1. DEFINICIÓN DE DERIVADA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA JAVIER BERENGUER MALDONADO

3. LA IMPORTANCIA DE LAS TANGENTES La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:

4. m=0 m=0 m<0 m>0 m<0 En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0) En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa.

5. Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a y=-3/2x-24 y=-4 y=3 y=1,2x+1,5 y=-1,3x+13 La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a” f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene pendiente -3/2. f’(-2)= 0 f’(4)=0 f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3

6. ¿CÓMO CALCULAR LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO? Conocidos dos puntos de la recta tangente puedo calcular su ecuación. (1,-1) (3,2) Resolviendo el sistema: y= 3/2 x-5/2 De esta manera f’(3)=3/2 y=mx+n Pasa por (1,-1) -1=m+n Pasa por (3,2) 2=m·3+n

7. ¿CÓMO CALCULAR LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO? Lo anterior es muy largo pues lo único que me interesa saber es la “m”. Para calcularla hay una manera muy fácil: (1,-1) )=(x 0 ,y 0 ) (3,2)=(x 1 ,y 1 ) De esta manera f’(3)=3/2

8. IMPORTANTE O LO QUE ES LO MISMO:

9. Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer? Resolvamos la cuestión en varias etapas. A(a,f(a)) Recta t ¿f'(a)=m?

10. Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h)) A(a,f(a)) Recta t a a+h P(a+h,f(a+h))

11. Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las coordenadas de los dos puntos A y P. h f(a+h)-f(a) A(a,f(a)) Recta t a a+h P(a+h,f(a+h))

12. Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De esta forma: A a a+h P h 0

15. Calcula la derivada de f(x)=x 2 /4 para a=2

16. ¿Qué información da lo anterior? * La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x=2 es 1, por lo que la recta tangente a mi función en x=2 es: * Además como la derivada es +, esto indica que cerca de x=2 la función es creciente. y=y 0 +m(x-x 0 ) f(x)=x 2 /4 (x 0 ,y 0 )