Progresiones y sumatorias

1. Dpto. de Matemáticas
4º Diferenciado
PARTE 1: PROGRESIONES Y SUMATORIAS
Intuitivamente podemos describir una sucesión como una lista de objetos, eventos o
números que vienen uno después del otro, es decir, una lista de cosas dadas en algún orden
definido. Cada objeto de una sucesión se llama término.
Matemáticamente puede definirse una sucesión como una función f cuyo dominio es el
conjunto N de enteros positivos. El rango de la sucesión se reconoce como el de los
números reales.
Se considera 1)1( aof como el primer termino de la sucesión. 2)2( aof Será el
segundo, y naonf )( es el término n-ésimo de la sucesión o termino general de la
sucesión.
1) Progresiones Aritméticas:
En la sucesión 1, 3, 5, 7 … nótese que cada término, después del primero se obtiene
sumando el número 2 al anterior. Es decir los términos sucesivos difieren en 2. Una
sucesión de este tipo se conoce como Progresión Aritmética o sucesión Aritmética.
Definición: Una sucesión, tal que los términos sucesivos 1−nn aya para n = 1, 2, 3 …
tienen una diferencia fija daa nn =− −1 se llama progresión aritmética. El número d se
llama diferencia aritmética de la progresión.
De esta diferencia daa nn =− −1 se obtiene la igualdad daa nn += −1
La que corresponde a la formula del término general o n-ésimo, la cual establece que:
daa += 12
dadaa 2123 +=+=
dadaa 3134 +=+=
.
.
.
dnaan )1(1 −+=
Ejemplo.1 Una mujer decide trotar una distancia particular cada semana, de acuerdo con el
siguiente horario: la primera semana trotará 1000 metros por día. Cada semana siguiente
trotara 250 metros más por día de lo que troto la semana anterior.
(a) ¿Qué distancia recorrerá por día en la semana numero 26?
En este caso 10001 =a y 250=d . Luego
7250)250)(126(100026 =−+=a es decir trotara 7250 metros en la semana 26.
(b) ¿en cual semana trotara 10000 metros por día?
Aquí se nos da 10000=na y se requiere encontrar n.
Se tiene la igualdad )250)(1(100010000 −+= n en la cual despejamos n

2. Y nos queda:
37
361
250
9000
1
250)1(9000
=
=−
=−
−=
n
n
n
n
Es decir, trotara 10000 metros en la semana 37.
Ejemplo 2 La diferencia en una progresión aritmética es -2 y el sexto término es 3.
Encuentre el primer término de la progresión.
El sexto término de la progresión es
daa )16(16 −+= como 236 −== dya tenemos que
)2)(5(3 1 −+= a de donde
131 =a
Luego la secuencia es 13, 11, 9, 7, 5, 3, … (el sexto término de esta secuencia es 3)
Ejemplo 3 EL sexto término de una PA es 21 y el tercer término de la misma es 9.
Determinar el valor del primer término y la diferencia.
9)2(
21)5(
13
16
=+=
=+=
daa
daa
restando las dos ecuaciones se tiene
4
123
=
=
d
d
Si d = 4 entonces el primer termino es 1.
Media Aritmética:
Si una progresión aritmética finita tiene tres términos a, m, b. Al segundo término se llama
media aritmética de a y b.
Esto es:
2
)13(
ab
d
dab
−
=
−+=
Luego se deduce que
22
baab
adam
+
=
−
+=+=
En general, si se tiene una progresión aritmética bmmmmma k ,,...,,,,, 4321 es una
progresión aritmética finita con (k + 2) términos entonces los números entre a y b se llaman
k medias aritméticas.
EJEMPLO: Intercale cuatro medios aritméticos entre 4 y 29.
4 ___ ___ ___ ___ 29
Entonces
41 =a
daa )5(16 += es decir
d
d
d
=
=
+=
5
525
)5(429
Luego si d = 5 entonces los 4 medios aritméticos son 9, 14, 19 y 24.
Suma de n términos en PA
Sea la suma de n términos en PA

3. ( )
( )
[ ]dna
n
S
nndna
S
nnd
naS
ndnaS
dndddnaS
dnadadadaaS
aaaaS
n
n
n
n
n
n
nn
)1(2
2
2
12
2
1
))1(...321(
))1(...32(
))1(()...3()2()(
...
1
1
1
1
1
11111
321
−+=
−+
=
−
+=
−+++++=
−+++++=
−++++++++=
++++=
Formula para determinar la suma de n términos en PA
Ejemplo: Calcular la suma de los 51 primeros términos de la serie: 1-7-13-19…
( ) 74002962564912
2
50
50 =•=•+•=S
Ejemplo 2: Si la suma de los 50 primeros términos de una PA suman 200 y la suma de los
50 siguientes es 2700. Determinar el primer término y la diferencia.
( )
( ) 2900992
2
100
200492
2
50
1100
150
=+=
=+=
daS
daS
de donde se obtienen los resultados
( )
( ) 290099250
20049225
1100
150
=+=
=+=
daS
daS
lo que puede escribirse de la manera siguiente
( )
( ) 58992
8492
1
1
=+
=+
da
da
restando las dos ecuaciones se obtiene:
( )
1
5050
=
=
d
d
por lo tanto
2
41
1
−
=a
2) Progresiones Geométricas:
En la sucesión 1, 2, 4, 8, … cada termino después del primero se obtiene
multiplicando el termino anterior por el numero 2. En este caso, observamos que la razón
de un término con el término anterior es una constante, digamos, 2. Se dice que una
sucesión de este tipo es una progresión geométrica o PG
Definición: una sucesión cuyos términos sucesivos 1−nn aya para n =1, 2, 3, … tienen
una razón fija r
a
a
n
n
=
−1
se llama progresión geométrica.
De esta igualdad se tiene que: 1−•= nn ara
Si se tiene que
1
1
1
1
3
34
1
2
23
12
.
.
.
arara
arara
arara
ara
n
nn •=•=
=•=
=•=
•=
−
−

4. En general, el término n-ésimo de una progresión geométrica con primer término
a y razón r es:
1
1
−
•= n
n raa
Ejemplo 1 : Encuentre el tercer termino de una progresión geométrica con razón
3
2
y
sexto termino
81
128
3
16
9
4
12
12
12
243
32
81
128
243
32
3
2
81
128
2
13
1
1
1
1
5
1
5
16
=•=•=
=
=
•=





•=
•=
raa
valeaComo
a
a
aa
raa
El tercer término de la progresión es
3
16
Ejemplo 2: El quinto termino de una PG es 81 y el segundo es 24. Hallar la serie.
24
81
12
4
15
=•=
=•=
raa
raa
dividiendo las dos ecuaciones resulta
2
3
8
27
24
81
3
1
4
1
=
=
=
•
•
r
r
ra
ra
Con esta razón el valor del primer termino es
16
2
3
24
2
3
24
1
1
1
12
=
=
•=
•=
a
a
a
raa
Suma de n términos en PG
Se quiere calcular la suma de n términos de una progresión geométrica.
n
n
n
n
rarararararS
rarararaaS
1
4
1
3
1
2
11
1
1
3
1
2
111
...
...
+++++=
+++++= −
restando estas dos ecuaciones resulta
)(...)()()()( 1
1
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1111
nn
nn rararararararararaarSS −++−+−+−+−=− −
De donde el resultado es

5. )1(
)1(
)1()()1(
1
111
r
ra
S
raraarS
n
n
nn
n
−
−
=
−=−=−
Formula para el calculo de una suma de términos de una Progresión Geométrica
Ejemplo 1: Calcular la suma de los primeros 8 términos de la serie: ;...
2
3
;1;
3
2
;
9
4
19628
25220
3
1
6561
256
1
9
4
3
2
1
3
2
1
9
4
8
=












−
=
−














−
=nS
Ejemplo 2: Interpolar 3 medios geométricos entre
2
3
27
8
y
2
3
____________
27
8
En este caso
27
8
es el primer termino y
2
3
corresponde al quinto termino, es decir
2
3
16
81
27
8
2
3
27
8
2
3
27
8
4
4
4
4
15
1
=
=
=
•=
•=
=
r
r
r
r
raa
a
Luego los medios geométricos serian
2
3
1
3
2
9
4
27
8
Ejemplo 3: La suma de los 6 primeros términos de una PG es igual a 9 veces la suma de
los tres primeros términos. Hallar la razón.
( ) ( )
r
ra
r
ra
SS
−
−
•=
−
−
•=
1
1
9
1
1
9
3
1
6
1
36
simplificando se tiene

6. ( ) ( )
( )( )
12
18
018
089
991
191
33
33
36
36
36
==
==
=−−
=+−
−=−
−=−
ror
dondederor
Luego
rr
rr
rr
rr
Casos Infinitos para PG
En la formula
)1(
)1(1
r
ra
S
n
n
−
−
=
Se pueden dar los siguientes casos, suponiendo que ∞→n :
) 11 >r . En este caso se tiene que el valor de n
r crece rápidamente es decir que ∞→nS
) 12 =r . Este es un caso indeterminado
) 13 <r . En este caso n
r se achica rápidamente, por lo que 0→n
r luego la formula se
transforma en
)1(
1
r
a
Sn
−
=
Ejemplo1: Calcular por método de sumatorias de PG con infinitos términos el valor de
32,0
...
1000000
32
10000
32
100
32
...323232323232,032,0 +++==
En este caso
100
1
100
32
1
=
=
r
a
Luego
99
32
100
99
100
32
100
1
1
100
32
)1(
1
==
−
=
−
=
r
a
Sn
Ejemplo 2: Calcular el área de los infinitos cuadrados que se forman a partir de un cuadrado
de lado 10, y en el cual el siguiente cuadrado se forma con los puntos medios del cuadrado
anterior.
200
2
1
100
2
1
1
100
...5,122550100
==
−
=
++++=
∞
∞
S
S
Progresiones Armónicas:

7. Si los términos de una PA son naaaa ,...,,, 321 entonces los recíprocos forman una
Progresión Armónica (PH)
naaaa
1
,...,
1
,
1
,
1
321
.
Ejemplo 1 : determinar el 8º termino de la PH ,...
11
1
,
7
1
,
3
1
Si invertimos estos números quedan expresados en PA. 3 – 7 – 11 … la cual tiene
primer termino igual a 3 y su diferencia es 4.
31473718 =•+=+= daa
Luego el 8º termino de la PH es
31
1
Ejemplo 2: tres términos están en PH. Hallar el valor de x si los términos son
x, x-8 y x-12.
Por ser parte de una PH, sus recíprocos están en PA. Luego
1216;24
24
964
4968
1289612812
)12()8()12)(8()12(
)12)(8)((
8
1
12
11
8
1
2222
ysonnumeroslosluego
x
x
xx
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxMCMaplicando
xxxx
=
=
=−
+−−=−++−−
−−−=−−−−
−−
−
−
−
=−
−
PARTE 2: SUMATORIAS
EL símbolo ∑=
n
k
ka
1
es una representación concisa de la suma de términos
naaaa ++++ ...321 es decir: n
n
k
k aaaaa ++++=∑=
...321
1
Esto se llama notación de la suma y se lee “la suma de términos de la forma ka desde k=1
hasta n términos”. El termino k se conoce como el índice de la suma, y toma todos los
valores desde 1 hasta n. Al símbolo ∑ se le llama sigma y es una letra griega equivalente
a la S nuestra.
Ejemplos:

8. [ ] [ ] [ ] [ ]
( ) ( )∑
∑
∑
=
++
=
=
−++−+−=−
++++=−•++−•+−•+−•=−
+++=
n
k
n
n
k
k
K
k
aaaaaa
k
k
1
1
4321
1
20
1
2222
4
1
2
1...1)3
61...10741203...133123113)13()2
4321)1
Observación: el índice de la sumatoria es arbitrario, pero las letras utilizadas mas
usualmente son la k, la i y la j.
En algunas ocasiones de la sumatoria se tienen claro los términos pero no el termino
general por lo que se hace necesario encontrarlo para poder expresar la suma como una
sumatoria.
256
1
...
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
1
++−+−+−
Esta sumatoria podría quedar expresada como sumatoria si se tiene claro cuál es la
expresión que representa a todos los valores de la misma, es decir el termino general.
En este caso en particular seria ( ) k
k
2
1
1− luego se tiene la sumatoria
( )
256
1
...
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
1
2
1
1
8
1
++−+−+−=−∑=k
k
k
Propiedades de las sumatorias
1) ∑∑∑ ===
±=±
n
k
k
n
k
k
n
k
kk baba
111
2) ∑∑ ==
•=•
n
k
k
n
k
k acac
11
3) cnc
n
k
•=∑=1
4) 11
1
1 aaaa n
n
k
kk −=− +
=
+∑ (propiedad telescópica)
5)
2
)1(
1
+
=∑=
nn
k
n
k
6)
6
)12)(1(
1
2 ++
=∑=
nnn
k
n
k
7)
23
1 2
)1(



 +
=∑=
nn
k
n
k
Ejemplos:
Calcular la suma de términos
1)

9. 674360
160420017220661500208
2
2120
20
6
412120
6
2
2120
15
820615820615)43)(25(
2
20
1
20
1
20
1
2
20
1
20
1
323
20
1
2
−−+=•−




 •
−




 ••
+




 •
•
−−+=−−+=−+ ∑∑∑∑ ∑∑ ==== == kkkk kk
kkkkkkkk
2)
15228360024002550010302000162562500
5048
2
5150
20
6
1015150
240
2
5150
100
48202401004820240100)125)(420(
2
50
1
50
1
50
1
2
50
1
50
1
323
50
1
2
=−+−
=•−


 •
•+


 ••
•−


 •
•
−+−=−+−=−+ ∑∑∑∑ ∑∑ ==== == kkkk kk
kkkkkkkk
3) Calcular la suma de los términos 101...171395 +++++
En este caso se observa que los términos van de 4 en 4 por lo que son de la forma
4k + o - algo. (recordemos que los múltiplos de 4 como 4, 8, 12, 16, 20… son de la forma
4k de manera exacta por lo que esta suma de términos solo debe estar desplazada en una
cantidad entera). Como comienza en 5 debe ser de la forma (4k + 1)
Todos los términos de esta sumatoria tienen la forma escrita anteriormente incluido el
ultimo termino, es decir en algún momento
25
1004
10114
=
=
=+
k
k
dondedek
Luego se tiene la sumatoria
( )
1325125
2
2625
4101...171395
1414101...171395
25
1
25
1
25
1
=•+


 •
•=+++++
+=+=+++++ ∑ ∑∑= ==
decires
kk
k kk
4) Calcular la suma de los términos 297199...211515119733 •++•+•+•+•
Se tiene que los primeros elementos de cada termino van de 4 en 4, luego son de la forma
desplazada de los múltiplos de 4. Los segundos elementos de cada uno de los términos van
de 6 en 6 luego son de la forma desplazada de los múltiplos de 6.
Como el primer elemento del primer tipo de factores de cada termino es 3 quiere decir que
su forma general es (4k - 1), y el primer elemento del segundo tipo de factores de cada
termino es 3 quiere decir que su forma general es (6k - 3).
Por otro lado la forma 4k -1 es para cualquier primer factor de cada termino en particular
también para el ultimo por lo que:
50
2004
199)14(
=
=
=−
k
k
k
Si se hubiese elegido la forma 6k – 3 quedaría la igualdad
50
3006
297)36(
=
=
=−
k
k
k

10. Es decir de cualquier forma la cantidad de términos es 50.
Luego la forma de la sumatoria es:
( )( )
1053300
150229501030200503
2
5150
18
6
1015150
24
31824)31824(
3614297199...211515119733
50
1
50
1
50
1
2
50
1
2
50
1
++=•+


 •
•+


 ••
•
++=+−
−−=•++•+•+•+•
∑∑∑∑
∑
====
=
kkkk
k
kkkk
kk
5) Calcular la suma de términos 16778...232214157821 •++•+•+•+•
En este caso se tiene que el primer factor de cada termino va de 7 en 7, luego es alguna
expresión desplazada de los múltiplos de 7. Como comienza en 1 debe ser de la forma
(7k – 6). Hasta en el ultimo termino hay uno de esa forma que vale 78. Luego se cumple
que:
12
847
78)67(
=
=
=−
k
k
k
El segundo factor no tiene una diferencia constante por lo que no debe ser un factor lineal.
Debe ser, entonces, un factor cuadrático o uno cubico. Por la forma en que crecen los
términos debe ser un factor cuadrático. Si seguimos la lógica
169...2516941
167...231472
−−−−−−
−−−−− cuadradoslosconncomparacioen
Notamos un desplazamiento de un lugar, además de una resta de 2 unidades en cada caso,
luego este factor cuadrático debe tener la forma (k + 1)2
– 2 = k2
+ 2k + 1 – 2 = k2
+ 2k – 1
Como estos factores terminan en el valor 167 se tiene la igualdad
positivovalorelsirvesoloPero
kok
luegokk
kk
kk
1214
0)12)(14(
01682
167)12(
2
2
=−=
=−+
=−+
=−+
Luego k =12, lo que nos indica que efectivamente hay 12 términos en esta sumatoria
( )( )
46378721482520042588
126
2
1312
19
6
251312
8
2
1312
7
6198761987
126716778...232214157821
2
12
1
12
1
12
1
2
12
1
323
12
1
12
1
2
=+−+
•+




 •
•−




 ••
•+




 •
•
+−+=+−+
−+−=•++•+•+•+•
∑∑∑∑∑
∑
=====
=
kkkkk
k
kkkkkk
kkk

11. 6) Calcular la sumatoria doble
97650210465
2
2120
465465
2
3130
)()(
20
1
20
1
30
1
20
1
30
1
20
1
=•=




 •
•=•



 •
•==
∑
∑∑∑∑∑
=
=====
i
ijiji
i
ijiij
7) Calcular la sumatoria doble
( ) ( )
( ) 320010210
2
1110
2021020
21020
2
2120
20
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
20
1
20
1
10
1
20
1
=•+




 •
•=+
=+=










 •
+•=







+=+
∑∑
∑ ∑∑ ∑∑∑∑
==
= == === =
ii
i ii jji j
i
iijiji
Fracciones parciales:
i) Los términos de la forma:
))...()()((
)(
332211 nn bxabxabxabxa
xp
++++
se
pueden expresar de la forma
)(
...
)()( 22
2
11
1
nn
n
bxa
A
bxa
A
bxa
A
+
++
+
+
+
donde los
coeficientes niconAi ...3,2,1= son los elementos por conocer a través de
algún método de resolución de incógnitas
ii) Los términos de la forma pm
bxabxa
xp
)()(
)(
2211 ++
se pueden expresar de la
forma
p
p
m
m
bxa
B
bxa
B
bxa
B
bxa
A
bxa
A
bxa
A
)(
...
)()()(
...
)()( 22
2
22
2
22
1
11
2
11
2
11
1
+
++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
donde los coeficientes pjconByniconA ji ,...3,2,1...3,2,1 == son los
elementos por conocer a través de algún método de resolución de incógnitas
iii) Los términos de la forma
))...()((
)(
2
22
2
211
2
1 nnn cxbxacxbxacxbxa
xp
++++++
donde los factores cuadráticos no son factorizables, y donde estas expresión se
puede escribir de la forma

12. )(
...
)()( 2
22
2
2
22
11
2
1
11
nnn
nn
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
++
+
++
++
+
+
++
+
donde los
coeficientes niconByniconA ii ,...3,2,1...3,2,1 == son los elementos
por conocer a través de algún método de resolución de incognitas
Ejemplos:
i) Calcular la suma de términos
( )
( )
B
BkSi
A
AkSi
BkkA
tieneseMCMaplicando
k
B
k
A
kk
casoesteEN
kk
n
k
=−
−=−=
=
•==
++=
+
+=
+
=
+
∑=
1
11
1
110
)1(1
11
1
1
1
1
Luego la fracción original se puede separar en fracciones parciales y asi encontrar el
resultado de las sen
( ) 11
1
1
1
11
1
1
11 +
=
+
−=
+
−=
+
∑∑ == n
n
nkkkk
n
k
n
k
ii) Calcular la suma de términos
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )∑∑
∑
==
=
+
−=
+
−=
+
+
+
−=
+
+
==
=−−
=+
−−=
−−+−=−−=
+=
−++==
=−−=
==
++++++=+
+
+
+
++=
+
+
=
+
+
n
k
n
k
n
k
nkkkk
k
kkkk
k
decirEs
CAluego
CA
CA
ecuacioneslasCon
CA
CAkSi
CAdecires
CAkSi
DkSi
BkSi
DkkCkkBkAkk
MCMaplicando
k
D
k
C
k
B
k
A
kk
k
casoesteEN
kk
k
1
222
1
22
2222
2222
2222
1
22
1
1
1
1
11
1
12
1
11
1
12
0
042
024
420
441232
240
124431
11
10
)1()1()1(12
111
12
1
12