incluyendo LGR

1. 1 Diseño de compensadores y
controladores utilizando el LGR.
El objetivo principal de este capítulo es presentar los procedimientos de diseño para compensadores
y controladores utilizando el lugar geométrico de las raíces. El esquema del sistema de control a
utilizar será el clásico lazo de retroalimentación simple que se ha estudiado hasta ahora en el cual
el compensador o controlador se introducirá tal como se muestra en la Fig. 1.1, para el cual se debe
definir la función de transferencia del elemento de control o lo que es lo mismo diseñar dicho elemento
tal que se cumplan con requerimientos establecidos. Las funciones de transferencia del actuador Ga(s)
y del medidor Gm(s), serán consideradas unitarias.
Figure 1.1: Esquema de control
El lugar geométrico de las raíces representa la ubicación de las raíces de la ecuación característica a
lazo cerrado cuando se varía un parámetro, generalmente la ganancia del lazo abierto, lo que resulta
en una poderosa herramienta de análisis de la respuesta temporal a lazo cerrado de un sistema. Es por
ello que es de gran utilidad en el diseño de compensadores y controladores cuando las restricciones
del sistema de control vienen expresadas en características de respuesta temporal, tales como, ess, Mp
y ts. Tal como se mostró capítulos anteriores, añadir polos o ceros, a lazo abierto, tiene importantes
repercusiones sobre el comportamiento del sistema a lazo cerrado, por lo que la introducción de un
compensador o un controlador proporcionará mejoras en la respuesta del sistema de control. A conti-
nuación se procederá a describir un procedimiento que permite diseñar compensadores y controladores
utilizando el LGR.
1.1. Diseño de compensadores
Los compensadores a diseñar serán de tres tipos, compensadores en adelanto, en atraso y en adelanto
atraso, siendo los beneficios que proporcionan, la diferencia esencial entre ellos. En principio se des-
cribirá en forma general cada tipo de compensación, de forma tal que quede bien claro los efectos que
proporcionan sobre el LGR o lo que es lo mismo, las posibilidades de mejora de la respuesta que cada
uno de ellos podría darle al sistema a lazo cerrado.
1

2. 1 Diseño de compensadores y controladores utilizando el LGR.
Tanto el compensador por adelanto como el de atraso están conformados por una pareja de cero y
polo en el eje real, teniéndose que en el caso del adelanto la separación entre el cero y el polo es
apreciable y el cero se encuentra más cerca del eje imaginario que el polo, por lo que al añadirlos
se añade un ángulo positivo considerable y se logra modificar la forma del lugar geométrico. En el
caso del compensador en atraso, tanto el polo como el cero se añaden muy próximos al origen, por lo
que no se modifica la forma del lugar geométrico sino la ganancia a lo largo del mismo. Finalmente,
el adelanto atraso proporciona dos parejas de ceros y polos que pueden modificar tanto la forma del
lugar geométrico como la ganancia a lo largo del mismo. A continuación se describirá detalladamente
el procedimiento de diseño de cada uno de ellos y se resaltará lo mencionado anteriormente.
1.1.1. Compensación en adelanto
La función de transferencia del compensador en adelanto se muestra en la Ec. 1.1, en la cual se aprecia
que el cero ocurre en s = −1/T y el polo en s = −1/αT. Dado que, 0,05 < α < 1, la ubicación del
cero y del polo en el plano s será como la que se muestra en la Fig. 1.2, a partir de alli se observa
que el ángulo proporcionado por el cero y el polo respecto a un punto específico del plano serán φz y
φp, respectivamente, por lo que al añadir el compensador en adelanto, la condición de ángulo se verá
modificada en un valor igual a φ = φz − φp a lo largo de todo el LGR. Debido a ésto, al introducir
este tipo de compensador se modifica la forma del LGR con lo cual se pueden lograr mejoras en la
respuesta transitoria del sistema a lazo cerrado siguiendo el procedimiento de diseño que se detalla a
continaución.
Gad (s) =
s+ 1
T
s+ 1
αT
= α
(Ts+1)
(αTs+1)
(1.1)
Figura 1.2: Cero y polo del adelanto en el plano s
Procedimiento de diseño
→ A partir de las especificaciones de respuesta transitoria que debe cumplir el sistema a lazo ce-
rrado, se determina la localización de los polos dominantes deseados, que en adelante serán
identificados como PDD.
→ Se verifica si los PDD pertenecen al LGR del sistema no compensado, lo cual puede realizarse
por simple observación si se dispone del LGR exacto o se realiza utilizando la condición de
ángulo.
2

3. 1.1 Diseño de compensadores
→ A partir del cálculo anterior se dispone del ángulo necesario para lograr que los PDD pertenez-
can al LGR, el cual conoceremos de ahora en adelante como φ. Con ello se diseña la red de
adelanto utilizando cualquiera de los siguientes procedimientos.
• Primer método: se ubica el cero y el polo del compensador en cualquier lugar del eje real
de forma tal que el ángulo proporcionado por ambos sea igual a φ. También se puede
colocar el cero debajo del PDD, tal como se observa en la Fig. 1.3 y se ubica el polo de
forma tal que se satisfaga la condición de ángulo, es decir, φ = 900 −φp. Se debe tener el
cuidado de no calcelar ni polos ni ceros de la función de trasnferencia a lazo abierto.
Figura 1.3: Ubicación del polo y cero. Primer método.
• Segundo método o método de la bisectriz: se traza una horizontal que pase por el PDD y
una recta que una el origen con el mismo polo. Se traza la bisectriz al ángulo formado y
de allí se trazan dos rectas a φ/2 de cada lado, lo que ubica el polo y el cero del adelanto.
Ver Fig. 1.4. Este método garantiza que la mayor ganancia en el PDD.
Figura 1.4: Ubicación del polo y cero. Primer método.
→ Una vez ubicados el cero y el polo del adelanto se recomienda realizar el LGR exacto o un
esbozo del mismo para garantizar que los PDD pertenecen a una rama dominante del LGR.
→ Finalmente se debe calcular por condición de módulo la ganancia tal que, los polos dominan-
tes deseados sean la solución de la ecuación característica, tal como se muestra en la Ec. 1.2.
Una vez calculada esta ganancia, se podrían obtener las raíces de la ecuación característica del
sistema compensado y verificar que los PDD son verdaderamente los que dominan la respues-
ta del lazo cerrado, en caso de que con el paso anterior ello no haya quedado completamente
demostrado.
3

4. 1 Diseño de compensadores y controladores utilizando el LGR.
|KcGad(s)G(s)| = 1 (1.2)
Ejemplo 1.1 Para un sistema de control como el mostrado en la Fig. 1.1, donde la función de transfe-
rencia del medidor y del accionador son unitarias, se tiene que la función de transferencia del proceso
viene expresada por la Ec. 1.3. Se desea que se diseñe un compensador tal que, los polos dominantes
del lazo cerrado se encuentren en s = −3±2
√
3 j. Una vez añadido el compensador determine el error
del sistema de control ante una rampa unitaria.
G(s) =
1
s(0,5s+1)
(1.3)
Solución
Se verifica si los PDD pertenecen al lugar geométrico de las raíces utilizando la condición de ángulo,
tal como se muestra en la Ec. 1.4, a partir de la cual se determina el ángulo que debe introducir el
compensador.
−∠
−3+2
√
3 j
−∠
h
0,5
−3+2
√
3 j
+1
i
= −130,890
−106,110
= −2370
6= −1800
(1.4)
de allí que el ángulo a añadir será,
φ = 570
Utilizando el primer método se ubica el cero del adelanto debajo del PDD por lo que el ángulo del
polo será φp = 90 − φ, a partir de allí se calcula la ubicación del polo tal como se muestra en la Ec.
1.5.
sp = 3+
2
√
3
tg(330)
!
= 8,33 (1.5)
de allí que la función de transferencia a lazo abierto quedará,
G(s)Gad(s) =
1
s(0,5s+1)
Kc
s+3
s+8,33
A continuación se calcula la ganancia Kc que garantiza que los PDD son verdaderamente la solución
de la ecuación característica a lazo cerrado, para lo que se utiliza la condición de módulo.
Kc =

6. −3+2
√
3 j

10. 0,5 −3+2
√
3 j
+1

14. −3+2
√
3 j +8,33

18. −3+2
√
3 j +3

20. =
3,46
(4,58)(1,8)(6,36)
= 1
Kc = 15,16
4

21. 1.1 Diseño de compensadores
1.1.2. Compensación en atraso
Para un sistema que tiene buenas características de respuesta transitoria pero no satisface los requeri-
mientos en respuesta permanente se utiliza la compensación en atraso. Esencialmente, un compensa-
dor en atraso aumenta la ganancia de lazo cerrado sin modificar apreciablemente el lugar geométrico
de las raíces, para lo cual se colocan el cero y el polo de la red de atraso cerca del origen siendo la
función de transferencia del compensador la que se muestra en la Ec. 1.6, donde 1 β 15.
Gat (s) = Kcβ
(Ts+1)
(βTs+1)
= Kc
s+ 1
T
s+ 1
βT
(1.6)
Debido a que el cero y el polo del atraso se colocan muy cerca del origen, los dos vectores que se
forman entre ellos y el PDD tienen prácticamente el mismo módulo y el mismo ángulo, tal como se
puede observar en la Fig. 1.5. Es por ello que la red de atraso no tendrá prácticamente ningún efecto
sobre la condición de módulo y la condición de ángulo, es decir,
|Gat (s)|PDD =

27. Kc
s+ 1
T
s+ 1
βT

33. PDD
≈ 1 ⇒ Kc ≈ 1 (1.7)
∠

Kc
s+ 1
T
s+ 1
βT

 50
(1.8)
Figura 1.5: Cero y polo del atraso en el plano s
Por lo tanto, si la función de transferencia de lazo abierto, evaluada para PDD, satisface las condiciones
de ángulo y módulo, al añadirle Gat(s), las mismas no se verán afectadas. De allí que sólo queda
verificar que la nueva función de transferencia a lazo abierto G(s)Gat(s), tendrá una variación en su
ganancia igual a β.
Procedimiento de diseño
→ A partir de las especificaciones de respuesta transitoria que debe cumplir el sistema a lazo ce-
rrado, se determina la localización de los polos dominantes deseados, conocidos como PDD.
→ Verificar que PDD pertenezcan al lugar geométrico de las raíces.
5

34. 1 Diseño de compensadores y controladores utilizando el LGR.
→ Calcular la ganancia que garantiza que los PDD serán las soluciones de la ecuación característica
a lazo cerrado.
→ Calcule el coeficiente de error del sistema, incluyendo la ganancia calculada previamente.
→ Si se requiere aumentar la ganancia del sistema de control para satisfacer los re coeficiente de
error, se añade el compensador en atraso y se calcula el β tal como sigue,
β =
Krequerido
Knocompensado
→ Es importante destacar que la ganancia del sistema no compensado, Knocompensado, debe incluir
el cálculo inicial que se hizo de la ganancia para que los PDD fuesen las soluciones de la ecua-
ción característica a lazo cerrado.
→ Se ubica el cero cerca del origen y con el valor de β se calcula la posición del polo.
→ Se verifica la condición de módulo y de ángulo para garantizar que el polo dominante deseado
pertenezca al lugar geométrico de las raíces después de incluir el compensador.
→ Se verifica que se satisfaga el error solicitado.
Ejemplo 1.2 Para un sistema de control en retroalimentación simple cuya función de transferencia
del proceso se muestra en la Ec. 1.9, se desea que los polos dominantes deseados sean s = −2±2
√
3 j
y además se satisfaga un Kv = 20.
G(s) =
1
s(s+4)
(1.9)
Solución
En principio se debe verificar si los PDD pertenecen al LGR utilizando la condición de ángulo, tal
como se muestra en la Ec. 1.10.
−∠
−2+2
√
3 j
−∠
−2+2
√
3 j +4
= −1200
−600
= −1800
(1.10)
Una vez que se comprueba que los PDD pertenecen al LGR se calcula la ganancia requerida para que
dichos polos sean la solución característica a lazo cerrado utilizando condición de módulo.
K
1

36. −2+2
√
3 j

40. −2+2
√
3j +4

42. !
= 1 ⇒ K = 16
conocida la ganancia se calcula el coeficiente de error del sistema no compensado,
Kv = lim
s→0
s
16
s(s+4)
= 4
de allí que el β del compensador en atraso será,
β =
20
4
= 5
6

43. 1.1 Diseño de compensadores
se fija la ubicación cero y se calcula la del polo,
sz = −0,05
sp = −0,05/β = −0,01
se comprueba que el módulo y ángulo del compensador para comprobar que se cumplan las Ecs. 1.7
y 1.8, respectivamente.

47. s+0,05
s+0,01

51. PDD
=
3,98
4
≈ 1
∠(s+0,05)−∠(s−0,01) = 119,40
−119,90
= 0,50
50
Finalmente se comprueba el valor del coeficiente de error del sistema,
Kv = lim
s→0
s
16
s(s+4)
s+0,05
s+0,01
= 20
1.1.3. Compensación en adelanto-atraso
Este compensador se añadirá cuando se necesite modificar las condiciones de la respuesta transitoria
y permanente. Su diseño puede ser realizado a partir del diseño separado de la red de atraso y la red
de adelanto, es decir, se diseña inicialmente la red de adelanto tal que los polos dominantes deseados
(PDD), pertenezcan al LGR y luego a través del atraso se logra la ganancia deseada en lazo directo
que satisfaga el error. También se puede lograr el diseño del compensador en el cual se establezca que
el parámetro α del adelanto sea el inverso del parámetro β del atraso. Para cada casa, se ilustran los
métodos a través de ejemplos.
Ejemplo 1.3 Un sistema de control en retroalimentación simple tiene la función de transferencia del
proceso que se muestra en la Ec. 1.11. Para dicho sistema se requiere que el lazo cerrado tenga una
respuesta tal que, el ζ ≥ 0,5; el ts(2%) ≤ 2 y el Kv ≥ 20 para lo cual se dispone de compensadores en
adelanto, atraso y adelanto-atraso.
G(s) =
1
s(s+1)(s+5)
(1.11)
Solución
Se determinan los PDD en el límite y se ubican los mismos en el plano s sobre un esbozo del LGR
de forma tal que se compruebe si existe algún lugar del LGR que pueda satisfacer los requerimientos
establecidos.
7

52. 1 Diseño de compensadores y controladores utilizando el LGR.
ts(2%) =
4
ζωn
= 2 ⇒ ωn = 4
de allí que los PDD serán,
s = −ζωn ±ωn
q
1−ζ2 ⇒ s = −2±3,46j
Se ubican en un esbozo del LGR, tal como se muestra en la Fig. 1.6, donde se comprueba que los
mismos no pertenecen la LGR.
Figura 1.6: LGR. G(s) = K
s(s+1)(s+5)
Se observa claramente que los PDD no pertenecen la LGR por lo que se procederá a calcular el ángulo
necesario que deber´s introducir un compensador en adelanto utilizando la condición de ángulo.
−∠
−2+2
√
3 j
−∠
−2+2
√
3 j +1
−∠
−2+2
√
3j +5
= −1200
−106,10
−49,110
= −275,210
φ = −1800
+275,210
≈ 950
Como φmax = 650 se deben añadir dos compensadores por adelanto para alcanzar el ángulo necesario,
por lo que se procede a diseñar un compensador doble, para el cual el ángulo φ se repartirá por igual
entre los dos compensadores. Aplicando el método de la bisectriz y ciertas relaciones trogonométricas
se obtiene la ubicación de los ceros y de los polos.
sz = −2,38
8

53. 1.1 Diseño de compensadores
sp = −6,72
A continuación se requiere calcular la ganancia que garantice que los PDD serán la solución de la
ecuación característica a lazo cerrado utilizando la condición de módulo, para luego comprobar si se
cumple la condición de error,

57. 1
s(s+1)(s+5)

61. PDD

66. Kad
s+2,38
s+6,72
2

71. PDD
= 1
Kad =
(4)(3,461)(4,58)(5,85)2
(3,48)2
= 186,54
Kv = lim
s→0
s
186,54(s+2,38)2
s(s+1)(s+5)(s+6,72)2
!
= 4,68 6= 20
Como no satisface la condición de error se debe diseñar uncompensador en atraso para modificar la
ganancia a lo alrgo del LGR, para lo cual se calcula el valor de β tal como sigue,
β =
20
4,68
= 4,27
se fija la ubicación cero y se calcula la del polo,
sz = −0,05
sp = −0,05/β = −0,0117
se comprueba que el módulo y ángulo del compensador para comprobar que se cumplan las Ecs. 1.7
y 1.8, respectivamente.

75. s+0,05
s+0,0117

79. PDD
=
3,97
4
≈ 1
∠(s+0,05)−∠(s−0,0117) = 119,40
−119,840
= 0,470
50
Finalmente se comprueba el valor del coeficiente de error del sistema,
Kv = lim
s→0
s
186,54(s+2,38)2
(s+0,05)
s(s+1)(s+5)(s+6,72)2
(s+0,0117)
!
= 20
9

80. 1 Diseño de compensadores y controladores utilizando el LGR.
Ejemplo 1.4 Para un sistema de control de retroalimentación simple cuya función de transferencia a
lazo abierto es la que se muestra en la ec. 1.12 se requiere diseñar un compensador tal que el sistema
a lazo cerrado cumpla con los requerimientos que se detallan a continuación.
ts2% ≤ 4
3 Mp ≤ 0,25 ess ≤ 0,2 (escalón unitario)
G(s) =
K
(s+1)(s+4)(s+10)
(1.12)
Solución
Se debe verificar si los polos dominantes del sistema que cumplan con los requerimientos señalados
anteriormente pertenecen o no al Lugar Geométrico de las Raíces. Para ello se ubican los polos y se
utiliza la condición de ángulo tal como sigue.
Polos Dominantes Deseados (PDD)
Mp ≤ 0,25 ⇒ ζ = 0,40
ts2% ≤ 4
3 ⇒ 4
ζωn
≤ 4
3
ζωn ≥3 ⇒ ωn = 6,86
De allí que los PDD se encuentran ubicados en s = −3±6,86 j. Utilizando la condición de ángulo se
verifica si dichos polos pertenecen o no al LGR.
−∠(−3±6,86j +1)−∠(−3±6,86 j +4)−∠(−3±6,86j +10) = −1200
−(106,3o
+81,71o
+44,42o
) = −232,38o
6= −180o
Esto indica que los PDD no pertenecen al LGR, por lo que será necesario añadir un compensador en
adelanto que logré la modificación del LGR de forma tal que los PDD pertenezcan a él, para lo cual
se calcula el ángulo necesario.
φ = −180o
+232,38o
= 52,38o
≈ 52o
Se utiliza el método según el cual, se coloca el cero del adelanto tal que proporcione un ángulo de
90o y se calcula el polo tal que la diferencia en ángulo cumpla con lo requerido, con lo cual puede
calcularse a su vez la ubicación del polo.
φz −φp = 52o
⇒ φp = 90o
−52o
= 38o
sp = −
3+
6,86
tan(38o)
= −11,78
10

81. 1.1 Diseño de compensadores
Se esboza el LGR para comprobar que con este diseño se logre que los PDD se encuentren en las
ramas dominantes del LGR. A continuación se muestra en la fig. 1.7 un esbozo del LGR considerando
el diseño previo.
Figura 1.7: Esbozo LGR Primer Diseño
Como se puede observar la rama dominante del lugar geométrico será aquella que se encuentra el polo
en s = 1 y el cero en s = −3, por lo que los PDD no serán dominantes. Esto quiere decir que este
diseño no puede ser realizado utilizando este método.
Se podría utilizar el método de la bisectriz para ubicar el cero y el polo del adelanto, calculando en
forma analítica la función de transferencia del adelanto, pero la ubicación del cero y del polo serían
las siguientes, por lo que los PDD seguirían sin pertenecer a las ramas dominantes del LGR.
sz = −3,87
sp = −14,5
Finalmente, se fijará la ubicación del cero más allá de s = −4, con lo que se garantiza que los PDD se
encontrarán en las ramas dominantes del LGR. Se fija el cero en s = −4,5 y se calcula la ubicación
del polo tal que se logre el ángulo φ requerido,
tan(φz) =
6,86
4,5−3
⇒ φz = 77,66
φz −φp = 52o
⇒ φp = 770
−52o
= 250
sp = −
3+
6,86
tan(250)
= −17,33
11

82. 1 Diseño de compensadores y controladores utilizando el LGR.
GAD(s) = Kc
(s+4,5)
(s+17,33)
se calcula el valor de la ganancia Kc utilizando la condición de módulo.

86. Kc
(s+4,5)
(s+1)(s+4)(s+10)(s+17,33)

90. PDD
= 1
Kc
(7,02)
(7,15)(6,93)(9,80)(15,89)
= 1 ⇒ Kc = 1098,46
Diseñado por completo el compensador por adelanto se calcula el error al escalón unitario para veri-
ficar si se cumple con la condición impuesta. Para ello se calculará primero el coeficiente estático de
error de posición Kp y luego el error.
Kp = lı́m
s→0
1098,46(s+4,5)
(s+1)(s+4)(s+10)(s+17,33)
= 7,13
ess =
1
1+7,13
= 0,12
De allí que se comprobó que el compensador diseñado cumple con los requerimientos solicitados,
tanto en respuesta transitoria como en permanente.
1.2. Diseño de controladores
Los controladores también pueden ser diseñados utilizando el LGR, a partir del cual es posible de-
terminar los parámetros de cada controlador tal que satisfagan requerimientos establecidos, tanto de
respuesta transitoria como permanente. Los controladores a estudiar y sus funciones de transferencia
serán los siguientes,
Proporcional (P) Gc(s) = Kc
Proporcional Derivativo (PD) Gc(s) = Kc (1+Tds) = KcTd
1
Td +s
Proporcional Integral (PI) Gc(s) = Kc
1+ 1
Tis
= Kc
Tis (Tis+1)
Proporcional Integral Derivativo (PID) Gc(s) = Kc
1+Tds+ 1
Tis
= Kc
Tis TdTis2 +Tis+1
En secciones anteriores se ha estudiado el efecto que cada tipo de controlador tiene sobre la respuesta,
pero aún así, en esta sección se hará un breve resumen de ello poniendo especial atención entre cada
tipo de controlador y su efecto sobre el LGR.
La acción de un controlador proporcional sobre la respuesta transitoria puede determinarse al observar
que, en general, el parámetro respecto al cual se obtiene el LGR resulta ser la ganancia proporcional,
12

91. 1.2 Diseño de controladores
por lo que las soluciones de la ecuación característica a lazo cerrado coinciden con las raíces que se
mueven a lo largo del LGR a medida que cambia dicha ganancia. En cuanto a la respuesta permanente,
se sabe que a medida que aumenta la ganancia del alzo abierto disminuye el error finito del lazo
cerrado.
Un controlador proporcional derivativo, además de añadir la ganancia proporcional, introduce un cero
cuya ubicación depende del tiempo derivativo Td. Dicho cero es capaz de mejorar la respuesta tran-
sitoria proporcionando un ángulo positivo que permitirá modificar el LGR hacia lugares del plano s
que se encuentren más alejados del eje imaginario. Es por ello que este tipo de controlador tiene co-
mo objetivo fundamental la mejora de la respuesta transitoria, siendo su efecto sobre la permanente
semejante al suministrado por un controlador proporcional.
La característica más resaltante de un controlador proporcional integral es la inclusión de un polo
en el origen, lo que incrementa en uno el tipo del sistama a lazo abierto con lo que se logra una
mejoral radical de error a lazo cerrado. Lamentablemente, al añadir un polo en el origen la respuesta
transitoria se ve altamente perjudicada pues el LGR tiende a desplazarse hacia el eje real haciando a
la respuesta mucho más lenta e inclusive podría inestabilizar al sistema. Gracias a que el PI dispone
también de un cero, se logra mitigar un poco el efecto negativo del polo en el origen, pero si se
requiere que las caracterñsiticas de la respuesta transitoria sean bastante mejores que la del sistema
original, probablemente dicho controlador no lo pueda proporcionar. Para ello existe el controlador
porporcional integral derivativo, el cual además de añadir el polo en el origen añade dos ceros, por lo
que además de mejorar importantemente el error también se logra mejorar la respuesta transitoria. A
continuación se mostrarán distintos ejemplos que ilustran los métodos de diseño de los distintos tipos
de controladores.
Ejemplo 1.5 Para un sistema de control de velocidad en retroalimentación simple, cuya función de
transferencia del proceso se muestra en la Ec. 1.13, se necesita que el sistema a lazo cerrado satisfaga
los siguientes requerimientos:
→ Error al escalón unitario menor que 0,1
→ Polos dominantes s = −1+2 j
G(s) =
1
s(s+1)(s+3)
(1.13)
Solución
Tal como se observa en un esbozo del LGR en la Fig. 1.8, el PDD no pertence al mismo por lo que se
hará necesario su modificación.
13

92. 1 Diseño de compensadores y controladores utilizando el LGR.
Figura 1.8: LGR. G(s) = K
s(s+1)(s+5)
En lo que respecta a la respuesta permanente, la misma siempre se cumple pues por ser el sistema
a lazo abierto de tipo I, su error al escalón será cero. Por eso no se requiere ninguna corrección de
la respuesta permanente sino solamente transitoria, lo que conlleva a concluir que el controlador a
diseñar será un proporcional derivativo.
Se utiliza la condición de ángulo y se determina el ángulo φ a añadir tal como se muestra, a partir de
lo cual también se calcula la ubicación del cero del controlador,
−∠(−1+2 j)−∠(−1+2 j +1)−∠(−1+2 j +3) = −116,560
−900
−450
= −251,560
φ = 71,560
≈ 720
sz = −
1+
2
tg(720)
= −1,667
1
Td
= 1,667 ⇒ Td = 0,6
luego de conocida la ubicación del cero se calcula la ganancia que garantice que los PDD serán las
soluciones de la ecuación característica a lazo cerrado,

96. KcTd (s+1,667)
s(s+1)(s+3)

100. PDD
= 1
KcTd =
(2,24)(2)(2,83)
2,12
= 6 ⇒ Kc = 10
14

101. 1.2 Diseño de controladores
Ejemplo 1.6 Para un sistema de control de retroalimentación simple cuya función de transferencia a
lazo abierto es la que se muestra en la Ec. 1.14, se requiere introducir un controlador que garantice
que la respuesta del lazo cerrado tenga un ts2% ≤ 1, ωd ≤ 2 y un coeficiente de error de velocidad
Kv ≥ 20.
G(s) =
1
(s+1)(s+5)
(1.14)
Solución
A partir de los requerimientos de respuesta transitoria se ubican los PDD que cumplan con dichas
condiciones,
ts(2%) = 4
ζωn
= 1 ζ =
√
3
3
⇒ ⇒ sPDD = −4±2 j
ωd = ωn
p
1−ζ2 = 2 ωn = 4
√
3
En cuanto a la respuesta permanente se hace necesario aumentar el tipo del sistema pues el sistema
original tiene error infinito a la rampa, por lo que se concluye que es necesario introducir un contro-
lador proporcional integral o proporcional integral derivativo. Se verifica si los PDD pertenecen al
LGR considerando el polo en el origen, de forma tal que se determine si es necesario introducir un
cero (PI) o dos ceros (PID) dependiendo de la cantidad de ángulo φ que se deba añadir,
−∠(−4+2 j)−∠(−4+2 j +1)−∠(−4+2 j +5) = −153,40
−146,30
−63,420
= −363,560
φ = 183,560
≈ 1840
Esa cantidad de ángulo no puede ser añadida por un solo cero, por lo que se concluye que el contro-
lador a añadir debe ser PID, de forma tal que entre los dos ceros se logre introducir el φ necesario.
La ubicación de los ceros puede ser cualquiera con tal de que los PDD terminen en las ramas do-
minantes del LGR. Se escoge ubicar un cero justo abajo del PDD, por lo que el ángulo del mismo
sería 900, lo que dejaría los restantes 940 al otro cero, cuya ubicación se determina analíticamente
utilizando relaciones trigonométricas. Finalmente el controlador quedará tal como se muestra en la
Ec. 1.15, donde la ganancia del mismo se determina utilizando la condición de módulo.
Gc(s) = Kc
(s+4)(s+3,88)
s
(1.15)

105. 1
(s+1)(s+5)

109. PDD

113. K
(s+4)(s+3,88)
s

117. PDD
= 1
K =
(3,61)(2,24)(4,47)
(2)(2)
⇒ K = 8,99 ≈ 9
de allí que la función de transferencia del controlador quedará completamente determinada, a partir
de la cual se pueden conocer los parámetros característicos del controlador.
15

118. 1 Diseño de compensadores y controladores utilizando el LGR.
9
(s+4)(s+3,88)
s
=
Kc
Tis
TdTis2
+Tis+1
9
s
s2
+8s+16
=
KcTd
s
s2
+
1
Td
s+
1
TdTi
Kc = 72 Td = 0,125 Ti = 0,5
Finalmente se calcula el coeficiente de error Kv para verificar que se cumpla con el requerimiento
establecido,
Kv = lim
s→0
s
9(s+4)(s+3,88)
s(s+1)(s+5)
= 28,8
Ejemplo 1.7 El LGR de un sistema de control de retroalimentación simple se muestra en la Fig. 1.9,
cuya función de transferencia a lazo abierto es G(s) = (s+2)
(s−2)2 . Se desea que diseñe el controlador más
sencillo (P, PD, PI, PID) tal que, la respuesta a lazo cerrado, satisfaga cada uno de los siguientes casos:
Caso I: La mejor respuesta transitoria y permanente a lazo cerrado tal que el ts(2%).
Caso II: Error finito a la rampa con un Kv = 20, ts(2%) ≤ 4 s y un ζ 1.
−8 −6 −4 −2 0 2 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Eje Real
Eje
Imaginario
X
X
Figura 1.9: Lugar geométrico de las raíces G(s) = (s+2)
(s−2)2
Solución
Caso I
Se requiere el diseño del controlafor más senciloo teniendo una única restricción que se refiere al tiem-
po de establecimiento, por lo que a partir de allí se establece la mínima cercanía con el eje imaginario
que deben tener los polos dominantes,
ts(2%) =
4
ζωn
≤ 1 ⇒ ζωn ≥ 4
16

119. 1.2 Diseño de controladores
o lo que es lo mismo,
1
τ
≥ 4
Se verifica sobre el LGR que existan polos que satisfagan la condición de tiempo de establecimiento,
encontrándose dos posibles valores de s1 y s2, tal como se observa en la Fig. 1.10,
s1 = −4±3,5 j s2 = −4
−8 −6 −4 −2 0 2 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Eje Real
Eje
Imaginario
X
X
S1
S2
Figura 1.10: Ubicación de los polos que satisfacen ts(2%)
Analizando la ubicación de s1 y s2 se puede concluir que, si las soluciones de la ecuación caracte-
rística a lazo cerrado son s1 entonces la respuesta presentará un sobreimpluso en tanto que si el polo
dominante fuese s2 la respuesta no tendría pico y el valor de la ganancia sería mayor. Por ello se deci-
de utilizar un controlador proporcional que garantice que s2 sea una de las soluciones de la ecuación
característica a lazo cerrado. El valor de la ganancia proporcional se obtiene utilizando la condición
de módulo,

124. Kc
(s+2)
(s−2)2

129. s=−4
= 1 ⇒ Kc
(2)
(6)2
= 1
Kc = 18
Caso II
17

130. 1 Diseño de compensadores y controladores utilizando el LGR.
En este caso se solicita un error finito a la rampa por lo que se hará necesario aumentar el tipo del
sistema lo que solamente se logrará si se introduce un controlador proporcional integral o proporcional
integral derivativo. Se debe añadiu un polo en el origen y determinar en que lugar deben estar el o los
ceros del controlador para lograr la respuesta transitoria deseada, para lo cual se ubican los PDD que
garantizan la respuesta transitoria deseada, respetando las condiciones establecidas,
ts(2%) =
4
ζωn
≤ 4 ⇒ ζωn ≥ 1
ζ ≥ 1
Para cumplir ambas condiciones los polos deben ser reales y encontrarse s ≤ −1, por lo que si se coloca
el cero del controlador en s = −1,5 y se fija el PDD en s = −1, el mismo formará parte del LGR tal
como se observa en la Fig. 1.11. Restará calcular la ganancia para dicho punto y la verificación de que
dicho polo considerado dominante así lo sea verdaderamente, lo que se realiza obteniendo todas las
soluciones de la ecuación característica a lazo cerrado para dicha ganancia.
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−6
−4
−2
0
2
4
6
Eje Real
Eje
Imaginario
PDD
X X
X
Figura 1.11: LGR con un controaldor PI

135. Kc
(s+2)
(s−2)2
!
s+1,5
s

140. s=−1
= 1 ⇒ Kc
(1)
(3)2
(0,5)
(1)
= 1
Kc = 18
para dicha ganancia la ecuación característica a lazo cerrado y sus soluciones serán,
18

141. 1.2 Diseño de controladores
s3 +14s2 +67s+54 = 0 ⇒ s = −1
s = −6,5±3,42j
por lo que se garantiza que el polo dominante cumplirá con las condiciones establecidas. Ahora debe
revisarse si se cumple con la condición de error,
Kv = lim
s→0
s 18
(s+2)
(s−2)2
!
s+1,5
s
!
= 13,5
El valor de Kv debe ser mayor que 20 para satisfacer la condición de error, para ello se puede trasla-
dar el PDD hacia el cero, lo que aumentará la ganancia y por ende el Kv. Se escoge s = −1,25 y se
repiten los cálculos, tal como sigue,

146. Kc
(s+2)
(s−2)2
!
s+1,5
s

151. s=−1,25
= 1 ⇒ Kc
(0,75)
(3,25)2
(0,25)
(1,25)
= 1
Kc = 70,42
ya no hay necesidad de verificar si el PDD será el polo dominante pues, si para la ganancia anterior,
que era menor, resultaba dominante, para esta ganancia los otros dos polos se encontraran aún más
alejados del eje imaginario. Por ello se pasará directamente al cálculo del Kv,
Kv = lim
s→0
s 70,42
(s+2)
(s−2)2
!
s+1,5
s
!
= 52,81
Ahora si se cumplen todos los requerimientos, por lo que la función de transferencia del controlador
y sus parámetros serán los siguientes,
Ti = 0,66
Gc(s) = 70,42
s+1,5
s
= Kc
Tis (Tis+1) ⇒
Kc = 70,42
19