Este documento describe dos métodos para resolver problemas de programación lineal: el Método de Distribución Modificada y el Método del Cruce del Arroyo. El Método de Distribución Modificada calcula costos marginales para identificar celdas no básicas que pueden ajustarse para mejorar la solución. El Método del Cruce del Arroyo evalúa iterativamente una solución factible inicial para aproximarse a la solución óptima trazando circuitos en celdas vacías y ajustando asignaciones cuando los índices de mejoramiento son

1. Investigación Operativa II Marlon Villa Villa
UNACH 2.015
MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN MODIFICADA
El Método Modi nos ofrece la oportunidad de calcular costos marginales basados en los valores de
las variables de decisión del modelo, pero aunado a esto también nos indica la celda no básica en la
cual se deben realizar los ajustes para obtener una mejor solución.
ALGORITMO
A partir de una solución factible calculada por cualquier método (MEN, VAM O MCM ):
Paso 1. Calcular los multiplicadores (Ui, Vj) y los costos marginales (c.m)
Los multiplicadores (Ui, Vj) están asociados a toda celda básica y su expresión es:
Ci,j = Ui + Vj
Esto es un sistema de m+n–1 ecuaciones y m+n incógnitas. Los valores de los multiplicadores se obtienen
suponiendo un valor arbitrario para uno de los multiplicadores y se calcula el resto, resolviendo los m+n–1
multiplicadores restantes.
Los costos marginales están asociados a toda celda no básica, con la expresión:
C.M = Cij – (Ui + Vj)
Si todos los costos marginales son no negativos, la solución es óptima. Termina.
Paso 2. Si existe por lo menos un c.m. negativo, tomar la celda con mayor valor negativo. Crear un circuito
con todos los vértices en celdas de variables básicas. Es decir, encontrar la trayectoria de la variable “no
básica” que entrará a la solución.
Paso 3. Ajustar el valor de Xij en las celdas del circuito, comenzando por sumar la variable θ a la celda
seleccionada en el Paso 2, en el sentido de las manecillas del reloj, y alternando una resta y suma de θ en
cada celda de la trayectoria hasta regresar a la celda primera, resolver una desigualdad (≥0) para θ y ajustar
la solución. En todo caso volver al Paso 1.
Debemos recordar que
# Filas + # columnas -1 ≤ # celdas llenas
Si se cumple la igualdad es una solución NO DEGENERADA
Si no se cumple es una solución DEGENERADA

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MÉTODO DEL CRUCE DEL ARROYO (TRAMPOLIN)
El método del cruce del arroyo también llamado algoritmo de Stepping –Stone o método del paso a
paso es un método que nos ayuda a calcular cuál sería la variación del costo mínimo, además a
buscar la solución óptima de un problema de transporte solucionado por algunos de los métodos
(Vogel, Costo mínimo, Esquina Noroeste entre otros).
Este método parte de una solución factible, la cual es tomada de cualquiera de las soluciones que
arrojan los métodos de asignación.
El Cruce del Arroyo evalúa la solución inicial y mediante iteraciones (procesos aritméticos) busca
mejorarla hasta llegar a la solución óptima. Si la solución de partida es la más desfavorable en
términos económicos, el procedimiento se hará más dispendioso pues implica más iteraciones hasta
aproximarse a la solución óptima. Por tal motivo entre mas acertado sea la solución de la que
partiremos, resultara mas confiable la solución optima que resultara de nuestro procedimiento.
CARACTERÍSTICAS
1. Se debe comenzar a resolver por las celdas vacías.
2. El número de casillas debe ser igual a m+n-1
3. Se deben trazar las líneas solo horizontal y verticalmente.
4. Se puede trazar líneas por celdas llenas o vacías sin utilizarlas.
5. El Circuito debe comenzar en una celda vacía y al recorrer las celdas ocupadas debe terminar en la
misma celda vacía en la que comenzó.
6. Cuando alguno de los índices de mejoramiento arroja un resultado negativo, se toma el número
menor de las celdas con signo negativo (-) y este valor se le suma a las celdas con signo positivo
(+) y se resta a las celdas cuyo signo sea negativo(-). Estas serán las nuevas asignaciones.
7. Cuando los índices de mejoramiento arrojan como resultado cero (0) o un numero positivo se puede
concluir el ejercicio, es decir, se ha llegado a la solución optima.
IMPORTANCIA
El Método del Cruce del Arroyo nos permite encontrar la solución optima a partir del resultado
factible que arrojan las operaciones con los métodos de transporte.
PASOS DE APLICACIÓN

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Cuando se esta en la solución factible inicial, obtenida por cualquiera de los métodos de distribución
descritos anteriormente, los pasos a seguir son:
1. Se efectúan recorridos cerrados en todas las casillas no asignadas de la tabla de solución inicial. el
recorrido debe iniciar en una casilla no asignada, haciendo su recorrido por varias casillas asignadas;
en la casilla inicial ira un signo positivo(+), alternándose a uno negativo(-) y así sucesivamente en
todas las casillas asignadas por donde se efectúa el circuito.
2. Cuando se hallan efectuados todos los recorridos de las casillas no asignadas (donde los costos de las
casillas asignadas, según el recorrido tendrá signo positivo o negativo). Si todos los costos
marginales nos arrojan resultados positivos quiere decir que el ejercicio ha llegado a su final, ya que
esto nos indica que hemos llegado al resultado optimo de la operación.
3. Cuando se hallan efectuado todos los recorridos de las casillas no asignadas(donde los costos de
las casillas asignadas, según el recorrido tendrá signo positivo o negativo). y los costos marginales
nos arrojan algún resultado negativo se buscan las nuevas asignaciones y se procede a una nueva
iteración.
4. Se repite el paso 1,2 y 3 hasta que la suma de los recorridos de todas las casillas no asignadas sean
positivas(+) o cero (0), que es la forma como sabremos que el ejercicio a llegado a su resultado
optimo.