El documento describe los conceptos fundamentales de momento angular y movimiento giroscópico. Define el momento angular como una cantidad vectorial relacionada con la posición y cantidad de movimiento de una partícula. Explica que el momento angular de un sistema es la suma de los momentos angulares individuales y que está relacionado con la torsión externa. También describe la inercia rotacional, precesión y rigidez espacial como propiedades clave del movimiento giroscópico.

1. • Nombre: Manuel León Piña
• C.I :26182466
Momento Angular

2. El momento angular de una partícula 𝒍 respecto al
origen O es la cantidad vectorial definida como:
𝒍 = 𝒓 𝑥 𝒑 = 𝑚(𝒓𝑥 𝒗)
donde r es el vector posición de la partícula con
respecto a O. Para determinar la magnitud de 𝒍
empleamos la siguiente ecuación:
𝑙 = 𝑟𝑚𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃
donde 𝜃 es el ángulo más pequeño entre 𝒓 y 𝒑.

3. Momento Angular de un sistema
de Partículas
El momento angular de un sistema de partículas 𝑳está
definido como la suma de los momentos angulares de las
partículas individuales que lo conforman:
𝑳 = 𝑳 𝑖

4. Momento Angular y Torca
Por otro lado, la suma vectorial de todas las torcas
externas 𝝉, que actúan sobre un sistema de partículas es igual
a la velocidad de cambio del momento angular total del
sistema:
𝜏 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
Cuando el cuerpo es rígido y rota alrededor de uno de sus ejes
principales, se cumple la siguiente igualdad:
𝐿 = 𝐼𝜔
Donde 𝜔 es la velocidad angular del cuerpo al rotar
alrededor de ese eje. E 𝐼 es el momento de inercia del cuerpo.

5. Momento de Inercia
El momento de inercia del cuerpo I que se define de la
siguiente manera:
𝐼 = 𝑚𝑖𝑟𝑖2
Donde 𝑚𝑖 es la masa de una partícula que forma parte del
sistema y 𝑟𝑖 su distancia al eje de rotación. El momento de inercia
de un cuerpo depende del eje en torno al cual está girando, así
como de la manera en que está distribuida su masa, y desempeña el
papel de “masa” en las ecuaciones rotacionales.
Para cuerpos rígidos:
𝐼 = 𝑟2 𝑑𝑚
𝑟 es la distancia del diferencial de masa (dm) al eje de rotación.

6. Conservación del momento angular
Si la suma de torcas externas es cero, entonces el
momento angular del sistema se conserva, sin importar
qué cambios se efectúen en el sistema. Por lo tanto, si el
cuerpo rota alrededor de uno de sus ejes principales,
tenemos la siguiente ecuación:
𝐼𝑖 𝜔𝑖 = 𝐼𝑓 𝜔 𝑓
Donde los subíndices se refieren a los valores de la
inercia rotacional y a la velocidad angular antes y
después de la redistribución de masa.

7. Cinemática Rotacional
La energía cinética rotacional de un cuerpo con inercia
rotacional I y velocidad angular ω:
𝐾 =
1
2
𝐼𝜔2
Y el torque es:
𝝉 = 𝒓 𝑥 𝑭
Además:
𝝉 𝒆𝒙 = 𝑰 ∝

8. Ejemplo
Juan que tiene una masa de 62Kg, un torso de 40cm
de ancho, se sube a una rueda giratoria en un parque
infantil. Un amigo, lo pone a girar con los brazos
extendidos y bolas de acero de 1.5 kg masa en cada
mano. Para determinar un aproximado de su inercia
rotacional, su cuerpo se aproxima como un cilindro. La
longitud de cada uno de sus brazos es 65cm. Si el
periodo de la rueda es 6 segundos cuando Juan tiene
los brazos extendidos, si inmediatamente recoge los
brazos, ¿cual es su velocidad angular, con los brazos
extendidos y con los brazos recogidos?.

9. Solución
El momento de inercia para un cilindro es
1
2
𝑀𝑅2
, donde M es la
masa del integrante y R es la mitad del ancho de su torso. De modo que:
El momento de inercia con los brazos extendidos:
𝐼𝑖 = 𝐼𝐽𝑢𝑎𝑛 + 𝐼 𝑃𝑒𝑠𝑎𝑠𝑖
=
1
2
𝑀𝑅2
+ 2𝐵ℎ2
El momento de inercia con los brazos contraídos:
𝐼𝑓 = 𝐼𝐽𝑢𝑎𝑛 + 𝐼 𝑃𝑒𝑠𝑎𝑠 𝑓
=
1
2
𝑀 + 2𝐵 𝑅2
donde B es la masa de una bola de acero y h es la longitud del brazo.

10. Como:
𝑇 =
2𝜋
𝜔
⇒ 𝜔 =
2𝜋
𝑇
Entonces:
𝜔𝑖 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
6𝑠𝑒𝑔
𝜔𝑖 = 1,0472𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
Como no actúan torcas externas:
𝐼𝑖 𝜔𝑖 = 𝐼𝑓 𝜔 𝑓 ⇒ 𝜔 𝑓 =
𝐼𝑖
𝐼𝑓
𝜔𝑖
Sustituyendo:
𝜔 𝑓 =
1
2
𝑀𝑅2
+ 2𝐵ℎ2
1
2
𝑀 + 2𝐵 𝑅2
𝜔𝑖 =
𝑀𝑅2 + 4𝐵ℎ2
𝑀 + 2𝐵 𝑅2

11. Sustituyendo en:
𝜔 𝑓 =
𝑀𝑅2
+ 4𝐵ℎ2
𝑀 + 2𝐵 𝑅2
𝜔𝑖
Con:
M = 62Kg; R= 0,40m/2 = 0,20m; h = 0,65m; B = 1,5Kg
𝜔 𝑓 =
62𝐾𝑔 0,20𝑚 2 + 4 ∙ 1,5𝐾𝑔 0,65𝑚 2
62𝐾𝑔 + 2 ∙ 1,5𝐾𝑔 0,20𝑚 2
𝜔𝑖
𝜔 𝑓 =
5,015 𝐾𝑔 ∙ 𝑚2
2,6𝐾𝑔 ∙ 𝑚2
∙ 1,0472𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
𝜔 𝑓 = 2,019882969 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

12. Movimiento giroscópico
¿Por qué un trompo parece desafiar la ley de la gravedad? ¿Por
qué personas normales, sin habilidades de equilibristas, pueden
conducir tanto bicicletas como motocicletas sin caerse? ¿Porqué
los proyectiles que giran sobre su eje mantienen una trayectoria tan
estable? Todos estos fenómenos cotidianos, nos rodean y suceden
normalmente. Y por supuesto, al igual que todo suceso que ocurre
en la Tierra poseen una explicación física.
Todos estos hechos, implican una cierta estabilidad por parte de
cuerpos rígidos en rotación. Esta estabilidad intrínseca y otros
fenómenos pueden ser explicados gracias al efecto giroscópico.

13. Movimiento giroscópico

14. Un giróscopo es un aparato que tiene entre otros
elementos un rotor o volante giratorio que cuando está en
rotación presenta dos propiedades fundamentales, la inercia
giroscópica (una vez comunicada al rotor una rotación, esta
tiende a conservar la dirección de rotación primitiva) y la
precesión (inclinación en un ángulo recto ante cualquier
fuerza que tienda a cambiar el plano de rotación). Estas
propiedades son consecuencias de los principios de
conservación de la cantidad de movimiento y del momento
cinético y en ocasiones pueden dar lugar a curiosos
movimientos de los cuerpos.

15. Elementos del movimiento Giroscópico
La rigidez en el espacio es la tendencia que tienen todos
los cuerpos en rotación a seguir girando en el mismo plano y
sobre el mismo eje.
La precesión es el movimiento generado al cambiar la
orientación del eje (o plano) de rotación, producto de una fuerza
externa que actúa perpendicular a la variación.

16. Para el análisis consideremos la
siguiente figura

17. Análisis
Este fenómeno se relaciona el momento de torsión neto que actúa sobre un
cuerpo y la razón a la que cambia el momento angular del cuerpo, dada por la
ecuación:
𝜏 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
Cuando el volante gira alrededor de su eje de simetría, Li está a lo largo
del eje. Cada cambio del momento angular dL es perpendicular al eje, porque
el momento de torsión 𝜏 = 𝑟 × 𝜔 también lo es. Esto hace que cambie la
dirección de L, pero no su magnitud. Los cambios dL siempre están en el
plano horizontal x-y, así que el momento angular y el eje del volante con el que
se mueve siempre son horizontales. Es decir, el eje no se cae, tiene precesión.
El cambio infinitesimal del momento angular es 𝑑𝐿 = 𝜏 ⋅ 𝑑𝑡 , que es
perpendicular a L. Esto implica que el eje del volante del giróscopo giró un
ángulo pequeño dθ dado por 𝑑𝜃 = 𝑑𝐿 / 𝐿 . La razón a la cual se mueve el
eje, dθ /dt, se denomina velocidad angular de precesión:
Ω =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝐿 / 𝐿
𝑑𝑡
=
𝜏
𝐿
=
𝑤 ∙ 𝑟
𝐼 ∙ 𝜔

18. De modo que la velocidad angular de precesión es
inversamente proporcional a la velocidad angular de giro
alrededor del eje. Un giróscopo que gira rápidamente tiene
precesión lenta; si la fricción hace que el volante se frene, la
velocidad angular de precesión aumenta.
Al precesar un giróscopo, su centro de masa describe un
círculo de radio r en un plano horizontal. La componente
vertical de la aceleración es cero, así que la fuerza normal
hacia arriba η ejercida por el pivote debe ser igual en
magnitud al peso. El movimiento circular del centro de masa
con una velocidad Ω requiere una fuerza F dirigida hacia el
centro del círculo, con magnitud 𝐹 = 𝑚 ⋅ Ω2 ⋅ 𝑟. Esta fuerza
también debe ser proporcional al pivote.

19. Este análisis del giróscopo anterior fue hecho suponiendo
que el vector momento angular solo está asociado a la
rotación del volante y es puramente horizontal. Sin embargo,
también habrá una componente vertical del momento angular
asociada a la precesión del giróscopo. Al ignorar esto, se
supone que la precesión es lenta; Es decir, Ω es mucho menor
que la velocidad angular de rotación ω.