La proyección estereográfica es un sistema de representación gráfico mediante el cual, se proyecta sobre un plano la superficie de una esfera, a partir de una serie de rectas que salen desde un punto, llamado punto de perspectividad. En estereografía el plano de proyección puede ser tangente a la esfera o secante a la misma pero pasante por su centro. La proyección estereográfica es conforme, lo que quiere decir que si dos curvas sobre la superficie de la esfera se cortan en un determinado ángulo, sus proyecciones se cortan formando el mismo ángulo. Sin embargo, no conserva ni las distancias ni las áreas. En astronomía proyectaremos la esfera de un observador sobre el plano del horizonte, que será nuestro plano de proyección, y utilizaremos como punto de perspectividad el Nadir del observador.

1. 1
PROYECCION
ESTEREOGRAFICA
APLICACIONES EN
ASTRONOMIA NAUTICA
VICTOR FERRAZZANO

2. 2
INDICE
PARTE A: GENERALIDADES
Estereografia 3
Teoremas y propiedades de la proyección estereográfica 3
Proyección del Meridiano Superior del Observador 3
Proyección de verticales 7
Proyección del Ecuador Celeste 8
Proyección de paralelos de declinación 9
Proyección de almicantárats 12
Proyección de semicírculos horarios 13
PARTE B: TRAZADOS
Trazado del polo elevado y de Q1 13
Trazado de circunferencias de alturas iguales (Almicantárats) 16
Trazado del polo depreso 17
Trazado de Q2 18
Trazado del Ecuador Celeste 21
Trazado de paralelos de declinación de astros circumpolares 23
Trazado de paralelos de declinación de astros de salida y puesta 23
Trazado del paralelo recto 26
Trazado de semicírculos horarios 28

3. 3
PARTE A: GENERALIDADES
Estereografía
La proyección estereográfica es un sistema de representación gráfico mediante el cual, se
proyecta sobre un plano la superficie de una esfera, a partir de una serie de rectas que salen
desde un punto, llamado punto de perspectividad.
En estereografía el plano de proyección puede ser tangente a la esfera o secante a la misma pero
pasante por su centro. La proyección estereográfica es conforme, lo que quiere decir que si dos
curvas sobre la superficie de la esfera se cortan en un determinado ángulo, sus proyecciones se
cortan formando el mismo ángulo. Sin embargo, no conserva ni las distancias ni las áreas.
En astronomía proyectaremos la esfera de un observador sobre el plano del horizonte, que será
nuestro plano de proyección, y utilizaremos como punto de perspectividad el Nadir del
observador.
La proyección estereográfica permite la aplicación de los siguientes teoremas y propiedades:
Teorema 1:
“Una circunferencia cualquiera en la superficie de la esfera se proyecta estereográficamente
como otra circunferencia”.
Ejemplos: en la esfera celeste los almicantarats, los semicírculos horarios y los paralelos de
declinación son circunferencias y por lo tanto, se proyectarán también como circunferencias.
Teorema 2:
“Los ángulos formados por dos circunferencias máximas de la superficie de una esfera, se
proyectan estereográficamente, conservando su valor.”
Ejemplos: ángulos horarios, acimutes, etc
Propiedad 1
“Las circunferencias de círculos perpendiculares al plano de proyección (que en nuestro caso
será el horizonte) cuyo diámetro es el eje fundamental, quedan representadas como rectas.”
Ejemplos: el meridiano superior del observador y los verticales
Propiedad 2
“ Las circunferencias paralelas al plano de proyección quedan representadas como
circunferencias concéntricas, siendo el Cenit su centro.”
Ejemplo: los Almicantárats.
Propiedad 3
“El paralelo de declinación de igual valor absoluto y de especie contraria a la latitud del
observador quedará representado como una recta por estar en un plano que contiene al punto
de perspectividad (que en nuestro caso será el Nadir”
Ejemplo: es lo que se conoce como el “Paralelo Recto”
Proyección del MSO
En la figura 1 podemos ver cómo se proyectan sobre el plano del horizonte los distintos puntos
del Meridiano Superior del Observador (MSO), utilizando el Nadir como punto de
perspectividad.
El MSO, que en la figura está señalado en color rojo, une P con P' y pasa siempre por el Cenit Z
del observador. Está comprendido dentro de un círculo máximo que es perpendicular al plano
del horizonte y de acuerdo con la Primera Propiedad, se proyecta como una recta, señalada en
color azul en la figura. También puede verse que los puntos P', Q1 y Z al estar por encima del
horizonte, quedan representados también dentro del plano del mismo.

4. 4
Fig.1: proyección del MSO
P
Na
Q2
N
Q1
W
Z
E
P'
S
P'
S
E
N
W
Z
P'
Q1
Q1

5. 5
También se puede apreciar que los puntos que están por debajo del plano del horizonte, quedan
representados afuera del círculo que representa dicho plano.
En la figura 1 puede apreciarse que el Polo depreso P queda representado estereográficamente
por afuera del plano del horizonte.
La figura 2 muestra la proyección de Q2, que en la esfera se representa por debajo del plano del
horizonte, y que en la proyección, queda representado por afuera del mismo plano
Fig.2: La proyección del Q2 (debajo del horizonte) queda representada fuera del horizonte

6. 6
Proyección de verticales
Los verticales son también círculos máximos perpendiculares al plano del horizonte, y de
acuerdo con la primera propiedad, quedarán representados como rectas.
En la figura 3 podemos ver cómo se proyectan los verticales.
Consideremos el caso de un vertical cualquiera ZBNa y algunos puntos del mismo: a, b, c d.
En la proyección estereográfica, el vertical queda representado por medio de la recta ZB,
mostrada en color azul
Figura 3: los verticales quedan representados como rectas

7. 7
Proyección del Ecuador Celeste
El Ecuador Celeste es una circunferencia sobre la esfera, y de acuerdo con el Teorema 1, deberá
proyectarse estereográficamente como otra circunferencia.
La figura 4 muestra cómo se proyecta el Ecuador Celeste. (En trazo azul en la figura)
Fig.4: proyección del Ecuador Celeste

8. 8
Proyección de paralelos de declinación
Hay que considerar los siguientes casos de paralelos de declinación:
1) de astros de órbita circumpolar
2) de astros de salida y puesta
3) de astros sobre el “paralelo recto”
Las figuras que siguen muestran cómo se proyectan los distintos paralelos de declinación:
Fig.5: Proyección de un paralelo de declinación de órbita circumpolar

9. 9
La figura 7 muestra el caso especial en que un paralelo de declinación pasa por el Nadir. Se
puede ver claramente cómo se proyecta el "Paralelo Recto", el cual tiene el mismo valor
absoluto que la latitud del observador, pero distinta especie
Fig.6: Proyección de
un paralelo de
declinación de un astro
de salida y puesta
Fig.7:
Proyección del
paralelo recto

10. 10
La figura 8 muestra la proyección estereográfica de distintos paralelos de declinación:
Fig.8: Proyección estereográfica mostrando distintos paralelos de declinación
Q1
W
S
Z
N
E
P´
Paralelo recto
Ecuador Celeste
de salida y puesta
circumpolar

11. 11
Proyección de almicantárats
Los almicantárats (o circunferencias de alturas iguales) son círculos paralelos al plano del
horizonte, y de acuerdo con la 2° Propiedad, quedan representados como circunferencias
concéntricas con centro en el Cenit, como se puede apreciar en la figura 9.
Fig.9: las circunferencias de alturas iguales, o almicantárats, quedan representados mediante
circunferencias concéntricas, con centro en el Cenit

12. 12
Proyección de semicírculos horarios
Los semicírculos horarios, o meridianos celestes, van de polo a polo. En la figura 10 se puede
ver la representación de uno de ellos con puntos intermedios a, b, c y cómo queda representado
estereográficamente: un semicírculo horario queda representado como una circunferencia
Fig.10: proyección de
semicírculos horarios

13. 13
PARTE B: TRAZADOS
Trazado del Polo elevado y de Q1
Para poder entender el método que utiliza la proyección estereográfica, a veces tendremos que
considerar cómo se ve la esfera celeste desde dos puntos de vista: uno es el que ya conocemos,
el Nadir, y el otro es el que muestra la figura 11:
Bajo este nuevo punto de vista todo el plano del horizonte quedaría reducido a una línea: la
línea Norte-Sur. Desde este nuevo punto de vista, veremos que hay una circunferencia máxima,
perpendicular al plano del horizonte, que para por el punto cardinal N, por el punto cardinal S,
por Z y por Na
La figura 12 muestra la proyección estereográfica que utiliza como punto de proyección el
Nadir, y en color azul, la superposición de los resultados de proyectar auxiliarmente desde el W
Fig.11
Fig.12

14. 14
En la figura 12 se aprecia que:
El Cenit (Z) coincide con el punto cardinal Este (E)
El Nadir (Na) coincide con el punto cardinal Este (W)
Viendo la proyección desde este 2do
punto de vista auxiliar, incluimos la imagen de un
observador, parado sobre el plano del horizonte, con su cenit.
Utilizando esta vista, si el el observador de la figura quisiera dividir el cielo en alturas de 10° en
10o
, lo podría hacer perfectamente, porque tomaría los ángulos respecto al plano del horizonte,
que en este caso coincide con la línea N-S.
En la figura 13 el observador ha tomado ángulos de altura respecto al horizonte, de 10o
, 20o
,
30o
, etc sobre el punto cardinal N, y lo mismo sobre el punto cardinal S.
El valor de 90o
de altura, coincide con su Cenit (Z)
Supongamos que nuestro observador se encuentra en una latitud de 50o
S.
Dado que la "altura del polo elevado es igual a la latitud del lugar", ubicamos el polo elevado
P' a una altura de 50o
sobre el punto cardinal Sur. (Fig.14)
Y dado que también "la latitud del lugar es igual a la declinación del Cenit”, ubicamos Q1 a
50o
a partir del Cenit Z. (Fig.14)
Fig.13

15. 15
La figura 15 muestra la proyección de cada uno de estos puntos desde el Nadir, para obtener su
proyección estereográfica.
Observar también que cada recta proyectante, corta a la línea N-S en un punto: serán las
proyecciones de los puntos por donde pasan las circunferencias de alturas iguales de 10°, 20°,
30°, etc
Q1
P´
Fig.15
Fig.14

16. 16
El resultado es el que muestra la figura 16:
Trazado de almicantárats
Para trazar los almicantárats, tenemos que hacer uso de la escala graduada que nos había
quedado luego de proyectar las alturas de 10o
, 20o
, 30o
, etc. sobre la línea N-S
Simplemente hacemos centro en el Cenit y trazamos circunferencias con esos radios. Los
resultados se muestran en la figura 17
Fig.16
Fig.17: trazado de
almicantárats

17. 17
Trazado del Polo depreso
Para hallar la proyección del polo depreso (en este caso P), hay que recordar que éste se halla en
el punto opuesto en que se halla el polo elevado, por eso, para hallar P, unimos P' con el
observador, y prolongamos esta línea por debajo del horizonte hasta su intersección con la
esfera celeste, como muestra la figura 18:
Uniendo este punto P con el Nadir, tendremos la proyección estereográfica del polo depreso,
como se puede apreciar en la figura 19.
Obsérvese que ocurre algo que ya habíamos visto antes: todo punto de la esfera situado por
debajo del plano del horizonte del observador, se proyecta estereográficamente fuera del mismo
Fig.18

18. 18
Trazado de Q2
Para hallar la proyección de Q2 hay que recordar que se halla en el punto opuesto de la esfera
celeste en que se halla Q1.
Por eso, para hallar Q2, unimos Q1 con el observador, y prolongamos esta línea por debajo del
horizonte, hasta su intersección con la esfera celeste, como muestra la figura 20:
Fig.19

19. 19
Uniendo este punto Q2 con el Nadir, tendremos su proyección estereográfica (fig.21):
Fig.20
Fig.21

20. 20
Como era de esperarse, todo punto de la esfera situado por debajo del plano del horizonte, se
proyecta estereográficamente fuera del mismo
La figura 22 muestra un resumen gráfico de la determinación de P, P', Q1 y Q2
S
P'
Q1
E
N
W
P'
Q1
10
20
30
40
50
60
70
80
80
70
60
50
40
30
20
10
P
Q2
Q2
Fig.22

21. 21
Trazado del Ecuador Celeste
El Ecuador Celeste es una circunferencia en la esfera, y de acuerdo con el Teorema 1, se
proyectará estereográficamente como otra circunferencia.
Si Q1 y Q2 quedaron representados dentro de la hoja de trabajo, el trazado del Ecuador Celeste
es muy sencillo: El Ecuador Celeste es una circunferencia, siendo Q1Q2 su diámetro, por lo
tanto, dividamos por dos la distancia Q1Q2 y ese punto será el centro de la circunferencia
ecuatorial. (Fig.23)
Fig.23: el radio de la circunferencia ecuatorial r = Q1Q2 / 2
N
W
P'
S
Q1
E
Q2
r

22. 22
En cambio, si Q2 quedó fuera de la hoja de trabajo, se puede hallar el centro de la circunferencia
ecuatorial del siguiente modo:
 se traza auxiliarmente el segmento WQ1
 se traza la mediatríz del segmento WQ1.
 En donde dicha mediatríz corte la línea N-S (o su prolongación) tendremos el centro de
la circunferencia ecuatorial.
La figura 24 muestra la determinación del centro de la circunferencia ecuatorial
Fig.24: determinación del centro de la circunferencia ecuatorial, cuando no es posible contar
con Q2

23. 23
Trazado de paralelos de declinación
a) De órbita circumpolar
Recordemos que los astros son circumpolares solamente si la distancia polar () del astro es
menor que la latitud del observador.
Supongamos que la latitud del observador es de 50o
S y que queremos representar el paralelo
de declinación de 60o
S
Si =60o
entonces =30o
Por lo tanto, en la figura 25 tomemos una distancia de 30° desde el polo elevado, quedando
representados los puntos indicados como “1” y “2” que representan el diámetro de esta
órbita. Se divide por 2 ese valor y obtendremos el punto c que será el centro de la
circunferencia buscada. (Fig.26)
Fig.25: determinación de paralelos de declinación de órbitas circumpolares, a partir de la
distancia polar

24. 24
Fig.26: paralelo de declinación de órbita circumpolar
b) De órbitas de salida y puesta
Para poder entender mejor cómo se trazan este tipo de órbitas, debemos recurrir al punto de
perspectividad auxiliar mostrado en la figura 11.
Veamos la figura 27: bajo este punto de perspectividad auxiliar ya habíamos visto cómo se
determinaban los puntos P, P', Q1 y Q2.
Utilizando el punto de perspectividad auxiliar, el plano del ecuador coincidiría con la línea Q1Q2
y es la que se muestra en color rojo de trazo continuo.
Supongamos que deseamos trazar el paralelo de declinación de 10o
S.
Sabemos que este paralelo está a 10o
por debajo del plano del Ecuador Celeste y hacia P´,
porque la especie del astro es S.
Tracemos entonces los ángulos de 10° que muestra la figura.
Sobre la esfera quedan determinados los puntos 1 y 2 y el paralelo de declinación que estamos
buscando seria el que se marca en color rojo de trazo discontinuo.
Pero lo que nos interesa es la proyección estereográfica del mismo, así que proyectamos los
puntos 1 y 2 desde el Nadir, como se muestra en la fig.28

25. 25
Fig.27: determinación de paralelos de declinación de astros de salida y puesta
Fig.28: determinación de paralelos de declinación de astros de salida y puesta

26. 26
La figura 29 muestra un resumen gráfico de las operaciones que hay que realizar para la
determinación de un paralelo de declinación de un astro de salida y puesta, con una  = 10°S.
Para trazar el paralelo de 10o
S hay que trazar un ángulo de 10o
desde Q1 hacia el S, y otro de 10o
desde Q2 hacia el S y luego proyectarlos estereográficamente
Dividimos por 2 la distancia que hay entre los puntos proyectados "1" y "2" y allí tendremos el
centro de la circunferencia que representa al paralelo de declinación de 10o
S
Fig.29
c) Trazado del paralelo recto
Si la declinación del astro es del mismo valor que la latitud del observador, pero de distinta
especie, ya vimos que por la Propiedad 3, se proyecta estereográficamente como una recta. De
todas maneras, la determinación de su trazado no es diferente al trazado de un paralelo de
declinación de astros de salida y puesta. Supongamos que la latitud de nuestro observador es de
50 ° S y que deseamos trazar el paralelo de declinación de 50 ° N. Sabemos que este paralelo
está a 10o
por encima del plano del Ecuador Celeste y hacia P, porque la especie del astro es N.
Tracemos entonces los ángulos de 50° que se muestran en la figura 30.
Sobre la esfera quedan determinados los puntos 1 y 2 y el paralelo de declinación que estamos
buscando seria el que se marca en color rojo de trazo discontinuo.

27. 27
Observar que el punto “2” cayó en un lugar muy particular: el Nadir. Estereográficamente, este
punto no tendrá proyección. Pero el punto “1” si la tendrá y marcará la posición del paralelo
recto, como puede verse en la figura 31
Q2
S
P'
W
P'
Q1
E
Q1
N
S
10°
2
1
Q2
S
P'
W
P'
Q1
E
Q1
N
S
10°
2
1
Paralelo recto = 50 ° N
Fig.30
Fig.31

28. 28
Trazado de semicírculos horarios
Recordando que “todos los semicírculos horarios tienen su centro sobre el paralelo recto”, es
necesario entonces tener graficado el mismo.
Asimismo, los semicírculos horarios se miden sobre el Ecuador Celeste, desde Q1 y hacia el W.
La figura 32 muestra la proyección estereográfica de un observador en  = 50° S.
Supongamos que queremos trazar el semicírculo horario de t = 8 h = 120°
Se traza la recta r, formando un ángulo de 120° con Q1P´
Fig.32
S
P'
Q1
N
W E
 = 50° N
r
S
P'
Q1
N
W E
 = 50° NC
r
u

29. 29
A partir de P´, se traza entonces la recta u perpendicular a la recta r, y vemos que la recta u y el
paralelo recto se cortan en el punto C. Este punto será el centro del semicírculo horario que
estamos buscando. El radio será CP’, ya que todos los semicírculos horarios pasan por P y P´
El mismo centro y radio que sirvieron para la determinación del semicírculo horario de 8 h,
servirá también para determinar el opuesto, es decir el de 20 h, indicado en color verde en la
figura 33
S
P'
Q1
N
W E
 = 50° NC
r
u
t = 8 h
t = 20 h
-
Fig.33