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Sesión Nº 2
COMPORTAMIENTO DE
UN FLUIDO FRENTE A UN
OBSTÁCULO
(Cuba de Stokes)
I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 ¿Que relación existe entre la fuerza de arrastre y la forma geométrica del objeto interferente?
II. OBJETIVOS
2.1 Objetivo General
La caracterización de un fluido incompresible al ser interferido por ciertos objetos de forma esférica, cuadrada, triangular
y aerodinámica; dentro de un canal abierto..
2.2 Objetivos Específicos
• A nivel de laboratorio, observar el comportamiento descrito por la corriente de fluido al entrar en contacto con un
objeto sólido.
• En el campo laboral, transferir estos principios aquí estudiados.
III. FUNDAMENTOTEÓRICO
Capa Límite
Llamamos capa límite a la región delgada alrededor del cuerpo donde debido al gradiente de velo-
cidades se produce en el fluido una adherencia al contorno y allí una importante tensión constante.
HIPÓTESIS:
Un cuerpo esférico será arrastrado por las fuerzas de un fluido cuando dicho objeto
cambie de posición en el tiempo.

LABORATORIO DE OPERACIONES
Y PROCESOS UNITARIOS
26
Tipos de Flujos
»
» Flujo Laminar: Es un flujo en el cual el fluido puede ser considerado que se mueve en capas
uniformes denominadas láminas.
»
» FlujoTurbulento: Es el movimiento de un fluido que se da en forma
caótica, en que las partículas se mueven desordenadamente y las
trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños
remolinos aperiódicos.
Separación de la Capa Límite y Formación de estelas
Para un fluido en movimiento que pasa alrededor de superficies
solidas , lo que ocurre es que el fluido desacelera, se produce una
inversión de la velocidad por tanto se genera una contracorriente,
el cual es combinada con el movimiento general del fluido gene-
rando torbellinos considerables llamados estelas que se separa de
la pared, y es arrastrado en la estela mas o menos turbulenta que
se forma detrás del cuerpo, en cuyo tramo ya no se puede hablar
de capa limite.
Ley de laViscosidad de Stokes
Nos presenta una relación entre los componentes de las tensiones y el campo de velocidades desig-
nadas como ley de viscosidad de Stokes, aplicada a leyes laminares y comprende a los fluidos newto-
nianos.
Resistencia de los cuerpos al avance: La resistencia que un
fluido ejerce sobre un cuerpo que se desplaza en su seno, o
recíprocamente la fuerza con que un fluido empuja un cuerpo
fijo que se interpone en su movimiento. Los factores que en-
tran en juego son las fuerzas netas que actúan sobre un cuer-
po provienen de la distribución de presiones y de esfuerzos
cortantes que actúan sobre la superficie del cuerpo.
Punto de estancamiento:
Prácticamente su velocidad
tiende a cero.
Punto de máxima velocidad:
El régimen de flujo toma la
forma de la figura colocada hay
presencia de máxima velocidad.

27
Fórmulas Básicas
Diámetro hidráulico Caudal volumétrico Área Cuba de Stokes Velocidad del fluido
Dh
=
4 a h
2h + a
Q =
V
t
Ap
= h.a v =
Q
Ap
Número de Reynolds
NRe
=
D ρ v
μ
Fórmulas para Flujo Laminar
Coeficiente de Arrastre Fuerza de Arrastre
CD
=
1,328
(NRe
)0,5
FD
=
CD
. ρ . v2
. ASÓLIDO
2
Fórmula para FlujoTurbulento
Coeficiente de Arrastre
CD
=
0,91
Log (NRe
)3,58
Fuerzas de arrastre:
Puesto que los fluidos tienen viscosidad existe
una fuerza de arrastre de este tipo generada
dentro de la capa límite que definiremos a con-
tinuación. Se trata de una capa muy delgada
de aire que se forma sobre la superficie de los
cuerpos en movimiento y en la cual se ha de-
mostrado experimentalmente que la velocidad
de los fluidos varía desde el valor cero, sobre la
superficie, hasta el valor de la velocidad del flujo
libre de obstáculos. Esta capa límite contribuye
también a los gradientes de presión cerca de las
superficies; es la causante de que los fluidos se
separen, se desprendan de los contornos de las
superficies generando turbulencia en las partes
posteriores, las llamadas estelas.
Fuerzas de sustentación:
Fuerza generada sobre un cuerpo que se despla-
za a través de un fluido, de dirección perpendicu-
lar a la de la Velocidad de la corriente incidente,
debido a que el fluido se encuentra con un cuer-
po ,se presenta distribuciones de velocidades en
distintos puntos y fuerzas de diferentes magni-
tudes.
Fuerzas opositoras
Donde:
a = Ancho de la Cuba
h = Espesor de la Cuba
D = Diámetro
ρ = Densidad del fluido
μ =Viscosidad dinámica del fluido

28
CUBA DE STOCKES
Durante el experimento de la cuba de Reynolds observaremos como son los diferentes tipos de flujo, esta vez obser-
varemos en la cuba de stockes que es lo que ocurra cuando un fluido, fluye alrededor de un cuerpo, y cuales son las
fuerzas que se originan, los cambios de presión y los fenómenos que ocurran durante este proceso.
FUERZA QUE EXPERIMENTA UN FLUIDO
Un cuerpo en movimiento inmerso en un fluido experimenta fuerzas ocasionadas por la acción del fluido.
El efecto total de estas fuerzas es muy complejo.
Sin embargo, para propósitos de diseño o estudio del comportamiento de un cuerpo en un fluido, son dos las fuerzas
resultantes de mayor importancia, el arrastre y la sustentación.
Las fuerzas de arrastre y sustentación son iguales, sin que importe si es el cuerpo el que se mueve en el fluido o el
fluido el que se mueve alrededor del cuerpo.
FUERZA DE ARRASTRE
La fuerza sobre un cuerpo ocasionada por el fluido (liquido o gas) que opone resistencia en la dirección del movimiento
del cuerpo.
Ecuación de la fuerza de arrastre
2
2
D D
F ARRASTRE C A
rν
 
= =× ×
 
 
Donde:
FD: Fuerza de arrastre
CD : coeficiente de arrastre
r = densidad del fluido
v = velocidad del flujo
A: Área proyectada en una superficie normal a la dirección del flujo.
Para calcular el valor de , coeficiente de arrastre, se utiliza la siguiente relación:
Donde:
24 6
0,4
Re 1 Re
D
C =
+ +
+
Re: número de Reynolds
4
Re
´
Q
Dv
p
= ó Re
´
vD
r
µ
=

29
Las aplicaciones se dan en el campo del transporte.
SUSTENTACIÓN
Es una fuerza ocasionada por el fluido en dirección perpendicular a la dirección del movimiento del cuerpo.
Su aplicación mas importante esta en el diseño y análisis de alas de aeronaves llamadas aeroplanos.

OBSÉRVESE LA FIGURA DONDE SE MUESTRA UNA ESFERA EN UNA CORRIENTE DE FLUIDO, LAS LÍNEAS DE
CORRIENTE ILUSTRAN LATRAYECTORIA DEL FLUIDO CONFORME ESTE SE APROXIMAY FLUYE ALREDEDOR DE
LA ESFERA.
CAPA LIMITE LAMINARYTURBULENTA EN FLUJO SOBRE PLACA PLANA
• Prandtl, en 1904, propone que el estudio del movimiento de un fluido de viscosidad pequeña, se podría asimilar
al de un fluido perfecto.
• Salvo en una capa próxima al contorno, de espesor δ , en la que concentraba los fenómenos de fricción, y que
llamó capa límite.
• En el exterior de dicha capa, las tensiones tangenciales son despreciables, mientras que en el interior de la capa
límite, la proximidad del contorno hace que el gradiente de velocidades sea muy grande y, por lo tanto, que la
tensión tangencial sea también muy grande.
EL ESPESOR DE LA CAPA LÍMITE
En el estudio de la capa límite hay que tener presentes las siguientes consideraciones:
• Se admite que la propagación queda limitada a una zona del mismo de espesor finito , en sentido normal al
contorno.
• La forma de la curva de distribución de velocidades en las distintas secciones a lo largo de la capa límite.

30
DESPRENDIMIENTO DE LA CAPA LIMITE
• Esta capa límite contribuye también a los gradientes de presión cerca de las superficies; es la causante de que
los fluidos se separen, se desprendan de los contornos de las superficies generando turbulencia en las partes
posteriores.
FLUJOSVISCOSOSY NOVISCOSOS
• En un flujo no viscoso se supone que la viscosidad de fluido vale cero. Evidentemente, tales flujos no existen
• Flujo viscoso dos clases principales.
- Flujos incompresibles (densidad son pequeñas y poco importantes).
- Flujos compresibles (variaciones de densidad)
COMPARACIONES
EN CONCLUSIÓN

31
La cuba de stockes nos permite observar el comportamiento de un fluido al superponer superficies solidos
perpendicularmente a dichos fluidos y también el movimiento de un fluido de acuerdo a las fuerzas con que se las
exponga. Los fluidos pueden ser laminares o turbulentos.
TEORÍA ELEMENTAL DE LA CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL
CAPA LIMITE LAMINARYTURBULENTA EN FLUJO SOBRE PLACA PLANA
En él movimiento de fluidos sobre una placa plana, la Hidrodinámica clásica se limita a imponer, como condición de
contorno, la tangencia del vector velocidad, mientras que la Mecánica de Fluidos viscosos exige la condición adi-
cional de adherencia al contorno de la placa, que es mucho más restrictiva que la de tangencia. En los fluidos poco
viscosos, los esfuerzos tangenciales son, con frecuencia, muy inferiores a los de inercia o a los de gravedad, pero esto
no autoriza a prescindir de los esfuerzos viscosos, que pueden llegar a ejercer una influencia considerable sobre la
configuración del movimiento.
Prandtl, en 1904, propone que el estudio del movimiento de un fluido de viscosidad pequeña, se podía asimilar al de
un fluido perfecto, salvo en una capa próxima al contorno, de espesor δ , en la que se concentraban los fenómenos
de fricción, y que llamó capa límite; en el exterior de dicha capa, las tensiones tangenciales son despreciables, predo-
minando las fuerzas de inercia sobre las de viscosidad, mientras que en el interior de la capa límite, la proximidad del
contorno hace que el gradiente de velocidades sea muy grande y, por lo tanto, que la tensión tangencial:
du
dy
τ h
=
, sea también muy grande; en esta situación, las fuerzas de fricción son del mismo orden de magnitud que las fuerzas
de inercia.
El espesor δ de la capa límite puede estar comprendido entre unas pocas moléculas y algunos milímetros, según
los casos; fuera de la capa límite se pueden utilizar las ecuaciones de Euler o métodos experimentales basados en las
líneas y redes de corriente, que una vez configuradas alrededor del perfil deseado, permiten obtener el campo de
velocidades y la distribución de presiones correspondiente.
En el estudio de la capa límite hay que tener presentes las siguientes consideraciones:
a) Aunque la perturbación producida por la fricción se propaga a todo el fluido, se admite que la propagación
queda limitada a una zona del mismo de espesor finito δ , en sentido normal al contorno.
b) La forma de la curva de distribución de velocidades en las distintas secciones a lo largo de la capa límite, se
puede expresar, en general, mediante las siguientes ecuaciones, FigVII.1:
Régimen laminar:
2 3
1 2 3
0
............
u y y y
C C C C
V δ δ δ
     
=
+ + + +
     
     
Régimen turbulento:
0
m
u y
V δ
=
En la queVo
es la velocidad uniforme del fluido no perturbado; la capa límite en su desarrollo longitudinal, muestra una
tendencia progresiva al ensanchamiento. FigVIII 1.b

32
Polinomio de segundo grado. La distribución de velocidades es de la forma:
2
1 2
0
u y y
C C C
V δ δ
   
=
+ +
   
   
Con las condiciones:
0 1 2
Para: y =0, u 0 C =0
Para: y = , u = V 1 = C +C ; 0
y
u
y δ
δ =
= ⇒


∂

⇒ =
 ∂

1 2 1 2
1 2
2
0
2 2
1
0 2 0
y
y
C C Y C C
u
C C
V y δ
δ
δ δ δ
δ
=
=
∂  
= + + = ⇒ + =
 
∂  
1 2
1 2
1 2
1
2; 1
2 0
C C
C C
C C
+ =


⇒ = =
−

+ =


El perfil de la distribución de velocidades de la capa límite, en régimen laminar es:
2
0
2
u y y
V δ δ
 
= −  
 
Polinomio de tercer grado: La distribución de velocidades es de la forma:
2 3
1 2 3
0
u y y y
C C C C
V δ δ δ
     
=
+ + +
     
     
Con las condiciones
0 1 2 3
Para: y = 0, u 0 C = 0
Para: y = , u = V 1 = C +C +C ; 0
y
u
y δ
δ =
= ⇒


∂

⇒ =
 ∂

2
3
1 2
1 2 3
2
0
3
2
1
0 2 3 0
y
y
C y
C C
u y y
C C C
V y δ
δ
δ δ δ δ
δ
=
=
 
∂  
   
= + + = ⇒ + + =
 
   
∂    
 
 
^

33
Para y = 0 ;
2 2
3
2
2
2 2 2 2
0 0
6
2
1
0 0 0 0
y y
y
C
C
u u y
C
V
y y
δ δ
δ
δ δ
= =
=
∂ ∂  
 
= ⇒ = + + = ⇒ =
 
 
∂ ∂  
 
1 2 3
1 2 3 1 2 3
2
1
3 1
2 3 0 ; 0;
2 2
0
C C C
C C C C C C
C
+ + = 

+ + = ⇒ = = =
−


= 
El perfil de la distribución de velocidad de la capa limite, en régimen laminar, es:
2
0
3 1
2 2
u y y
V δ δ
 
= −  
 
Experimentalmente se ha comprobado, para placa plana, que el movimiento laminar en la capa límite llega a hacerse
inestable cuando se sobrepasa un valor crítico del número de Reynolds:
0
Re C
c
V x
v
=
Siendo C
x la distancia a partir del borde de ataque de la placa.
La capa límite continua su desarrollo, como se muestra en la Figura VII.2; a partir de C
x , se origina la capa límite
turbulenta, que se divide en dos subcapas, una de las cuales, en las proximidades de la placa, permitir definir una
delgada subcapa marcadamente laminar.
Los valores críticos del número de Reynolds que definen la transición, para placa plana, son:

5 6
min
Re 5.10 ; Re 3.10
la ar turbulento
< >
Parafluidosquecirculanentredosparedespróximas,elensanchamientoprogresivodelacapalímitedecadacontorno
determina que éstas se una, a una cierta distancia de la entrada, desapareciendo la zona en que el movimiento podía
ser asimilable a un fluido perfecto, para realizarse todo él bien en régimen laminar, o bien en régimen turbulento,
según el valor del número de Reynolds.
En tuberías sólo se puede considerar el movimiento como irrotacional, en las proximidades de la embocadura; con
flujo totalmente desarrollado, no.

34
IV. METODOLOGÍA
4.1 Materiales, Instrumentos o Equipos y Reactivos
4.2 Procedimiento Experimental
"
" Acondiciona la cuba de Stokes, buscando nivelar dicha cuba manipulando las ruedas inferiores.
"
" Apertura el ingreso de fluido, lentamente, de tal manera que dicho fluido descanse sobre la base de la
cuba.
"
" Inyecta la solución coloreada, de permanganato de potasio, en el centro de la masa del fluido y observa el
comportamiento de las líneas coloreadas del fluido (captura el efecto con tomas fotográficas). Incremen-
ta la velocidad del fluido y anota las variaciones que estas líneas experimentan.
"
" Ahora coloca una esfera perpendicularmente a la trayectoria del fluido y observa el comportamiento de
las líneas en torno a este cuerpo sólido (captura el efecto con tomas fotográficas).Con este régimen toma
tres medidas de volumen en un mismo tiempo (5 segundos).
Nota: Poner atención a que el fluido no supere el espesor del cuerpo sólido.
"
" Repite esta secuencia para otros cuerpos sólidos: cuadrado, triángulo y aerodinámico.
• Probeta de 1000 mL (1/1)
• Cronómetro
• Vernier
• Termómetro
• Densímetro
• Cuba de Stokes
• Agua potable
• Permanganato de potasio

35
V. REPORTE DE RESULTADOS
5.1 Recolección de la Data
FLUIDO: AGUA POTABLE T = .......... ºC ρ = .............. g/mL
Nº TIPO DE SÓLIDO
VA
(mL)
VB
(mL)
VC
(mL)
VPROM
(mL)
1 Esfera
2 Cuadrado
3 Triángulo
4 Aerodinámico
5.2 Ejecución (Cálculos)
Nº TIPO DE SÓLIDO
CAUDAL Q
(m3
/s) Dh
v
(m/s) CD
1 Esfera
2 Cuadrado
3 Triángulo
4 Aerodinámico
ESTUDIANTE: __________________________________________ Código: ____________
G.H: _______ Semestre Académico: ____________ Fecha de Entrega: ____/____/____

36
VI. EVALUACIÓN
6.1 Test Cognitivo
1. Mediante un diagrama de flujo pictográfico, indica las zonas donde se produce: un torbellino, la capa límite,
la zona de remanso y una estela al interponerse un sólido de forma aerodinámica al movimiento de un
fluido viscoso.
2. Proporciona la interpretación física del radio hidráulico.
3. ¿A qué factor se le atribuye la variación del caudal al cambiar de posición un objeto aerodinámico?
4. Muestra la distribución de las presiones sobre un cilindro circular para varios valores del numero de
Reynolds
5. Muestra el gráfico de CD
vs. NRe
para un disco circular y para placas cuadradas.
6.2 Problemas Propuestos
1. Determine que la fuerza de resistencia que ofrece un líquido viscoso (o un gas) a la caída de una bola
viene expresada mediante la relación F = 6phrv; donde “h” es el coeficiente de rozamiento interno del
líquido ó del gas, r es el radio de la bola, y v es la velocidad.
2. La ley de Stokes se cumple únicamente si el movimiento es laminar. Bajo estas condiciones demuestre
que el volumen del líquido ( o del gas) que pasa en el tiempo “t” por el tubo capilar de radio “r” y
longitud “l” viene determinado mediante:
4
8
r t p
V
l
p
h
D
= (fórmula de Poiseuille) donde “h” es la
viscosidad dinámica del fluido y Dp la diferencia de presiones entre los extremos del tubo.
3. El carácter del movimiento del líquido (ó del gas) se determina por el número sin dimensiones de
Reynolds Re
Dv D v D v
r
h h γ
⋅ ⋅
= = = Donde “D” es una magnitud que caracteriza las dimensiones
lineales del cuerpo circundando por el líquido (o por el gas, v es la velocidad).
4. La fuerza de arrastre (F), que actúa sobre una esfera lisa depende de la velocidad relativa (v), del
diámetro de la esfera (D), de la densidad del fluido (r) y de la viscosidad del fluido (µ). ¿Cuáles serán los
parámetros a dimensionales que se puedan utilizar para correlacionar los resultados experimentales?.
VII. CONCLUSIONES
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................

37
VIII. BIBLIOGRAFÍA
1. Gonzales delTango, José Dinámica yTransporte de Fluidos en sus Aplicaciones a la Ingeniería
Química.
Editorial. Dossat, (pag. 12 y 13).
2. Costa Novela E. Ingeniería Química Flujo de Fluidos.
Editorial: Alambra S.A. España 1985.
3. Warren, Hc Cabe- Operaciones Unitarias en Ingeniería Química
Editorial: Mc. Graw Hill. Madrid 1995.
IX. ANEXOS
ECUACIÓN DE LA DINÁMICA PARA FLUIDOS PERFECTOS
La hidrodinámica define las posiciones de las partículas en fundón del tiempo, considerando las fuerzas actuantes.
Si se trata de fluidos perfectos, no se tiene en cuenta la viscosidad, luego no existen tensiones tangenciales.Todas
las fuerzas son normales.
Analíticamente y utilizando coordenadas cartesianas el problema se plantea como un sistema de 5 ecuaciones y 5
incógnitas:
Las 5 ecuaciones son:
a) las tres de la aplicación del principio de D´Alambert F ma
=
∑ :
b) la ecuación de continuidad
( ) ( ) ( )
0
Pu Po Pw P
x y z t
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
c) la ecuación de estado, que al tratarse de un líquido es: Cte
r =
Las 5 incógnitas son: las coordenadas de posición (x, y, z); el tiempo t y la masa especifica r .
Sea una partícula en forma de cubo de dimensión es dx.dy.dz; fluido perfecto e incomprensible Cte
r =
1
2
P
P dy
y
∂
+
∂
1
2
P
P dz
z
∂
−
∂
1
2
P
P dx
x
∂
+
∂
1
2
P
P dy
y
∂
−
∂
1
2
P
P dz
z
∂
+
∂
1
2
P
P dx
x
∂
−
∂
y
o
z
x
Figura 1
Sea la presión r función de punto (x, y, z)

38
Sea la velocidad
( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , , ,
v x y z u x y z i v x y z j w x y z R
= + +
  

Fuerzas actuantes; exteriores y de inercia son respectivamente:
x dxdydz
y dxdydz
z dxdydz
r
r
r

du
dxdydz
dt
dv
dxdydz
dt
dw
dxdydz
dt
r
r
r
Fuerzas interiores (de presión)
1 1
2 2
P P P
P dx dydz P dx dydz dxdydz
x x x
∂ ∂ ∂
   
− − + =
−
   
∂ ∂ ∂
   
1 1
2 2
P P P
P dy dxdz P dy dxdz dxdydz
y y y
   
∂ ∂ ∂
− − + =
−
   
∂ ∂ ∂
   
1 1
2 2
P P P
P dz dxdy P dz dxdy dxdydz
z z z
∂ ∂ ∂
   
− − + =
−
   
∂ ∂ ∂
   
Estableciendo las ecuaciones de equilibrio, aplicando el principio de D´alambert:
P du
x dxdydz dxdydz dxdydz
x dt
r r
∂
− =
∂
P dv
y dxdydz dxdydz dxdydz
y dt
r r
∂
− =
∂
P dw
z dxdydz dxdydz dxdydz
z dt
r r
∂
− =
∂
Operando y simplificando:
1
F de D´Alambert
P du
x
x dt
P dv dv
y v p ecuaciones
y dt dt
P dw
z
z dt
r r
r r
r
r r

∂
− = 
∂ 
∂ 
−= − =

∂ 

∂
− = 

∂ 
te
C
r = Ecuación de estado de los líquidos
Operando del siguiente modo: multiplicando por dx la primera ecuación; por dy la segunda y por dz la tercera en el
sistema inmediatamente anterior resulta:

39

1
du P
x dx
dt e x
∂
 
− =
 
∂
 

1
dv P
y dy
dt e y
 
∂
− =
 
∂
 

1
dw P
z dz
dt e z
∂
 
− =
 
∂
 
Y sumando miembro a miembro:
( )
1
........ 1
du dv dw P P P
xdx ydy zdz dx dy dz dx dy dz
dt dt dt P x y z
 
∂ ∂ ∂
 
+ + − + + = + +
 
  ∂ ∂ ∂
   
Dado que:

dx udt
dy vdt
dz wdt
=
=
=
( )
............................ 2
du dv dw
dx dy dz udu vdv wdw
dt dt dt
+ + = + +
( )
2
1
............ 2´
2
udu vdv wdw dv
+ + =
Asimismo:
( )
.................. 3
P P P
dx dy dz dp
x y z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en (1) resulta:
[ ]
1
xdx ydy zdz udu vdv wdw dP
r
+ + − + + =
Operando:
( )
2
1
..................... 4
2
dP
xdx ydy zdz dV
r
 
+ + = +
 
 
Ecuación general de la Hidrodinámica para fluidos perfectos en el movimiento permanente.
Ecuación de Bernoulli (para fluidos perfectos)
Si existe función potencial, X,Y, Z derivan de un potencial –U. en este caso existe una función potencial porque
te
C
r = , luego:
( )
............................ 5
xdx ydy zdz dU
+ + =
−

40
Sustituyendo la ecuación (5) en la (4) resulta:

2
1 1
0
2
dU dP dv
e
+ + =
Integrando entre 1 y 2 resulta:
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 1 2 1 1
1
0......................... 6
2
P
U U V V
r
− + − + =
∫
Si el potencial en el campo gravitatorio: U g z
=  ; que sustituyendo en (6) resulta finalmente:
( ) ( )
2 2 2 1
2 1 2 1
1
2
P P
z z v v
g γ γ
− −  
− + − + −
 
 
( )
2
........................... 7
2
te
v P
z C
g γ
−
+ + =
Ecuación de Bernoulli para fluidos perfectos, que representan la invarianza a lo largo de una trayectoria o línea de
corriente (el movimiento es permanente) de la energía por unidad de peso (figura 2)
En efecto:
Energía potencial: ( )
m g z
⋅ ⋅ ; por unidad de peso: z
Energía cinética: ( )
2
1
2
m v
⋅ ; por unidad de peso ( )
2
2
v g
⋅
Energía de presión: ( )
1
p S
⋅ ⋅ ; por unidad de peso: p γ
[ ]
z L
=
[ ]
2
3
p FL
L
FL
γ
−
−
 
= =
 
 
[ ]
2 2 2
2
2
v L T
L
g LT
−
−
 
= =
 
 
2
2
v
g
p
γ
z
Plano de referencia
Trayectoria
Línea de piezométrica
Plano de línea de carga
Figura 2
La ecuación de Bernoulti se puede generalizar a una corriente.
Se define como corriente a un flujo en el cual las velocidades en todos sus puntos son paralelas entre sí (una corriente
tiene una dirección preferencial).
Si el movimiento es permanente y uniforme, la presión se transmite igual que en hidrostática y la energía cinética
(en el caso de utilizar la velocidad media en lugar de la instantánea) se vería afectada por un coeficiente a (conocido

41
como coeficiente de Coriolis), que cuando el flujo es turbulento es muy próximo a la unidad; por tanto es posible
realizar la generalización.
Ecuación de la dinámica para fluidos reales
En los fluidos reales existe rozamiento en el movimiento de las capas contiguas, por tanto aparecen los esfuerzos
cortantes, que son proporcionales a las deformaciones que generan (que pueden ser lineales o angulares).
En consecuencia las fuerzas de presión sobre cada una de las caras del cubo de la Figura 3, se pueden descomponer en
tensiones normales σ y tangenciales τ la superficie correspondiente.
Para establecer las fuerzas interiores se definen las fuerzas de tracción, las que realiza la partícula sobre el fluido que
lo rodea (esto defiere respecto a lo planteado en la figura 1, pero la cuestión se tiene en cuenta cuando finalmente se
plantea las ecuaciones de Navier-Stokes)-
Fuerzas actuantes:
Exteriores y de inercia

x dydz
ypd x dyz
zpd x dydz
xpd

dy
dxdydz
dt
dv
dxdydz
dt
dw
dxdydz
dt
r
r
r
Interiores (de presión)
Eje OX:

x yx
dydz x dx dydz x dxdz yx dy
x y
σ τ
σ σ τ
 
∂ ∂
 
+ − + + −
 
 
∂ ∂
   

x
dxdz yx dxdy zx dz dxdy zx
z
τ
τ τ τ
∂
 
+ + −
 
∂
 
Simplificando

x yx zx
dxdydz
x y z
σ τ τ
 
∂ ∂ ∂
+ +
 
∂ ∂ ∂
 
Eje OY:

y xy zy
dxdydz
y x z
σ τ τ
 
∂ ∂ ∂
+ +
 
∂ ∂ ∂
 
Eje OZ:

z xz yx
dxdydz
z x z
σ τ τ
∂ ∂ ∂
 
+ +
 
∂ ∂ ∂
 

42
Estableciendo las ecuaciones de equilibrio
( )
1
0
1
0 8
1
0
dy x yx zx
x
dt e x y z
dv y xy zy
y
dt e y x z
dw z xz yz
z
dt e z x y
σ τ τ
σ τ τ
σ τ τ

 
∂ ∂ ∂
− + + + =
  
∂ ∂ ∂
  

 
∂ ∂ ∂ 
− + + + =
 

∂ ∂ ∂
 

 
∂ ∂ ∂ 
− + + + =
  
∂ ∂ ∂ 
  
El sistema (8 ) representa las ecuaciones del movimiento en los fluidos reales.
Ecuaciones de Navier-Stokes (N/S)
En las ecuaciones de N/S se sustituyen las tensiones por sus efectos, las deformaciones. En la lección 1 se establecieron
dos tipos de deformaciones: Lineales y angulares.
´
1 1
A A
≡
u
dxdt
x
∂
∂
dβ
v
dydt
y
∂
∂
dα
1
D
v
dxdt
x
∂
∂
´
1
D
xy
τ
1
C
´
1
C
1
B
´
1
B yx
τ
u
dydt
y
∂
∂ ´
´
´
´
Sobre la cara B1
C1
actúa la tención yx
τ , que es proporcional a la deformación angular dβ tal que:
yx
d
dt
β
τ µ
=
Sobre la cara D1
C1
actúa la tensión xy
τ proporcional a la deformación angular dα tal que:
xy
d
dt
α
τ µ
=
Considerando ambos efectos conjuntamente:
yx xy
d d
dt
β α
τ τ µ
−
 
= =  
 

43
Como se demostró en Lección 1
( )
u v
d d dt
y x
β α
 
∂ ∂
+ = +
 
∂ ∂
 
Entonces
yx xy
u v
y x
τ τ µ
 
∂ ∂
= = +
 
∂ ∂
 
Las tensiones yx
τ y xy
τ son simultáneas con las deformaciones dβ y dα
Al estudiar las deformaciones angulares, se comenta que: siendo z
θ la deformación angular en el plano
perpendicular al eje OZ, se puede escribir:

2
2
z
yx xy z
u v
G
y x dt
θ
τ τ µ µ θ
 
∂ ∂
= = + = =
 
∂ ∂
 
Definiendo como módulo de elasticidad transversal como:
G
dt
µ
=
Operando de idéntica forma para los planos perpendiculares a los ejes OY y OX, y agrupando todos los resultados.
( )
2
2
9
2
z
yx xy
y
xz zx
x
yz zy
u v
dt y x
w u
dt x z
v w
dt z y
θ
τ τ µ µ
θ
τ τ µ µ
θ
τ τ µ µ

 
∂ ∂
= = = +
  
∂ ∂
  

∂ ∂
 
= = = +
 
∂ ∂
 

 
∂ ∂ 
= = = +
 
∂ ∂ 
 
Relación entre las tensiones tangenciales y las deformaciones
Relación entre las tensiones normales y las deformaciones
Se parte de las premisas siguientes:
a) Recordar que se trata de un fluido incomprensible (líquido) y que verifica la ecuación de continuidad
0
u v w
x y z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
b) Se considera el estado de tensiones de un sólido elástico, cuya forma y comportamiento coincide con la del fluido
que se analiza en el instante t; cuyas tensiones son nulas en dicho instante (se equilibran las tensiones del sólido
elástico con las del fluido que se analiza) y cuyos desplazamientos sean en el instante (t+dt) los siguientes:

44

1
1
1
u udt
v vdt
w wdt
=
=
=
Se puede demostrar que las tensiones tangenciales del sólido elástico coinciden con las del líquido.
Las tensiones tangenciales del sólido elástico son:
1
1 1
1 1 2
yx xy z xy
d u v d u v
G dt
dt y x dt y x
τ τ θ µ µ τ
   
∂ ∂ ∂ ∂
= = = + = + =
   
∂ ∂ ∂ ∂
   
1
1 1
1 1 2
yz zy y yz
d v w d v w
G dt
dt z y dt z y
τ τ θ µ µ τ
   
∂ ∂ ∂ ∂
= = = + = + =
   
∂ ∂ ∂ ∂
   
1
1 1
1 1 2
zx xz x zx
d w u d w u
G dt
dt x z dt x z
τ τ θ µ µ τ
∂ ∂ ∂ ∂
   
= = = + = + =
   
∂ ∂ ∂ ∂
   
Para deducir las tensiones normales del sólido elástico se utiliza la fórmula de Lamé.
1 2
x e G x
σ λ
= + ∈
Donde:
1
x
u
x
∂
∈ =
∂
1 1 1
u v w
e
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
λ , el módulo de elasticidad de Lamé
Como el sólido elástico y el fluido que se analiza tiene el mismo comportamiento, al tratarse éste ultimo de un fluido
incomprensible e=0 por la ecuación de continuidad de Euler.
Luego la fórmula de Lamé se reduce a:

1
1
1
1
1
1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x x
y y
z z
u d u u
G G dt
x dt t x
u d v v
G G dt
y dt y y
w d w w
G G dt
z dt z z
σ µ µ
σ µ µ
σ µ µ

∂ ∂ ∂
= ∈
= = = 
∂ ∂ ∂ 
∂ ∂ ∂ 
= ∈
= = = 
∂ ∂ ∂ 

∂ ∂ ∂
= ∈
= = = 

∂ ∂ ∂ 
Tensiones normales del sólido elástico
Al superponer el sólido elástico con el fluido incompresible, dado que la presión total a que está sometido el fluido
incomprensible es p, se tiene:

45
a. Las tensiones tangenciales del sólido elástico y del fluido coinciden; luego se anulan
b. Las tensiones normales del sólido elástico son:

2 1 1
2 ; 2 ; 2
x y z
u v w
x y z
σ µ σ µ σ µ
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
c. Como en el instante t las tensiones sólido-fluido están en equilibrio, las tensiones normales del fluido
serán:
( )
2
2 10
2
x
y
z
u
p
x
v
p
y
w
p
z
σ µ
σ µ
σ µ

∂
=
− + 
∂ 
∂ 
=
− + 
∂ 

∂
=
− + 

∂ 
d. El signo (- ) en la p responde a las notaciones habituales en elasticidad, para representar a las compre-
siones
(-) entrante, comprensión
(+) saliente, tracción
Sustituyendo los resultados de los sistemas de ecuaciones de ( 9) y (10) en el sistema de ecuaciones de
Navier – Stokes

2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p u p u
z z
g g
h
J
γ γ
   
+ + − + +
   
   
= =
 
Un concepto a tener en cuenta, que se plantea tanto en conducciones cerradas como en cauces abier-
tos, dentro del contexto de la pendiente hidráulica es el siguiente:
El cociente entre la fuerza de razonamiento F y la superficie de contacto fluido conducción (x% siendo x,
el perímetro mojado y l, la longitud de la conducción) es la tensión de corte.

F
x
τ =

Dado que F S γ
=   (EC. 19 bis)

hS J S
x x
γ γ
τ
= =
⋅

 

S
J
x
τ γ
= (21)
La tensión de arrastre del agua es:
S
X
S
J R
x
τ γ
=
⋅ =
JR
τ γ
= (22)

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