Morfologia en Diseño Industrial

1. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 1
Superficies Espaciales
D.I. Patricia Muñoz
Laboratorio de Morfología
SICyT - FADU - UBA
Cátedra Morfología Especial 1
Carrera de Diseño Industrial
FADU - UBA
Cátedra Morfología 2
Carrera de Diseño Industrial
FAUD - UNC

2. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 2
SUPERFICIES ESPACIALES
Estetrabajoserefierealassuperficiesespacialestradicionales,explicándolasdesdesusmodosdegeneración
canónicos.
Se incluye una mención de sus secciones notables, que las caracterizan y definen en una relación ambivalente
entre unidad y producto ya que “las superficies son ‘explicación’ de las líneas que las surcan y ‘resultado’ de
la organización espacial de los múltiples sistesmas lineales que las construyen.”1
Se entiende a las superficies como formas abiertas, suceptibles de ser transformadas por la gestión de diseño.
Elconocimientorigurosoycreativodelasmismaspermiteaprovecharplenamentesupotencialidadgenerativa.
Se desarrollan los siguientes puntos:
1. Superficies de rotación
1.1. Generatriz recta
- coplanar y paralela al eje: superficie cilíndrica.
- coplanar, que corta al eje: superficie cónica.
- no coplanar: hiperboloide de revolución.
1.2. Generatriz curva
- circunferencia -eje central: superficie esférica
-eje exterior: superficie tórica
-eje secante
- parábola -eje central: Paraboloide de rotación
-eje exterior
-eje que corta la parábola
2. Superficies de traslación
2.1. Simple curvatura
2.2. Doble curvatura
- Paraboloide elíptico
- Paraboloide hiperbólico (generación parabólica)
- Paraboloide parabólico
3. Superficies regladas alabeadas
-Paraboloide hiperbólico
-Conoide
4. Superficies de traslación rotatoria
-Helicoide cilíndrico
-Helicoide cónico
-Helicoide esférico
-Helicoide tórico
1. Roberto Doberti - Morfología de las Superficies - Revista Módulo Nº 26, Costa Rica, 1989

3. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 3
Propiedades fundamentales de las superficies espaciales
Antes de describir las distintas superficies se explicarán sus propiedades fundamentales. Estas son:
tangentea, tipo de curvatura, entidades de inflexión, vértices aislados.
Tangentes:
Las superficies en el espacio tienen planos
tangentes que presentan las siguientes
características generales:
En una superficie desarrollable el plano es
tangente a una recta perteneciente a la
misma. Por lo tanto varios puntos pueden
tener el mismo plano tangente.
En la figura 1 los puntos sobre la línea RS
tienen el mismo plano tangente.
En las superficies no desarrollables el plano
es tangente a un punto de la misma. Es el
casodelaesfera(figura1),dondeelplanoes
tangente al punto P.
Tipo de curvatura:
La curvatura de una superficie en un punto
es el producto de las cunvaturas máxima y
mínima. Se determina tomando la curvatura
máxima y mínima de sus secciones en un
punto. Si una de las curvaturas es nula la
superficie es de simple curvatura o
desarrollable. Esto significa que se podría
obtener a partir de una hoja de papel. Si
ninguna curvatura es nula la superficie es de
doble curvatura.
Una superficie tiene doble curvatura positiva
enelpuntoPsilascurvasquepasanporéste
- de curvatura máxima y mínima - quedan a
un mismo lado del plano tangente, es decir
en un mismo semiespacio. Si quedan en
semiespacios opuestos la superficie tiene
doble curvatura negatrva en ese punto.
(Flgura 2)
Entidades de inflexión2
:
Son líneas tales, que definido el plano
tangente a la superficie, puntos de ésta
-infinitamente próximos a los considerados-
quedanubicadosensemiespaciosopuestos.
(Figura 3)
2. Ver Roberto Doberti - Sistema de Figuras -
Summa 38, Buenos Aires, Junio 1971

4. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 4
Si el plano tangente queda hacia un lado de
lasuperficie,sinatravesarla,dichasuperticie
no tiene inflexiones.
Si el plano tangente atraviesa la superficie,
podemos decir que tiene inflexiones. Las
líneas de inflexión están donde cambia la
curvaturadepositivaanegativa(odecóncavo
a convexo).(Figura 4)
Entidad de doble tangencia2
:
Son aquellos puntos o conjuntos continuos
depuntosqueconstituyenfigurasqueposeen
dos rectas o planos tangentes. (Figura 5)
Vértice aislado o no intersección
de aristas2
:
Esaquélpuntoqueposeemásdedosplanos
tangentes y que cumple con la condición de
que puntos de su entorno inmediato poseen
un solo plano tangente. (Figura 6)
2. Ver Roberto Doberti - Sistema de Figuras - Summa 38, Buenos Aires, Junio 1971

5. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 5
1. SUPERFICIES DE ROTACION
Se generan a partir de un eje recto y de una línea (generatriz). Todos los puntos de la línea describirán
circunferencias en planos normales (perpendiculares) al eje de rotación.
Las más simples son aquellas donde la línea generatriz es un segmento de recta.
Se presentan tres casos bien diferenciados:
1. La generatriz es paralela al eje y está
en el mismo plano.
Se obtiene la superficie cilíndrica circular
recta. (Figura 7)
El ángulo formado por el plano de la
circunferencia y la generatriz es de 90o
. Las
secciones con planos perpendiculares al eje
son circunferencias iguales entre sí.
Las secciones con planos oblicuos al eje son
elipses. (Figura 8)
2. La generatriz corta al eje en un punto.
Se obtiene la superficie cónica circular recta.
El eje del cono es normal al plano de la
circunferencia descripta por la generatriz.
(Figura 9)
Las curvas cónicas3
son aquellas que se
obtienen como secciones planas de un
doble cono. Estas son: circunferencia,
elipse, parábola e hipérbolas. (Figura 10)
3. cf. apunte de la cátedra "Líneas planas"
Figura 10

6. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 6
La superficie cónica admite otros modos de
generación a partir del desplazamiento y/o
transformación de dichas curvas. Por esto,
las mismas pueden entenderse tanto como
seccionesplanasdelasuperficiedada como
unidades conformadoras de la misma. Esto
permite producir una lectura distinta, una
nueva interpretación. (Figura 11)
"Lassuperficiesnuncaquedandeterminadas
- o mejor nunca admiten ser solo "realizadas"
- por una sola familia de generatrices sino
que siempre existe un conjunto de familias o
sistemas coincidentes sobre la superficie."4
Figura 10
4. Roberto Doberti - Morfología de las Superficies -
Revista Módulo Nº 26, Costa Rica, 1989
Generación por circunferencias
Generación por elipses
Generación por parábolas
Generación por hipérbolas

7. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 7
3. La generatriz no es coplanar al eje.
Se obtiene el hiperboloide de revolución.
LadistanciaDylainclinacióndelageneratriz
determina las proporciones. (Figura 12)
Las secciones horizontales son circun-
ferencias que se agrandan al alejarse del
punto medio de la generatriz. El ritmo de
crecimiento se corresponde al de la
hipérbola.
Es una superficie de doble curvatura
negativa, no es desarrollable.
Admite otra generación: la rotación de una rama de hipérbola con respecto a un eje exterior a ella. (Figura 13)
Cuando la generatriz es una curva se
obtienen superficies más complejas. En el
caso de tener una circunferencia como generatriz hay tres situaciones bien diferenciadas:
1. El centro de la circunferencia coinci-de con el eje.
Seobtieneunaesfera.Tienedoblecurvatura
y una característica especial: todos sus
puntos tienen curvatura constante y todas
sus secciones son circunferencias.
(Figura 14)

8. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 8
2. La circunferencia generatriz es
exterior al eje.
Se obtiene una superficie tórica. Tiene
doble curvatura positiva en un sector y
negativa en otro. (Figura 15)
Se puede construir una línea curva cerrada
simple que no encierre un sector de la
superficie.
Cortando la superficie con planos verticales se obtienen las secciones indicadas en las figuras 16 y 174
.
4.
Los dibujos de las figuras 16 y 17 forman parte de una investigación dirigida por el Arq. Roberto Doberti y realizada por Patricia
Muñoz.

9. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 9
Cortando la superficie tórica con planos tangenciales a la circunferencia generatriz se obtienen las secciones
indicadas en la figura 17.
Figura 17

10. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 10
3.Lacircunferenciageneratrizessecante
al eje.
Se obtiene una superficie doble ya que
aparece un sector interior y otro exterior
(Figura 16)
Se pueden generar otras superficies de rotación trabajando con otras curvas generatrices (parábolas,
hipérbolas, elipses, etc) que giran alrededor de un eje según los tres casos previamente indicados.

11. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 11
Parábola generatriz
1. El centro de la parábola (foco) coincide
con el eje.
Se obtiene el paraboloide de rotación.
(Figura 19)
2. La parábola es exterior al eje:
3. La parábola corta al eje:
2. SUPERFICIES DE TRASLACION
Para generar una superficie por traslación son necesarios tres elementos:
-Generatriz*: Línea recta o curva que construye la forma
-Directriz*: Línea recta o curva sobre la cual se desplaza la generatriz.
-Plano Director: Indica la dirección en la que deberán trasladarse las generatrices (paralelas o perpendi-
culares al mismo.)
En el caso de superficies curvas existen dos posibilidades:
A. Que la directriz o la generatriz sea una línea recta: Se generan superficies de simple curvatura,
desarrollables.
B. Que la directriz y la generatriz sean curvas: Se generan superficies de doble curvatura.
* El rol de directriz y generatriz es intercambiable. Si se superponen constituyen retículas

12. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 12
2.1. Superficies de traslación de simple curvatura:
A. Superficie cilíndrica generalizada
Admitedosgeneracionesdistintas,invirtiendo
el rol generatriz/directriz. (Figura 22 y 22a)
B. Superficies planas

13. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 13
2.2. Superficies de traslación de doble curvatura
A. Paraboloide elíptico
Una parábola generatriz se traslada sobre
otra (directriz) siendo ambas perpendicula-
res entre si y teniendo la concavidad en la
misma dirección y sentido. (Figura 24)
Las secciones horizontales determinan
elipses. Si las dos parábolas son iguales la
sección es una circunferencia.(Figura 25)
Esunasuperficiededoblecurvaturapositiva.

14. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 14
B. Paraboloide hiperbólico (generación parabólica)
Una parábola (generatriz) se traslada
sobre otra (directriz) siendo las dos
perpendiculares entre sí y teniendo la
concavidad en distinta dirección y
sentido.
Las secciones horizontales determinan
hipérbolas,conexcepcióndelplanoque
pasa por el vértice de la parábola
directriz, que define dos rectas que se
cortan. Si las parábolas generatrices y
la directriz son iguales, las rectas son
perpendiculares entre sí y forman un
ángulo de 45o
con respecto a las ge-
neratrices. (Figura 26)
Es una superficie de doble curvatura
negativa.

15. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 15
El paraboloide hiperbólico admite una
generación por rectas que se desarrollará
posteriormente, tomando el recorte de la
superficie que se indica en la figura 27.
B. Paraboloide parabólico
Una parábola (generatriz) se traslada sobre
otra (directriz) teniendo la concavidad en
distinta dirección y sentido. (Figura 28)
Las secciones horizontales determinan
parábolas.
Tiene sectores de doble curvatura positiva y
negativa.
Figura 28

16. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 16
Generación invirtiendo los roles de generatriz
y directriz.
3. SUPERFICIES REGLADAS ALABEADAS
Son un caso particular de las superficies de traslación. Se verifican las siguientes características:
- Las generatrices son rectas
- Las directrices son dos líneas no coplanares
- Las generatrices son paralelas al plano director
Se pueden generar las siguientes superficies:
A. Paraboloide hiperbólico
(generación reglada - Figura
29)
Ampliación del sector inferior con un corte con un
plano vertical.

17. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 17
B. Conoide
Una de las directrices es una
circunferencia y la otra es una
recta paralela cuya magnitud es
la del diámetro de la misma.
(Figura 30)
Las secciones horizontales son
elipses. Si prolongamos las ge-
neratrices más allá de la ge-
neratriz circular las secciones
subsiguientes, paralelas a si
misma son elipses. (Figura 31)
Lasseccionesoblicuasrespectoa
la circunferencia dan ovoides.
(Figura 32)
Las secciones con planos
paralelos a la generatriz dan
parábolas conóidicas.
Si se prolongan las generatrices
más allá de la generatriz recta se
genera otro conoide, unido al
primero por esta directriz.
Si se cortan ambos sectores del
conoide se obtienen hipérbolas
conóidicas.
Si el plano es normal a la base las
curvas obtenidas son las
hipérbolas conóidicas simé-
tricas (Figura 30).
Si el plano es oblicuo respecto a
la base las secciones son hi-
pérbolas conóidicas asimé-
tricas (Figura 31).

18. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 18
Las figuras 32 a 34 son imágenes de
modelos tridimensionales del doble
conoide: en la figura 32 está el doble
conoidedebaseelíptica,enlafigura33se
muestra su sección circular y en la figura
34sevenlasseccionesconplanoparalelos
a la generatriz rectilínea y con pendiente
creciente.
Estas secciones pueden apreciarse en la Figura 35, extraída del libro “Curvas Conóidicas” de Mercedes Anido,
Cristina Argumedo, Roberto Doberti y Marina Villalonga; publicado por la Universidad Nacional de Rosario.
Figuras 32 a 34
Figura35

19. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 19
4. SUPERFICIES DE TRASLACION ROTATORIA
Son aquellas que combinan para su generación un movimiento de rotación y de traslación de su
generatriz. Presentan las siguientes características:
- Las generatrices son rectas
- Las directrices son una hélice y su eje
Se pueden generar las siguientes superficies:
A. Helicoide Cilíndrico
Las directrices son una hélice cilíndrica
y su eje.
B. Helicoide Cónico
Las directrices son una hélice cónica y
su eje.
Figura 40
Figura 41

20. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 20
C. Helicoide Esférico
Las directrices son una hélice esférica y
su eje. La hélice esférica se muestra
en la figura 38
D. Helicoide Tórico
Las directrices son una hélice tórica y su eje. En este caso el eje es una circunferencia que pasa por los
centros de las generatrices. La hélice tórica se muestra en la figura 44.
Figura 42
Figura 43
Figura 44

21. Superficies Espaciales - D.I. Patricia Muñoz 21
Bibliografía
Doberti, R.- ”Sistema de Figuras”, Summa 38 - Buenos Aires - Argentina - Junio 1971
Doberti, R.- ”Morfología Generativa”, Summarios 9/10 - Bs.As.- Argentina - Julio/Agosto 1977
Doberti, R.- ”Morfología de las Superficies”, Revista Módulo No
26 - Marzo 1989 - Costa Rica-
Doberti, R. et al “Curvas Conóidicas”, UNR - Argentina - 1984
Di Pietro, D.- ”Geometría Descriptiva”, Ed.Alsina, Bs.As. - Argentina - 8a. ed. 1975
Muñoz, P.- "Líneas Planas" Laboratorio de Morfología - SIP - FADU - UBA
Sadosky/Guber ”Elementos de Cálculo Diferencial e Integral” Ed. Alsina, Bs.As - Argentina - 1a.
ed.
1956