Este documento presenta información sobre la proyección estereográfica de cristales cúbicos. Explica cómo se representan las direcciones y planos cristalinos mediante puntos en una esfera de proyección y cómo se proyectan estos puntos sobre un plano para crear un diagrama. Además, muestra un ejemplo de cómo aplicar esta técnica al cloruro de sodio (NaCl) usando el programa CaRIne Crystallography 3.0 para obtener su proyección estereográfica.

1. ” Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso
Climático
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
INTRODUCCIÓN A LA CRISTALOGRAFÍA
“LABORATORIO 6.”
ALUMNOS:
JOSE LUIS LEON 100214C
JOSE MIGUEL HUEZA GONZALES 062124F
RICARDO GARCIA ARANA
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
PROFESOR: Lic. QUIÑONES MONTEVERDE, CARLOS
Ciudad universitaria, 29 de Junio del 2014

2. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE.
1. Obtener la respectiva representación estereográfica para un cristal cúbico usando el
programa CaRIne Crystallography 3.0.
2. Obtener la proyección estándar del cristal cúbico NaCl, mostrando los polos y las
zonas.
3. Determinaremos las coordenadas de los polos en la proyección estereográfica.
4. Realizar aplicaciones a una proyección estereográfica con las funciones usando las
funciones del comando Stereo Projection.
5. “Recordar que esta experiencia, ayudara a interpretar cualquier simetría de cristal;
pero antes debemos tomar como referencia aquellos cristales de simetría cúbica, ya que
son más didácticos para trabajar.
TEORÍA.
LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA.
Principios.
En el estudio de la cristalografía es útil con frecuencia poder representar planos y
direcciones cristalinas en un diagrama de dos dimensiones, de modo que las relaciones
angulares y las disposiciones simétricas de las caras cristalinas pueden ser analizadas
en una pieza plana de papel, y, si es necesario, medirlo. Claramente, el tipo más útil de
diagrama será uno en el que las relaciones angulares en tres dimensiones del cristal son
reproducidas fielmente en un plano de algún modo en geometría proyectiva.
Matemáticamente, una proyección de tres dimensiones hacia dos dimensiones en el que
las relaciones angulares se reproducen fielmente se conoce como una proyección
conforme. La proyección conforme usada en la cristalografía es la proyección
estereográfica.
Para imaginar cómo se utiliza una proyección estereográfica en cristalografía, imagine
un cristal que se ubica con su centro en el centro de una esfera, la cual se denomina la
esfera de proyección (Figura 1a), y trazando las normales a los planos cristalinos a través
del centro de la esfera para intersectarla con la superficie de la esfera, por ejemplo en P.
P se llama el polo del plano para la cual OP es la normal. Una dirección se representa
de manera similar por un punto en la superficie de la esfera, definido como el punto donde
la línea paralela a la dirección dada, pasa a través del centro de la esfera, cortando en
la superficie de la esfera. Un plano cristalino también puede ser representado al trazar el
plano paralelo a través del centro de la esfera y extendiéndolo hasta que corte a la esfera
(Figura 1a). Dado que el plano pasa a través del centro de la esfera, esto es un plano
diametral, y la línea de intersección de la esfera con un plano de este tipo se denomina
círculo grande. Un círculo grande es un círculo en la superficie de una esfera con un
radio igual al radio de la esfera.

3. Figura 1 (a) Esfera de proyección. (b) El ángulo entre dos planos es igual al ángulo
entre los dos polos
En esta etapa hemos representado direcciones en el cristal - es decir, las normales de
los planos de la red o las direcciones de la red - por puntos (polos) en la superficie de la
esfera. Teniendo una proyección esférica del cristal. El ángulo entre dos planos de éstas
normales son OP y OQ (Figura 1b) que es igual al ángulo entre estas normales, es el
ángulo subtendido en el centro de la esfera de proyección por el arco del círculo grande
trazado a través de los polos P y Q. Para hacer un dibujo en dos dimensiones en la cual
las relaciones angulares son conservadas, se proyectan ahora los polos en un plano
conveniente de dos dimensiones, tal como una pieza de papel.
La proyección esférica es como un globo terrestre. Definamos los polos norte y sur, N y
S en la Figura 1a, por analogía con los polos norte y sur del globo terrestre. El plano
ecuatorial pasa a través del centro de la esfera normal a la línea NS y corta la esfera en
un círculo grande llamado el ecuador. Hay varias formas de puntos de proyección sobre
la esfera en un plano de dos dimensiones. Un número de maneras se muestran en la
Figura 2.
Figura2 Proyecciones de polos en la superficie de una esfera sobre una pieza plana de
papel

4. En la proyección ortográfica un polo P se proyecta desde un punto en el infinito sobre un
plano paralelo al plano ecuatorial para formar P0’ sobre un plano paralelo al plano
ecuatorial pasando a través de N. En la proyección gnomónica el punto de proyección
es el centro de la esfera, dando el polo proyectado en PG’ sobre un plano paralelo al
plano ecuatorial pasando a través de N. Estas dos proyecciones tienen sus usos en la
cristalografía; la proyección ortográfica es útil para la visualización de formas cristalinas
y la proyección gnomónica es relevante para el etiquetado de electrones de
retrodispersión en patrones de difracción de electrones en los microscopios electrónicos
de transmisión. Sin embargo, ninguna de estas proyecciones es conforme, de modo que
los ángulos están distorsionados en estas proyecciones.
En la proyección estereográfica el polo P es proyectado desde un punto sobre la
superficie de la esfera, por ejemplo S, llamado el polo de proyección, sobre un plano
normal al OS. Este plano puede pasar a través de cualquier punto sobre NS. Si esto pasa
a través de N, el punto P se proyecta a P‘S. El plano más conveniente para nuestro
propósito es el plano ecuatorial normal a SO. Si proyectamos el punto P desde S sobre
este plano se define el punto P’ que se produce como la proyección estereográfica de P.
En lo que sigue siempre tomaremos el plano de proyección como el plano ecuatorial. La
línea de intersección del plano de proyección con la esfera de proyección es un círculo
grande llamado el círculo primitivo, o, para abreviar, el primitivo. El método de proyección
que se adoptará se muestra en la Figura 3a. Un polo P1 en el hemisferio norte se proyecta
a P’1, dentro del primitivo, y está marcado con un punto en el papel. Todos los polos en
el hemisferio norte se proyectan dentro del primitivo. Los polos en el hemisferio sur, es
decir P2, dan una proyección P’2 fuera del primitivo. El punto P’2 es la verdadera
proyección de P2. Es incómodo con frecuencia trabajar con polos proyectados fuera del
círculo primitivo, y para evitar esto un polo P2, en el hemisferio sur, puede ser proyectado
desde el polo norte N (diametralmente opuesta a S) para dar el polo proyectado en P’’2.
El polo proyectado P’’2 se distingue entonces de la verdadera proyección de P2 (en P’2),
al marcar el punto P’’2 con un anillo en vez de marcar con un punto.
Figura 3 (a) Proyección estereográfica. (b) Un círculo menor se proyecta como un círculo
Además de ser cierto el ángulo, la proyección estereográfica tiene una segunda
propiedad muy útil: todos los círculos (grandes o pequeños) sobre la superficie de la

5. esfera de proyección se proyecta como círculos. Esto se ilustra por un pequeño círculo
en la figura 3b.
Ahora podemos proceder a dibujar la representación estereográfica o estereograma de
los polos de planos cristalinos en un cristal cúbico. En los cristales cúbicos la normal a
un plano (hkl) es paralelo al vector [hkl]; por lo tanto, en las proyecciones estereográficas
de estos cristales el polo hkl puede representar ya sea la normal al plano (hkl) o la zona
[hkl]. Los ejes cristalinos se ubican con respecto al polo y al plano de la proyección como
en la Figura 4a. Los tres ejes son ortogonales y de igual longitud. En la proyección
estándar mostrado en la Figura 4b, el eje z del cristal se toma perpendicular al plano de
proyección y, dado que los ejes son ortogonales, los ejes x e y se encuentran en el plano
de proyección a 90° uno al otro. El polo de los planos (001) coincide con N y se proyecta
por el centro de la primitiva (Figura 4b). Los polos de (100), (010), y se
encuentran en la primitiva igualmente espaciados en ángulos de 90°. Los planos
que darían en el infinito si se proyectan a partir de S, de modo que se proyecta esto
desde N y se denota esto por el anillo. Los planos (011) están representados por el polo
P; (011) se encuentra en la zona en la cual el eje x es el eje de zona; es decir, [100]. Los
polos de todos los planos en la zona [100] se encuentran en el círculo grande definido
por el lugar geométrico de todos los puntos a 90° desde el polo (100). Este círculo grande
se proyecta como la línea sobre el estereograma que une a (010), (001) y (010). Por lo
tanto, P se proyecta en algún lugar entre (001) y (010). El ángulo en la Figura 4a es
el ángulo entre (001) y (011); para el cristal cúbico, . A partir de la Figura 4a, la
distancia OP' viene dada por:
(1), Donde R es el radio de la esfera de proyección. Esto se sigue ya que
S, O, N, P y P' se encuentran todos en el mismo plano, y el ángulo de OSP es igual a
debido a que OSP es el ángulo en la circunferencia que está de pie sobre el mismo
arco NP como el ángulo NOP en el centro. Por lo tanto, se puede insertar el polo (011)
sobre el estereograma a una distancia (en este caso,
desde el polo (001) a lo largo del radio de la primitiva que une a (001) y (010)).
El plano (011) puede trazarse directamente sobre el estereograma en lugar justo del polo
(011) trazando la proyección del círculo grande, que es el lugar geométrico de los puntos
a 90 ° desde el polo (011). Esto se dibuja en la Figura 4b.

6. Figura 4 (a) Polos de un cristal cúbico. (b) Estereograma de un cristal cúbico

7. Ejemplo
Sea un cristal relativamente simple de simetría ortorrómbica, 2 / m 2 / m 2 / m. Esto se
muestra en la primera figura.
La primera esfera muestra los polos de las cara (100), (010) (dos caras) y (001) y (00 1)
que penetran los alrededores de la esfera. La segunda esfera muestra los polos de las
caras sobre los alrededores de esfera para las formas {110}, {101}, y {011}. La tercera
esfera sitúa los polos de las caras {111}.
La cuarta esfera muestra un plano horizontal ecuatorial (un círculo), el hemisferio
superior, y el hemisferio inferior, ambos con todos los polos de las caras. Los polos
normales a las caras verticales penetran a la esfera a lo largo del borde del plano
ecuatorial.
La última esfera muestra ejemplos de la asignación de índices de Miller para polos de
caras de tres pinacoides {100}, {010}, y {001}. Todos los otros polos de las caras pueden
indicarse de manera similar.

8. Proyección estereográfica.
Ahora que todos los polos de las caras cristalinas se han localizado en la esfera exterior,
podemos comenzar el proceso de proyección estereográfica. Esto implica llevar toda la
información que ahora se distribuye sobre la superficie de la esfera sobre el plano
ecuatorial, también conocido como el círculo primitivo.

10. PROCEDIMIENTO.-
1. Cargar el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.0 y usando el comando Open
cell del menú File, abrir el archivo de la celda del ClNa.
Cargamos el programa CaRIne Crystallography 3.0 y abrimos la celda del cloruro de
sodio ya realizada, como muestra los pasos de las figuras.
Ventana de Carine 3.0.
Comando open cell.

11. Ventana del comando Abrir.
Ventana Celda unitaria del NaCl.
Luego de haber abierto la celda y haberle dado algunos efectos como muestran las
figuras 8 y 9 procedemos a buscar en la barra de herramientas la pestaña Calcul para
luego realizar la actividad que requerimos.
Hacemos clic en
donde señalan
las flechas

12. Seleccionando el Comando View. Ventanas Graphics y pasos
FIGURA 7: CELDA CRISTALOGRAFICA DEL NaCl

13. 2. Seleccionar el comando Stereo Projection del menú Specials para desplegar la
ventana de funciones, como se muestra en la Figura 8.
FIGURA 8: VENTANA DE FUNCIONES STEREO PROJECTION
3. Hacer clic izquierdo en la opción Parameters y el software le mostrará la ventana
Stereographics Projection, donde podrá definir las direcciones, los polos y las
trazas de la proyección.
VENTANA STEREO PROJECTION

14. 4. Hacer click en el botón Directions y definir el rango de los índices de las
direcciones, según . Hacer click en OK.

15. 5. Hacer click en el botón Poles y definir el rango de los índices de los polos,
según . Hacer click en OK.
6. Hacer click en Traces y definir el rango de los índices de los polos a unir
mediante trazos, según . Hacer click en OK.

16. 7. Definidos los índices de las direcciones, de los polos y de los polos a unir
mediante las trazas, en la ventana Stereographics Projection Prefs hacer click
en OK.
FIGURA 9: VENTANA STEREO PROJECTION DEFINIDA
“No es necesario definir la sección de direcciones; ya que sabemos que para cada
plano tiene sus índices de Bravais, y estos son los mismos para las direcciones; como
también sabemos que la representación de la cara de un cristal es perpendicular a
dicha cara, la dirección toma la mima dirección y por ende tendrán la misma proyección
estereográfica”
8. Seleccionar el comando Stereo Projection del menú Specials y elegir la opción
Creation para visualizar la proyección estereográfica creada.
Click

17. FIGURA 10: PROYECCION ESTEREOGRAFICA DEL NaCl
En la proyección estereográfica, con la ayuda del cursor, definimos los valores de Ө y φ
para representar las coordenadas de la posición de los polos de la proyección. Esta
característica de la proyección estereográfica se encuentra en la parte inferior izquierda
de la ventana.
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(1,-1,-1)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,1,0)
(0,-1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)

18. 9. Ahora lo que realizaremos es la utilización de cada función de este comando. Primero
seleccionamos el comando ? Angle with mouse para determinar, con la ayuda del cursor
del transportador, los valores ángulos entre de los polos en la proyección estereográfica
(ángulos entre planos). Para esto debemos hacer clic en dos puntos o polos
estereográficos para que pueda medir el ángulo entre ellos.
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(1,-1,-1)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,1,0)
(0,-1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)
Click
Click

19. COMANDO SPECIALS (STEREO. PROJECTION.)
10. Para el segundo paso procederemos a asignar polos nuevos alrededor de las trazas
de la proyección estereográfica, para ser más preciso en las intersecciones de las trazas.
Para este caso el software aplicara la ley de periodicidad de los polos y con el comando,
? Pole with mouse de la función Stereo Projection del menú Specials podremos crear
nuevos polos en la proyección estereográfica.
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(1,-1,-1)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,1,0)
(0,-1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)
(1,-1,2)
(1,-2,1)
POLO 1
POLO 2

20. POR LA LEY DE PERIODICIDAD TENEMOS:
11. Continuando con las funciones del comando STEREOGRAPHICS PROJECTION,
tenemos a la función, ? Trace from 1 Pole, lo que realiza esta función es adicionar o
quitar una traza correspondiente a un polo de la proyección estereográfica (eje de zona).
Es decir que quitamos o adicionamos una línea donde se ubicarían todos los puntos del
eje de zona (punto que seleccionamos)
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(1,-1,-1)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,1,0)
(0,-1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)
( 𝒉𝒉𝟏𝟏, 𝒌𝒌𝟏𝟏, 𝒍𝒍𝟏𝟏) + (𝒉𝒉𝟐𝟐, 𝒌𝒌𝟐𝟐, 𝒍𝒍𝟐𝟐)
( )
𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 = (𝟏𝟏, 𝟎𝟎, 𝟏𝟏) + (𝟎𝟎, −𝟏𝟏, 𝟏𝟏) = (𝟏𝟏, −𝟏𝟏, 𝟐𝟐)
𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 = (𝟏𝟏, −𝟏𝟏, 𝟎𝟎) + (𝟎𝟎, −𝟏𝟏, 𝟏𝟏) = (𝟏𝟏, −𝟏𝟏, 𝟐𝟐)
No aparece zona

21. TRAZA DEL EJE DE ZONA
12. Por ultimo detallaremos la función llamada Add Spot (teta,phi), esta función nos
permite adicionar una característica al polo o dirección seleccionado. Como por ejemplo
cambiar su representación gráfica que por defecto le hemos puesto un círculo, por un
triángulo o cuadrado. Esto nos ayudaría a representar el eje de simetría que representa
cada polo (cara del cristal). También podríamos estimarle una descripción, afirmando
que tipo de eje es; por ejemplo: eje binario, ternario, cuaternario, quinario, senario, etc.
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(1,-1,-1)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,1,0)
(0,-1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)
Eje de zona Aparece zona
zona

22. FIGURA 13: REPRESENTACION DE EJES DE SIMETRIA
 Sin embargo existen comandos que no hemos
analizado, estos sin embargo no son de relevancia para
este laboratorio, sin embargo los mencionaremos:
Trace from 2 zones (traza de dos direcciones),
Remove spot (remover los polos o direcciones),
Move spot (mover los polos o direcciones), Show
spot (Nos muestra los ángulos al cual pertenece
dicho polo o dirección)
Cabe recalcar que la representación estereográfica
anterior fue tomada paralelamente a la cara (100), o sea
que la representación es de la forma {100}.
(1,1,1)
(1,-1,-1)
[0,1,1]
[0,-1,-1]
[0,1,1]
[0,-1,-1]
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(1,0,1)
(0,1,0)
(0,-1,0)
(0,0,1)
(0,0,-1)
Eje de simetría
ternario
Eje de simetría
ternario

23. 13. Usando la ventana Ster. Proj., que se muestra en la Figura 6.6, se podrán usar
directamente los comandos la función Stereo Projection del menú Specials.
Usando la herramienta Ster. Proj. que se muestra en la parte de la Figura A, usted
podrá asignar otros polos con el mouse en las intersecciones de las trazas que se
encuentren libres. Además de ciertas características importantes que te da dicho
comando. Además que existe una ventana acoplable con todas las principales funciones
de este comando.

24. FIFURA A: COMANDO SPECIALS (STEREO. PROJECTION.)
TAREA:
1. Obtener la proyección estándar (100) del cristal cubico NaCl, mostrando todos
los polos de la forma {100}, {110}, {111} y las trazas entre ellos.
Como en general ya hemos trabajado con el cristal cubico NaCl, y justamente la
proyección estándar en la parte del procedimiento es (100), procederemos a indicar los
polos de la forma {100}, {110} y {111}.
Para resolver este problema lo único que nos faltaría completar son los polos que
aparecerán en la proyección estereográfica, los que no aparecen están en la parte
inferior de la proyección; eso quiere decir que no sus puntos en la proyección esférica no
generan polos en la proyección estereográfica.
Para la forma {100}: (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏), (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎), (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎), (𝟎𝟎𝟏𝟏� 𝟎𝟎), (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏�),
Para la forma {110}: (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏), (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟎𝟎), (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏), (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�), (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎), ( 𝟎𝟎𝟏𝟏� 𝟏𝟏�), (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏�), (𝟎𝟎𝟏𝟏� 𝟏𝟏)
Para la forma {111}: (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏), (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏), (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏�), (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�)

25. (1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(1,-1,-1)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,1,0)
(0,-1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)

26. 2. Ubicar el cursor del transportador sobre cada uno de los 17 polos de la
proyección estereográfica obtenida para determinar sus coordenadas ө y φ.
mostrar sus resultados en una tabla de valores.
A continuación detallaremos cuanto miden los ángulos Ө Y Φ, en cada polo o cara del
cristal, además agregaremos una imagen anterior para recordar la utilización de estos
ángulos en una proyección esférica y estereográfica.
Para todos los valores a considerar hemos tomado la aproximación al más cercano, sin
embargo una existe una duda sobre el ángulo teta, siempre es positivo, explicaremos por
qué en la parte de conclusiones.

27. N°
POLO
ESTEREOGRAFICO
ANGULO “𝜽𝜽” ANGULO "𝝋𝝋"
1 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) 0° 0°
2 (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) 90° 0°
3 (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) 90° 90°
4 (𝟎𝟎𝟏𝟏� 𝟎𝟎) 90° -90°
5 (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏�) 90° 180°,-180°
6 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) 45° 90°
7 (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟎𝟎) 45° -90°
8 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) 45° 0°
9 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�) 45° 180°,-180°
10 (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) 90° 45°
11 (𝟎𝟎𝟏𝟏� 𝟏𝟏�) 90° -135°
12 (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏�) 90° 135°
13 (𝟎𝟎𝟏𝟏� 𝟏𝟏) 90° -45°
14 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) 54.74° ≈ 55° 45°
15 (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏) 54.74° ≈ 55° -45°
16 (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏�) 54.74° ≈ 55° -135°
17 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�) 54.74° ≈ 55° 135°

28. 3. Determinar los índices de los 12 polos que corresponden a las intersecciones
de dos trazas en la proyección estereográfica usando la operación del desarrollo
periódico del complejo de caras.
Según el modelo periódico de caras se establece que:
Tenemos lo siguiente para los doce polos faltantes los polos relacionados son los
siguientes:
N°
POLO
ESTEREOGRAFICO 1
POLO
ESTEREOGRAFICO 1
NUEVO POLO
1 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)
2 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏) (𝟐𝟐𝟏𝟏� 𝟏𝟏)
3 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏�) (𝟐𝟐𝟏𝟏� 𝟏𝟏�)
4 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�) (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏�)
5 (𝟎𝟎𝟏𝟏� 𝟎𝟎) (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏) (𝟏𝟏𝟐𝟐� 𝟏𝟏)
6 (𝟎𝟎𝟏𝟏� 𝟎𝟎) (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏�) (𝟏𝟏𝟐𝟐� 𝟏𝟏�)
7 (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)
8 (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�) (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�)
9 (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏�) (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�) (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐�)
10 (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏�) (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏�) (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟐𝟐�)
11 (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)
12 (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏) (𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟐𝟐)

29. 4. Ubicando el cursor del transportador en la intersección de dos trazas de la
proyección estereográfica y haciendo click izquierdo con el mouse sobre ellos
asignar los índices correspondientes a los polos, comparar sus resultados con los
obtenidos en la pregunta anterior.
FIGURA 14: REPRESENTACION DE POLOS SEGÚN LEY DE PERIODICIDAD.
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(1,-1,-1)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,1,0)
(0,-1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)
(1,2,-1)
(1,1,-2)(1,-1,-2)
(1,-2,-1)
(2,-1,1) (2,1,1)
(2,1,-1)(2,-1,-1)
(1,-2,1)
(1,-1,2) (1,1,2)
(1,2,1)

30. 5. Usando el mouse obtener la traza correspondiente al polo (121) e identificar los
polos por los que pasa la curva, verificar analíticamente que estos polos
pertenecen efectivamente a la zona [121].
FIGURA 15: REPRESENTACION LA TRAZA DEL POLO (121)
Estos polos ( 𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏) 𝒚𝒚 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�) que pasan por la traza del polo (121) vendrían a ser la zona
efectivamente de [121], y se demuestra con la relación entre índices de planos y
direcciones:
Efectivamente los polos que pasan por la traza: ( 𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟏𝟏) 𝒚𝒚 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�), se verifican con esta
relación.
(1,2,1)
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(1,-1,-1)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,1,0)
(0,-1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)
Traza
Traza
Traza
𝒉𝒉. 𝒖𝒖 + 𝒌𝒌. 𝒗𝒗 + 𝒍𝒍. 𝒘𝒘 = 𝟎𝟎𝟏𝟏. 𝟏𝟏 + (−𝟏𝟏). 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏. 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎
𝟏𝟏. 𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 + (−𝟏𝟏). 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎

31. 6. Identificar directamente en la proyección estereográfica, qué planos pertenecen
a las zonas [121] y [112] .
Un plano de índices (hkl) que pertenece a una zona de indices [uvw] satisface la
ecuación: hu +kv + lw =0.
Zona
Sustituyendo valores de u, v y w:
h (-1)+ k (-2)+ l (1)= 0
Obtenemos: h+2k- l = 0
Luego, todos los planos que cumplan con la ecuación, pertenecen a la zona [111].
De acuerdo a la figura los que cumplen son: (-111), (101)
Zona
Sustituyendo valores de u, v y w:
h (1)+ k (-1)+l (2)= 0. Obtenemos: h-k+2l=0
Luego, todos los planos que cumplan con la ecuación, pertenecen a la zona
De acuerdo a la figura tenemos: (-111), (110), (-1-10)

32. 7. Identificar los ejes de simetría del cristal en la proyección estereográfica
adicionando un símbolo y una etiqueta en cada caso.
FIGURA 16: REPRESENTACION DE CADA POLO
Con la función ADD SPOT, se puede adicionar símbolos y una etiqueta, en este caso le
adicionamos el símbolo correspondiente a cada eje de simetría que representa cada polo
o eje de zona; pero en la etiqueta le colocamos el mismo valor del polo, ya que no
queríamos perder los puntos. Entonces la simbología para cada eje estará representada
según:
EJE DE SIMETRIA CUATERNARIO
EJE DE SIMETRIA BINARIO
EJE DE SIMETRIA TERNARIO
(1,0,0)(0,-1,0) (0,1,0)
(0,0,-1)
(0,0,1)
(1,-1,1) (1,1,1)
(1,-1,-1) (1,1,-1)
(1,-1,0)
(1,0,1)
(1,1,0)
(1,0,-1)
(0,-1,1) (0,1,1)
(0,1,-1)(0,-1,-1)

33. 8. Obtener la proyección estándar (011), (010) y (111) del cristal cubico NaCl,
mostrando todos los polos de la forma {100}, {110}, {111} y las trazas entre ellos.
FIGURA 17: REPRESENTACION ESTEREOGRAFICA ESTANDAR (011)
FIGURA 18: REPRESENTACION ESTEREOGRAFICA ESTANDAR (010)
(1,1,1)
(1,1,0)
(-1,-1,1)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(-1,0,0)
(1,0,0)
(-1,0,1)
(-1,1,-1)
(1,-1,1)
(-1,1,0)
(-1,1,1)(0,1,1)
(0,1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(-1,0,-1)
(-1,0,0)
(1,0,0)
(-1,0,1)
(1,0,-1)
(-1,1,-1)
(-1,1,0)
(-1,1,1)
(0,1,1)
(0,1,0)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)

34. FIGURA 18: REPRESENTACION ESTEREOGRAFICA ESTANDAR (111)
9. Describir y aplicar la función de cada uno de los elementos de la ventana ster.
proj. que se muestra en la figura siguiente. Dar ejemplos ilustrados de la aplicación
de estas funciones en una proyección estereográfica.
Las funciones de la ventana STER. PROJ. Están explicadas en la parte del
procedimiento de este informe.
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(-1,0,1)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(-1,1,0)
(1,-1,0)
(-1,1,1)
(0,1,1)
(0,1,0)
(0,1,-1)
(0,-1,1)
(0,0,1)

35. CONCLUSIONES:
Para la primera conclusión nos centraremos en la parte de la tarea donde nos
pedían hallar ANGULO “𝜽𝜽” , primero diremos que la las proyecciones
estereográficas están, representadas todos los polos de la proyección esférica, y
esta proyección estereográfica solo toma aquellos polos que se encuentran en la
parte superior de la esfera (la proyección estereográfica divide a la esfera en dos
partes), por ende los polos de las caras de la parte inferior no saldrán según la
definición vista al inicio para poder crear los polos de la proyección estereográfica.
(ver figura 1)
Otra conclusión importantísima es la de la ventana de Stereo Proyection, está
definida de una forma más acoplable en toda el área de trabajo; donde las
principales funciones están descritas. Sin embargo si esa ventana se desaparece
podremos volver a aparecerla aplicando un clic en el menú Windows.
Y por último gracias a este informe corroboramos algunas fórmulas aplicadas en
la teoría, como la Ley de la periodicidad o La relación entre índices de planos y
direcciones, la cual será importantes más adelante en el siguiente informe de
DIFRACCION DE RAYOS X.

36. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:
- AUTOR: Lic. CARLOS A. QUIÑONES MONTEVERDE.
- Principios de Cristalografía, E Flint. Editorial Paz, pag 96- 102. (ley de zonas)
- Borchardt-Ott Walter; Crystallography: An Introduction; Third Edition, Springer, New
York, 2011.
- CRISTALOGRAFÍA – Garay
-Cornelius S. Hurlbut; Manual de mineralogía de Dana, Tercera Edición, Reverté,
Buenos Aires, 1988
Webs:
http://carine.crystallography.pagespro-orange.fr/books/31/carine_31_us.pdf
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r58802.PDF
https://www.wou.edu/las/physci/taylor/es406_structure/RD_chap5lab_stereonets.
pdf