1. 89
27. Sobre una esfera de 2 kg, inicialmente en reposo comienza a actuar una
fuerza constante F = (20; 40) N. Determine la cantidad de trabajo
desarrollado mediante esta fuerza transcurridos los dos primeros segundos.
No existen fuerzas de rozamiento. ( yg

, g = 10 m/s
2
)
A) 800 J B) 900 J C) 1200 J
D) 1500 J E) 1600 J
28. El bloque de 4 kg abandonado en “A” llega a la superficie horizontal lisa con
una rapidez de 6 m/s. Determine la energía perdida por efecto del
rozamiento. (g=10m/s
2
).
A) 6 J
B) 7 J
C) 8 J
D) 9 J
E) 10 J
29. Calcular el trabajo realizado por “F” constante, al llevar a la partícula desde A
hasta B siguiendo la trayectoria mostrada.
A) 50 J
B) 80 J
C) 100 J
D) 110 J
E) 150 J
30. Un móvil partiendo del reposo logra una rapidez de 10 m/s en 5 s. Determine
la potencia que desarrolla el motor del móvil de 8 kg. Desprecie el
rozamiento.
A) 80 W B) 120 W C) 160 W
D) 200 W E) 240 W
31. El bloque de 10 kg de la figura parte del reposo y adquiere una rapidez de 4
m/s en 10 s, al ascender 5 m. Halle la potencia desarrollada por el motor. (g =
10 m/s
2
)
A) 40 W
B) 48 W
C) 54 W
D) 58 W
E) 64 W
A
2 m
F = 25 N
53º
4 m
2 m
A
B
F

2. 90
32. ¿Cuál es la potencia desarrollada por el motor que actúa sobre el bloque de
50 kg si hace variar su velocidad desde 16 m/s hasta 20 m/s en 10 s? No
existe rozamiento.
A) 180 J B) 240 J C) 300 J
D) 360 J E) 450 J
33. Encuentre el rendimiento de un motor si experimenta una potencia de
pérdida que es el 25 % de la potencia útil.
A) 0,4 B) 0,5 C) 0,6
D) 0,75 E) 0,8
34. En la figura la máquina A de 80 % de eficiencia consume 200 W y le
suministra energía a la máquina B que pierde 40 J por cada segundo.
Determine la eficiencia de la máquina B.
A) 80 % B) 82,5% C) 85 %
D) 87,5 % E) 90 %
F
A B

3. 91
Es el movimiento repetido que realizan los cuerpos de un lado a otro en torno a
una posición central, o posición de equilibrio. El recorrido que consiste en ir
desde una posición extrema a la otra y volver a la primera, pasando dos veces
por la posición central, se denomina ciclo.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M. A. S.)
Es aquel movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas
restauradoras que se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de
equilibrio.
El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos
oscilatorios, pues constituye una buena aproximación a muchas de las
oscilaciones que se dan en la naturaleza y su descripción matemática es muy
sencilla. Se denomina movimiento armónico porque la ecuación que lo define es
una función seno o coseno.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE DE UN SISTEMA MASA – RESORTE.
El sistema masa – resorte consta de una masa ligera unida al extremo libre de un
resorte. Para que la masa realice M. A. S. se debe desplazar una distancia “A”
desde la posición de equilibrio y al ser abandonada, ésta realiza un movimiento
periódico y para ello no debe existir rozamiento.
En el movimiento armónico simple en una dimensión, el desplazamiento del
cuerpo, desde su posición de equilibrio, en función del tiempo viene dado por una
ecuación del tipo:
)t.(sen.Ax  o )t.cos(.Ax 
Siendo A, ω y φconstantes. La amplitud A es el desplazamiento máximo o la
elongación máxima que experimenta el resorte. La magnitud “ωt + φ” es la fase
del movimiento, y “φ” es la constante de fase.

4. 92
Con los datos de la figura, llene el siguiente cuadro.
Posición
extrema
izquierda
Posición
de
equilibrio
Posición
extrema
derecha
Rapidez
del bloque
Aceleració
n del
bloque
Fuerza
restaurad.
Energía
cinética
Energía
potencial
máxa

máxF

máxv

x = 0
x = 0
x = 0
x = 0
x =+A
x =+A
x =+A
x =-A
x =-A
x =-A
x =+Ax =-A
Amplitud Amplitud
Posic. de
equilibrio
Posición
extrema
Posición
extrema
máxa

máxv

máxF

m
m
m
m

5. 93
Ecuaciones del M. A. S.
En el movimiento armónico simple, la frecuencia y el periodo son independientes
de la amplitud.
Periodo del M. A. S. (T)
Es el tiempo que tarda en realizar una vuelta completa o un ciclo. El ciclo es el
recorrido correspondiente a la longitud de cuatro veces la amplitud.
k
m
2T 
Frecuencia del M. A. S. (f)
Es el número de ciclos o revoluciones que realiza por unidad de tiempo. El
periodo y la frecuencia son magnitudes inversas.
m
k
2
1
f


Frecuencia angular ()
La frecuencia angular depende solamente de la constante de rigidez del resorte y
la masa del bloque.
m
k

Velocidad de la masa ( v)
La rapidez de la masa que realiza M. A. S. unida al extremo de un resorte varía
con la posición según la ecuación.
22
xAv 
Aceleración de la masa (a

)
La aceleración que adquiere el bloque depende de su masa y la fuerza aplicada
sobre él. Para que el bloque inicie su movimiento necesariamente debe existir

6. 94
una fuerza que actúa sobre el bloque y ésta se denomina fuerza de restitución o
fuerza restauradora porque es la fuerza que ejerce el resorte para recuperar su
longitud natural y está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio. La fuerza y
el desplazamiento son siempre opuestos, por lo que la aceleración tendrá signo
negativo.
xa 2

Es un dispositivo mecánico que consta de un hilo de masa despreciable y una
pequeña masa unida en uno de sus extremos. La cuerda fijada en el otro
extremo, oscila cuando la masa es desviada un determinado ángulo su posición
de equilibrio. El péndulo simple realiza oscilaciones con M. A. S. cuando la
trayectoria descrita por la masa pendular es aproximadamente una línea recta y
esa aproximación se encuentra para pequeños ángulos de desviación vertical “θ”
de la cuerda ).º10(  En este caso la fuerza restauradora es una de las
componentes del peso que se ubica tangente a la trayectoria.
Periodo del péndulo simple (T)
El periodo del péndulo simple es independiente de la masa pendular y del ángulo
de desviación “θ”si el péndulo realiza M. A. S.
g
L
2T 
Siendo “L” la longitud del péndulo simple y “g” el valor de la aceleración
gravitacional.
g

C
B A
m
L

7. 95
Si un péndulo simple oscila en un lugar donde existe aceleración ay aceleración
gravitacional ,g

se determina la aceleración efectiva o resultante de las dos
aceleraciones ,agge

 y la ecuación general del periodo toma la forma,
e
g
L
2T 
Frecuencia (f)
L
g
2
1
T
1
f


Frecuencia angular (ω)
g
L


8. 96
PROBLEMAS
01. Determine la alternativa correcta para el movimiento armónico simple de un
sistema masa-resorte.
A) La magnitud de la fuerza recuperadora es constante.
B) La energía cinética es máxima en la posición de equilibrio.
C) La energía potencial máxima es mayor que la energía cinética máxima.
D) En la posición de equilibrio, la energía potencial es máxima.
E) En la misma posición la rapidez y la aceleración de la masa son máximas
02. Un bloque de 2 kg unido al extremo de un resorte horizontal (k = 800 N/m)
que se halla fijado en uno de sus extremos, se desplaza 12 cm hacia la
derecha, desde su posición de equilibrio y luego se abandona. Determine la
ecuación que describe el movimiento.
A) )t10cos().cm12(x  B) )t20(sen).cm12(x 
C) )t10(sen).cm12(x  D) )t20cos().cm12(x 
E) )t20(sen).cm6(x 
03. Un oscilador armónico formado por un resorte cuya constante de rigidez es
“K” y una masa “m”, oscila con un periodo de .s2 Si se forma un oscilador
con una de las mitades del resorte y la masa “m”, ¿cuál será el nuevo
periodo de las oscilaciones?
A) 0,5 s B) 1 s C) s22
D) 2 s E) 2,5 s
04. Un péndulo simple de 0,5 m de longitud se encuentra en el interior de un bus
que viaja por una vía rectilínea horizontal, con aceleración constante de
.s/mπ3
22
Determine el periodo de las pequeñas oscilaciones que realiza.
Considere .s/mπg 22

A) 0,5 s B) 1,0 s C) 1,5 s
D) 2,0 s E) 2,5 s
05. Un péndulo simple de longitud “L” realiza oscilaciones armónicas con un
periodo de 1 segundo. Si su longitud incrementa en un 44%, ¿cuál será su
nuevo periodo de oscilación?
A) 1,1 s B) 1,2 s C) 1,4 s
D) 1,6 s E) 1,8 s

9. 97
06. Un péndulo simple de longitud “L” oscila en la superficie de la tierra con un
periodo de .s3 Determine el periodo de oscilación de dicho péndulo en la
superficie de la luna. Considere que el peso de un cuerpo en la superficie
lunar es la sexta parte de su peso en la superficie terrestre.
A) s3 B) s32 C) s33
D) s23 E) s26
07. Un observador determinó que la distancia de separación entre un valle y una
cresta adyacente de las olas superficiales de un lago es 2 m y contó 11
crestas que pasaban en 10 s. Determine la rapidez de propagación de las
olas.
A) 2 m/s B) 3 m/s C) 4 m/s
D) 8 m/s E) 10 m/s
08. En el extremo de un resorte de longitud “L” y constante de rigidez “k”, se
acopla una masa “m”. Si el periodo de las oscilaciones armónicas es “T”.
¿Cuál será el periodo de las oscilaciones cuando la masa oscila acoplada al
extremo de una de las mitades del resorte?
A) T2 B) T
2
2
C) 2T
D)
2
T
E) T
09. Un estudiante posee cuatro resortes de la misma rigidez y un pequeño
bloque de masa “m”. Después de acoplar los cuatro resortes, ¿cuál será la
relación entre los periodos máximo y mínimo de las oscilaciones?
A)
16
1
B)
4
1
C)
2
1
D) 1 E) 4
10. Una cuerda horizontal fijada en uno de los extremos está bajo una fuerza de
tensión “F”. Bajo estas condiciones, un pulso de onda viaja con una rapidez
“v”; si la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, ¿con qué rapidez se
propagará una onda?
A) v2 B) 2/v2 C) 2/v
D) v2 E) v4

10. 98
11. Para un péndulo simple suspendido del techo de un ascensor, ¿cuál de las
siguientes alternativas es correcta? (Considere “T” el periodo del péndulo
simple cuando el ascensor se encuentra en reposo)
A) el periodo del péndulo es mayor que “T” cuando el ascensor sube con
aceleración “a”.
B) el periodo del péndulo es mayor en el ascenso que en el descenso.
C) si el ascensor desciende con aceleración “a”, el periodo es menor que
“T”.
D) el periodo del péndulo es mayor que “T” si el ascensor sube con rapidez
constante.
E) si el ascensor sube o baja con rapidez constante, el periodo del péndulo
es “T”.
12. Si la rapidez de una onda en una cuerda depende de la fuerza de tensión a la
que está sometida la cuerda; determine la alternativa correcta para un pulso
de onda que recorre una cuerda suspendida:
A) La rapidez de la onda es constante a lo largo de la cuerda.
B) la rapidez de la onda aumenta cuando asciende.
C) la rapidez de la onda disminuye cuando desciende.
D) la onda desacelera uniformemente al ascender.
E) la aceleración o desaceleración de la onda es constante.
13. La ecuación del MAS de una partícula, es: x = 0,2 cos (4πt), con unidades en
el S. I. Determine el periodo de las oscilaciones.
A) 0,4 s B) 0,5 s C) 0,8 s
D) 1,0 s E) 1,2 s
14. Un cuerpo inicia un MAS partiendo de x = A = 10 cm, con una aceleración de
10 m/s
2
. Determine la ecuación de su posición en función del tiempo.
(Considere unidades en el S. I.)
A) 0,1 cos (10t) B) 0,2 cos (10t) C) 0,1 cos (5t)
D) 0,2 cos (5t) E) 0,5 cos(10t)
15. El bloque de la figura realiza M. A. S. con una frecuencia angular ω= 3 rad/s.
Si la aceleración que posee en la posición extrema es 18 m/s
2
, determine la
velocidad que adquiere el móvil al pasar por la posición de equilibrio.
A) 3 m/s
B) 4 m/s
C) 6 m/s
D) 9 m/s
E) 12 m/s
x = 0 x = A
k
m
a

11. 99
16. La rapidez de un cuerpo que realiza M. A .S. es 60 cm/s a 8 cm de la
posición de equilibrio y sabiendo que oscila con frecuencia angular ω = 4
rad/s; determine la amplitud de las oscilaciones.
A) 10 cm B) 12 cm C) 15 cm
D) 17 cm E) 18 cm
17. Un péndulo simple de longitud “L” realiza oscilaciones pequeñas con un
periodo de πs. Determine la longitud “L”, si g = 10 m/s
2
.
A) 1,0 m B) 1,5 m C) 2,0 m
D) 2,5 m E) 3,0 m
18. Un péndulo simple cuya longitud es “L” oscila con un periodo de 2 s.
Determine el periodo del péndulo si su longitud se duplica.
A) 2 s B) 3 s C) 2 s
D) 22 s E) 2/2 s
19. El periodo de un péndulo simple de longitud “L0” es 2 s; si su longitud
aumenta en 50 cm, oscila con un periodo de 3 s. Determine la longitud “L0”.
A) 20 cm B) 40 cm C) 50 cm
D) 60 cm E) 80 cm
20. Del techo de un bus que se desplaza horizontalmente con MRUV a razón de
44 m/s
2
, se suspende un péndulo simple de 1/3 m de longitud. Determine el
periodo de las pequeñas oscilaciones que realiza el péndulo simple. (g = 10
m/s
2
)
A) π/6 s B) π/4 s C) π/3 s
D) π/2 s E) πs
21. La ecuación del MAS de una partícula, es: x = 0,2 cos (4πt), con unidades en
el S. I. Determine el periodo de las oscilaciones.
A) 0,4 s B) 0,5 s C) 0,8 s
D) 1,0 s E) 1,2 s

12. 100
22. Una masa sujeta a un resorte horizontal se aparta 10 cm de su posición de
equilibrio, hacia la derecha y al soltarla oscila con una frecuencia angular de
2 rad/s, ¿cuál es la ecuación del MAS?
A) x = (10 cm).cos (4t) B) x = (10 cm).cos (2t)
C) x = (10 cm).cos (3t) D) x = (10 cm).cos (6t)
E) x = (10 cm).cos (0,5t)
23. Para la masa de la figura, a qué distancia de la posición de equilibrio, la
energía cinética será igual a la energía potencial, si realiza M. A. S. con una
amplitud cm210A .
A) cm25 B) 8 cm C) cm28
D) 10 cm E) cm27
24. Un péndulo simple de 12 cm de longitud se encuentra en el interior el un
ascensor que sube con aceleración de 2 m/s
2
. ¿Cuál es el periodo del
péndulo? (g = 10 m/s
2
)
A) 0,2πs B) 0,4πs C) 0,5πs
D) 0,6πs E) 0,8πs
x = 0 x
k
m
v

13. 101
Es la parte de la física que estudia los fenómenos relacionados con los fluidos en
reposo. Se denomina fluido a todas las sustancias que no tienen forma definida
(líquidos y gases).
FLUIDO
Es todo material que no sea sólido y que puede ‘fluir’. Son fluidos los líquidos y
los gases; aún con sus grandes diferencias su comportamiento como fluido se
describe con las mismas ecuaciones básicas. La diferencia entre uno u otro está
en su compresibilidad.
Un fluido:
- Cambia su forma según el envase.
- Se deforma continuamente bajo fuerzas aplicadas.
- La atmósfera y el océano son fluidos.
- El 97% de nuestro cuerpo es fluido, el manto de la tierra, etc.
Para cualquier sustancia el estado líquido existe a una temperatura mayor que la
del estado sólido, tiene mayor agitación térmica y las fuerzas moleculares no son
suficientes para mantener a las moléculas en posiciones fijas y se pueden mover
en el líquido. Lo común que tiene con los sólidos es que si actúan fuerzas
externas de compresión, surgen grandes fuerzas atómicas que se resisten a la
compresión del líquido. En el estado gaseoso las moléculas tienen un continuo
movimiento al azar y ejercen fuerzas muy débiles unas con otras; las
separaciones promedios entre las moléculas de un gas son mucho más grandes
que las dimensiones de las mismas.
DENSIDAD (ρ)
Es una cantidad escalar que mide la cantidad de masa que posee un cuerpo por
unidad de volumen.
volumen
masa
V
m


14. 102
PESO ESPECÍFICO )(
Es una magnitud vectorial que se define como la relación entre el peso de un
cuerpo y su volumen.
volumen
peso
V
w

Pero, g.mw  y reemplazando en la ecuación anterior se obtiene:
)gravedad).(densidad(g. 
PRESIÓN
Es la medida de la fuerza aplicada por unidad de superficie. Solamente ejercen
presión las fuerzas que actúan perpendicularmente sobre una superficie.
área
fuerza
A
F
P  
La unidad de la presión en el Sistema Internacional es el Pascal ( 2
m
N
Pa  )
Presión hidrostática
Es la presión que ejercen los líquidos sobre los cuerpos que se encuentran
parcialmente o totalmente sumergidos en el interior de ellos. La presión
hidrostática en el interior de un líquido es mayor a mayor profundidad y se reduce
a cero en la superficie del líquido (h = 0); también depende de la densidad del
líquido, puesto que los líquidos de mayor densidad ejercen mayor presión que los
líquidos de menor densidad, a la misma profundidad.
La presión hidrostática en el punto “A”, es:
h.g.P 
densidad: gravedad:g dprofundida:h
Líquido
h
x

15. 103
Principio fundamental de la hidrostática
La diferencia de presiones entre dos puntos de un mismo líquido cuya densidad
es constante, es:
)hh(g.P 12 
Considere que h2 es mayor que h1.
Presión atmosférica (P0)
La atmósfera (aire) es un fluido que ejerce presión sobre todos los cuerpos que
se encuentran en la superficie de la Tierra, esta presión varía con el clima y con
la altura.
La presión atmosférica normal a nivel del mar es de 760 torrs = 1 atm, o sea, 76
cm de mercurio. En torno a los 5,6 km es de 380 torrs; la mitad de todo el aire
presente en la atmósfera se encuentra por debajo de este nivel. La presión
disminuye más o menos a la mitad por cada 5,6 km de ascensión. A una altitud
de 80 km la presión es de 0,007 torr.
Po =76 cm de columna de Hg
Po = 760 torrs = 1 atm (atmósfera)
1 atm = 1,013x10
5
Pa
1 atm = 101,3 kPa = 101300 Pa
Principio de Pascal
Una característica fundamental de cualquier fluido en reposo es que la fuerza
ejercida sobre cualquier partícula del fluido es la misma en todas direcciones. Si
las fuerzas fueran desiguales, la partícula se desplazaría en la dirección de la
fuerza resultante. De ello se deduce que la fuerza por unidad de superficie —la
presión— que el fluido ejerce contra las paredes del recipiente que lo contiene,
sea cual sea su forma, es perpendicular a la pared en cada punto. Si la presión
no fuera perpendicular, la fuerza tendría una componente tangencial no
equilibrada y el fluido se movería a lo largo de la pared.
Este concepto fue formulado por primera vez en una forma un poco más amplia
por el matemático y filósofo francés Blaise Pascal en 1647, y se conoce como
principio de Pascal. Dicho principio, que tiene aplicaciones muy importantes en
hidráulica, afirma que la presión aplicada sobre un fluido contenido en un
recipiente se transmite por igual en todas direcciones y a todas las partes del
recipiente, siempre que se puedan despreciar las diferencias de presión debidas
al peso del fluido y a la profundidad.

16. 104
Prensa hidráulica
Es un sistema mecánico constituido por dos cilindros comunicantes de diferentes
diámetros y sirve para multiplicar fuerzas. Las prensas hidráulicas contienen
líquido que generalmente es el aceite.
En una prensa hidráulica en equilibrio se observa que:
Por el Principio de Pascal:
21 PP 
Se obtiene la ecuación de las fuerzas:
2
2
1
1
A
F
A
F

Si el émbolo menor desciende una distancia “h1”, el otro asciende la distancia
“h2”. El volumen del líquido desalojado por el émbolo menor es igual al volumen
que se desplaza el émbolo mayor.
,VV 21  pero el volumen es: h.AV 
Luego se obtiene la ecuación para el desplazamiento de los émbolos:
2211 h.Ah.A 
Principio de Arquímedes
Si un cuerpo está parcial o totalmente sumergido en un fluido, este ejerce una
fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el
cuerpo.
A1
A2F1
P1
F2
P2
líquido

17. 105
Fuerza de empuje )E(

Es la fuerza que ejercen los líquidos sobre los cuerpos sumergidos parcial o
totalmente en el interior de ellos. La fuerza de empuje actúa en forma ascendente
(o perpendicular a la superficie del líquido) en el centro geométrico del volumen
sumergido y es igual al peso del volumen del líquido desalojado.
La fuerza de empuje que ejerce un líquido cuya densidad es “ ” sobre un cuerpo
cuyo volumen sumergido es “Vsum”, es:
sumV.g.E 
Si un cuerpo está sumergido en varios líquidos inmiscibles, la fuerza de empuje
total es igual al suma de las fuerzas de empuje que ejerce cada líquido sobre el
cuerpo.
321TOTAL EEEE 
Líquido
Vsum
E

E1
E2
E3
VS1
VS2
VS3
ρ1
ρ2
ρ3

18. 106
OBSERVACIONES:
1. Si la densidad de un cuerpo es menor
que la del líquido, entonces el cuerpo
flotará en dicho líquido con una
fracción de su volumen sumergido
(principio de flotación). Por lo tanto, el
peso del cuerpo es igual a la fuerza
de empuje que ejerce el líquido sobre
él.
2. Si la densidad del cuerpo y del líquido
son iguales, el cuerpo flotará en el
líquido con todo el volumen
sumergido o se desplazará en el
interior del líquido pero con velocidad
constante. También el peso del
cuerpo y la fuerza de empuje que
ejerce el líquido sobre él, son iguales.
3. En el caso de que la densidad del cuerpo es mayor que la del líquido, el
cuerpo abandonado en el interior del líquido descenderá (se hundirá) con
aceleración constante, sólo si despreciamos las fuerzas de resistencia que
ofrece el líquido sobre el libre movimiento del cuerpo. Si un cuerpo de menor
densidad que el líquido es abandonado en su interior, el cuerpo ascenderá
con aceleración constante hasta emerger y luego flotará con una fracción de
su volumen sumergido.
Líquido Empuje
Peso
a

Peso Empuje
Líquido Empuje
Peso
a

Peso Empuje
Líquido
Empuje
Peso
Flota
(Equilibrio)
Peso Empuje
Líquido
Empuje
Peso
Flota
(Equilibrio)
Peso Empuje

19. 107
PROBLEMAS
01. Una esfera de madera flota en un líquido con la mitad de su volumen
sumergido. Determine el módulo de la fuerza vertical que se debe aplicar
sobre la esfera para que ésta flote con todo el volumen sumergido. (mesfera =
12 kg; g = 10 m/s
2
)
A) 60 N B) 75 N C) 80 N
D) 90 N E) 120 N
02. Se tiene dos cuerpos A y B sumergidos dentro de un recipiente que contiene
agua, como se indica en la figura. La relación correcta de las presiones de
los cuerpos es:
A) PA/PB = 1
B) PA/PB > 1
C) PB/PA = 1
D) PA/PB = 0
E) PA/PB < 1
03. Una persona de 70 kg de masa flota en un lago, con casi todo el cuerpo por
debajo de la superficie, considerando que la densidad del agua del lago es
10
3
kg/m
3
, el volumen, en m
3
, de la persona es:
A) 0,06 B) 0,07 C) 0,08
D) 0,09 E) 0,1
04. Una esfera sólida flota en el agua de modo que está con la mitad de su
volumen sumergida, la densidad de la esfera sólida es: (ρagua = 1 g cm
3
)
A) 1/2 g/cm
3
B) 1/3 g/cm
3
C) 2 g/cm
3
D) 2/3 g/cm
3
E) 3/2 g/cm
3
05. Determine el módulo de la fuerza de tensión del hilo que sujeta a la esfera
ligera de 4x10
-3
m
3
. (ρesfera = 250 kg/m
3
; g = 10 m/s
2
)
A) 10 N
B) 20 N
C) 30 N
D) 35 N
E) 40 N
A
B
H2O

20. 108
06. Un bloque metálico desciende en una piscina que contiene agua (densidad
igual a 1 g/cm
3
). No se considera el rozamiento y la densidad del metal es 5
veces la densidad del agua. Asumiendo que la aceleración de la gravedad es
g = 10 m/s
2
, el bloque de metal desciende con aceleración igual a:
A) 9 m/s
2
B) 8 m/s
2
C) 7 m/s
2
D) 10 m/s
2
E) 2 m/s
2
07. En una embarcación de 150 toneladas que navega en el mar, el volumen
sumergido es V1 y el empuje del agua E1, Cuando navega en agua de río
experimenta un empuje E2 con volumen sumergido V2. Si la densidad del
agua del mar es mayor que la del río, entonces:
A) V1 = V2 B) E1 = E2 C) V1 > V2
D) E1 > E2 E) E1 < E2
08. Sobre un cuerpo de madera sumergido parcialmente en agua, se cuelga de
la parte inferior una placa de un material desconocido. Si se observa que el
volumen de la parte sumergida del bloque no se altera, podemos afirmar que
la densidad de la placa es:
A) igual a la del bloque. B) menor que la del bloque.
C) igual a la del agua. D) menor que la del agua.
E) mayor que la del bloque.
09. En un edificio, la presión de agua en el primer piso es 60x10
4
Pa y en el
sexto piso es 50x10
4
Pa. Si la distancia entre cada piso es la misma,
determine la altura de uno de los pisos. (g = 10 m/s
2
)
A) 2 m B) 3 m C) 4 m
D) 5 m E) 6 m
10. Si la presión total en la caverna es de 10 atm y el barómetro del buzo en A
indica una presión total de 6 atm. Determine la profundidad que debe
descender el buzo para encontrar la caverna.
A) 10 m
B) 15 m
C) 20 m
D) 30 m
E) 40 m
Caverna
A
Agua

21. 109
11. En una prensa hidráulica el émbolo menor se ha desplazado 15 cm
¿Cuántos cm se desplazó el émbolo mayor, siendo sus correspondientes
áreas de 12 y 36 cm
2
?
A) 5 cm B) 8 cm C) 10 cm
D) 12 cm E) 15 cm
12. En una prensa hidráulica de tubos circulares se aplica una fuerza de 80 N
sobre el émbolo menor. ¿Qué peso “w” (en x10
3
N) se podrá levantar si los
diámetros son respectivamente 2 y 10 cm?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 6
13. Una esfera de peso “w” flota en un líquido desconocido con el 75% de su
volumen sumergido. Determine el módulo de la mínima fuerza vertical “F”
que debe mantener en equilibrio a la esfera con todo el volumen sumergido.
A) w B) w/3 C) w/2
D) w/4 E) w/5
14. Un cubo de madera cuya arista mide 1 m, flota en el agua con 2/3 de su
volumen sumergido. Si se coloca un bloque encima del cubo, éste flota con
todo el volumen sumergido. Determine la relación entre el peso del bloque y
el peso del cubo de madera.
A) 1/4 B) 1/2 C) 1/3
D) 1/5 E) 2/3
15. Un bloque está sumergido parcialmente en el agua. Sabiendo que el volumen
no sumergido es el 20% de su volumen total, determinar la densidad del
cuerpo. (En kg/m
3
). 3
agua m/kg1000
A) 600 kg/m
3
B) 720 kg/m
3
C) 800 kg/m
3
D) 850 kg/m
3
E) 900 kg/m
3
16. Un cuerpo pesa 100 N en el aire, 80 N en el agua y 60 N en un líquido
desconocido. Hallar la densidad del líquido desconocido.
A) 800 kg/m
3
B) 1200 kg/m
3
C) 1800 kg/m
3
D) 2000 kg/m
3
E) 2200 kg/m
3

22. 110
17. En el tubo en U de ramas verticales iguales, los líquidos de densidades ρA =
4000 kg/m
3
; ρB = 2500 kg/m
3
y ρC = 2000 kg/m
3
, está en equilibrio. Determine
el valor de “h”. (g = 10 m/s
2
)
A) 15 cm
B) 20 cm
C) 25 cm
D) 30 cm
E) 40 cm
18. Determine la presión absoluta del gas, en el barómetro mostrado. (g = 10
m/s
2
)
A) 120 kPa
B) 130 kPa
C) 136 kPa
D) 140 kPa
E) 148 kPa
19. En la figura los troncos de masa m = 3 kg cada uno, presionan sobre las
paredes del canal. El tronco superior está sumergido hasta la mitad y el
inferior, rozando la superficie del agua. Determine el valor de la fuerza de
reacción normal del canal sobre uno de los troncos.
A) 10 N
B) 20 N
C) 15 N
D) 18 N
E) 25 N
h
15 cm
20 cm
A
C
B
Gas
24 cm
Hg

23. 111
Temperatura (T)
Las moléculas de un gas cuando aumenta la temperatura tienen mayor vibración,
y ocurre lo contrario cuando la temperatura disminuye. La temperatura es una
magnitud escalar que mide la agitación molecular de un cuerpo.
Escalas termométricas
El hombre ha construido varios termómetros con la finalidad de determinar la
temperatura de los cuerpos y entre los más usuales son:
Escalas Celsius
Entre el punto de congelación y ebullición del agua se ha divido en 100 escalas,
de ahí también el nombre de “centígrada”; tomándose para el punto de
congelación (0 ºC) y para el punto de ebullición (100 ºC).
Escalas Kelvin
También entre el punto de congelación y ebullición del agua hay 100 escalas,
pero para el punto de congelación corresponde 273 K y para el punto de
ebullición 373 K.
En el Sistema Internacional de Unidades la temperatura esta dada en Kelvin y se
denomina también como la “Escala Absoluta”, porque no existe temperatura
negativa en esta escala.
Relación entre la escalas Celsius y Kelvin
Para determinar la temperatura de un cuerpo en Kelvin se suma 273 a la
temperatura obtenida en Celsius.
273CK 
C: temperatura en grados Celsius (ºC)
K: temperatura en la escala Kelvin.

24. 112
Otras relaciones entre las escalas termométricas
9
492R
5
273K
9
32F
5
C 

F: Temperatura en grados Fahrenheit (°F)
R = Temperatura en grados Rankine (°R)
La variación de la temperatura de un cuerpo en la escala Celsius y Kelvin, son
iguales:
CK 
También la variación de la temperatura de un cuerpo en las escalas Fahrenheit y
Ranking, son iguales:
RF 
La relación de la variación de la temperatura de un cuerpo en las escalas Celsius
y Fahrenheit, es:
FC 
9
5
De la ecuación anterior se deduce lo siguiente:
1 división en ºC = 1 división en K
1 división en ºF = 1 división en ºR
Fºendivisión
9
5
Cºendivisión1 
Punto de
ebullición
Punto de
fusión
Cero
absoluto
ºC ºFK ºR
-273
0
0 0
273 32 492
100 373 212
-460
672

25. 113
Los gases que ocupan un determinado volumen, se expanden y necesitan mayor
volumen cuando aumenta la temperatura y se romperá la pared del recipiente si
la temperatura aumenta más. La columna de mercurio que contiene un
termómetro se dilata cuando es introducido en agua cuya temperatura es mayor
a la del medio ambiente. La gasolina que contiene un cilindro se derrama cuando
el recipiente es calentado por el sol, y muchos ejemplos más de dilatación
observamos en la vida cotidiana.
El fenómeno de expansión térmica ocurre con todos los cuerpos cuando son
sometidos a un incremento de temperatura.
Dilatación lineal
Es la variación que experimentan los cuerpos en su longitud debido al cambio de
temperatura. La variación de la longitud de un cuerpo es directamente
proporcional a la longitud inicial y a la variación de temperatura. No todos los
materiales tienen la misma variación de longitud para el mismo incremento de
temperatura, por lo que todo material tiene un coeficiente de dilatación lineal.
T.L.L 0

Pero: 0f LLL 
Luego: T.L.LL 00f 
)T.1(LL 0f

Donde:
LO = Longitud inicial
Lf = Longitud final
Of TTT 
To = Temperatura inicial
Tf = Temperatura final
= Coeficiente de Dilatación Lineal
ΔLL0
Lf

26. 114
Dilatación superficial
Consideremos una lámina de metal pero muy delgada. En este caso su espesor
respecto a las dimensiones de sus lados es despreciable. Al someter al cambio
de temperatura también las dimensiones de sus longitudes varían, a este tipo de
dilatación se denomina expansión o dilatación superficial.
T.S.S 0 
Pero: 0f
SSS 
Luego: T.S.SS 00f 
)T.1(SS 0f 
Donde:
SO = superficie inicial
Sf = superficie final
= Coeficiente de Dilatación Superf. (2)
Dilatación volumétrica
Es la expansión que experimentan todos cuerpos como los sólidos, líquidos y
gases. Generalmente al incrementar la temperatura, el volumen también
aumenta proporcionalmente a la variación de la temperatura. La dilatación
térmica de los gases es muy grande en comparación con la de sólidos y líquidos.
Una de las muchas aplicaciones de la dilatación es el termómetro de mercurio o
de alcohol.
T.V.V 0 
Pero: 0f VVV 
Luego: T.V.VV 00f 
)T.1(VV of 
Donde:
Vo = Volumen inicial
Vf = Volumen final
= Coeficiente de Dilat. Volum. (3)

27. 115
Es la transferencia de energía de una parte a otra de un cuerpo, o entre
diferentes cuerpos, en virtud de una diferencia de temperatura. El calor es
energía en tránsito; siempre fluye de una zona de mayor temperatura a una zona
de menor temperatura, con lo que eleva la temperatura de la segunda y reduce la
de la primera, siempre que el volumen de los cuerpos se mantenga constante. La
energía no fluye desde un objeto de temperatura baja a un objeto de temperatura
alta si no se realiza trabajo.
El calor se expresa en las mismas unidades que la energía y el trabajo, es decir,
en joule (J). Otra unidad es la caloría (cal) o la kilocaloría (kcal), 1000 cal = 1
kcal.
Equivalente mecánico del calor
La energía mecánica se puede convertir en energía térmica a través del
rozamiento, y el trabajo mecánico necesario para producir 1 caloría se conoce
como equivalente mecánico del calor.
1cal 4,186J ó 1J 0,24cal 
Calor específico (Ce)
La cantidad de calor necesaria para aumentar en un grado la temperatura de una
unidad de masa de una sustancia se conoce como calor específico. El calor
específico del agua a 15 °C es de .
C.ºkg
J
5,4185 En el caso del agua y de otras
sustancias prácticamente incompresibles, no es necesario distinguir entre los
calores específicos a volumen constante y presión constante ya que son
aproximadamente iguales. El Calor específico de una sustancia depende de la
temperatura.
T
Q
m
1
ce



Al calor suministrado a un cuerpo o extraído para variar su temperatura si que
haya cambio de fase, se denomina calor sensible. De la ecuación anterior se
despeja,
T.c.mQ e 

28. 116
Donde “m” es la masa de la sustancia, “ce” su calor específico y T la variación
de temperatura que experimenta.
Capacidad calorífica (C)
Es la energía necesaria para aumentar en un grado la temperatura de un cuerpo.
Si un cuerpo intercambia cierta cantidad de energía térmica Q y se produce un
incremento de temperatura ΔT, la relación entre ambas magnitudes es:
T
Q
C



Calor latente
La cantidad de calor necesaria para producir un cambio de fase se llama calor
latente; existen calores latentes de sublimación, fusión y vaporización. Para
fundir 1 kg de hielo se necesitan 19.000 J, y para convertir 1 kg de agua en vapor
a 100 °C, hacen falta 129.000 J. Debe diferenciarse del calor sensible que en
este tipo de calor no existe variación de temperatura.
L.mQL 
A “L” se le denomina calor latente específico y “m” es la masa de la sustancia.
Cambios de fase del agua
Los cambios de fase en sustancias puras tienen lugar a temperaturas y presiones
definidas. El paso de sólido a gas se denomina sublimación, de sólido a líquido
fusión, y de líquido a vapor vaporización. Si la presión es constante, estos
procesos tienen lugar a una temperatura constante. Para el agua nos es común
las temperaturas de cambios de fase. El agua se congela a 0 ºC, el agua hierve a
100 ºC y a esa temperatura se vaporiza.
HIELO LÍQUIDO VAPOR
FUSIÓN
SOLIDIFICACIÓN
VAPORIZACIÓN
CONDENSACIÓN

29. 117
Propagación de calor
Los procesos físicos por los que se produce la transferencia de calor sin
transporte de masa son la conducción y la radiación y un tercer proceso, pero
que implica el movimiento de masa se denomina convección.
La transferencia de calor por conducción requiere contacto físico entre los
cuerpos —o las partes de un cuerpo— que intercambian calor, pero en la
radiación no hace falta que los cuerpos estén en contacto ni que haya materia
entre ellos, por ejemplo el calor del Sol se propaga a través del vacío y llega
hasta nosotros. La convección se produce a través del movimiento de un líquido
o un gas en contacto con un cuerpo de temperatura diferente.

30. 118
Primera ley de la termodinámica
La Primera Ley de la Termodinámica es la expresión más general del Principio
de la Conservación de la Energía. Refleja los resultados de muchos
experimentos que relacionan el trabajo realizado sobre un sistema, el calor que
se ha añadido o sustraído, y la energía interna del sistema.
El calor suministrado a un sistema termodinámico es igual a la variación de
la energía interna del sistema más el trabajo realizado por el sistema.
WUQ 
La variación de la energía interna U del sistema depende de la variación de la
temperatura del sistema. En un proceso donde no exista variación de
temperatura (proceso isotérmico) no existe variación en la energía del sistema y
todo el calor suministrado al sistema se utiliza para realizar trabajo.
El trabajo realizado por el sistema depende estrictamente de la variación del
volumen del sistema. En un proceso en el que el volumen permanece constante,
el trabajo realizado por el sistema es nulo y el calor suministrado al sistema es
igual a la variación de la energía interna.
Trabajo en un proceso isobárico
El trabajo realizado por un sistema termodinámico en una expansión isobárica
(presión constante) es igual al producto de la presión (P) por la variación del
volumen del gas (ΔV).
)VV.(PV.PW 0f 
F
F
V0
VF
d
A
P
P

31. 119
Trabajo en una gráfica presión versus volumen (P - V)
El trabajo realizado por un sistema en una gráfica (P-V) es igual al área bajo la
curva.
TRABAJOAREA 
Segunda ley de la termodinámica
Al colocar un trozo de metal caliente en un recipiente aislado que contiene agua
fría; el calor será trasferido del metal al agua y los dos llegarán a un equilibrio
térmico a alguna temperatura intermedia. Según la segunda ley de la
termodinámica, en forma natural el calor no puede fluir de un foco de menor
temperatura hacia de mayor temperatura y si así fuera debe realizarse un trabajo.
También, la energía calorífica no puede ser transformada completamente en
trabajo mecánico o viceversa. El hombre ha construido máquinas de calor cuya
eficiente no es en ningún caso al ciento por ciento.
La segunda ley de la termodinámica da una definición precisa de una propiedad
llamada entropía. La entropía se puede considerar como una medida de lo
próximo o no que se halla un sistema al equilibrio; también se puede considerar
como una medida del desorden (espacial y térmico) del sistema. La segunda ley
afirma que la entropía, o sea, el desorden, de un sistema aislado nunca puede
decrecer. Por tanto, cuando un sistema aislado alcanza una configuración de
máxima entropía, ya no puede experimentar cambios: ha alcanzado el equilibrio.
La naturaleza parece pues “preferir” el desorden y el caos.
Ciclo de Carnot y máquinas térmicas ideales
Lord Kelvin enuncia para la segunda ley de la termodinámica y dice que toda
máquina cíclica de calor, de cualquier diseño, perderá siempre una fracción de la
energía calorífica. EL ciclo de Carnot ideal consiste en dos isotermas y dos
adiabáticas. El calor es absorbido durante la expansión isotérmica y expulsado
durante la compresión isotérmica.
La eficiencia de la máquina de Carnot es:
caliente
fríacaliente
cicloelenabsorbido
ciclo
T
TT
Q
W 

AREA
Presión
Volumen

32. 120
PROBLEMAS
01. Determine la cantidad de agua a 20 ºC que se debe verter en un recipiente
que contiene 200 g de hielo a 0 ºC, para obtener líquido a 0 ºC.
A) 200 g B) 400 g C) 600 g
D) 800 g E) 500 g
02. Un cuerpo tiene una temperatura de 20ºC. ¿Cuál es su temperatura en
grados Fahrenheit y en Kelvin?
A) 66 ºF y 293 K B) 36 ºF y 293 K C) 46 ºF y 293 K
D) 76 ºF y 293 K E) 56 ºF y 293 K
03. Se muestra la curva de calentamiento de una sustancia desconocida de 50 g.
¿Cuál es su capacidad calorífica en cal/ºC y su calor específico en cal/(g.ºC)?
A) 12 y 0,4
B) 14 y 0,6
C) 14 y 0,8
D) 15 y 0,8
E) 16 y 0,8
04. Halle la capacidad calorífica de una sustancia que absorbe 300 cal y eleva su
temperatura desde 15ºC hasta 35ºC.
A) 15 cal/ºC B) 20 cal/ºC C) 22 cal/ºC
D) 25 cal/ºC E) 30 cal/ºC
05. Si 200 g de aceite pierde 700 cal y su temperatura desciende en 7ºC. ¿Cuál
es su calor específico en cal/(g.ºC)?
A) 02 cal/g.ºC B) 0,4 cal/g.ºC C) 0,5 cal/g.ºC
D) 0,8 cal/g.ºC E) 1 cal/g.ºC
06. ¿Qué distancia separará a los extremos del alambre circular si su
temperatura se incrementa en 100ºC?
A) 2, 04 cm
B) 2,02 cm
C) 2,05 cm
D) 2,06 cm
E) 2,08 cm
T (ºC)
Q (cal)
10 150
30
40
20 cm 2 cm

33. 121
07. Se mezcla 400 g de agua a 10ºC con 600 g de agua a 90ºC. Si el recipiente
no gana ni pierde calor, ¿cuál es la temperatura de equilibrio del sistema?
A) 50 ºC B) 52ºC C) 54ºC
D) 58ºC E) 60ºC
08. Determinar la cantidad de calor que se debe suministrar a 10 g de agua que
se halla a 10ºC para elevar su temperatura hasta el punto de ebullición.
A) 100 cal B) 400 cal C) 450 cal
D) 900 cal E) 950 cal
09. ¿Qué cantidad de calor se debe extraer de 10 g de vapor de agua a 100º C
para convertirlo en hielo a 0ºC?
A) 6,4 kcal B) 7,2 kcal C) 5,4 kcal
D) 6,4 kcal E) 7,4 kcal
10. La presión de un gas aumenta como muestra la gráfica. Halle el trabajo del
gas desde A hasta B.
A) 0
B) 2 kJ
C) 4 kJ
D) 7 kJ
E) 10 kJ
11. Halle el trabajo que realiza el gas que contiene un sistema termodinámico
cuando se expande desde A hasta B.
A) 100 J
B) 120 J
C) 150 J
D) 180 J
E) 200 J
12. Dos recipientes contienen agua a 30ºC y 80ºC respectivamente. ¿Cuánta
agua debe tener el recipiente de menor temperatura, si al mezclar debemos
tener 400 g de agua a 50ºC?
A) 160 g B) 180 g C) 200 g
D) 240 g E) 260 g
P (Pa)
20
5 10
V (m3
)
0
A B
P (Pa)
V (m3
)
100
800
0 10

34. 122
13. La vía de acero de un ferrocarril tiene una longitud de 30 m cuando la
temperatura es 0ºC. ¿Cuál es el incremento de su longitud en un día
caluroso cuya temperatura es 40ºC? (αACERO = 11X10
-6
ºC
-1
)
A) 11,2 cm B) 13,2 cm C) 12,4 cm
D) 14,2 cm E) 14,8 cm
14. A un recipiente de 200 g de masa y ce = 0.05 cal/g.ºC se le da Q calorías
variando su temperatura. Determine la cantidad de agua que recibiendo Q
calorías varía su temperatura igual a la del recipiente.
A) 5 g B) 10 g C) 15 g
D) 20 g E) 50 g
15. Dos cubos de metal y del mismo de aristas L y 2L cuyas temperaturas son
45ºC y 90ºC respectivamente, se ponen en contacto. Determine la
temperatura de equilibrio en ºC.
A) 50ºC B) 65ºC C) 75ºC
D) 85ºC E) 88ºC
16. Un gas ideal se enfría a volumen constante liberando 72 cal. Determine el
cambio en la energía interna. (1 J = 0,24 cal)
A) -200 J B) 200 J C) -300 J
D) 300 J E) 400 J
17. En cuántos grados centígrados debe aumentar la temperatura de una esfera
de metal para que su volumen incremente en un 0,5% respecto a su volumen
inicial. esfera= 3
2
x10
-4
°C
-1
.
A) 5°C B) 2,5°C C) 25°C
D) 50°C E) 250°C
18. El radio de una esfera de metal a 0 ºC es 10 cm. Determine el radio de la
esfera a 100 ºC, sabiendo que su coeficiente de dilatación volumétrica es γ=
3,31x10
-3
ºC
-1
.
A) 10,1 cm B) 11 cm C) 11,1 cm
D) 11,5 cm E) 11,8 cm

35. 123
19. Se tiene una placa circular metálica de coeficiente de dilatación superficial
2,01x10
-4
°C
-1
. Si el radio del círculo es 1 cm, ¿en cuánto se incrementará la
temperatura, tal que el radio del círculo sea 1,01 cm?
A) 10°C B) 50°C C) 90°C
D) 100°C E) 210°C
20. Tres esferas del mismo metal cuyos radios son R, 2R y 3R con temperaturas
8ºC, 35ºC y 40ºC respectivamente, son puestos en contacto. Determine la
temperatura de equilibrio. (Desprecie la variación de la densidad y el calor
específico debido a la variación de la temperatura)
A) 28°C B) 32°C C) 37°C
D) 38°C E) 40°C
21. Determine la eficiencia de un calentador de agua que necesita 20 kg de
carbón para calentar 100 litros de agua desde 10°C hasta que se encuentre a
punto de hervir. Se sabe que al quemar 3 kg de carbón se disipa 1500 kcal.
A) 15% B) 25% C) 30%
D) 40% E) 90%

36. 124
Carga eléctrica
El primer fenómeno eléctrico artificial que se observó fue la propiedad que
presentan algunas sustancias resinosas como el ámbar, que adquieren una
carga negativa al ser frotadas con una piel o un trapo de lana, tras lo cual atraen
objetos pequeños. Un cuerpo así tiene un exceso de electrones. Una varilla de
vidrio frotada con seda tiene una capacidad similar para atraer objetos no
cargados, y atrae los cuerpos cargados negativamente con una fuerza aún
mayor. El vidrio tiene una carga positiva, que puede describirse como un defecto
de electrones o un exceso de protones.
Un átomo eléctricamente neutro tiene el mismo número de protones que de
electrones. Todo cuerpo material contiene gran número de átomos y su carga
global es nula salvo si ha perdido o captado electrones, en cuyo caso posee
carga neta positiva o negativa, respectivamente.
Cuando algunos átomos se combinan para formar sólidos, frecuentemente
quedan libres uno o más electrones, que pueden moverse con facilidad a través
del material. En algunos materiales, llamados conductores, ciertos electrones se
liberan fácilmente. Los metales, en particular el cobre y la plata, son buenos
conductores.
La carga eléctrica es una magnitud escalar que mide el exceso o defecto de
electrones que posee un cuerpo. La carga de un electrón y un protón son iguales
en magnitud,

 - -19
e p 1,6 x 10 C
La unidad de la carga eléctrica en el S. I. es el Coulomb (C).
Cuantización de la carga eléctrica
La carga eléctrica neta “Q” de un cuerpo es un número entero “n” veces la carga
fundamental “e”, por lo que decimos que la carga eléctrica está cuantizada.
Q = n.e

37. 125
Formas de electrización de un cuerpo
I. Por frotamiento
Dos cuerpos al ser frotados adquieren carga eléctrica. Uno de los cuerpos pierde
electrones y el otro, gana electrones, es decir, la carga que adquieren los
cuerpos son de signos contrarios; por ejemplo: la varilla de vidrio frotada con
seda pierde electrones y queda cargada positivamente.
II. Por contacto
Un cuerpo inicialmente sin carga adquiere carga eléctrica al ponerse en contacto
con otro cuerpo cargado. La carga eléctrica es compartida y los dos cuerpos
poseen cargas de signos iguales después del contacto.
III. Por inducción
Una tercera forma de cargar un cuerpo es la inducción. En este caso los cuerpos
no son frotados ni se ponen en contacto con el cuerpo cargado. Inicialmente se
tiene dos esferas conductoras en contacto y con carga neta neutra cada una. Si
un tercer cuerpo con carga positiva o negativa es acercado a una de las esferas,
los electrones libres de la segunda carga se acercarán hacia el cuerpo cargado o
se alejarán de él (según el signo de la carga del cuerpo). En ese instante las
esferas son separadas y así, una de ellas poseerá carga negativa o positiva y la
otra tendrá carga de signo contrario a la de la primera esfera.
Fuerza eléctrica
Cuando se aproximan dos cargas eléctricas se experimenta una fuerza de
atracción o repulsión entre ellas, dependiendo del signo de la carga que tenga
cada cuerpo. Si las cargas tienen signos iguales, la fuerza es de repulsión y si las
cargas tienen signos contrarios, la fuerza es de atracción.
+
-
atracción
repulsión
repulsión -
-
+
+

38. 126
Ley de coulomb
La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas "q" 1
y "q" 2
es directamente
proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia “d” que los separa.
2
21
d
q.q
kF  , 229
C/m.N10x9k 
Principio de superposición
Si se tiene la interacción de varias cargas eléctricas sobre una “q”, la fuerza
eléctrica resultante sobre la carga “q” se determina de la suma vectorial de las
fuerzas eléctricas que ejercen cada carga sobre la carga “q”.
Campo eléctrico )E(

Cuando acercamos o alejamos una carga pequeña "q" o de otra carga “Q”,
observamos que la carga pequeña es atraída o repelida por la segunda carga. La
región del espacio que rodea a una carga y en donde cualquier otra carga
experimenta los fenómenos electrostáticos se denomina campo eléctrico E

generado por la carga “Q”.
Dirección de las líneas del campo eléctrico
La dirección de las líneas del campo para una carga está definida por el signo de
esta. Las líneas de campo eléctrico de una carga positiva salen radialmente de
ellas (para cargas puntuales) e ingresan en las cargas negativas. El vector
campo eléctrico en cualquier punto del espacio que rodea a la carga se grafica
tangente a la línea de campo en esa posición.
+ -
d
1q F

F

2q
Líneas del campo
eléctrico para un dipolo
eléctrico formado por
cargas positivas.

39. 127
Intensidad del campo eléctrico (E)
Para obtener la intensidad del campo eléctrico creado por una carga puntual “Q”
en el punto “P” se aplica la ley de Coulomb y viene dada por la siguiente
ecuación:
oF E.q y o
2
Q.q
F k
d

Combinando las dos ecuaciones, se obtiene:
2
d
Q
kE 
El campo eléctrico generado por una esfera maciza de radio “R” con una
distribución uniforme de carga “Q”, tiene las siguientes ecuaciones:
Campo eléctrico en el exterior de la esfera: Rd 
2
d
Q
kE 
Campo eléctrico en el interior de la esfera: Rr 
3
R
r.Q
kE 
La intensidad del campo eléctrico en el centro de una esfera es nula.
El campo eléctrico en el interior de un cascarón esférico cargado, es nulo.
+Q
+qo F
d P
d
E

P
R
O
+Q
r E

P
R
O
+Q
Líneas del campo
eléctrico para un dipolo
formado por dos cargas
de signos distintos.

40. 128
Potencial eléctrico (V)
Para trasladar una carga eléctrica “ o
q ” en el interior de un campo eléctrico
provocado por la carga “Q”, se debe realizar trabajo mecánico, y el trabajo
realizado por unidad de carga “ o
q ” es una cantidad escalar que se denomina
potencial eléctrico “V”.
El potencial eléctrico de una carga puntual a una distancia “d”, está dada por la
ecuación:
o
q
W
V 
El trabajo “W” se realiza al trasladar la carga “ oq ” desde un punto del infinito
hasta el punto “P” ubicado a una distancia “d” de la carga “Q”.
d.FW  y
2
o
d
q.Q
kF 
De las dos ecuaciones se obtiene:
d
Q
kV 
La relación entre al campo eléctrico y el potencial eléctrico se determina de la
ecuación
d
1
.
d
Q
k
d
Q
kE
2







Y la relación buscada es,
d
V
E  ó d.EV 
Superficies equipotenciales
En el espacio que rodea a una carga, se encuentran puntos que están al mismo
potencial eléctrico y la superficie formada por estos puntos se denomina
superficie equipotencial.
Las superficies equipotenciales creadas por una carga puntual, son esferas
concéntricas (con centro en la carga puntual).
+Q
+q F
d P

41. 129
Teorema del trabajo y la diferencia de potencial eléctico.
El trabajo realizado por una fuerza al trasladar una carga eléctrica desde “A”
hasta “B” en el seno de un campo eléctrico, es igual a la diferencia de potencial
entre esos puntos.
AB B AW q. V q.(V V )   
El trabajo realizado entre dos puntos C y D de una misma superficie
equipotencial, es nulo.
0CDW 
Condensadores eléctricos
Son dispositivos que acumulan o almacenan carga eléctrica cuando son
sometidos a una diferencia de potencial.
Condensador de placas paralelas
La capacidad de un condensador de placas paralelas depende de la superficie de
las placas y de la distancia de separación entre ellas. La capacidad es
directamente proporcional a la superficie de las placas e inversamente
proporcional a la distancia de separación.
d
A
.C 0
Donde “A” es la superficie de una de las placas, “d”, la distancia de separación
entre las placas y “ 0 ” es la constante de permisividad o constante dieléctrica del
vacío cuyo valor es, 2212
0 m.N/C10x85,8 

Q
A
B
C
D
Superficies
equipotenciales
d
- Q + Q

42. 130
Asociación de condensadores:
Asociación en serie:
Se muestra el acoplamiento de tres condensadores en serie.
La carga que almacena cada condensador componente es la misma y es igual a
la que almacena el condensador equivalente eC .
...QQQQ 321e 
Para obtener la diferencia de potencial equivalente eV se suman las diferencias
de potencial al que son sometidos los condensadores asociados en serie.
...VVVV 321e 
La capacidad equivalente del condensador que reemplaza a los condensadores
asociados en serie, es:
1 2 3
1 1 1 1
   
e
...
C C C C
Asociación en paralelo:
En la siguiente figura se muestra la asociación de tres condensadores en
paralelo.
Q1 Q2 Q3V1 V2 V3
C1 C2 C3
Ve
Ve
Q1
Q2
Q3
C1
C2
C3
V1
V2
V3

43. 131
La carga que almacena el condensador equivalente es igual a la suma de las
cargas que almacenan los condensadores asociados en paralelo
1 2 3eQ Q Q Q ...   
La diferencia de potencial en cada condensador es la misma y es igual a la
diferencia de potencial equivalente.
1 2 3eV V V V ...   
La capacidad del condensador equivalente es igual a la suma de las capacidades
de los condensadores asociados en serie
1 2 3eC C C C ...   

44. 132
PROBLEMAS
01. Dos cargas puntuales 5
1
2 10
q x C y 4
2
8 10
q x C están separadas 2 m.
¿Cuál es la fuerza electrostática entre las cargas?
A) 9 N B) 12 N C) 18 N
D) 36 N E) 72 N
02. La fuerza electrostática entre dos cargas puntuales 1Q y 2Q , es F. Si la
distancia de separación entre las cargas no se altera y una de las cargas se
duplica; ¿cuál es la nueva fuerza entre las cargas?
A) F B) F/2 C) 2F
D) F/4 E) 4F
03. Dos cargas puntuales están separadas una distancia “d” y la fuerza
electrostática entre ellas es “F”. SI una de las cargas se reduce a la mitad y la
distancia de separación se reduce a la cuarta parte; ¿cuál es la nueva fuerza
entre las cargas?
A) 2F B) 4F C) 8F
D) 12F E) 16F
04. La fuerza de atracción entre dos cargas puntuales 1 Q q y 2 5Q q, es “F”.
Determine la fuerza electrostática entre las nuevas cargas después de
haberlas puesto en contacto y separadas la misma distancia inicial.
A) 2 5F / B) 12 5F / C) 4 5F /
D) 6 5F/ E) 9 5F/
05. Dos esferas idénticas y del mismo material poseen cargas 5
1
12 10
q x C y
5
2
8 10
q x C se ponen en contacto y son separadas 0,5 m; ¿cuál es la
fuerza electrostática entre las cargas?
A) 3,6 N B) 7,2 N C) 72 N
D) 144 N E) 360 N
06. A 2 m de una carga puntual 8Q C, ¿cuál es la intensidad del campo
eléctrico?
A) 9 N/C B) 18 N/C C) 36 N/C
D) 72 N/C E) 90 N/C

45. 133
07. Si una pequeña esfera posee 5x10
12
electrones más que protones, ¿cuál es
la intensidad del campo eléctrico que crea a 1 m de su centro?
A) 9x10
2
N/C B) 18x10
2
N/C C) 27x10
2
N/C
D) 45x10
2
N/C E) 72x10
2
N/C
08. El campo eléctrico creado por una carga puntual a una distancia “d”, es “E”.
Si la carga se duplica, ¿cuál es la intensidad del campo eléctrico a una
distancia 2d/ ?
A) E B) 2E C) 4E
D) 8E E) 16E
09. ¿Cuál es el potencial eléctrico que crea una pequeña esfera cuya carga es Q
= 2x10
-9
C a una distancia de 50 cm?
A) 9 V B) 18 V C) 36 V
D) 45 V E) 72 V
10. Un condensador eléctrico de placas paralelas posee una capacidad de 60
µF. Si la distancia de separación entre las placas se reduce a la mitad y la
superficie de sus placas se duplica; ¿cuál será la nueva capacidad del
condensador?
A) 15 µF B) 30 µF C) 60 µF
D) 120 µF E) 240 µF
11. Dos condensadores eléctricos 1 23 6C F y C F,    están asociadas en
serie. Si la diferencia de potencial a la que está sometida 1C es 8 V; ¿cuál es
la diferencia de potencial a la que está sometida 2
C ?
A) 2 V B) 3 V C) 4 V
D) 6 V E) 12 V
12. Dos condensadores eléctricos 1 23 4C F y C F,    están asociados en
paralelo. Si la carga que acumula 1C es 36 µC; ¿cuál es la carga que
almacena 2C ?
A) 12 µC B) 24 µC C) 36 µC
D) 42 µC E) 48 µC

46. 134
13. Tres condensadores eléctricos 1 2 3
3 5C C, C C y C C,   están asociadas en
serie. Si la carga que almacena el condensador 1C es 60 µC; determine la
carga que acumula el condensador 3C . 12(C F) 
A) 12 µC B) 20 µC C) 30 µC
D) 60 µC E) 120 µC
14. Dados los condensadores en el siguiente circuito; determine la diferencia a la
que está sometida en condensador 1C , si la carga que almacena el
condensador 2C es 12 µC. 2 14 3(C F y C C)  
A) 3 V
B) 4 V
C) 6 V
D) 12 V
E) 18 V
15. A 20 cm de una carga puntual, la intensidad del campo eléctrico es 2x10
2
N/C, ¿cuál es el potencial eléctrico en dicho punto?
A) 4 V B) 40 V C) 100 V
D) 120 V E) 400 V
16. Si las esferas de igual masa se mantienen en equilibrio, determine el módulo
de la tensión en una de las cuerdas. (L = 50 cm; q = 30 μC; Q = 4 μC)
A) 3 N
B) 3,5 N
C) 4 N
D) 5 N
E) 10 N
17. En cierta región del espacio se establece un campo eléctrico homogéneo, tal
como se muestra. Al lanzar una partícula se 2 g en A, ésta describe un M. R.
U. Determine la cantidad de carga de la partícula.
A) -40 μC
B) 10 μC
C) 20 μC
D) 30 μC
E) 40 μC
L L
q Q
74º
1C
C
2C
C C
E = 500 N/C
g = 10 m/s2A

47. 135
18. Determine la cantidad de carga eléctrica “q”, si la intensidad de campo
eléctrico resultante en “O” es horizontal. Q = 64 μC.
A) -20 μC
B) 29 μC
C) 20 μC
D) -27 μC
E) 27 μC
19. Calcule la capacidad equivalente entre los extremos A y B, en la siguiente
figura.
A) 3 μF
B) 4 μF
C) 5 μF
D) 6 μF
E) 1 μF
20. Determine la capacidad equivalente del sistema adjunto entre los terminales
A y B.
A) C
B) 2C
C) C/2
D) 2C/3
E) 2C/5
21. Cuando el interruptor S del circuito está cerrado, la carga almacenada es 15
μC, pero cuando está abierto, es 10 μC. La capacidad C es:
A) 2 μF
B) 5 μF
C) 10 μF
D) 15 μF
E) 25 μF
22. Según la figura, ¿a qué distancia de la partícula A el potencial eléctrico es
nulo?
A) 10 cm
B) 24 cm
C) 30 cm
D) 40 cm
E) 50 cm
CC
C
C C
A B
2 μFA
B
3 μF
1 μF
O
53º37º
qQ
C
S
10 μF
ε
30 cm
+4q -q BA

48. 136
23. Si la intensidad de campo eléctrico en A es cero, determine el potencial
eléctrico en el mismo punto en megavoltios (MV).
A) -9
B) 0
C) 9
D) 10
E) 18
24. Dos placas metálicas idénticas están separadas 2 cm, de manera que el
campo eléctrico homogéneo entre las placas tiene una intensidad de 10
4
N/C. ¿Qué cantidad de trabajo se requiere para llevar una partícula
electrizada con +6 μC, de la placa de potencial más alto a la otra,
lentamente?
A) +6x10
-4
J B) -6x10
-4
J C) +6x10
4
J
D) -6x10
4
J E) -12x10
-4
J
25. Si la esfera de 20 N está en reposo, determine el módulo de la intensidad de
campo eléctrico homogéneo. (q = -10 μC)
A) 0,8 MN/C
B) 1 MN/C
C) 1,2 MN/C
D) 1,4 MN/C
E) 1,6 MN/C
26. Una esfera de 10 g y 20 μC es abandonada en A. ¿Cuánto se desplaza
horizontalmente hasta llegar al suelo? (g = 10 m/s
2
)
A) 5 m
B) 10 m
C) 15 m
D) 20 m
E) 25 m
E

53º
q
g
E = 104
N/C5 m
2 cm 6 cm
A10 μC q

49. 137
Intensidad de corriente eléctrica (I)
Es la cantidad de carga eléctrica “Q” que atraviesa por una sección transversal
de un conductor en un determinado tiempo “∆t”. Sabemos que la carga eléctrica
está cuantizada, es decir, Q n.e.
 
 
Q n.e
I
t t
,
Donde:
Q : Carga eléctrica
t : Intervalo de tiempo
n : Número de electrones
e : carga fundamental o magnitud de la carga de un electrón.
Resistencia eléctrica
Es la medida de la oposición que presentan los cuerpos al paso de la corriente
eléctrica.
Ley de poulliet
La resistencia que ofrece un conductor cilíndrico es directamente proporcional a
la longitud “L” e inversamente proporcional a la sección transversal “A” del
conductor.
L
R
A

Igualando la proporcionalidad se introduce la constante “ ” llamada constante
de resistividad del material conductor.
La unidad de la resistencia eléctrica en el SI es el Ohm (Ω).
Ley de ohm
La resistencia eléctrica es directamente proporcional a la diferencia de potencial
a la que es sometida e inversamente proporcional a la intensidad de corriente
eléctrica que atraviesa por el conductor.
L
A

50. 138
V
R
I

V : diferencia de potencial a la que está sometida la resistencia eléctrica.
I : intensidad de corriente eléctrica
La resistencia eléctrica de un material también depende de la temperatura, esto
es, a mayor temperatura ofrecen mayor resistencia y a menor temperatura,
menor resistencia. Este tipo de resistencias ya no obedecen a Ley de Ohm.
Asociación de resistencias
Asociación en serie:
1 2 3eI I I I ...   
1 2 3eV V V V ...   
1 2 3eR R R R ...   
Asociación en paralelo:
e 1 2 3I I I I ...   
e 1 2 3V V V V ...   
1 1 1 1
1 2 3eR R R R ...   
   
Transformaciones:
321
21
RRR
R.R
x


321
31
RRR
R.R
y


321
32
RRR
R.R
z


z
yzz.xy.x
R1


y
yzz.xy.x
R2


x
yzz.xy.x
R3


R3R2R1
V3V2V1
I1 I2 I3
I
R
V
R1 R2
R3
zy
x
eI
1I 2I 3I
1R 2R 3R
1V 2V 3V

51. 139
Puente de wheatstone
La asociación de resistencias como la que se muestra en la figura se denomina
puente de WHEATSTONE.
Cuando no circula corriente eléctrica por la resistencia “R”, el puente se
encuentra en equilibrio, de modo que la resistencia “R” se cancela y se cumple
que:
1 3 2 4R .R R .R
Fuerza electromotriz (ε).
Para producir un flujo de corriente en cualquier circuito eléctrico, es necesaria
una fuente de fuerza electromotriz. Las fuentes disponibles son las siguientes: 1)
máquinas electrostáticas, que se basan en el principio de inducir cargas
eléctricas por medios mecánicos; 2) máquinas electromagnéticas, en las que se
genera corriente desplazando mecánicamente un conductor a través de un
campo o campos magnéticos; 3) células voltaicas, que producen una fuerza
electromotriz a través de una acción electroquímica; 4) dispositivos que producen
una fuerza electromotriz a través de la acción del calor; 5) dispositivos que
generan una fuerza electromotriz por la acción de la luz; 6) dispositivos que
producen una fuerza electromotriz a partir de una presión física, como los
cristales piezoeléctricos.
Potencia eléctrica (P)
Es la cantidad de energía eléctrica que se consume por unidad de tiempo.
2
2 V
P i.V i .R
R
  
Donde:
i : intensidad de corriente eléctrica
V : Diferencia de potencial a la que es sometida la resistencia eléctrica.
R : Resistencia eléctrica.
R1
R2
R3R4
R

52. 140
Energía eléctrica (Q)
Es la energía capaz de transportar carga eléctrica debido a la diferencia de
potencial. También se refiere a la energía o calor que disipa una resistencia
eléctrica en un determinado tiempo “t”.
2
2 V
Q i.V .t i .R.t .t
R
  
Circuito eléctrico
Es todo sistema cerrado constituido por resistencias y fuerzas electromotrices.
A) Circuitos simples
Es el circuito constituido por una sola malla, por este circuito circula una sola
corriente.
B) Circuitos complejos
Está formado por varias mallas y por ende circulan varias corrientes eléctricas.
Leyes de Kirchhoff
A) Ley de nudos
La cantidad de corrientes que ingresan a un nudo es igual a la cantidad de
corrientes que salen del mismo nudo.
ENTRAN SALENI I 
B) Ley de mallas
La suma de las fuerzas electromotrices en una malla es igual a la suma de las
diferencias de potencial o caídas de tensión en la misma malla.
(I.R )
La segunda ley de KIRCHHOFF para un circuito simple es:
I. R 

53. 141
PROBLEMAS
01. Dos resistencias eléctricas se asocian en serie y se obtiene una resistencia
equivalente de 10 Ω. Determine la resistencia eléctrica mayor, sabiendo
además que uno de ellos es los 2/3 del otro.
A) 2 Ω B) 4 Ω C) 6 Ω
D) 8 Ω E) 9 Ω
02. Dos resistencias eléctricas 1 13 5(R y R ),    están asociadas en serie. Si
la diferencia de potencial a la que está sometida 1R es 6 V; determine la
diferencia de potencial a la que está sometida 2R .
A) 2 V B) 5 V C) 10 V
D) 12 V E) 15 V
03. Dos resistencias eléctricas 1 14 8(R y R ),    están asociadas en paralelo.
Si la intensidad de corriente eléctrica que pasa por 1R es 6 A; determine la
intensidad de corriente eléctrica que pasa por 2R .
A) 2 A B) 3 A C) 4 A
D) 6 A E) 8 A
04. Un alambre de 1 m de longitud posee una resistencia eléctrica de 60 Ω;
¿cuál será la resistencia eléctrica de 20 cm de dicho alambre?
A) 6 Ω B) 8 Ω C) 12 Ω
D) 15 Ω E) 18 Ω
05. Dos resistencias eléctricas que están en relación de 1:2, se asocian en
paralelo y se obtiene una resistencia equivalente de 10 Ω. Determine la
resistencia equivalente cuando las resistencias se asocian en serie.
A) 10 Ω B) 15 Ω C) 25 Ω
D) 30 Ω E) 45 Ω
06. Un alambre de longitud L posee una resistencia R. Determine la resistencia
de otro alambre del mismo material, de longitud L/2 y sección transversal 2A.
A) 4R B) 2R C) R
D) R/2 E) R/4

54. 142
07. Por la sección transversal de un conductor pasan 10
15
electrones en 2 s.
Determine la intensidad de corriente eléctrica que circular por dicho
conductor.
A) 0,8 mA B) 1,6 mA C) 8 mA
D) 16 mA E) 32 mA
08. Determine la resistencia equivalente entre los terminales A y B del siguiente
circuito.
A) 4 Ω
B) 6 Ω
C) 9 Ω
D) 12 Ω
E) 24 Ω
09. Se muestra la gráfica (V – I) para dos conductores Óhmicos A y B. Determine
la resistencia eléctrica de B, sabiendo que B A
R 2R .
A) 1 Ω
B) 5 Ω
C) 10 Ω
D) 20 Ω
E) 40 Ω
10. Determine la resistencia equivalente entre los terminales x e y.
A) 5 Ω
B) 10 Ω
C) 30 Ω
D) 48 Ω
E) 55 Ω
11. En la siguiente conexión, determine la resistencia equivalente entre a y b.
A) R
B) R/5
C) 2R/5
D) 3R/5
E) 4R/5
0 0,5
10
V(v) (B)
(A)
I(A)
12
4
4
4
6 6
A B
3Ω
4Ω
12Ω 12Ω 12Ω 12Ω
R R
R
R
a b

55. 143
12. En el siguiente circuito, todas las resistencias son de 6 Ω. Determine la
resistencia equivalente entre A y B.
A) 0 Ω
B) 2 Ω
C) 4 Ω
D) 6 Ω
E) 8 Ω
13. En el siguiente circuito, determine la resistencia equivalente entre a y b.
A) 1 Ω
B) 2 Ω
C) 3 Ω
D) 4 Ω
E) 6 Ω
14. En el siguiente circuito eléctrico, determine la intensidad de corriente que
pasa por R = 2 Ωal cerrar el interruptor S.
A) 2 A
B) 4 A
C) 1 A
D) 0,5 A
E) 0,2 A
15. Según la figura, ¿cuánto indica el amperímetro ideal?
A) 1 A
B) 2 A
C) 3 A
D) 4 A
E) 5 A
16. En el circuito eléctrico mostrado, determine V, sabiendo que I = 2 A.
A) 10 V
B) 12 V
C) 20 V
D) 30 V
E) 32 V
A B
3Ω
6Ω
1Ω
1Ω
6Ω
6Ω
ba
2R
R
12 V
S
4Ω 6Ω 3Ω
2Ω
V I
4Ω
2Ω
12 V24 V
A

56. 144
17. Determine la resistencia equivalente entre A y B.
A) 1 Ω
B) 2 Ω
C) 3 Ω
D) 4 Ω
E) 5 Ω
18. En el siguiente circuito, determine la resistencia equivalente entre los
terminales a y b.
A) 1 Ω
B) 3 Ω
C) 4 Ω
D) 6 Ω
E) 7 Ω
19. En el circuito eléctrico mostrado, determine la lectura del voltímetro y el
amperímetro (instrumentos ideales).
A) 24 V, 2 A
B) 6 V, 2 A
C) 8 V, 2 A
D) 8 V, 4 A
E) 20 V, 1 A
20. Determine la lectura del amperímetro en el siguiente circuito.
A) 1 A
B) 2 A
C) 3 A
D) 4 A
E) 5 A
21. En la siguiente porción de un circuito eléctrico, determine la intensidad de
corriente en la rama BC.
A) I/3
B) I/2
C) I
D) 2I
E) 3I
2Ω 5Ω
6Ω3Ω
A 66 V20 V
A B C
RRRI I
10Ω
6Ω4Ω
20 V
4 V
V
A
6Ω
6Ω
12Ω
12Ω
3Ω
2Ω
6Ω ba
3Ω 6Ω
2Ω 12Ω
1Ω
5Ω
B
A

57. 145
22. En el circuito eléctrico mostrado, cuando el interruptor S está cerrado el
amperímetro ideal indica I1 y cuando está abierto el amperímetro indica I2.
Determine I1/I2.
A) 1/4
B) 1/2
C) 2
D) 3
E) 4
23. En el circuito mostrado, determine la relación de las resistencias equivalentes
obtenidas entre A y B y entre C y D.
A) 5/7
B) 2/3
C) 7/4
D) 3/4
E) 4/7
24. Dado el circuito, determine la resistencia equivalente entre a y b.
A) 3/8 Ω
B) 4/3 Ω
C) 5/3 Ω
D) 3/4 Ω
E) 8/3 Ω
25. En el siguiente circuito eléctrico, la intensidad de corriente que pasa por el
resistor de 5 Ωes 10 A. Determine la tensión que suministra la fuente ideal.
A) 60 V
B) 84 V
C) 90 V
D) 120 V
E) 220 V
26. En el siguiente circuito eléctrico, determine la lectura del amperímetro ideal.
A) 0 A
B) 1 A
C) 2 A
D) 4 A
E) 6 A
10Ω 5Ω 25Ω
2Ω
4Ω 2Ω
10 V20 V
A
40 V
8Ω
8Ω
B
A
8Ω
4Ω
4Ω
8Ω
8Ω
8Ω
8Ω
8Ω
2Ω
6Ω
5Ω
8Ω
20Ω
B
A
C
D
1Ω 7Ω
3Ω
9Ω
A

S

58. 146
27. En el circuito mostrado la lectura del amperímetro ideal es 9 A. Determine la
lectura del voltímetro ideal.
A) 5 V
B) 10 V
C) 12 V
D) 15 V
E) 20 V
28. En el siguiente circuito, determine la intensidad de corriente I1.
A) 1 A
B) 2 A
C) 3 A
D) 4 A
E) 5 A
29. En el circuito que se muestra, ¿cuánto indica el amperímetro ideal?
A) 4 A
B) 7 A
C) 9 A
D) 11 A
E) 12 A
A
V
5Ω
2Ω
2Ωε
5Ω
10Ω
7Ω
3Ω
I1
40 V
4Ω5Ω
ε
20 V30 V
A

59. 147
El magnetismo es el fenómeno relacionado a ciertos minerales (hierro, níquel y
cobalto) que tienen la propiedad de atraer fragmentos de hierro. El término
magnetismo guarda relación con ciertas rocas (piedras imán) halladas en la
región de Magnesia, hace más de 2000 años. Las rocas que poseen las
propiedades magnéticas son llamados imanes naturales y a las que son
obtenidas artificialmente se les llama imanes artificiales. Un imán tiene dos
regiones de alta concentración de magnetismo a las cuales se les denomina
polos magnéticos (polo norte y polo sur). Dos polos del mismo nombre de dos
imanes se repelen y polos de nombres distintos se atraen. Si un imán es cortado
por la mitad los dos trozos también adquieren dos polos (norte y sur), a este
fenómeno se le conoce como la “inseparabilidad de los polos”.
Magnetismo terrestre
La Tierra se comporta como un imán permanente gigante, cuyos polos se
encuentran cerca de los polos geográficos. La aguja de una brújula está siempre
orientada de norte a sur magnético. El ángulo formado por la línea que une los
polos geográficos y la línea que une los polos magnéticos se denomina
declinación magnética.
Una parte de los rayos cósmicos son desviados por el campo magnético de la
Tierra y algunas de ellas son atrapadas en los límites exteriores de este campo y
forman los cinturones de radiación de Van Allen.

60. 148
Campo magnético
Sabemos que el espacio que rodea a una carga eléctrica contiene energía y ésta
energía está contenida en el campo eléctrico que se origina en la carga. Toda
carga está rodeada por un campo eléctrico que genera una modificación en el
espacio que rodea a la carga y si la carga está en movimiento el espacio que
rodea se modifica todavía más. A la modificación del espacio por la carga en
movimiento se denomina campo magnético que depende de la velocidad de la
carga.
El campo magnético, es la región del espacio que rodea a un imán o una carga
en movimiento, donde se ponen de manifiesto los efectos magnéticos. Es de
naturaleza vectorial y se representa por B

(inducción magnética)
En 1813, Hans Christian Oersted predijo que se hallaría una conexión entre la
electricidad y el magnetismo. En 1819 colocó una brújula cerca de un hilo
recorrido por una corriente y observó que la aguja magnética se desviaba. Con
ello demostró que las corrientes eléctricas producen campos magnéticos. Aquí
vemos cómo las líneas del campo magnético rodean el cable por el que fluye la
corriente.
Experimento de oersted
La primera conexión entre el magnetismo y la electricidad se encontró en los
experimentos del físico y químico danés Hans Christian Oersted, que en 1819
descubrió que un cable conductor por el que fluía una corriente eléctrica
desviaba una aguja magnética (brújula) situada en sus proximidades.
Disposición de brújulas en ausencia de corriente
eléctrica. Las agujas tienen orientación N – S
magnético de la Tierra.

61. 149
I
r
I
→
B
P
P
α
β
r
I
La corriente que circula por el conductor crea
campo magnético y esto evidencia la orientación
de las agujas de las brújulas.
Ley de ampere
André Marie Ampere (1775 - 1836), propuso que las corrientes eléctricas son las
fuentes de todos los fenómenos magnéticos puesto que las corrientes eléctricas
atraen trocitos o limadura de hierro y las corrientes paralelas se atraen o se
repelen entre sí. Ampere observó que las líneas del campo magnético forman
bucles alrededor de las corrientes que las crean.
a) Campo magnético creado por un conductor rectilíneo de gran longitud.
El buble creado por la corriente es una circunferencia perpendicular a la
corriente y por cuyo centro pasa el conductor. La inducción magnética B

es
tangente a la circunferencia y por ende perpendicular a la corriente.
2
o
P
.I
B
.r



b) Campo magnético creado por un conductor rectilíneo de longitud “L”.
4
o
P
.I(sen sen )
B
.r
  



62. 150
L
I I
B
→
I
I
B
RO
→
c) Campo magnético creado por un solenoide o bobina.
Una bobina o solenoide está formada por un hilo metálico arrollado que se
comporta como un imán cuando por él circula la corriente eléctrica. Se
considera que r<<L, siendo “r” el radio del solenoide y “L”, su longitud. La
inducción magnética en el interior del solenoide permanece uniforme.
c.1) En el interior del solenoide.
interior o
N
B .I.
L

c.2) En el extremo del solenoide.
2
int erior
extremo
B
B 
N: Número de espiras del solenoide.
L: Longitud del solenoide.
N
n
L

n: Número de espiras por unidad de longitud.
d) Campo magnético creado por una espira circular.
La inducción magnética en el centro de la espira circular está dada por la
siguiente ecuación:
2
o
o
.I
B
r



63. 151
F
B
→
→
→
α
v
F
B
I
→
→
α
d
L
F
F I2
I1
Fuerza magnética
a) Fuerza magnética sobre una carga “q” en movimiento.
La fuerza magnética es dependiente de la rapidez “v” de la carga y de la
intensidad del campo magnético “B”. La dirección de la fuerza magnética es
siempre perpendicular al plano formado por la velocidad de la carga y el campo
magnético. La fuerza magnética es máxima para α= 90º y se hace nula para α=
0º.
F q.v.B.sen 
b) Fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo de longitud “L” por el
que circula corriente eléctrica “I”.
La corriente es una carga en movimiento y aplicando el principio de la fuerza
eléctrica sobre una carga en movimiento se obtiene la siguiente ecuación.
F I.L.B.sen 
c) Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos y paralelos de
longitud “L”, separados una distancia “d”.
1 2
2
o .I .I .L
F
.d




64. 152
Fuerza electromotriz inducida
Es la fuerza electromotriz que se crea cuando un conductor se mueve en el
interior de un campo magnético variable.
En los extremos de un conductor recto de longitud "L" que se desplaza con
rapidez "v" en el interior de un campo magnético cuya intensidad es "B", es:
   L.v.B.sen .sen .sen
Donde, es el ángulo que forma el conductor recto con la velocidad

"v", es
ángulo que forma la velocidad

"v" con el campo magnético

"B" y  es el
ángulo que forma el campo magnético

"B" con el conductor.
La fuerza electromotriz inducida es máxima cuando 90 º, es decir, tanto
la velocidad, el conductor y el campo magnético son perpendiculares entre sí.
Flujo magnético B( )
Es la medida del número de líneas de campo magnético que pasan a través de
un área determinada. La orientación del área respecto al campo magnético
afecta al número de líneas que pasan a través de la superficie, por lo tanto el
flujo magnético depende del ángulo " ". ( A,

es el vector superficie perpendicular
a la superficie)
B B.A.cos  
Donde:
A = área o superficie
B = intensidad de campo magnético.
La unidad del flujo magnético en el S. I. es el Wb (weber).

v

B

 
L
θ
A
B

A


65. 153
Ley de Faraday
De los experimentos realizados, Faraday llegó a la conclusión de que la fuerza
electromotriz inducida (fem) en una espira en el intervalo de tiempo t depende
del número de líneas de campo que atraviesan la espira o del cabio del flujo
magnético en un intervalo de tiempo.
BN
t



Donde,
B, es la variación del flujo magnético y N, número de espiras.
El signo menos de la ecuación indica la polaridad de la fem inducida, que se
encuentra si se considera la corriente inducida y su efecto, de acuerdo con la Ley
de Lenz.
La unidad de la fuerza electromotriz inducida en el S. I. es el V (volt)
Ley de Lenz
La dirección y sentido de la fem y de la corriente inducidas pueden determinarse
mediante un principio general físico llamado Ley de Lenz.
La fem y la corriente inducidas poseen una dirección y sentido, tal que tienden a
oponerse a la variación que las produce.
v
S N
B

IB inducido

66. 154
PROBLEMAS
01. Se coloca un alambre recto perpendicular a la superficie de la mesa y por él
se hace circular corriente con muestra la figura. En el punto P, ¿cuál es la
dirección de la inducción magnética?
A) +X
B) -X
C) +Y
D) -Y
E) No existe.
02. Una carga eléctrica positiva se lanza en la dirección +X, en el interior del
campo magnético constante cuya dirección es +Z. En ese instante, ¿en qué
dirección actúa la fuerza magnética sobre la carga?
A) +X B) –X C) +Y
D) –Y E) -Z
03. Determine la dirección de la inducción magnética en el punto P debido a la
corriente que circula por el conductor rectilíneo de la figura.
A) +y
B) -y
C) +z
D) -z
E) -x
04. Considerando el campo magnético constante paralelo al eje X; un cuerpo
cargado eléctricamente con +q y lanzado en la dirección +Y, ¿en qué plano
realizará movimiento circular?
A) XY B) XZ C) YZ
D) realiza movimiento rectilíneo
E) no se mueve
05. A una distancia “d” de un conductor infinitamente largo por que circula una
corriente “I”, la inducción magnética es B. A una distancia “2d” del mismo
conductor y si se hace circular la mitad de la corriente, ¿cuál será la
intensidad de la inducción magnética?
A) 4B B) 2B C) B
D) B/2 E) B/4
I
y
P x
z
I
y
x
P

67. 155
06. En el centro de una espira circular se crea una inducción magnética B debido
a la corriente eléctrica “I”. Si el radio de la espira se duplica y la corriente se
reduce a la mitad, ¿cuál será la nueva inducción magnética creada en el
centro?
A) 4B B) 2B C) B
D) B/2 E) B/4
07. La inducción magnética creada en el centro de un solenoide es B. Si la
longitud del solenoide se reduce a la mitad y la corriente que circula por él se
duplica, permaneciendo constante en número de espiras, ¿cuál será la
inducción magnética en el extremo?
A) 8B B) 2B C) B
D) B/2 E) B/8
08. La figura muestra dos conductores rectilíneos de gran longitud que
transportan corrientes eléctricas I1 y I2. Determine la dirección de la inducción
magnética resultante en el punto P.
A) → B) ← C) ↑
D) ↓ E) No existe
09. Por un conductor recto e infinitamente largo, circula 40 mA de corriente
eléctrica. Determine la inducción magnética a 10 cm del conductor.
A) 0,8 μT B) 8 μT C) 20 μT
D) 40 μT E) 80 μT
10. Se tiene una espira circular de 2πcm de radio y por él circula una corriente
de 0,2 A. Determine la intensidad de inducción magnética en el centro de la
espira.
A) 0,4 μT B) 4 μT C) 20 μT
D) 40 μT E) 80 μT
11. Determine la inducción magnética a 2 cm de un conductor rectilíneo
infinitamente largo, si por él circula una corriente de 0,4 A.
A) 4x10
-6
T B) 2x10
-6
T C) 2x10
-7
T
D) 4x10
-7
T E) 4x10
-8
T
P
I2I1
x

68. 156
12. La inducción magnética a 2 cm de un conductor es 34 μT. A qué distancia de
dicho conductor la inducción magnética será 8,5 μT.
A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cm
D) 8 cm E) 16 cm
13. Determine la inducción magnética resultante en el punto P, debido a las
corrientes que circulan por los conductores rectilíneos de gran longitud de la
figura.
A) 3 μT B) 4,5 μT C) 6 μT
D) 9 μT E) 12 μT
14. Por las espiras de un solenoide de 10πcm de longitud circula 2x10
-2
A de
corriente eléctrica. Determine la inducción magnética en el centro del
solenoide si consta de 200 espiras.
A) 2 μT B) 4 μT C) 8 μT
D) 12 μT E) 16 μT
15. Los conductores de la figura se encuentran en el mismo plano. Determine el
módulo de la inducción magnética resultante en el centro de las espiras.
(I = 3 A; R = 3r = 12πcm)
A) 0,5 μT
B) 5 μT
C) 15 μT
D) 20 μT
E) 30 μT
16. ¿A qué distancia del conductor (1) la inducción magnética resultante será
nula? Los conductores son rectilíneos y de longitud infinita.
A) 6 cm a la derecha
B) 12 cm a la derecha
C) 6 cm a la izquierda
D) 3 cm a la derecha
E) 9 cm a la derecha
P
I1 = 0,3 A I2 = 0,6 A
2 cm 2 cm
O R
r
I
2I
6 cm
I1 = 0,6 A
I2 = 0,3 A
(1) (2)

69. 157
17. La inducción magnética en el centro de un solenoide por el que circula una
corriente “I”, es 8 μT. Si el número de espiras del solenoide se duplica, su
longitud se reduce a la mitad y por ella circula “2I”, ¿cuál será la inducción
magnética en el centro del solenoide?
A) 1 μT B) 2 μT C) 4 μT
D) 16 μT E) 64 μT
18. Determine la inducción magnética resultante en el centro de la espira circular
de la figura. El conductor rectilíneo de longitud infinita es perpendicular al
plano de espira. (I = 6 A; r = πcm; d = 24/5 cm)
A) 50 μT
B) 70 μT
C) 120 μT
D) 130 μT
E) 170 μT
19. La espira circular y el conductor rectilíneo de gran longitud se encuentran en
el mismo plano. A qué distancia del centro de la espira se debe colocar el
conductor rectilíneo de gran longitud, para que la inducción magnética en el
punto “O” sea nula. (O: centro de la espira circular; R = 2πcm)
A) 3 cm
B) 4,5 cm
C) 6 cm
D) 7,5 cm
E) 9 cm
20. Una carga eléctrica q = +2x10
-4
C es lanzado perpendicularmente dentro de
un campo magnético constante B = 3x10
-4
T, con una rapidez v = 2x10
7
m/s.
Determine la magnitud de la fuerza magnética sobre la carga.
A) 0,12 N B) 1,2 N C) 2,4 N
D) 6 N E) 12 N
21. Una partícula de masa “m” y carga eléctrica “q” ingresa horizontalmente con
una rapidez “v” al interior de un campo magnético vertical cuya magnitud es
“B”. Determine el radio de la trayectoria que logra describir la partícula.
A) m.v/(q.B) B) m.v.q/B C) m.B/(q.v)
D) m.v
2
/(q.B) E) q.B/(m.v
2
)
O
2I
I
r
x
d
O
3I
I
R

70. 158
22. Un conductor recto de longitud L = 1 m conduce una corriente eléctrica I =
5x10
-2
A y se encuentra en el interior de un campo magnético constante B =
2x10
-4
T. Determine la magnitud de la fuerza magnética sobre el conductor.
A) 2 μN
B) 4 μN
C) 8 μN
D) 12 μN
E) 20 μN
23. Sobre un alambre de longitud infinita se coloca un conductor de longitud “L” y
masa “m”. Determine la altura “h” a la que el conductor estará en equilibrio.
Los dos conductores son paralelos. (g: gravedad)
A) μo.I.L/(2πm.g) B) μo.I.L
2
/(2πm.g) C) μo.I.L/(2m.g)
D) μo.I
2
.L/(2πm.g) E) μo.I
2
.L/(2m.g)
I
B
→
127º
h
I
I
g

71. 159
La óptica se ocupa del estudio de la luz, de sus características y de sus
manifestaciones. La reflexión y la refracción por un lado, y las interferencias,
polarización, dispersión y la difracción por otro, son algunos, de los fenómenos
ópticos fundamentales. Los primeros pueden estudiarse siguiendo la marcha de
los rayos luminosos. Los segundos se interpretan recurriendo a la descripción en
forma de onda.
La apariencia quebrada de una varilla parcialmente sumergida en el agua, la
ilusión de presencia de agua sobre el asfalto recalentado, el arco iris cruzando el
cielo después de una tormenta, son parte de las incontables experiencias
visuales que responden a tres simples leyes empíricas.
La luz como onda electromagnética de Maxwell
Maxwell identificó las ondas luminosas con sus teóricas ondas
electromagnéticas, prediciendo que éstas deberían comportarse de forma
semejante a como lo hacían aquéllas. La comprobación experimental de tales
predicciones vino en 1888 de la mano del fisico alemán Henrich Hertz, al lograr
situar en el espacio campos electromagnéticos viajeros, que fueron los
predecesores inmediatos de las actuales ondas de radio. La diferencia entre las
ondas de radio (no visibles) y las luminosas tan sólo radicaba en su longitud de
onda, desplazándose ambas a la velocidad de la luz, es decir, a 300 000 km/s.
Posteriormente una gran variedad de ondas electromagnéticas de diferentes
longitudes de onda fueron descubiertas, producidas y manejadas, con lo que la
naturaleza ondulatorio de la luz quedaba perfectamente encuadrada en un marco
más general y parecía definitiva. Sin embargo, algunos hechos experimentales
nuevos mostrarían, más adelante, la insuficiencia del modelo ondulatorio para
describir plenamente el comportamiento de la luz.
Los fotones de Einstein
Esta era una idea radicalmente nueva que Planck intentó conciliar con las ideas
imperantes, admitiendo que, si bien los procesos de emisión de luz por las
fuentes o los de absorción por los objetos se verificaban de forma discontinua, la
radiación en sí era una onda continua que se propagaba como tal por el espacio.
Así las cosas, Albert Einstein (1879-1955) detuvo su atención sobre un fenómeno
entonces conocido como efecto fotoeléctrico. Dicho efecto consiste en que
algunos metales como el cesio, por ejemplo, emiten electrones cuando son
iluminados por un haz de luz.

72. 160
El análisis de Einstein reveló que ese fenómeno no podía ser explicado desde el
modelo ondulatorio, y tomando como base la idea de discontinuidad planteada
con anterioridad por Plank, fue más allá afirmando que no sólo la emisión y la
absorción de la radiación se verifica de forma discontinua, sino que la propia
radiación es discontinua.
Estas ideas supusieron, de hecho, la reformulación de un modelo corpuscular.
Según el modelo de Einstein la luz estaría formada por una sucesión de cuantos
elementales que a modo de paquetes de energía chocarían contra la superficie
del metal, arrancando de sus átomos los electrones más externos. Estos nuevos
corpúsculos energéticos recibieron el nombre de fotones (fotos en griego significa
luz).
La luz ¿onda o corpúsculo?
Cuando se analiza la situación resultante prescindiendo de la idea de que un
modelo deba prevalecer necesariamente sobre el otro, se advierte que de los
múltiples fenómenos en los que la luz se manifiesta, unos, como las
interferencias o la difracción, pueden ser descritos únicamente admitiendo el
carácter ondulatorio de la luz, en tanto que otros, como el efecto fotoeléctrico, se
acoplan sólo a una imagen corpuscular. No obstante, entre ambos se obtiene
una idea más completa de la naturaleza de la luz. Se dice por ello que son
complementarios.
La óptica, o estudio de la luz, constituye un ejemplo de ciencia milenaria. Ya
Arquímedes en el siglo III antes de Cristo era capaz de utilizar con fines bélicos
los conocimientos entonces disponibles sobre la marcha de los rayos luminosos
a través de espejos y lentes.
La orientación de este capítulo respetará, en cierta medida, la sabia indicación de
la evolución histórica sobre el estudio de la luz, y dará prioridad a lo que es la
óptica geométrica: el estudio del comportamiento de haces y rayos luminosos
ante espejos o a su paso por medios transparentes como láminas, prismas o
lentes.
La propagación y velocidad de la luz
Debido a su enorme magnitud la medida de la velocidad de la luz “c” ha
requerido la invención de procedimientos ingeniosos que superarán el
inconveniente que suponen las cortas distancias terrestres en relación con tan
extraordinaria rapidez. En la actualidad se acepta para la velocidad de la luz en el

73. 161
vacío el valor c = 300 000 km/s = 3x10
8
m/s, aproximadamente. En cualquier
medio material transparente la luz se propaga con una velocidad que es siempre
inferior a “c”. Así, por ejemplo, en el agua lo hace a 225 000 km/s y en el vidrio a
195 000 km/s.
A. La reflexión de la luz
La reflexión de la luz es un fenómeno óptico de enorme importancia; si los
objetos de nuestro entorno no reflejaran la luz hacia nuestros ojos, no podríamos
verlos. La reflexión implica la absorción y reemisión de la luz por medio de
complejas vibraciones electrónicas en los átomos del medio reflejante; si
embargo, el fenómeno se describe con facilidad mediante rayos.
De acuerdo con las características de la superficie reflectora, la reflexión
luminosa puede ser regular o difusa.
La reflexión regular
Tiene lugar cuando la superficie es perfectamente lisa. Un espejo o una lámina
metálica pulimentada reflejan ordenadamente un haz de rayos conservando la
forma del haz.
La reflexión difusa
Se da sobre los cuerpos de superficies más o menos rugosas. En ellas un haz
paralelo, al reflejarse, se dispersa orientándose los rayos en direcciones
diferentes.

74. 162
Leyes de la reflexión
Sobre la base de las observaciones antiguas se establecieron las leyes que rigen
el comportamiento de la luz en la reflexión regular o especular.
Primera Ley
El rayo incidente i"r " , la normal y el rayo reflejado r"r " se encuentran sobre un
mismo plano.
Segunda Ley
El ángulo de incidencia i" " es igual al ángulo de reflexión r" ".
i r  
B. La refracción de la luz
Se denomina refracción luminosa al cambio que experimenta la dirección de
propagación de la luz cuando atraviesa oblicuamente la superficie de separación
de dos medios transparentes de distinta naturaleza.
El fenómeno de la refracción va, en general, acompañado de una reflexión, más
o menos débil, producida en la superficie que limita los dos medios
transparentes.
Índice de refracción (n) de un medio
Es la característica de todos los materiales transparentes e indica la razón entre
la rapidez de propagación de la luz en el vacío (c) y la rapidez de propagación de
la luz en dicho material (v). El índice de refracción no puede ser menor que la
unidad y esto se debe a que la luz posee la máxima rapidez en el vacío que en
el cualquier otro medio transparente.
c velocidad de la luz en el vacío
n
v velocidad de la luz en el medio
 
Normal
ri
Rayo
reflejado
Punto de
incidencia
Rayo
incidente
Superficie
reflectora

75. 163
Índices de refracción para algunas sustancias.
Sustancia n Sustancia n
Agua 1 3,

Vidrio 1,5
Aire 1 Diamante 2,4
Hielo (agua) 1,3 Alcohol Etílico 1,4
Las leyes de la refracción
Al igual que las leyes de la reflexión, las de la refracción poseen un fundamento
experimental. Junto con los conceptos de rayo incidente, normal y ángulo de
incidencia, es necesario considerar ahora el rayo refractado y el ángulo de
refracción o ángulo que forma la normal y el rayo refractado.
Primera Ley
El rayo incidente, la normal y el rayo refractado se encuentran en el mismo plano.
Segunda Ley o Ley de Snell.
Los senos de los ángulos de incidencia 1 y de refracción 2 son directamente
proporcionales a las velocidades de propagación v1 y v2 de la luz en los
respectivos medios.
1 1
2 2
s e n v
s e n v



Recordando que índice de refracción y velocidad son inversamente
proporcionales 1 1v c /n y 2 2v c /n la segunda ley de la refracción se puede
escribir en función de los índices de refracción en la forma:
1 1 2 2n .sen n .sen co nst.   
2
1n
2n
1

76. 164
OBSERVACIONES:
(i) Si 1 2 1 2 1 2v v n n     
El rayo refractado se acerca a la normal.
(ii) Si 1 2 1 2 1 2v v n n     
El rayo refractado se aleja de la normal.
Ángulo límite
Cuando un haz luminoso al propagarse en el medio (1) se refracta en el medio
(2) y siendo 1 2n n , el rayo refractado se aleja de la normal y cuando el ángulo
de incidencia aumenta progresivamente, el rayo refractado se desviará cada vez
más de la normal, aproximándose a la superficie límite hasta coincidir con ella. El
valor del ángulo de incidencia 1 que da lugar a este tipo de refracción recibe el
nombre de ángulo límite L 1 2 90( L; º ).   
Reflexión interna total
Para ángulos de incidencias superiores al ángulo límite no hay refracción, sino
sólo reflexión, y el fenómeno se conoce como reflexión interna total. En la figura,
1 2.n n
1 1n
2
Medio (1)
Medio (2)
2n
1v
2v
1 1n
2
Medio (1)
Medio (2)
2n
1
v
2v
L 1n
2 90º 
Medio (1)
Medio (2)
2n

77. 165
Profundidad aparente
Una moneda que descansa en el fondo de una piscina da la impresión de estar a
una profundidad menor, sin embargo, la moneda observada por la persona es
solamente la imagen y la profundidad a la que se halla esta imagen se denomina
profundidad aparente.
El ojo del observador se halla en un medio distinto al medio donde se halla el
objeto.
ojo
aparente real
objeto
n
h .H
n

1n
2
n
1

1
ojo
Medio ( )
n
2
objeto
Medio ( )
n aparenteh
realH
Imagen
Objeto

78. 166
PROBLEMAS
01. En el siguiente sistema de espejos, determine el ángulo de reflexión del rayo
(3).
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 60º
02. Si el espejo de la figura se hace girar 20º en sentido horario, ¿cuál será el
nuevo ángulo de reflexión?
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 60º
03. En el siguiente sistema de espejos planos, determine el ángulo " ".
A) 35º
B) 40º
C) 45º
D) 50º
E) 55º
04. Para qué valor de , el rayo que sale del espejo será paralelo al eje “x” y al
rayo (1).
A) 30º
B) 37º
C) 45º
D) 53º
E) 60º
30º
3( )
80º
50º

x
y
O
1( )
70º


79. 167
05. Dado el espejo cóncavo semiesférico, determine el mínimo valor de  para
que el rayo paralelo al eje “x” se refleje al menos dos veces.
A) 30º
B) 37º
C) 45º
D) 53º
E) 60º
06. En un determinado medio, la luz puede propagarse con una rapidez de 250
000 km/s. ¿Cuál es el índice de refracción de dicho medio?
A) 1,1 B) 1,2 C) 1,3
D) 1,4 E) 1,5
07. En índice de refracción de cierto medio es 1,5; determine la rapidez de
propagación de la luz en tal medio.
A) 150 000 km/s B) 200 000 km/s C) 220 000 km/s
D) 240 000 km/s E) 250 000 km/s
08. El índice de refracción del medio A es 1,6 y del medio B, es 1,2. Determine la
relación entre las rapideces de propagación de la luz en los medios A y B.
A) 2/3 B) 4/3 C) 3/4
D) 3/2 E) 4/5
09. Un haz de luz que se propaga en el medio A 1 2A(n , ), incide sobre la
separación con el medio B 1 6B(n , ) y se refracta con un ángulo . Determine
sen .
A) 3/4 B) 3/7 C) 3/8
D) 4/7 E) 4/9
10. El rayo de la figura incide con ángulo de 37º y se refracta con 30º. Determine
el índice de refracción del medio (1). 2 1 5(n , )
A) 1,10
B) 1,15
C) 1,25
D) 1,35
E) 1,45

x
y
O
1Medio ( )
2Medio ( )

80. 168
11. Una moneda se divisa en el fondo de una piscina llena de agua y de 2 m de
profundidad. Determine la profundidad a la que se halla la moneda vista
desde el aire. 2
4
3H O(n )
A) 1,2 m B) 1,5 m C) 1,8 m
D) 2,1 m E) 2,5 m
12. En el sistema óptico mostrado, determine el ángulo límite o ángulo crítico de
refracción. 1 21 6 1 3(n , y n , ) 
 
A) 37º
B) 45º
C) 53º
D) 60º
E) 74º
13. La luz se propaga en el medio A con una rapidez de 240 000 km/s y en el
medio B, con 150 000 km/s. Un haz de luz atraviesa la superficie de
separación del sistema AB y se refracta en B con un ángulo de 30º;
determine el ángulo de incidencia.
A) 30º B) 37º C) 45º
D) 53º E) 60º
14. En la figura, el ángulo límite del rayo mostrado es 74º; determine el índice de
refracción del medio (1).
A) 4/3
B) 3/2
C) 12/11
D) 13/12
E) 25/24
15. El rayo procedente de A 2 5A
(n , ), incide con 60º en la superficie de
separación con el medio B 2B(n ). determine el ángulo de refracción.
A) 30º B) 37º C) 53º
D) 74º E) No se refracta
1Medio ( )
2Medio ( )
Aire
1Medio ( )

81. 169
16. En el sistema óptico de la figura, la separación de los medios son paralelos.
Determine el ángulo de refracción del rayo en el medio (3). 1 32 5 1 5(n , y n , ) 
A) 37º
B) 53º
C) 60º
D) 75º
E) 90º
17. Si el rayo incidente sobre el medio (1) es paralelo a la superficie de
separación de los medios; determine el valor de " " para que el rayo no se
refracte en el medio (3). n y n1 2( 1,25 2) 
A) 30º
B) 37º
C) 53º
D) 60º
E) 74º
53º
2Medio ( )1Medio ( ) 3Medio ( )
 O
1( )
3( )
2( )R
2R

82. 170
e vaporC 0,5cal/g.ºC

83. 171

84. 172