1. ” Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso
Climático
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
INTRODUCCIÓN A LA CRISTALOGRAFÍA
“PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA”
ALUMNO:
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
PROFESOR: Lic. QUIÑONES MONTEVERDE, CARLOS
Ciudad universitaria, 29 de Junio del 2014

2. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
TEORÍA.
LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA.
Principios.
En el estudio de la cristalografía es útil con frecuencia poder representar planos y
direcciones cristalinas en un diagrama de dos dimensiones, de modo que las relaciones
angulares y las disposiciones simétricas de las caras cristalinas pueden ser analizadas
en una pieza plana de papel, y, si es necesario, medirlo. Claramente, el tipo más útil de
diagrama será uno en el que las relaciones angulares en tres dimensiones del cristal son
reproducidas fielmente en un plano de algún modo en geometría proyectiva.
Matemáticamente, una proyección de tres dimensiones hacia dos dimensiones en el que
las relaciones angulares se reproducen fielmente se conoce como una proyección
conforme. La proyección conforme usada en la cristalografía es la proyección
estereográfica.
Para imaginar cómo se utiliza una proyección estereográfica en cristalografía, imagine
un cristal que se ubica con su centro en el centro de una esfera, la cual se denomina la
esfera de proyección (Figura 1a), y trazando las normales a los planos cristalinos a través
del centro de la esfera para intersectarla con la superficie de la esfera, por ejemplo en P.
P se llama el polo del plano para la cual OP es la normal. Una dirección se representa
de manera similar por un punto en la superficie de la esfera, definido como el punto donde
la línea paralela a la dirección dada, pasa a través del centro de la esfera, cortando en
la superficie de la esfera. Un plano cristalino también puede ser representado al trazar el
plano paralelo a través del centro de la esfera y extendiéndolo hasta que corte a la esfera
(Figura 1a). Dado que el plano pasa a través del centro de la esfera, esto es un plano
diametral, y la línea de intersección de la esfera con un plano de este tipo se denomina
círculo grande. Un círculo grande es un círculo en la superficie de una esfera con un
radio igual al radio de la esfera.
Figura 1 (a) Esfera de proyección. (b) El ángulo entre dos planos es igual al ángulo
entre los dos polos
En esta etapa hemos representado direcciones en el cristal - es decir, las normales de
los planos de la red o las direcciones de la red - por puntos (polos) en la superficie de la
esfera. Teniendo una proyección esférica del cristal. El ángulo entre dos planos de éstas
normales son OP y OQ (Figura 1b) que es igual al ángulo entre estas normales, es el

3. ángulo subtendido en el centro de la esfera de proyección por el arco del círculo grande
trazado a través de los polos P y Q. Para hacer un dibujo en dos dimensiones en la cual
las relaciones angulares son conservadas, se proyectan ahora los polos en un plano
conveniente de dos dimensiones, tal como una pieza de papel.
La proyección esférica es como un globo terrestre. Definamos los polos norte y sur, N y
S en la Figura 1a, por analogía con los polos norte y sur del globo terrestre. El plano
ecuatorial pasa a través del centro de la esfera normal a la línea NS y corta la esfera en
un círculo grande llamado el ecuador. Hay varias formas de puntos de proyección sobre
la esfera en un plano de dos dimensiones. Un número de maneras se muestran en la
Figura 2.
Figura2 Proyecciones de polos en la superficie de una esfera sobre una pieza plana de
papel
En la proyección ortográfica un polo P se proyecta desde un punto en el infinito sobre un
plano paralelo al plano ecuatorial para formar P0’ sobre un plano paralelo al plano
ecuatorial pasando a través de N. En la proyección gnomónica el punto de proyección
es el centro de la esfera, dando el polo proyectado en PG’ sobre un plano paralelo al
plano ecuatorial pasando a través de N. Estas dos proyecciones tienen sus usos en la
cristalografía; la proyección ortográfica es útil para la visualización de formas cristalinas
y la proyección gnomónica es relevante para el etiquetado de electrones de
retrodispersión en patrones de difracción de electrones en los microscopios electrónicos
de transmisión. Sin embargo, ninguna de estas proyecciones es conforme, de modo que
los ángulos están distorsionados en estas proyecciones.
En la proyección estereográfica el polo P es proyectado desde un punto sobre la
superficie de la esfera, por ejemplo S, llamado el polo de proyección, sobre un plano
normal al OS. Este plano puede pasar a través de cualquier punto sobre NS. Si esto pasa
a través de N, el punto P se proyecta a P‘S. El plano más conveniente para nuestro
propósito es el plano ecuatorial normal a SO. Si proyectamos el punto P desde S sobre
este plano se define el punto P’ que se produce como la proyección estereográfica de P.
En lo que sigue siempre tomaremos el plano de proyección como el plano ecuatorial. La
línea de intersección del plano de proyección con la esfera de proyección es un círculo
grande llamado el círculo primitivo, o, para abreviar, el primitivo. El método de proyección
que se adoptará se muestra en la Figura 3a. Un polo P1 en el hemisferio norte se proyecta
a P’1, dentro del primitivo, y está marcado con un punto en el papel. Todos los polos en
el hemisferio norte se proyectan dentro del primitivo. Los polos en el hemisferio sur, es

4. decir P2, dan una proyección P’2 fuera del primitivo. El punto P’2 es la verdadera
proyección de P2. Es incómodo con frecuencia trabajar con polos proyectados fuera del
círculo primitivo, y para evitar esto un polo P2, en el hemisferio sur, puede ser proyectado
desde el polo norte N (diametralmente opuesta a S) para dar el polo proyectado en P’’2.
El polo proyectado P’’2 se distingue entonces de la verdadera proyección de P2 (en P’2),
al marcar el punto P’’2 con un anillo en vez de marcar con un punto.
Figura 3 (a) Proyección estereográfica. (b) Un círculo menor se proyecta como un círculo
Además de ser cierto el ángulo, la proyección estereográfica tiene una segunda
propiedad muy útil: todos los círculos (grandes o pequeños) sobre la superficie de la
esfera de proyección se proyecta como círculos. Esto se ilustra por un pequeño círculo
en la figura 3b.
Ahora podemos proceder a dibujar la representación estereográfica o estereograma de
los polos de planos cristalinos en un cristal cúbico. En los cristales cúbicos la normal a
un plano (hkl) es paralelo al vector [hkl]; por lo tanto, en las proyecciones estereográficas
de estos cristales el polo hkl puede representar ya sea la normal al plano (hkl) o la zona
[hkl]. Los ejes cristalinos se ubican con respecto al polo y al plano de la proyección como
en la Figura 4a. Los tres ejes son ortogonales y de igual longitud. En la proyección
estándar mostrado en la Figura 4b, el eje z del cristal se toma perpendicular al plano de
proyección y, dado que los ejes son ortogonales, los ejes x e y se encuentran en el plano
de proyección a 90° uno al otro. El polo de los planos (001) coincide con N y se proyecta
por el centro de la primitiva (Figura 4b). Los polos de (100), (010), y se
encuentran en la primitiva igualmente espaciados en ángulos de 90°. Los planos
que darían en el infinito si se proyectan a partir de S, de modo que se proyecta esto
desde N y se denota esto por el anillo. Los planos (011) están representados por el polo
P; (011) se encuentra en la zona en la cual el eje x es el eje de zona; es decir, [100]. Los
polos de todos los planos en la zona [100] se encuentran en el círculo grande definido
por el lugar geométrico de todos los puntos a 90° desde el polo (100). Este círculo grande
se proyecta como la línea sobre el estereograma que une a (010), (001) y (010). Por lo
tanto, P se proyecta en algún lugar entre (001) y (010). El ángulo en la Figura 4a es

5. el ángulo entre (001) y (011); para el cristal cúbico, . A partir de la Figura 4a, la
distancia OP' viene dada por:
(1), Donde R es el radio de la esfera de proyección. Esto se sigue ya que
S, O, N, P y P' se encuentran todos en el mismo plano, y el ángulo de OSP es igual a
debido a que OSP es el ángulo en la circunferencia que está de pie sobre el mismo
arco NP como el ángulo NOP en el centro. Por lo tanto, se puede insertar el polo (011)
sobre el estereograma a una distancia (en este caso,
desde el polo (001) a lo largo del radio de la primitiva que une a (001) y (010)).
El plano (011) puede trazarse directamente sobre el estereograma en lugar justo del polo
(011) trazando la proyección del círculo grande, que es el lugar geométrico de los puntos
a 90 ° desde el polo (011). Esto se dibuja en la Figura 4b.

6. Figura 4 (a) Polos de un cristal cúbico. (b) Estereograma de un cristal cúbico
Ejemplo
Sea un cristal relativamente simple de simetría ortorrómbica, 2 / m 2 / m 2 / m. Esto se
muestra en la primera figura.
La primera esfera muestra los polos de las cara (100), (010) (dos caras) y (001) y (00 1)
que penetran los alrededores de la esfera. La segunda esfera muestra los polos de las
caras sobre los alrededores de esfera para las formas {110}, {101}, y {011}. La tercera
esfera sitúa los polos de las caras {111}.
La cuarta esfera muestra un plano horizontal ecuatorial (un círculo), el hemisferio
superior, y el hemisferio inferior, ambos con todos los polos de las caras. Los polos
normales a las caras verticales penetran a la esfera a lo largo del borde del plano
ecuatorial.

7. La última esfera muestra ejemplos de la asignación de índices de Miller para polos de
caras de tres pinacoides {100}, {010}, y {001}. Todos los otros polos de las caras pueden
indicarse de manera similar.

8. Proyección estereográfica.
Ahora que todos los polos de las caras cristalinas se han localizado en la esfera exterior,
podemos comenzar el proceso de proyección estereográfica. Esto implica llevar toda la
información que ahora se distribuye sobre la superficie de la esfera sobre el plano
ecuatorial, también conocido como el círculo primitivo.