Calor y Ondas

1. MOVIMIENTO CIRCULAR
DOCENTE: ANA CRISTINA ALVARADO REYES
2019 I

2. ÍNDICE
• Cinemática del movimiento lineal
• Posición
• Velocidad
• Aceleración
• Movimiento circular
• Posición angular
• Velocidad angular
• Aceleración angular
• Relación entre movimiento lineal y angular
• Ejercicios

3. MOVIMIENTO LINEAL
• Tres dimensiones
• Vector posición: indica la posición de un cuerpo
en el espacio respecto a un sistema de
referencia inercial.
𝑟(𝑡) = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧(𝑡))
• Vector velocidad: indica el cambio respecto al
tiempo de la posición.
• Media: 𝑣 =
∆𝑟
∆𝑡
∆𝑟 = 𝑟(𝑡𝑓) − 𝑟(𝑡𝑖) vector desplazamiento
• Instantánea 𝑣 𝑡 =
𝑑𝑟(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
,
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
,
𝑑𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑣𝑥 𝑡 , 𝑣𝑦 𝑡 , 𝑣𝑧(𝑡)
El vector velocidad instantánea es paralelo a la trayectoria en todo punto.

4. • Vector aceleración: indica el cambio de la velocidad en el tiempo
• Media: 𝑎 𝑡 =
∆𝑣
∆𝑡
∆𝑣 = 𝑣(𝑡𝑓) − 𝑣(𝑡𝑖) Incremento de la velocidad
• Instantánea: 𝑎 𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
,
𝑑𝑣𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
,
𝑑𝑣𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑎𝑥 𝑡 , 𝑎𝑦 𝑡 , 𝑎𝑧 𝑡

5. • En una dimensión – movimiento rectilíneo (sobre el eje x)
• Rapidez media: 𝑣 =
𝐷
∆𝑡
; 𝐷 distancia total recorrida
• Velocidad media: 𝑣𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
; ∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 desplazamiento
• Velocidad instantánea: 𝑣 =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
; 𝑥(𝑡)
Ejemplo
Una persona camina sobre una recta, eje x, y recorre 230m en tres minutos, luego,
gira, cambiando el sentido de movimiento, y recorre 100m en un minuto.
La persona parte del origen de la recta. ¿Cuál fue la distancia recorrida? ¿Cuál fue el
desplazamiento?
D=330m
∆𝑥 =130m
Rapidez media: 𝑣 =
330𝑚
240𝑠
= 1,37𝑚/𝑠
Velocidad media: 𝑣 =
130𝑚
240𝑠
= 0,54𝑚/𝑠
posición sobre el eje x en un instante dado

6. • Aceleración media: 𝑎𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
∆𝑣 = 𝑣𝑓 −𝑣𝑖 incremento de velocidad
• Aceleración instantánea: 𝑎 =
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
Las cantidades medias se evalúan en un intervalo de tiempo finito, las
cantidades instantáneas en un instante de tiempo.
Si el cuerpo se mueve hacia el eje x positivo su velocidad instantánea es positiva
o tiene dirección 𝑖, si el cuerpo se mueve hacia el eje x negativo su velocidad
instantánea es negativa o tiene dirección −𝑖.
Si la velocidad cambia y tiene el mismo signo que la aceleración en un intervalo
dado de tiempo, la rapidez (módulo de la velocidad instantánea) aumenta.
Si la velocidad cambia y tiene signo contrario a la aceleración en un intervalo
dado de tiempo, la rapidez disminuye.

7. • Movimiento con velocidad constante
Se recorren distancias iguales en tiempos iguales.
La velocidad media es igual a la instantánea para cualquier intervalo de tiempo.
Como la velocidad es constante la aceleración es cero.
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣𝑡
La distancia recorrida en
el tiempo tf es igual al
área bajo la curva (área
del rectángulo)

8. • Movimiento con aceleración constante
La tasa de cambio de la velocidad con el tiempo es una constante.
La rapidez aumenta o disminuye proporcionalmente con el tiempo.
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑣2 = 𝑣0
2
+ 2𝑎∆𝑥
a
a

9. Movimiento circular
• Movimiento cuya trayectoria es una circunferencia.
• Posición angular (Θ): grados, en radianes, que ha recorrido el radio vector o
vector posición, 𝑟, desde el eje x (si la circunferencia se centra en un plano
cartesiano).
Se determina la dirección de rotación positiva cuando el
cuerpo avanza sobre la circunferencia en sentido antihorario.
Posición angular positiva: giro antihorario.
Posición angular negativa: giro horario.
𝑟

10. • Velocidad angular media: desplazamiento angular sobre el intervalo de tiempo
𝜔𝑚 =
∆𝜃
∆𝑡
; ∆𝜃 = 𝜃2 − 𝜃1
• Velocidad angular instantánea o velocidad angular: es el límite de
la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
𝜔(𝑡) =
𝑑𝜃(𝑡)
𝑑𝑡
Si la velocidad angular es positiva el cuerpo está girando
en sentido antihorario, y si es negativa está girando en sentido
horario.
• Rapidez angular: módulo de la velocidad angular (media o
instantánea)
𝜃𝑖 es la posición angular en el tiempo 𝑡𝑖
Si el cuerpo se mueve sobre
una circunferencia centrada
en el punto (0,0) del plano xy,
entonces gira alrededor del
eje z.

11. • Aceleración angular media: incremento de la velocidad angular sobre el
intervalo de tiempo.
𝛼𝑚 =
∆𝜔
∆𝑡
; ∆𝜔 = 𝜔2 − 𝜔1 𝜔𝑖 es la velocidad angular en el tiempo 𝑡𝑖
• Aceleración angular instantánea o aceleración angular: límite de la
aceleración angular media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
𝛼 𝑡 =
𝑑𝜔 𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑2𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2
Cuando la velocidad angular tiene el mismo signo que la aceleración angular,
la rapidez angular se incrementa; y cuando la velocidad angular tiene signo
contrario a la aceleración angular, la rapidez angular disminuye.
En el SI las unidades de las magnitudes angulares son:
𝜔 = 𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝛼 = 𝑟𝑎𝑑
𝑠2
El radián es adimensional, sin embargo, se
escribe junto a cantidades angulares para
distinguirlas de otras dadas en grados
sexagesimales y demás unidades de ángulos.

12. • Movimiento circular con velocidad angular constante:
se recorren ángulos iguales en tiempos iguales.
La velocidad angular media es igual a la velocidad angular.
𝜔𝑚 =
∆𝜃
∆𝑡
𝜃(𝑡) = 𝜃0 + 𝜔𝑡
𝜔 = 2𝜋𝑓 =
2𝜋
𝑇
T = 𝑠
f = 𝐻𝑧
• Movimiento circular con aceleración angular constante:
la tasa de cambio de la velocidad angular es constante
La aceleración media es igual a la aceleración angular.
𝛼𝑚 =
∆𝜔
∆𝑡
ω 𝑡 = 𝜔0 + 𝛼𝑡
𝜃 𝑡 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +
1
2
𝛼𝑡2
𝜔2 = 𝜔0
2
+ 2𝛼∆𝜃
T período: tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta.
f frecuencia: número de vueltas por unidad de tiempo.
EJERCICIOS
http://virtual2.umng.edu
.co/moodle/mod/book/vi
ew.php?id=324365

13. La velocidad angular y la aceleración angular son vectores
perpendiculares al plano de movimiento.
Sentido de movimiento antihorario
Sentido de movimiento horario
𝜔 = 𝜔𝑘
𝜔 = −𝜔𝑘
¿Cuáles serán las direcciones
de la aceleración angular
a) para el caso de aumento
de la rapidez angular y
b) para el caso en que
disminuya la rapidez
angular?

14. • Relación entre cantidades angulares y cantidades lineales
• Velocidad lineal
𝑠 = 𝑟𝜃
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑣 = 𝑟𝜔 Rapidez lineal
La dirección de la velocidad lineal es tangente
en todo punto a la circunferencia
𝑣 = 𝑟𝜔𝜃
• Aceleración lineal
𝑎 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑣 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑟𝜔𝜃 = 𝑟
𝑑𝜔
𝑑𝑡
𝜃 + 𝑟𝜔
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 𝑟𝛼𝜃 − 𝑟𝜔2
𝑟
Siendo
𝑎𝑡 = 𝑟𝛼𝜃 aceleración tangencial
𝑎𝑐 = −𝑟𝜔2𝑟 aceleración centrípeta
𝑣

15. • EJERCICIOS
• Una rueda de bicicleta de radio 36,0cm, gira con rapidez angular de 76,0rpm.
Si la bicicleta tarda 1,30s en detenerse a partir de esta rapidez, calcule la
aceleración angular. Calcular la rapidez lineal de la bicicleta después de
0,800s.
• Una hoja de sierra circular de 0,200m de diámetro, parte del reposo y acelera
hasta alcanzar una rapidez angular de 140rad/s en 6,00s. Calcular la
aceleración angular y el ángulo recorrido.
• Para obtener una rapidez de 25km/h en una bicicleta con ruedas de radio
36,0cm, radio de disco trasero de 2,50cm y radio de plato delantero de
9,00cm, ¿con qué rapidez angular debe girar el plato delantero?
• Una centrifugadora de laboratorio gira con una rapidez angular de 3600rpm.
Cuando se apaga, gira 60 veces antes de detenerse. Calcular la aceleración
angular constante de la centrifugadora.

16. • Tres discos que están en contacto, sobre el mismo plano, giran alrededor
de su eje principal. No hay deslizamiento entre los bordes. Si el disco 3
completa una vuelta en 30s:
• A) ¿Cuál es la rapidez angular del disco de radio 𝑅3?
• B) ¿Cuáles son las rapideces lineales de los puntos
que están los bordes de los discos?
• C) ¿Cuáles son las rapideces angulares?
• D) Si el disco 1 acelera a 0,10rad/𝑠2
,
¿cuáles son las aceleraciones angulares de
los discos 2 y 3?
A) 𝜔3 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
30𝑠
= 0,21𝑟𝑎𝑑/𝑠
B) Como no hay deslizamiento en los puntos de contacto,
la rapidez lineal de los puntos de los bordes es la misma.
𝑣3 = 𝑅3𝜔3 = 0,21𝑚/𝑠
𝑣1 = 𝑣2 = 𝑣3
𝑅1
𝑅2
𝑅3
1
2
3

17. C) 𝜔2 =
𝑣2
𝑅2
= 0,42𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔1 =
𝑣1
𝑅1
= 2,1𝑟𝑎𝑑/𝑠
Al disminuir el radio a la mitad, se duplica la rapidez angular.
Al disminuir el radio a una décima parte, la rapidez angular se multiplica por
diez.
D) Si 𝛼1 = 0,10 𝑟𝑎𝑑/𝑠2, entonces
𝑎𝑡1 = 𝑅1𝛼1 = 0,010𝑚/𝑠2
La aceleración tangencial de los puntos de los bordes es la misma
𝑎𝑡1 = 𝑎𝑡2 = 𝑎𝑡3 = 0,010𝑚/𝑠2
𝛼2 =
𝑎𝑡2
𝑅2
= 0,020𝑟𝑎𝑑/𝑠2
𝛼3 =
𝑎𝑡3
𝑅3
= 0,010𝑟𝑎𝑑/𝑠2

18. • Un disco de radio 1,00m gira alrededor de su eje principal. En un instante dado la magnitud de la
aceleración lineal de los puntos del borde es de 25,0m/𝑠2
y su dirección es tal que el vector aceleración
forma un ángulo de 50,0° con el radio vector.
Encuentre las componentes tangencial y centrípeta
de la aceleración.
¿Cuál es la rapidez lineal de los puntos en ese
instante?
𝑎𝑡 = 𝑎 sin 𝜃 = 19,1𝑚/𝑠2
𝑎𝑐 = 𝑎 cos 𝜃 = 16,1𝑚/𝑠2
Rapidez lineal en ese instante
𝑎𝑐 = 𝑅𝜔2
=
𝑣2
𝑅
𝑣 = 𝑅𝑎𝑐 = 4,01𝑚/𝑠
𝑎𝑡
𝑎𝑐