geometria del espacio

1. SUPERFICIES CURVAS
Prof. Arq. Rubén Darío Morelli
Departamento de Sistemas de Representación
Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario
Secciones planas e intersecciones.
Trabajo con sólidos geométricos.
Conceptos y procedimientos para su posterior resolución en el sistema CAD
Clasificación de las superficies curvas geométricas
Superficies de 2º grado:
Son las superficies que no
pueden ser intersecadas por
ninguna recta en más de dos
puntos, y sus secciones planas
son curvas de 2º grado
1- Cónicas y cilíndricas de
directriz circular, elíptica,
parabólica o hiperbólica.
2- Hiperbólicas de revolución.
3- Parahiperbólicas.
4- Esféricas.
5- Elípticas alargadas y
achatadas.
6. Parabólicas de revolución
7- Hiperbólicas de 2 hojas

2. Cilindro
Esfera
Cono

3. Superficie cilíndrica de revolución. Generación.
Generatriz – g
e -Eje de revolución
perpendicular
al plano de la
directriz
Directriz -
circunferencia
g // e

4. Superficie cilíndrica oblicua. Generación.
Generatriz
g
Dirección d
Directriz
La dirección d es
oblicua al plano de la
directriz
La generatriz se mueve paralela a
la dirección d (g // d),
manteniéndose apoyada en la
curva directriz.

5. Cilindro recto
Proyecciones del cilindro
Cilindro oblicuo

6. Superficie cónica de revolución. Generación.
Generatriz - g MANTO CÓNICO
INFERIOR
Directriz de centro O
Circunferencia
e – Eje: Definido por V-O
y
┴ al plano de la directriz.
O
V
MANTO CÓNICO
SUPERIOR
V – Punto fijo
llamado Vértice

7. Cono recto. Proyecciones

8. Cono oblicuo. Proyecciones

9. Generatriz
Gira alrededor
de su diámetro
Superficie esférica. Generación.
Proyecciones Monge
PARALELOS: Cada punto de la generatriz, en su giro
alrededor del diámetro vertical, genera una
circunferencia llamada “paralelo”. Todos los paralelos
son secciones de planos horizontales. El paralelo de
máximo diámetro es el que contiene al centro de la
esfera y se denomina “ecuador”. El ecuador es el
contorno aparente de la proyección I.
MERIDIANOS: Las infinitas circunferencias de diámetro
vertical que define la generatriz en su giro son los
“meridianos” de la esfera. El meridiano contenido en
plano frontal, en Sistema Monge, es el “meridiano
principal” y es contorno aparente de la proyección II.
m”
m’
e”
e’

10. Secciones planas en cilindro recto.
1- PLANO PARALELO A LA DIRECTRIZ:
CIRCUNFERENCIA
2- PLANO PARALELO A LA GENERATRIZ:
RECTÁNGULO

11. Secciones planas en cilindro recto
3- PLANO OBLICUO AL EJE:
ELIPSE

12. Secciones planas en cono ::: 1/5
PLANO PARALELO A LA DIRECTRIZ:
CIRCUNFERENCIA

13. Secciones planas en cono ::: 2/5
PLANO QUE CONTIENE AL VÉRTICE:
TRIÁNGULO

14. Secciones planas en cono ::: 3/5
PLANO PARALELO A UNA GENERATRIZ:
PARÁBOLA

15. Secciones planas en cono ::: 4/5
PLANO OBLICUO Y CORTANTE A TODAS GENERATRICES:
ELIPSE

16. Secciones planas en cono ::: 5/51
PLANO PARALELO A DOS GENERATRICES: caso con plano Frontal (paralelo al eje del cono)
HIPÉRBOLA

17. Secciones planas en cono ::: 5/52
PLANO PARALELO A DOS GENERATRICES: caso con plano proyectante (no paralelo al eje del cono)
HIPÉRBOLA

18. Secciones planas en esfera
Sección única con cualquier plano secante:
CIRCUNFERENCIA
DEMOSTRACIÓN DE QUE LA SECCIÓN
ES UNA CIRCUNFERENCIA
Datos:
- plano alfa con sección plana en la esfera
- recta (n) perpendicular al plano alfa que pasa por el centro de la esfera
Tesis:
1- la sección de alfa es una circunferencia
2- la recta normal al plano que pasa por el
centro de la esfera, pasa por el centro de la sección circular.
Demostración:
- Se eligen dos puntos cualesquiera de la sección: A y B
- Se comparan los triángulos que se determinan: ACO y BCO
> tienen lado común CO (recta n)
> OA=OB por ser radios de la esfera
> ambos triángulos son rectángulos en C
- Por lo anterior se demuestra que ACO=BCO
- > esto implica que AC= BC y por ser puntos cualesquiera,
entonces vale para cualquier par de puntos de la sección,
por lo tanto AC y BC son radios de una CIRCUNFERENCIA de centro C
(se prueba punto 1)
-> El centro de la sección y el centro de la esfera determinan la recta (n)
perpendicular al plano de la sección (se prueba punto 2).

19. Secciones planas en esfera
PROYECCIONES SISTEMA MONGE

20. APLICACIÓN EN INTERSECCIÓNES TÍPICAS DE CILINDRO CON CONO - AutoCAD
Intersección de Superficies Curvas
MODELADO 3D EN SISTEMA CAD DE LOS SÓLIDOS
APLICACIÓN DE OPERACIONES BOOLEANAS
1- UNIÓN
2- SUSTRACCIÓN
3- INTERSECCIÓN > produce el sólido común

21. OPERACIÓN UNIÓN – AutoCAD genera un único sólido de ambos cuerpos
Intersección de Superficies Curvas
OPERACIÓN DIFERENCIA – AutoCAD genera un vaciado, por sustracción.
SÓLIDO COMUN
(INTERSECCIÓN)

22. SOBRE LAS VISTAS AUTOMÁTICAS SE HACE LA REFLEXIÓN CRÍTICA TEÓRICA PARA
FUNDAMENTAR LAS SECCIONES, VISIBILIDADES, PUNTOS NOTABLES, TANGENCIAS,
CAMBIOS DE CURVATURA. SABER EL SIGNIFICADO DE CADA LÍNEA DEL PLANO.
VISTAS AUTOMÁTICAS
Proyecciones
Sistema Monge
Proyecciones
axo-isométricas

23. PARA PODER REFLEXIONAR Y APRENDER SOBRE LO HECHO, SE DEBE OPERAR CON
LA LÓGICA DE LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA, QUE ES DIFERENTE AL
PROCESAMIENTO QUE HACE EL ORDENADOR. LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
PERMITE INTERACTUAR CON EL SOFTWARE.
LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA y el medio analógico
Método general de intersección
de recta con superficie curva.
El plano secante debe provocar una sección “franca”,
es decir, una sección fácil de trazar con precisión
con instrumentos (circunferencia, triángulo, generatrices)
Método general de intersección de superficies.
El plano secante debe provocar una sección “franca”,
en ambas superficies. El/los punto/s común/es de ambas
secciones francas son puntos de la línea de intersección