto

65. 8B2. Diseño central compuesto Localización del punto óptimo