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Valuación de Opciones Europeas
con el Modelo de Heston
utilizando*Métodos*de*Diferencias*Finitas
Maestría en Finanzas Cuantitativas
Examen Previo Posgrado
David Solís
Diferencias Finitas
Experimentos Numéricos
Conclusiones
Referencias
Introducción
Retroalimentación
1
2
3
4
5
6
Objetivo del Trabajo
Este trabajo tiene el objetivo de fungir como una prueba de concepto para
demostrar que hay alternativas de por lo menos igual calidad a productos
comerciales de muy alto costo y la oportunidad que representa la
implementación de algoritmos para problemas no contemplados por estos
productos.
Nuestra primera hipótesis es que se puede robustecer el método
ponderado o método θ utilizando una malla no uniforme. La segunda
hipótesis es que para la PDE de Heston, el esquema implícito de
direcciones alternadas (ADI por las siglas en inglés de alternating direction
implicit) es una mejor alternativa al método θ. La tercera hipótesis es que
para este tipo de PDEs, los métodos de diferencias finitas son una mejor
opción a una solución basada en simulación de Monte Carlo.
3
Modelo Heston
4
Modelo Heston
4
Modelo Heston
4
PDE de Heston
5
PDE de Heston
Dependiente
del tiempo
5
PDE de Heston
Segundo orden
5
PDE de Heston
Difusión
5
PDE de Heston
Convección
5
PDE de Heston
Reacción
(factor de
descuento)
5
PDE de Heston
Término
derivado mixto
5
PDE de Heston
L es un
operador
6
PDE de Heston
Condiciones de Frontera
7
PDE de Heston
Condiciones de Frontera
Valor al
vencimiento
7
PDE de Heston
Condiciones de Frontera
Precio del
subyacente = 0
7
PDE de Heston
Condiciones de Frontera
A medida que aumenta
el precio de la acción,
la delta se acerca a 1
7
PDE de Heston
Condiciones de Frontera
Cuando la volatilidad
aumenta, la opción de
compra es igual al precio
de la acción
7
Diferencias Finitas
Experimentos Numéricos
Conclusiones
Referencias
Introducción
Retroalimentación
1
2
3
4
5
6
Representación de la Solución de PDEs
x1
t1
),( 11 txT
T=3.5
T=5.2
Diferentes curvas
son usadas para
diferentes valores de
una de las variables
independientes
Una gráfica en 3
dimensiones de la
función T(x, t)
Los ejes representan las
variables independientes.
Los valores de la función
se muestran en los
puntos de la malla.
9
Métodos de Diferencias Finitas
‣ Dividir el intervalo x en sub
intervalos cada uno de longitud h
‣ Dividir el intervalo t en sub
intervalos cada uno de longitud k
‣ Se usa una malla de puntos para
la solución de diferencias finitas
‣ Uij representa U(xi, tj)
‣ Se reemplazan las derivadas por
las fórmulas de diferencias
finitas
t
x
10
Convergencia y Estabilidad
‣ Convergencia
‣ Significa que la solución obtenida por el método de las diferencias
finitas se aproxima a la verdadera solución cada vez que Δt y Δx
se hacen más pequeñas.
‣ Estabilidad
‣ Un algoritmo es estable si los errores en cada etapa no se
magnifican a medida que el cómputo avanza
‣ Consistencia
‣ Una ecuación en diferencias tiene consistencia cuando solamente
aproxima la ecuación diferencial que representa
11
Construcción de Mallas
Mallas Uniformes
12
Construcción de Mallas
Mallas Uniformes
Discretización
12
Construcción de Mallas
Mallas no Uniformes
13
Construcción de Mallas
Mallas no Uniformes
14
Construcción de Mallas
Mallas no Uniformes
15
Construcción de Mallas
Mallas no Uniformes
Más fina alrededor
del 0
15
Construcción de Mallas
Mallas no Uniformes
Más fina alrededor del
precio de ejercicio
15
Construcción de Mallas
Mallas no Uniformes
15
Aproximación en Diferencias Finitas
Derivadas de Primer Orden
Mallas no uniformes
Mallas uniformes
16
Aproximación en Diferencias Finitas
Derivadas de Segundo Orden
Mallas no uniformes
17
Aproximación en Diferencias Finitas
Derivadas de Segundo Orden
Mallas uniformes
18
Aproximación en Diferencias Finitas
Derivada Mixta
Mallas no uniformes
Mallas uniformes
19
Aproximación en Diferencias Finitas
Derivada Mixta
Coeficientes
20
Método Ponderado
v
S
t
NS
NV
NT
* * *
* * * *
* * * *
* * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
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N×N
NS
NV
N = (NS + 1) × (NV + 1)
0
21
Método Ponderado
Definido por la relación
22
Método Ponderado
Definido por la relación
El valor de θ determina el esquema
22
Método ADI
Idea Principal - Descomponer L en 3 matrices
donde
dado
23
Método ADI
Idea Principal - Descomponer L en 3 matrices
donde
dado
Ciertos componentes
son tratados explícita y
otros implícitamente
23
Método ADI
Ejemplos de Esquemas
Un paso predictor hacia
adelante es seguido por
dos pasos implícitos
correctores de una sola
dirección, cuyo propósito
es estabilizar el paso
predictor.
24
Método ADI
Ejemplos de Esquemas
Un paso predictor hacia
adelante es seguido por
dos pasos implícitos
correctores de una sola
dirección, cuyo propósito
es estabilizar el paso
predictor.
El parámetro controla la ponderación, de
manera similar al método ponderado. θ = 0
para el esquema explícito, θ = 0.5 para Crank-
Nicolson y θ = 1 para el esquema implícito.
24
Método ADI
Ejemplos de Esquemas
Un paso predictor hacia
adelante es seguido por
dos pasos implícitos
correctores de una sola
dirección, cuyo propósito
es estabilizar el paso
predictor.
Extensión al esquema
D o u g l a s . R e a l i z a u n
segundo paso predictor
seguidos por dos pasos
correctores de una sola
dirección.
El parámetro controla la ponderación, de
manera similar al método ponderado. θ = 0
para el esquema explícito, θ = 0.5 para Crank-
Nicolson y θ = 1 para el esquema implícito.
24
Diferencias Finitas
Experimentos Numéricos
Conclusiones
Referencias
Introducción
Retroalimentación
1
2
3
4
5
6
Diseño de las Pruebas
26
Diseño de las Pruebas
De acuerdo con alcance
Precisión y tiempo de CPU
26
Diseño de las Pruebas
Comparación con valor teórico
Precisión
26
Diseño de las Pruebas
Validación de varias hipótesis
Sentido práctico del método explícito
Malla uniforme vs no uniforme
Atributos superiores de métodos ADI
Evaluación de métodos de diferencias
finitas
Estabilidad
Convergencia
Precisión
Selección de método y esquema
26
Diseño de las Pruebas
Evaluación del método
seleccionado bajo
varios escenarios
27
Diseño de las Pruebas
Comparación contra otros métodos
usando como referencia el método
analítico
Precisión
Tiempo de CPU
27
Diseño de las Pruebas
• Los escenarios empleados fueron los utilizados por algunos
artículos donde comparan alternativas de soluciones.
• Había varias alternativas para calcular la fórmula analítica, se
evaluaron tres contra un precio teórico.
• Se buscó un método Monte Carlo explícitamente diseñado
para el modelo Heston, no se evaluaron alternativas.
• No fue un proceso lineal.
28
Diseño de las Pruebas
Conceptos
Si la condición 2κθ > σ2 se mantiene,
e n t o n c e s l a t e n d e n c i a e s
suficientemente grande para el
proceso de la varianza para
garantizar valores positivos que no
llegan a cero. Esta condición se
conoce como la condición de Feller,
definida por:
• Si q ≥ 0, entonces v = 0 es
inalcanzable por el proceso de
varianza Vt
• Si q < 0, entonces v = 0 es
alcanzable por el proceso de
varianza Vt
Para las pruebas de concepto se
obtuvo el error absoluto del precio
obtenido tomando como referencia el
precio obtenido por el método
analítico. Para las pruebas de tortura
y el benchmark usamos la tasa del
error relativo definido como
29
Método Analítico
Escenario
30
Método Analítico
Los tres casos comparten los siguientes parámetros
Escenario
30
Método Analítico
Teórico
Precio RPD Precio RPD Precio RPD Precio
70 47.1109 0.0867% 47.1516 0.0004% 47.1518 0.0001% 47.1518
80 40.7766 0.0582% 40.8002 0.0003% 40.8003 0.0001% 40.8003
90 34.9822 0.0205% 34.9893 0.0002% 34.9894 0.0001% 34.9894
100 29.7714 0.0574% 29.7542 0.0004% 29.7543 0.0001% 29.7543
110 25.1430 0.1516% 25.1049 0.0001% 25.1049 0.0002% 25.1049
120 21.0336 0.0163% 21.0302 0.0002% 21.0302 0.0001% 21.0302
130 17.5718 0.3986% 17.5019 0.0006% 17.5020 0.0002% 17.5020
K
FFT Integral3Consolidada Gauss9Laguerre
Caso 1
31
Método Analítico
Teórico
Precio RPD Precio RPD Precio RPD Precio
70 47.2307 0.1067% 47.2811 0.0003% 47.2812 0.0000% 47.2812
80 40.7226 0.0858% 40.7575 0.0003% 40.7576 0.0000% 40.7576
90 34.6669 0.0585% 34.6872 0.0001% 34.6872 0.0001% 34.6872
100 29.1352 0.0193% 29.1295 0.0004% 29.1296 0.0002% 29.1296
110 24.1673 0.1501% 24.1310 0.0002% 24.1311 0.0000% 24.1311
120 19.7250 0.0204% 19.7209 0.0003% 19.7210 0.0000% 19.7210
130 15.9921 0.5313% 15.9075 0.0007% 15.9076 0.0003% 15.9076
K
FFT Integral3Consolidada Gauss9Laguerre
Caso 2
31
Método Analítico
Teórico
Precio RPD Precio RPD Precio RPD Precio
70 47.1514 0.1273% 47.2114 0.0003% 47.2115 0.0000% 47.2115
80 40.4258 0.1157% 40.4725 0.0002% 40.4726 0.0000% 40.4726
90 34.0621 0.1039% 34.0974 0.0004% 34.0975 0.0001% 34.0975
100 28.1544 0.0299% 28.1628 0.0001% 28.1628 0.0001% 28.1628
110 22.7896 0.1586% 22.7534 0.0004% 22.7535 0.0002% 22.7535
120 17.9608 0.0296% 17.9554 0.0005% 17.9555 0.0003% 17.9555
130 13.9598 0.8458% 13.8426 0.0006% 13.8427 0.0002% 13.8427
K
FFT Integral3Consolidada Gauss9Laguerre
Caso 3
31
Pruebas de Concepto
Escenario
32
Pruebas de Concepto
Escenario
32
Pruebas de Concepto
Método θ
Precio Error Precio Error
Analítico 4.1078 4.1078
Explícito 4.1679 0.0601 4.1577 0.0499
Implícito 4.1023 ,0.0055 4.0901 ,0.0177
Crank4Nicolson 4.1350 0.0272 4.1241 0.0163
Uniforme No9uniforme
Uniforme
940x409con9209
pasos
No9uniforme
930x309con9209
pasos
33
Pruebas de Concepto
Método Explícito
Precio Error Precio Error
Analítico 4.1078 4.1078
Explícito 4.0543 )0.0535 4.1100 0.0022
Uniforme
380x403con33,0003
pasos
No3uniforme
380x403con33,0003
pasos
Precio Error Precio Error
Analítico 4.1078 4.1078
Explícito 4.0542 )0.0536 4.1112 0.0034
Uniforme
380x403con3
10,0003pasos
No3uniforme
380x403con3
10,0003pasos
Precio Error Precio Error
Analítico 4.1078 4.1078
Explícito 4.0504 (0.0574 4.0968 (0.011
No1uniforme
300x2001con1
10,0001pasos
Uniforme
1300x2001con1
10,0001pasos
34
Pruebas de Concepto
Método Explícito
Precio Error Precio Error
Analítico 4.1078 4.1078
Explícito 4.0543 )0.0535 4.1100 0.0022
Uniforme
380x403con33,0003
pasos
No3uniforme
380x403con33,0003
pasos
Precio Error Precio Error
Analítico 4.1078 4.1078
Explícito 4.0542 )0.0536 4.1112 0.0034
Uniforme
380x403con3
10,0003pasos
No3uniforme
380x403con3
10,0003pasos
Precio Error Precio Error
Analítico 4.1078 4.1078
Explícito 4.0504 (0.0574 4.0968 (0.011
No1uniforme
300x2001con1
10,0001pasos
Uniforme
1300x2001con1
10,0001pasos
No se logró aumentar la precisión
usando una malla no uniforme, ni
aumentando el número de pasos,
ni con una malla más grande.
34
Pruebas de Concepto
Malla uniforme 40x40x20
Precio Error Precio Error Precio Error
Douglas 4.2133 0.1055 4.1042 (0.0036 4.1582 0.0504
C.S 4.1946 0.0868 4.0856 (0.0222 4.1395 0.0317
M.C.S 4.1363 0.0285 4.1360 0.0282 4.1395 0.0317
H.V 4.1363 0.0285 4.1357 0.0279 4.1395 0.0317
Esquema
Explícito Implícito Crank=Nicolson
Precio Error Precio Error Precio Error
Douglas 4.1467 0.0389 4.0928 +0.0150 4.1197 0.0119
C.S 4.1400 0.0322 4.0864 +0.0214 4.1132 0.0054
M.C.S 4.1123 0.0045 4.1124 0.0046 4.1132 0.0054
H.V 4.1123 0.0045 4.1124 0.0046 4.1132 0.0054
Esquema
Explícito Implícito Crank=Nicolson
Malla no uniforme 20x20x10
35
Pruebas de Concepto
Malla uniforme 40x40x20
Precio Error Precio Error Precio Error
Douglas 4.2133 0.1055 4.1042 (0.0036 4.1582 0.0504
C.S 4.1946 0.0868 4.0856 (0.0222 4.1395 0.0317
M.C.S 4.1363 0.0285 4.1360 0.0282 4.1395 0.0317
H.V 4.1363 0.0285 4.1357 0.0279 4.1395 0.0317
Esquema
Explícito Implícito Crank=Nicolson
Precio Error Precio Error Precio Error
Douglas 4.1467 0.0389 4.0928 +0.0150 4.1197 0.0119
C.S 4.1400 0.0322 4.0864 +0.0214 4.1132 0.0054
M.C.S 4.1123 0.0045 4.1124 0.0046 4.1132 0.0054
H.V 4.1123 0.0045 4.1124 0.0046 4.1132 0.0054
Esquema
Explícito Implícito Crank=Nicolson
Malla no uniforme 20x20x10
35
Pruebas de Concepto
Malla no uniforme 40x40x20
Precio Error Precio Error
Douglas 4.0897 '0.0181 4.1161 0.0083
C.S 4.0837 '0.0241 4.1105 0.0027
M.C.S 4.1094 0.0016 4.1105 0.0027
H.V 4.1094 0.0016 4.1105 0.0027
Esquema
Implícito Crank<Nicolson
36
Pruebas de Concepto
Malla no uniforme 40x40x20
Precio Error Precio Error
Douglas 4.0897 '0.0181 4.1161 0.0083
C.S 4.0837 '0.0241 4.1105 0.0027
M.C.S 4.1094 0.0016 4.1105 0.0027
H.V 4.1094 0.0016 4.1105 0.0027
Esquema
Implícito Crank<Nicolson
El método explícito literalmente
explotó en esta prueba.
36
Pruebas de Tortura
K=100
Escenario
37
Pruebas de Tortura
Valores
Negativos
K=100
Escenario
37
Pruebas de Tortura
Cercano
a cero
K=100
Escenario
37
Pruebas de Tortura
Poco usual
para FX
K=100
Escenario
37
Pruebas de Tortura
38
Pruebas de Tortura
NS NV NT Caso)1 Caso)2 Caso)3 Caso)4
50 25 25 0.064% 0.041% 0.440% 0.032%
100 50 50 0.006% 0.068% 0.095% 0.006%
200 100 100 0.035% 0.060% 0.004% 0.001%
400 200 200 0.043% 0.059% 0.007% 0.000%
0.02 0.11 0.99 4.83CPU0seg
Precisiones del orden de las diez
milésimas con buenos tiempos de
ejecución
Esquema MCS con θ = 1/3
39
Benchmark
Analítico
Precio RPD CPU1seg Precio RPD CPU1seg Precio
70 47.1674 0.033% 21.60 47.1513 0.001% 0.96 47.1518
80 40.8645 0.157% 18.40 40.7999 0.001% 0.96 40.8003
90 35.0029 0.039% 17.60 34.9892 0.001% 0.95 34.9894
100 29.7270 0.091% 18.60 29.7544 0.000% 0.96 29.7543
110 25.0654 0.158% 17.70 25.1051 0.001% 0.96 25.1049
120 21.0669 0.174% 17.80 21.0309 0.003% 0.93 21.0302
130 17.5176 0.089% 17.80 17.5029 0.005% 0.91 17.5020
K
QE MCS
Caso 1
Quadratic Exponential 300,000x64 vs
MCS con θ = 1/3, malla no uniforme
200x100x100
Se utilizó el escenario empleado en
la selección del método analítico
40
Benchmark
Analítico
Precio RPD CPU1seg Precio RPD CPU1seg Precio
70 47.4011 0.254% 18.80 47.2808 0.001% 0.93 47.2812
80 40.8161 0.144% 18.40 40.7574 0.001% 0.94 40.7576
90 34.6617 0.074% 17.90 34.6870 0.001% 0.95 34.6872
100 29.0610 0.235% 18.00 29.1296 0.000% 0.95 29.1296
110 24.1711 0.166% 17.80 24.1311 0.000% 0.96 24.1311
120 19.6759 0.229% 18.60 19.7214 0.002% 0.93 19.7210
130 15.9163 0.055% 18.10 15.9082 0.004% 0.94 15.9076
K
QE MCS
Caso 2
Quadratic Exponential 300,000x64 vs
MCS con θ = 1/3, malla no uniforme
200x100x100
Se utilizó el escenario empleado en
la selección del método analítico
40
Benchmark
Analítico
Precio RPD CPU1seg Precio RPD CPU1seg Precio
70 47.2285 0.036% 20.00 47.2113 0.000% 0.95 47.2115
80 40.5354 0.155% 18.90 40.4725 0.000% 0.94 40.4726
90 34.1952 0.287% 18.90 34.0973 0.000% 0.95 34.0975
100 28.1339 0.103% 18.80 28.1628 0.000% 0.96 28.1628
110 22.8310 0.341% 18.80 22.7531 0.002% 0.94 22.7535
120 17.8708 0.471% 18.90 17.9553 0.001% 0.94 17.9555
130 13.7921 0.366% 19.10 13.8426 0.000% 0.93 13.8427
K
QE MCS
Caso 3
Quadratic Exponential 300,000x64 vs
MCS con θ = 1/3, malla no uniforme
200x100x100
Se utilizó el escenario empleado en
la selección del método analítico
40
Diferencias Finitas
Experimentos Numéricos
Conclusiones
Referencias
Introducción
Retroalimentación
1
2
3
4
5
6
Conclusiones
‣ Acerca del método ponderado
• Método iterativo con matrices dispersas.
• Contempla los esquemas explícito, implícito y Crank-Nicolson por
simple configuración del parámetro !.
• El esquema explícito tiene problemas de convergencia y estabilidad.
• Los esquemas implícito y Crank-Nicolson tienen propiedades
superiores de estabilidad.
• Ambos esquemas son prácticos cuando el número de puntos en la
malla es moderado.
• Una manera general de aumentar la eficiencia del método
ponderado es utilizando una malla no uniforme que sea más fina
alrededor del precio de ejercicio y cuando la volatilidad sea cercana
a cero.
42
Conclusiones
‣ Acerca de los esquemas ADI
• Método iterativo con matrices tridiagonales.
• Un esquema ADI es especificado por el esquema en sí y por el
valor del parámetro θ.
• Son una buena alternativa para resolver problemas con
condiciones de frontera y valores iniciales para dos o más
dimensiones.
• La implementación requiere resolver un sistema de ecuaciones
tridiagonal.
• Calcula resultados más precisos y requiere menos consumo de
CPU que la simulación Monte Carlo.
43
Conclusiones
Modelos Tipos*de*Opciones Pros Contras
Diferencias
Finitas
Modelos'para'los'cuáles'
existe'una'PDE'que'
describe'el'precio'de'la'
opción.'
Europea
Bermuda
Americana
Opciones'con'pago'
dependiente'de'la'
trayectoria
1.'Opciones'con'ejercicio'temprano:'americanas'o'
bermudas
2.'Opciones''dependientes'de'la'trayectoria
3.'Permite'una'variedad'de'mallas'que'pueden'ser'
especificas'a'la'opción'para'minimizar'la'
propagación'de'errores
1.'Restringido'a'modelos'para'los'cuales'existe'una'PDE
2.'Difícil'de'usar'para'opciones'con'trayectorias'complejas
3.'Difícil'y'costoso'en'tiempo'de'CPU'para'PDEs'de'alta'
dimensionalidad
4.'Puede'ser'sensible'a'ciertas'condiciones'de'frontera
Simulación
Monte*Carlo
Modelos'que'pueden'ser'
descritos'por'un'conjunto'
de'variables'aleatorias'con'
una'distribución'conocida
Cualquier'tipo'de'
opción'para'la'que'
exista'una'función'de'
precio
1.'Permite'calcular'el'precio'sobre'casi'cualquier'
modelo
2.'Permite'calcular'el'precio'de'contratos'con'
posiblemente'cualquier'función'de'pago
3.'Permite'el'cálculo'eficiente'de'precios'de'
contratos'con'muchos'subyacentes
1.'Típicamente'el'método'más'caro'en'tiempo'de'CPU
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Conclusiones
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Conclusiones
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Simulación
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Conclusiones
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Conclusiones
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3.'Permite'una'variedad'de'mallas'que'pueden'ser'
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3.'Difícil'y'costoso'en'tiempo'de'CPU'para'PDEs'de'alta'
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Modelos'que'pueden'ser'
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3.'Permite'el'cálculo'eficiente'de'precios'de'
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Conclusiones
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1.'Típicamente'el'método'más'caro'en'tiempo'de'CPU
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Conclusiones
Extensiones
‣ Encontrar alternativas para comparar la valuación para otro tipo de
derivados (opciones exóticas) donde no hay una fórmula analítica
disponible
‣ Experimentar con PDE multidimensionales con términos derivados
mixtos
• Modelo híbrido tridimensional Heston-Hull-White, una extensión al modelo Heston con
tasas de interés estocásticas
‣ Comparar los esquemas ADI contra otros esquemas de división
puros
• Pasos fraccionarios o métodos localmente unidimensionales (LOD)
‣ Ampliar el método de diferencias finitas para permitir modelos más
sofisticados
• Modelo de Heston con saltos en el subyacente.
47
Diferencias Finitas
Experimentos Numéricos
Conclusiones
Referencias
Introducción
Retroalimentación
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2
3
4
5
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David&Solís&
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Valuación de Opciones Europeas con el Modelo de Heston utilizando Métodos de Diferencias Finitas

  • 1. Valuación de Opciones Europeas con el Modelo de Heston utilizando*Métodos*de*Diferencias*Finitas Maestría en Finanzas Cuantitativas Examen Previo Posgrado David Solís
  • 3. Objetivo del Trabajo Este trabajo tiene el objetivo de fungir como una prueba de concepto para demostrar que hay alternativas de por lo menos igual calidad a productos comerciales de muy alto costo y la oportunidad que representa la implementación de algoritmos para problemas no contemplados por estos productos. Nuestra primera hipótesis es que se puede robustecer el método ponderado o método θ utilizando una malla no uniforme. La segunda hipótesis es que para la PDE de Heston, el esquema implícito de direcciones alternadas (ADI por las siglas en inglés de alternating direction implicit) es una mejor alternativa al método θ. La tercera hipótesis es que para este tipo de PDEs, los métodos de diferencias finitas son una mejor opción a una solución basada en simulación de Monte Carlo. 3
  • 14. PDE de Heston L es un operador 6
  • 15. PDE de Heston Condiciones de Frontera 7
  • 16. PDE de Heston Condiciones de Frontera Valor al vencimiento 7
  • 17. PDE de Heston Condiciones de Frontera Precio del subyacente = 0 7
  • 18. PDE de Heston Condiciones de Frontera A medida que aumenta el precio de la acción, la delta se acerca a 1 7
  • 19. PDE de Heston Condiciones de Frontera Cuando la volatilidad aumenta, la opción de compra es igual al precio de la acción 7
  • 21. Representación de la Solución de PDEs x1 t1 ),( 11 txT T=3.5 T=5.2 Diferentes curvas son usadas para diferentes valores de una de las variables independientes Una gráfica en 3 dimensiones de la función T(x, t) Los ejes representan las variables independientes. Los valores de la función se muestran en los puntos de la malla. 9
  • 22. Métodos de Diferencias Finitas ‣ Dividir el intervalo x en sub intervalos cada uno de longitud h ‣ Dividir el intervalo t en sub intervalos cada uno de longitud k ‣ Se usa una malla de puntos para la solución de diferencias finitas ‣ Uij representa U(xi, tj) ‣ Se reemplazan las derivadas por las fórmulas de diferencias finitas t x 10
  • 23. Convergencia y Estabilidad ‣ Convergencia ‣ Significa que la solución obtenida por el método de las diferencias finitas se aproxima a la verdadera solución cada vez que Δt y Δx se hacen más pequeñas. ‣ Estabilidad ‣ Un algoritmo es estable si los errores en cada etapa no se magnifican a medida que el cómputo avanza ‣ Consistencia ‣ Una ecuación en diferencias tiene consistencia cuando solamente aproxima la ecuación diferencial que representa 11
  • 25. Construcción de Mallas Mallas Uniformes Discretización 12
  • 29. Construcción de Mallas Mallas no Uniformes Más fina alrededor del 0 15
  • 30. Construcción de Mallas Mallas no Uniformes Más fina alrededor del precio de ejercicio 15
  • 32. Aproximación en Diferencias Finitas Derivadas de Primer Orden Mallas no uniformes Mallas uniformes 16
  • 33. Aproximación en Diferencias Finitas Derivadas de Segundo Orden Mallas no uniformes 17
  • 34. Aproximación en Diferencias Finitas Derivadas de Segundo Orden Mallas uniformes 18
  • 35. Aproximación en Diferencias Finitas Derivada Mixta Mallas no uniformes Mallas uniformes 19
  • 36. Aproximación en Diferencias Finitas Derivada Mixta Coeficientes 20
  • 37. Método Ponderado v S t NS NV NT * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! " # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # $ % & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & N×N NS NV N = (NS + 1) × (NV + 1) 0 21
  • 39. Método Ponderado Definido por la relación El valor de θ determina el esquema 22
  • 40. Método ADI Idea Principal - Descomponer L en 3 matrices donde dado 23
  • 41. Método ADI Idea Principal - Descomponer L en 3 matrices donde dado Ciertos componentes son tratados explícita y otros implícitamente 23
  • 42. Método ADI Ejemplos de Esquemas Un paso predictor hacia adelante es seguido por dos pasos implícitos correctores de una sola dirección, cuyo propósito es estabilizar el paso predictor. 24
  • 43. Método ADI Ejemplos de Esquemas Un paso predictor hacia adelante es seguido por dos pasos implícitos correctores de una sola dirección, cuyo propósito es estabilizar el paso predictor. El parámetro controla la ponderación, de manera similar al método ponderado. θ = 0 para el esquema explícito, θ = 0.5 para Crank- Nicolson y θ = 1 para el esquema implícito. 24
  • 44. Método ADI Ejemplos de Esquemas Un paso predictor hacia adelante es seguido por dos pasos implícitos correctores de una sola dirección, cuyo propósito es estabilizar el paso predictor. Extensión al esquema D o u g l a s . R e a l i z a u n segundo paso predictor seguidos por dos pasos correctores de una sola dirección. El parámetro controla la ponderación, de manera similar al método ponderado. θ = 0 para el esquema explícito, θ = 0.5 para Crank- Nicolson y θ = 1 para el esquema implícito. 24
  • 46. Diseño de las Pruebas 26
  • 47. Diseño de las Pruebas De acuerdo con alcance Precisión y tiempo de CPU 26
  • 48. Diseño de las Pruebas Comparación con valor teórico Precisión 26
  • 49. Diseño de las Pruebas Validación de varias hipótesis Sentido práctico del método explícito Malla uniforme vs no uniforme Atributos superiores de métodos ADI Evaluación de métodos de diferencias finitas Estabilidad Convergencia Precisión Selección de método y esquema 26
  • 50. Diseño de las Pruebas Evaluación del método seleccionado bajo varios escenarios 27
  • 51. Diseño de las Pruebas Comparación contra otros métodos usando como referencia el método analítico Precisión Tiempo de CPU 27
  • 52. Diseño de las Pruebas • Los escenarios empleados fueron los utilizados por algunos artículos donde comparan alternativas de soluciones. • Había varias alternativas para calcular la fórmula analítica, se evaluaron tres contra un precio teórico. • Se buscó un método Monte Carlo explícitamente diseñado para el modelo Heston, no se evaluaron alternativas. • No fue un proceso lineal. 28
  • 53. Diseño de las Pruebas Conceptos Si la condición 2κθ > σ2 se mantiene, e n t o n c e s l a t e n d e n c i a e s suficientemente grande para el proceso de la varianza para garantizar valores positivos que no llegan a cero. Esta condición se conoce como la condición de Feller, definida por: • Si q ≥ 0, entonces v = 0 es inalcanzable por el proceso de varianza Vt • Si q < 0, entonces v = 0 es alcanzable por el proceso de varianza Vt Para las pruebas de concepto se obtuvo el error absoluto del precio obtenido tomando como referencia el precio obtenido por el método analítico. Para las pruebas de tortura y el benchmark usamos la tasa del error relativo definido como 29
  • 55. Método Analítico Los tres casos comparten los siguientes parámetros Escenario 30
  • 56. Método Analítico Teórico Precio RPD Precio RPD Precio RPD Precio 70 47.1109 0.0867% 47.1516 0.0004% 47.1518 0.0001% 47.1518 80 40.7766 0.0582% 40.8002 0.0003% 40.8003 0.0001% 40.8003 90 34.9822 0.0205% 34.9893 0.0002% 34.9894 0.0001% 34.9894 100 29.7714 0.0574% 29.7542 0.0004% 29.7543 0.0001% 29.7543 110 25.1430 0.1516% 25.1049 0.0001% 25.1049 0.0002% 25.1049 120 21.0336 0.0163% 21.0302 0.0002% 21.0302 0.0001% 21.0302 130 17.5718 0.3986% 17.5019 0.0006% 17.5020 0.0002% 17.5020 K FFT Integral3Consolidada Gauss9Laguerre Caso 1 31
  • 57. Método Analítico Teórico Precio RPD Precio RPD Precio RPD Precio 70 47.2307 0.1067% 47.2811 0.0003% 47.2812 0.0000% 47.2812 80 40.7226 0.0858% 40.7575 0.0003% 40.7576 0.0000% 40.7576 90 34.6669 0.0585% 34.6872 0.0001% 34.6872 0.0001% 34.6872 100 29.1352 0.0193% 29.1295 0.0004% 29.1296 0.0002% 29.1296 110 24.1673 0.1501% 24.1310 0.0002% 24.1311 0.0000% 24.1311 120 19.7250 0.0204% 19.7209 0.0003% 19.7210 0.0000% 19.7210 130 15.9921 0.5313% 15.9075 0.0007% 15.9076 0.0003% 15.9076 K FFT Integral3Consolidada Gauss9Laguerre Caso 2 31
  • 58. Método Analítico Teórico Precio RPD Precio RPD Precio RPD Precio 70 47.1514 0.1273% 47.2114 0.0003% 47.2115 0.0000% 47.2115 80 40.4258 0.1157% 40.4725 0.0002% 40.4726 0.0000% 40.4726 90 34.0621 0.1039% 34.0974 0.0004% 34.0975 0.0001% 34.0975 100 28.1544 0.0299% 28.1628 0.0001% 28.1628 0.0001% 28.1628 110 22.7896 0.1586% 22.7534 0.0004% 22.7535 0.0002% 22.7535 120 17.9608 0.0296% 17.9554 0.0005% 17.9555 0.0003% 17.9555 130 13.9598 0.8458% 13.8426 0.0006% 13.8427 0.0002% 13.8427 K FFT Integral3Consolidada Gauss9Laguerre Caso 3 31
  • 61. Pruebas de Concepto Método θ Precio Error Precio Error Analítico 4.1078 4.1078 Explícito 4.1679 0.0601 4.1577 0.0499 Implícito 4.1023 ,0.0055 4.0901 ,0.0177 Crank4Nicolson 4.1350 0.0272 4.1241 0.0163 Uniforme No9uniforme Uniforme 940x409con9209 pasos No9uniforme 930x309con9209 pasos 33
  • 62. Pruebas de Concepto Método Explícito Precio Error Precio Error Analítico 4.1078 4.1078 Explícito 4.0543 )0.0535 4.1100 0.0022 Uniforme 380x403con33,0003 pasos No3uniforme 380x403con33,0003 pasos Precio Error Precio Error Analítico 4.1078 4.1078 Explícito 4.0542 )0.0536 4.1112 0.0034 Uniforme 380x403con3 10,0003pasos No3uniforme 380x403con3 10,0003pasos Precio Error Precio Error Analítico 4.1078 4.1078 Explícito 4.0504 (0.0574 4.0968 (0.011 No1uniforme 300x2001con1 10,0001pasos Uniforme 1300x2001con1 10,0001pasos 34
  • 63. Pruebas de Concepto Método Explícito Precio Error Precio Error Analítico 4.1078 4.1078 Explícito 4.0543 )0.0535 4.1100 0.0022 Uniforme 380x403con33,0003 pasos No3uniforme 380x403con33,0003 pasos Precio Error Precio Error Analítico 4.1078 4.1078 Explícito 4.0542 )0.0536 4.1112 0.0034 Uniforme 380x403con3 10,0003pasos No3uniforme 380x403con3 10,0003pasos Precio Error Precio Error Analítico 4.1078 4.1078 Explícito 4.0504 (0.0574 4.0968 (0.011 No1uniforme 300x2001con1 10,0001pasos Uniforme 1300x2001con1 10,0001pasos No se logró aumentar la precisión usando una malla no uniforme, ni aumentando el número de pasos, ni con una malla más grande. 34
  • 64. Pruebas de Concepto Malla uniforme 40x40x20 Precio Error Precio Error Precio Error Douglas 4.2133 0.1055 4.1042 (0.0036 4.1582 0.0504 C.S 4.1946 0.0868 4.0856 (0.0222 4.1395 0.0317 M.C.S 4.1363 0.0285 4.1360 0.0282 4.1395 0.0317 H.V 4.1363 0.0285 4.1357 0.0279 4.1395 0.0317 Esquema Explícito Implícito Crank=Nicolson Precio Error Precio Error Precio Error Douglas 4.1467 0.0389 4.0928 +0.0150 4.1197 0.0119 C.S 4.1400 0.0322 4.0864 +0.0214 4.1132 0.0054 M.C.S 4.1123 0.0045 4.1124 0.0046 4.1132 0.0054 H.V 4.1123 0.0045 4.1124 0.0046 4.1132 0.0054 Esquema Explícito Implícito Crank=Nicolson Malla no uniforme 20x20x10 35
  • 65. Pruebas de Concepto Malla uniforme 40x40x20 Precio Error Precio Error Precio Error Douglas 4.2133 0.1055 4.1042 (0.0036 4.1582 0.0504 C.S 4.1946 0.0868 4.0856 (0.0222 4.1395 0.0317 M.C.S 4.1363 0.0285 4.1360 0.0282 4.1395 0.0317 H.V 4.1363 0.0285 4.1357 0.0279 4.1395 0.0317 Esquema Explícito Implícito Crank=Nicolson Precio Error Precio Error Precio Error Douglas 4.1467 0.0389 4.0928 +0.0150 4.1197 0.0119 C.S 4.1400 0.0322 4.0864 +0.0214 4.1132 0.0054 M.C.S 4.1123 0.0045 4.1124 0.0046 4.1132 0.0054 H.V 4.1123 0.0045 4.1124 0.0046 4.1132 0.0054 Esquema Explícito Implícito Crank=Nicolson Malla no uniforme 20x20x10 35
  • 66. Pruebas de Concepto Malla no uniforme 40x40x20 Precio Error Precio Error Douglas 4.0897 '0.0181 4.1161 0.0083 C.S 4.0837 '0.0241 4.1105 0.0027 M.C.S 4.1094 0.0016 4.1105 0.0027 H.V 4.1094 0.0016 4.1105 0.0027 Esquema Implícito Crank<Nicolson 36
  • 67. Pruebas de Concepto Malla no uniforme 40x40x20 Precio Error Precio Error Douglas 4.0897 '0.0181 4.1161 0.0083 C.S 4.0837 '0.0241 4.1105 0.0027 M.C.S 4.1094 0.0016 4.1105 0.0027 H.V 4.1094 0.0016 4.1105 0.0027 Esquema Implícito Crank<Nicolson El método explícito literalmente explotó en esta prueba. 36
  • 70. Pruebas de Tortura Cercano a cero K=100 Escenario 37
  • 71. Pruebas de Tortura Poco usual para FX K=100 Escenario 37
  • 73. Pruebas de Tortura NS NV NT Caso)1 Caso)2 Caso)3 Caso)4 50 25 25 0.064% 0.041% 0.440% 0.032% 100 50 50 0.006% 0.068% 0.095% 0.006% 200 100 100 0.035% 0.060% 0.004% 0.001% 400 200 200 0.043% 0.059% 0.007% 0.000% 0.02 0.11 0.99 4.83CPU0seg Precisiones del orden de las diez milésimas con buenos tiempos de ejecución Esquema MCS con θ = 1/3 39
  • 74. Benchmark Analítico Precio RPD CPU1seg Precio RPD CPU1seg Precio 70 47.1674 0.033% 21.60 47.1513 0.001% 0.96 47.1518 80 40.8645 0.157% 18.40 40.7999 0.001% 0.96 40.8003 90 35.0029 0.039% 17.60 34.9892 0.001% 0.95 34.9894 100 29.7270 0.091% 18.60 29.7544 0.000% 0.96 29.7543 110 25.0654 0.158% 17.70 25.1051 0.001% 0.96 25.1049 120 21.0669 0.174% 17.80 21.0309 0.003% 0.93 21.0302 130 17.5176 0.089% 17.80 17.5029 0.005% 0.91 17.5020 K QE MCS Caso 1 Quadratic Exponential 300,000x64 vs MCS con θ = 1/3, malla no uniforme 200x100x100 Se utilizó el escenario empleado en la selección del método analítico 40
  • 75. Benchmark Analítico Precio RPD CPU1seg Precio RPD CPU1seg Precio 70 47.4011 0.254% 18.80 47.2808 0.001% 0.93 47.2812 80 40.8161 0.144% 18.40 40.7574 0.001% 0.94 40.7576 90 34.6617 0.074% 17.90 34.6870 0.001% 0.95 34.6872 100 29.0610 0.235% 18.00 29.1296 0.000% 0.95 29.1296 110 24.1711 0.166% 17.80 24.1311 0.000% 0.96 24.1311 120 19.6759 0.229% 18.60 19.7214 0.002% 0.93 19.7210 130 15.9163 0.055% 18.10 15.9082 0.004% 0.94 15.9076 K QE MCS Caso 2 Quadratic Exponential 300,000x64 vs MCS con θ = 1/3, malla no uniforme 200x100x100 Se utilizó el escenario empleado en la selección del método analítico 40
  • 76. Benchmark Analítico Precio RPD CPU1seg Precio RPD CPU1seg Precio 70 47.2285 0.036% 20.00 47.2113 0.000% 0.95 47.2115 80 40.5354 0.155% 18.90 40.4725 0.000% 0.94 40.4726 90 34.1952 0.287% 18.90 34.0973 0.000% 0.95 34.0975 100 28.1339 0.103% 18.80 28.1628 0.000% 0.96 28.1628 110 22.8310 0.341% 18.80 22.7531 0.002% 0.94 22.7535 120 17.8708 0.471% 18.90 17.9553 0.001% 0.94 17.9555 130 13.7921 0.366% 19.10 13.8426 0.000% 0.93 13.8427 K QE MCS Caso 3 Quadratic Exponential 300,000x64 vs MCS con θ = 1/3, malla no uniforme 200x100x100 Se utilizó el escenario empleado en la selección del método analítico 40
  • 78. Conclusiones ‣ Acerca del método ponderado • Método iterativo con matrices dispersas. • Contempla los esquemas explícito, implícito y Crank-Nicolson por simple configuración del parámetro !. • El esquema explícito tiene problemas de convergencia y estabilidad. • Los esquemas implícito y Crank-Nicolson tienen propiedades superiores de estabilidad. • Ambos esquemas son prácticos cuando el número de puntos en la malla es moderado. • Una manera general de aumentar la eficiencia del método ponderado es utilizando una malla no uniforme que sea más fina alrededor del precio de ejercicio y cuando la volatilidad sea cercana a cero. 42
  • 79. Conclusiones ‣ Acerca de los esquemas ADI • Método iterativo con matrices tridiagonales. • Un esquema ADI es especificado por el esquema en sí y por el valor del parámetro θ. • Son una buena alternativa para resolver problemas con condiciones de frontera y valores iniciales para dos o más dimensiones. • La implementación requiere resolver un sistema de ecuaciones tridiagonal. • Calcula resultados más precisos y requiere menos consumo de CPU que la simulación Monte Carlo. 43
  • 80. Conclusiones Modelos Tipos*de*Opciones Pros Contras Diferencias Finitas Modelos'para'los'cuáles' existe'una'PDE'que' describe'el'precio'de'la' opción.' Europea Bermuda Americana Opciones'con'pago' dependiente'de'la' trayectoria 1.'Opciones'con'ejercicio'temprano:'americanas'o' bermudas 2.'Opciones''dependientes'de'la'trayectoria 3.'Permite'una'variedad'de'mallas'que'pueden'ser' especificas'a'la'opción'para'minimizar'la' propagación'de'errores 1.'Restringido'a'modelos'para'los'cuales'existe'una'PDE 2.'Difícil'de'usar'para'opciones'con'trayectorias'complejas 3.'Difícil'y'costoso'en'tiempo'de'CPU'para'PDEs'de'alta' dimensionalidad 4.'Puede'ser'sensible'a'ciertas'condiciones'de'frontera Simulación Monte*Carlo Modelos'que'pueden'ser' descritos'por'un'conjunto' de'variables'aleatorias'con' una'distribución'conocida Cualquier'tipo'de' opción'para'la'que' exista'una'función'de' precio 1.'Permite'calcular'el'precio'sobre'casi'cualquier' modelo 2.'Permite'calcular'el'precio'de'contratos'con' posiblemente'cualquier'función'de'pago 3.'Permite'el'cálculo'eficiente'de'precios'de' contratos'con'muchos'subyacentes 1.'Típicamente'el'método'más'caro'en'tiempo'de'CPU 44
  • 81. Conclusiones Modelos Tipos*de*Opciones Pr Diferencias Finitas Modelos'para'los'cuáles' existe'una'PDE'que' describe'el'precio'de'la' opción.' Europea Bermuda Americana Opciones'con'pago' dependiente'de'la' trayectoria 1.'Opciones'con'ejercicio' bermudas 2.'Opciones''dependiente 3.'Permite'una'variedad'd especificas'a'la'opción'pa propagación'de'errores Simulación Monte*Carlo Modelos'que'pueden'ser' descritos'por'un'conjunto' de'variables'aleatorias'con' una'distribución'conocida Cualquier'tipo'de' opción'para'la'que' exista'una'función'de' precio 1.'Permite'calcular'el'prec modelo 2.'Permite'calcular'el'prec posiblemente'cualquier'fu 3.'Permite'el'cálculo'eficie contratos'con'muchos'sub 44
  • 82. Conclusiones Modelos Tipos*de*Opciones Pros Contras Diferencias Finitas Modelos'para'los'cuáles' existe'una'PDE'que' describe'el'precio'de'la' opción.' Europea Bermuda Americana Opciones'con'pago' dependiente'de'la' trayectoria 1.'Opciones'con'ejercicio'temprano:'americanas'o' bermudas 2.'Opciones''dependientes'de'la'trayectoria 3.'Permite'una'variedad'de'mallas'que'pueden'ser' especificas'a'la'opción'para'minimizar'la' propagación'de'errores 1.'Restringido'a'modelos'para'los'cuales'existe'una'PDE 2.'Difícil'de'usar'para'opciones'con'trayectorias'complejas 3.'Difícil'y'costoso'en'tiempo'de'CPU'para'PDEs'de'alta' dimensionalidad 4.'Puede'ser'sensible'a'ciertas'condiciones'de'frontera Simulación Monte*Carlo Modelos'que'pueden'ser' descritos'por'un'conjunto' de'variables'aleatorias'con' una'distribución'conocida Cualquier'tipo'de' opción'para'la'que' exista'una'función'de' precio 1.'Permite'calcular'el'precio'sobre'casi'cualquier' modelo 2.'Permite'calcular'el'precio'de'contratos'con' posiblemente'cualquier'función'de'pago 3.'Permite'el'cálculo'eficiente'de'precios'de' contratos'con'muchos'subyacentes 1.'Típicamente'el'método'más'caro'en'tiempo'de'CPU 45
  • 83. Conclusiones Tipos*de*Opciones Pros Con es' a' Europea Bermuda Americana Opciones'con'pago' dependiente'de'la' trayectoria 1.'Opciones'con'ejercicio'temprano:'americanas'o' bermudas 2.'Opciones''dependientes'de'la'trayectoria 3.'Permite'una'variedad'de'mallas'que'pueden'ser' especificas'a'la'opción'para'minimizar'la' propagación'de'errores 1.'Restringido'a'modelos'par 2.'Difícil'de'usar'para'opcion 3.'Difícil'y'costoso'en'tiempo dimensionalidad 4.'Puede'ser'sensible'a'cierta ser' nto' 'con' cida Cualquier'tipo'de' opción'para'la'que' exista'una'función'de' precio 1.'Permite'calcular'el'precio'sobre'casi'cualquier' modelo 2.'Permite'calcular'el'precio'de'contratos'con' posiblemente'cualquier'función'de'pago 3.'Permite'el'cálculo'eficiente'de'precios'de' contratos'con'muchos'subyacentes 1.'Típicamente'el'método'm 45
  • 84. Conclusiones Modelos Tipos*de*Opciones Pros Contras Diferencias Finitas Modelos'para'los'cuáles' existe'una'PDE'que' describe'el'precio'de'la' opción.' Europea Bermuda Americana Opciones'con'pago' dependiente'de'la' trayectoria 1.'Opciones'con'ejercicio'temprano:'americanas'o' bermudas 2.'Opciones''dependientes'de'la'trayectoria 3.'Permite'una'variedad'de'mallas'que'pueden'ser' especificas'a'la'opción'para'minimizar'la' propagación'de'errores 1.'Restringido'a'modelos'para'los'cuales'existe'una'PDE 2.'Difícil'de'usar'para'opciones'con'trayectorias'complejas 3.'Difícil'y'costoso'en'tiempo'de'CPU'para'PDEs'de'alta' dimensionalidad 4.'Puede'ser'sensible'a'ciertas'condiciones'de'frontera Simulación Monte*Carlo Modelos'que'pueden'ser' descritos'por'un'conjunto' de'variables'aleatorias'con' una'distribución'conocida Cualquier'tipo'de' opción'para'la'que' exista'una'función'de' precio 1.'Permite'calcular'el'precio'sobre'casi'cualquier' modelo 2.'Permite'calcular'el'precio'de'contratos'con' posiblemente'cualquier'función'de'pago 3.'Permite'el'cálculo'eficiente'de'precios'de' contratos'con'muchos'subyacentes 1.'Típicamente'el'método'más'caro'en'tiempo'de'CPU 46
  • 86. Conclusiones Extensiones ‣ Encontrar alternativas para comparar la valuación para otro tipo de derivados (opciones exóticas) donde no hay una fórmula analítica disponible ‣ Experimentar con PDE multidimensionales con términos derivados mixtos • Modelo híbrido tridimensional Heston-Hull-White, una extensión al modelo Heston con tasas de interés estocásticas ‣ Comparar los esquemas ADI contra otros esquemas de división puros • Pasos fraccionarios o métodos localmente unidimensionales (LOD) ‣ Ampliar el método de diferencias finitas para permitir modelos más sofisticados • Modelo de Heston con saltos en el subyacente. 47