1. Medición de los
cristales
Lic. Carlos Quiñones Monteverde

2. LEY DE LA CONSTANCIA DE LOS ÁNGULOS 1/2
El cristal es considerado como un cuerpo
sólido de estructura reticular.
Tres nodos que no están en fila determinan
la posición de cualquier plano de la red.
La red tiene una infinidad de posibles
planos ubicados en el espacio de manera
bien definida.
Los planos reticulares se diferencian según
el grado de densidad reticular.
En la formación de las caras del cristal no participan todos los planos
posibles de su red.
Las caras limítrofes del cristal se desarrollan según el orden decreciente de
las densidades reticulares.
En el cristal se conservan principalmente las caras que corresponden a los
planos de la red de mayor densidad reticular.
Aspectos a considerar en un cristal:
I
II
III
(hkl)

3. LEY DE LA CONSTANCIA DE LOS ÁNGULOS 2/2
Los cristales de una misma sustancia pueden tener aspectos muy
diferentes, según el número y tamaño de las caras; pero los ángulos
entre las caras correspondientes permanecen constantes a las mismas
condiciones de temperatura y presión.
La tendencia a un reducido número de caras en el cristal y su habilidad
para desplazarse paralelamente a sí mismas durante su crecimiento ha
servido de base para establecer:
Esta ley fue enunciada por el científico danés
Nicholas Stensen en 1669, usando el cuarzo
(SiO2) y la hematita (Fe2O3).
Posteriormente en 1783, el
científico francés Romé
Delisle confirmó la
veracidad de esta ley para
los cristales de todas las
sustancias.

4. MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS DE LOS CRISTALES 1/4
se utilizan diferentes tipos de goniómetros:
Goniómetro de contacto Goniómetro de reflexión
Goniómetro de reflexión
de dos círculos
En el estudio de la forma exterior del cristal se deben medir los
ángulos diedros entre sus caras. Para este fin se utilizan los
aparatos denominados goniómetros.
Dependiendo de:
• el tamaño del cristal
• el número de sus caras y • la precisión de la medida

5. MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS DE LOS CRISTALES 2/4
Consiste de una tarjeta en la que está
impreso un arco semicircular
graduado en grados y una regla de
celuloide, sujeta en su centro, que
puede girar.
Goniómetro de aplicación o de contacto
Fue construido por Carangeot en 1782.
Aprecian medidas de hasta 30 minutos
Se mide el ángulo suplementario.
Se utilizan en cristales grandes y en aquellos en los que sus caras no están
bien pulidas.
El borde inferior de la tarjeta y
el extremo oscuro de la regla de
celuloide, se ponen en contacto
con las dos caras del cristal.

6. MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS DE LOS CRISTALES 3/4
cristal
Círculo
graduado
anteojo
colimador
N1
N2
a1
a2
Se basa en el principio de la
percepción sucesiva de los rayos
de luz reflejados en las caras del
cristal.
Permite hacer apreciaciones de 1’.
Fue inventado por Wollaston en 1809.
Se mide el ángulo suplementario.
Se pueden medir los ángulos entre las caras
de una zona.
Goniómetro de reflexión

7. MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS DE LOS CRISTALES 4/4
Goniómetro de dos círculos
Tiene dos ejes de giro mutuamente
perpendiculares
El cristal se monta sobre una
cabeza goniométrica.
Feodorov construyó el primer goniómetro teodolito o de dos círculos.
En lugar de medir los ángulos entre las caras, la posición de cada cara se
determina independientemente de las otras por la medida de sus
coordenadas angulares y .
Exige una instalación y verificación previas muy minuciosas.
El eje horizontal de giro y los ejes
ópticos del colimador y el anteojo
deben estar en un plano,
perpendicular al eje vertical,
además, los cuatro ejes indicados
deben cortarse en un punto

8. PROYECCIONES DEL CRISTAL
Para representar los cristales se deben usar
métodos que revelen la dimensión y
disposición relativa de sus ángulos diedros.
Los métodos de representación son las
diferentes clases de proyecciones que se
describen a continuación:
Proyección esférica
Proyección gnomónica Proyección estereográfica

9. PROYECCIÓN ESFÉRICA 1/3
Se trazan normales a todas las caras de un cristal para obtener un haz de
rectas convergentes en un punto.
Se describe una superficie
esférica con centro en este
punto y se prolongan las
normales hasta que
intercepten con la superficie
esférica, obtenemos en la
esfera un conjunto de
puntos que determinan
unívocamente la posición de
las caras: polos.
El lugar de los polos en la
esfera se puede fijar
mediante coordenadas
esféricas: latitud y longitud
, como en geografía.

10. PROYECCIÓN ESFÉRICA 2/3
Latitud
Se usa un sistema sexagesimal
para asignar valores a las
coordenadas.
El ecuador es 0º y los polos 90º
Norte o Sur
35º
35º N
Polo Norte
Ecuador
Longitud
Referencia Este - Oeste: longitud.
No existe punto natural de origen (1º
meridiano). Convención: se usa la
línea de longitud que pasa por el
observatorio de Greenwich.
Se asignan valores sexagesimales de 0
a 180 .
Longitud
Latitud
Ecuador
Greenwich
P
polo

11. PROYECCIÓN ESFÉRICA 3/3

12. PROYECCIÓN GNOMÓNICA
El plano de proyección generalmente se toma como el plano horizontal que
es tangente al polo norte de la esfera de la proyección esférica.
Se trazan líneas imaginarias desde el centro de la esfera a través de los
polos de las caras del cristal que están ubicados en su superficie y se
prolongan hasta que tocan el plano de proyección.
Los círculos máximos de la proyección esférica se convierten en líneas rectas
cuando pasan a la gnomónica.
Los polos de una serie de caras del cristal que pertenecen a la misma zona
estarán colocados en una línea recta en la proyección gnomónica.

13. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 1/3
El plano de proyección es un plano diametral de la esfera que forma en ella
un círculo máximo denominado círculo fundamental de proyección.
El punto de vista se ubica
en uno de los polos de la
esfera. Las rectas que unen
este punto con los polos de
las caras proyectados en la
esfera cortan al plano de
proyección en puntos.

14. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 2/3
Se proyecta como una recta
Proyecciones de círculos máximos
Se proyecta como una curva

15. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 3/3
Relaciones con la proyección esférica
Valores angularesProyecciones de círculos máximos

16. NET DE WULFF
Es la proyección estereográfica de una esfera en la que se han trazado
círculos meridianos y paralelos

17. Ejercicio 1
La Figura muestra la
proyección estereográfica
de los polos A, B, C, D, E, y
F sobrepuesta sobre una
net de Wulff. Hallar las
coordenadas de cada uno
de los polos.
Solución.-
Las coordenadas de un
punto sobre una proyección
estereográfica son dadas en
términos de su latitud y
longitud, medidas desde el
centro de la proyección.
0 N, 50 O 0 N, 70 E
60 N, 80 E
40 N, 80 E60 N, 0 E
40 N, 0 E

18. Observar la Figura y determinar
el ángulo entre los planos del
cristal definidos por los polos:
(a) A y B, (b) C y D y (c) E y F.
Solución.-
El ángulo entre dos planos del
cristal puede ser medido sobre
la superficie de la esfera a lo
largo del círculo máximo que
conecta los polos de los dos
planos. Esta medida puede
llevarse a cabo sobre la
proyección estereográfica si y
sólo si, los polos proyectados se
ubican en un círculo máximo.
120
Ejercicio 2
20
20
En nuestro caso, los ángulos entre los planos A y B, C y D y E y F pueden
medirse directamente, contando el número de grados que los separa a lo
largo del círculo máximo en los que se ubican.

19. Net de Wulff
Ejercicio 3
La Figura es una proyección
estereográfica de los polos P1 y P2.
Determinar las coordenadas de
cada uno de los polos.
P1
P2
Proyección
estereográfica
Solución.-
Al sobreponer la proyección
estereográfica sobre una net de
Wulff del mismo diámetro se
observarán las coordenadas de los
polos.
Polo P1: 76ºN, 50ºE
Polo P2: 66ºN, 50ºO

20. Net de Wulff
Ejercicio 4
Determinar el ángulo entre los
polos P1 y P2 de la proyección
estereográfica de la Figura.
P1
P2
Proyección
estereográfica
Solución.-
Sobreponemos la proyección
estereográfica sobre una net de
Wolff del mismo diámetro.
Si los dos polos no se ubican sobre
un círculo máximo, entonces la
proyección se gira con relación a la
Net de Wulff hasta que los polos se
ubiquen en un círculo máximo,
donde puede realizarse la medida
del ángulo deseado.
Ángulo entre P1 y P2: 30º

21. Net de Wulff
Ejercicio 5
El Polo A, cuyas coordenadas son
20 N, 20 O, se gira 60 alrededor
del eje NS en sentido antihorario
mirando de N a S. Hallar las
coordenadas de la posición final del
polo A y mostrar su recorrido
durante el giro.
A’A
Solución.-
Representemos el polo A (20 N,
20 O) en una net de Wulff.
Las coordenadas de A’: 20ºN, 40ºE
Giramos el polo A 60 alrededor del
eje NS de la net según el paralelo.
La dirección del movimiento será
de O a E.
60

22. Net de Wulff
Ejercicio 6
El Polo B, cuyas coordenadas son
40 N, 50 E, se gira 60 alrededor
del eje NS en sentido antihorario
mirando de N a S. Hallar las
coordenadas de la posición final del
polo B y mostrar su recorrido
durante el giro.
B’
B
Solución.-
Representemos el polo B (40 N,
50 E) en una net de Wulff.
Trasladamos el polo B’ hacia adelante de proyección.
Giramos el polo B 60 alrededor del
eje NS de la net según el paralelo.
La dirección del movimiento será
de O a E.
20
40
El polo B’ se ubica en las coordenadas 40ºN, 70ºE, detrás de la proyección.
Las coordenadas de B’ serán 40ºS, 70ºO.
B’

23. Net de Wulff
Ejercicio 7
El Polo A, cuyas coordenadas son
20 N, 50 E, se gira 60 alrededor
de un eje normal al plano de la
proyección, en sentido horario al
observador. Hallar las coordenadas
de la posición final del polo A y
mostrar su recorrido durante el
giro.
A’
A
Solución.-
Representemos el polo A (20 N,
50 E) en una net de Wulff.
Las coordenadas de A’: 27ºS, 48ºE
Giramos el polo A 60 alrededor de
un eje normal a la net en sentido
horario.
60

24. La Figura muestra la proyección
estereográfica de las posiciones iniciales
del polo A1 y el eje de rotación B1. Hallar
la proyección estereográfica de la
rotación de 40 en sentido horario del
polo A1, alrededor del eje B1.
Ejercicio 8
Solución.-
B
A

25. B
A