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1. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
ANALÍTICA
CRES
APUNTE TEÓRICO – PRÁCTICO
UNIDAD N° 1
“Sistemas de Ecuaciones Lineales”
Docentes:
Ing. Micaela Mulassano
Ing. Luana Genero

2. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 2
1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.1 Ecuaciones lineales
Dados los escalares 𝑎1, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 y 𝑏 se denomina ecuación lineal con 𝑛 incógnitas a la
expresión:
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏
Las 𝑛 incógnitas o variables están representadas por los símbolos 𝑥1, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ; los 𝑎𝑖
son los coeficientes de las 𝑥𝑖 para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 y 𝑏 es el término independiente de la ecuación.
Al conjunto ordenado de escalares reales o 𝑛-upla (𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) que verifican la
ecuación
𝑎1 𝛼1 + 𝑎2 𝛼2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝛼𝑛 = 𝑏
Se denomina solución de la ecuación. Al conjunto de todas las soluciones se denomina
conjunto solución de la ecuación o solución general.
El cambio de simbología (de 𝑥 a 𝑥1, de 𝑦 a 𝑥2) obedece a la necesidad de representar
ecuaciones con numerosas variables, ya que en la práctica las ecuaciones suelen tener más
incógnitas que la cantidad de letras del abecedario.
La expresión siguiente suele utilizarse como representación simbólica alternativa de una
ecuación lineal con 𝑛 incógnitas.
∑ 𝑎𝑖 𝑥𝑖 = 𝑏
𝑛
𝑖=1
Para 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
donde 𝑎𝑖 y 𝑏 son escalares.
1.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Un conjunto finito de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas (𝑥1, 𝑥1, … , 𝑥𝑛) se denomina
sistema de ecuaciones lineales (S.E.L) y se simboliza como 𝑆𝑚𝑥𝑛.
Al conjunto ordenado de números (𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) que verifica simultáneamente todas
las ecuaciones se denomina solución del sistema lineal. Al conjunto de todas las soluciones se le
conoce como conjunto solución o solución general del sistema lineal.
Simbólicamente:
𝑆 =
{
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏3
… … … … … … … … … … … … … … … …
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + 𝑎𝑚3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Notamos que en un sistema de ecuaciones es necesario un doble subíndice para
nombrar los coeficientes de las incógnitas 𝑥𝑖 en cada ecuación.
El primer subíndice indica la ecuación en que participa, y el segundo la variable a la que
multiplica.

3. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 3
El coeficiente 𝑎𝑖𝑗 es el que multiplica a la variable 𝑥𝑖 en la ecuación 𝑖.
También suele representarse el sistema de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas de la
forma:
𝑒𝑖 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖
𝑛
𝑗=1
para 𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛;
donde 𝑏𝑖 y 𝑎𝑖𝑗 son escalares.
1.3 Solución de un sistema de ecuaciones lineales
Resolver un sistema de ecuaciones lineales implica encontrar los valores de
(𝑥1, 𝑥1, … , 𝑥𝑛) (siempre que dichos valores existan) de modo que satisfagan (o
verifiquen) todas las ecuaciones lineales que constituyen el sistema.
Esto se denomina solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Se dice que un sistema es compatible o consistente si tiene al menos una
solución, y que es incompatible o inconsistente si carece de soluciones. Cuando un
sistema compatible admite más de una solución se denomina compatible
indeterminado, y si tiene sólo una solución será compatible determinado.
Los métodos utilizados para resolver estos sistemas (igualación, sustitución, etc.)
son apropiados cuando se manejan pocas variables (dos o tres). Cuando los sistemas
tienen varias variables se complica la resolución, por lo que estudiaremos un método
apropiado para obtener la solución de este tipo de sistema más complejos.
1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes
Se dice que dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
El método “apropiado” para resolver un sistema de ecuaciones lineales será transformarlo
en otros sistemas equivalentes, pero donde la solución sea fácilmente determinable.
1.4.1 Operaciones elementales
Se le llama operaciones elementales a:
1. Intercambiar el orden con que figuran las ecuaciones en el sistema.
2. Multiplicar una de las ecuaciones por cualquier escalar no nulo.
3. Sumarle a una ecuación el múltiplo escalar de otra ecuación.
Toda operación elemental realizada sobre un sistema de ecuaciones lineales, lo
transforma en un sistema equivalente.
Por lo tanto, para obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales podemos
transformarlo en sucesivos sistemas equivalentes utilizando operaciones elementales.

4. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 4
Ejemplo:
Tenemos el sistema 𝑆2𝑥2 = {
2𝑥 − 4𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 3
y le aplicamos las operaciones elementales:
Los sistemas {
2𝑥 − 4𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 3
; {
𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 − 4𝑦 = 0
; {
𝑥 + 𝑦 = 3
−6𝑦 = −6
; {
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑦 = 𝟏
y {
𝑥 = 2
𝑦 = 𝟏
son todos
equivalentes entre sí.
En este ejemplo, el objetivo es transformar el sistema dado {
2𝑥 − 4𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 3
en el equivalente
{
𝑥 = 2
𝑦 = 𝟏
, el cual tiene la solución.
Aunque en este ejemplo el procedimiento parezca una complicación frente al uso de
otros tales como igualación o sustitución, éste es un algoritmo que organiza la búsqueda de la
solución de los sistemas, especialmente para los que tienen muchas incógnitas.
Para volverlo más estructurado aún, se introducirá una notación matricial que simplifica
la escritura de las ecuaciones del sistema.
S.E.L. Operación elemental aplicada S.E.L. obtenido (equivalente)
𝑺𝟏 = {
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟎
𝒙 + 𝒚 = 𝟑
Intercambiar el orden con que
figuran las ecuaciones en el
sistema.
𝑒1 → 𝑒2
𝑆2 = {
𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 − 4𝑦 = 0
𝑺𝟐 = {
𝒙 + 𝒚 = 𝟑
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟎
Sumarle a una ecuación el
múltiplo escalar de otra
ecuación.
𝑒2 → 𝑒2 + (−2)𝑒1
A la 2° ecuación, le sumamos la 1°
ecuación previamente multiplicada
por -2.
𝑆3 = {
𝑥 + 𝑦 = 3
−6𝑦 = −6
𝑺𝟑 = {
𝒙 + 𝒚 = 𝟑
−𝟔𝒚 = −𝟔
Multiplicar una de las
ecuaciones por cualquier
escalar no nulo.
𝑒2 → (−
1
6
) 𝑒2
𝑆4 = {
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑦 = 1
𝑺𝟒 = {
𝒙 + 𝒚 = 𝟑
𝒚 = 𝟏
Sumarle a una ecuación el
múltiplo escalar de otra
ecuación.
𝑒1 → 𝑒1 + (−1)𝑒2
A la 1° ecuación, le sumamos la 2°
ecuación previamente multiplicada
por -1.
𝑆5 = {
𝑥 = 2
𝑦 = 𝟏

5. Apunte teórico-práctico
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pág. 5
1.5 Matrices relacionadas con un sistema de ecuaciones lineales
Dados 𝑚 y 𝑛 enteros positivos, una matriz 𝐴 de 𝑚 x 𝑛 es un arreglo rectangular de
escalares dispuestos en 𝑚 renglones y 𝑛 columnas. Los 𝑚 x 𝑛 números del arreglo se denominan
elementos de la matriz, y un elemento genérico de 𝐴 se simboliza con 𝑎𝑖𝑗 (elemento ubicado
en el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 renglón o fila y en la 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 columna).
Se utilizan paréntesis o corchetes para encerrar a los 𝑚 x 𝑛 elementos de la matriz y, en
general, se utilizan letras mayúsculas para designar a las matrices.
Simbólicamente: 𝐴 =
[
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 𝑎𝑚4 𝑎𝑚𝑛]
Al sistema de 𝑚 ecuaciones y 𝑛 incógnitas
𝑆 =
{
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏3
… … … … … … … … … … … … … … … …
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + 𝑎𝑚3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Se le asocian dos matrices, denominadas matriz de los coeficientes 𝐴 y matriz ampliada 𝐴|𝐵
𝐴 =
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 𝑎𝑚4 𝑎𝑚𝑛)
𝐴|𝐵 =
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 𝑎𝑚4 𝑎𝑚𝑛
|
|
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑚)
La línea vertical trazada en la segunda matriz es “imaginaria” y normalmente no se incluye.
1.6 Operaciones elementales por renglón y matriz escalonada
Las operaciones elementales por renglón (o fila) que tienen lugar en una matriz se definen,
por analogía con las operaciones elementales, como sigue:
1. Intercambiar dos renglones. Se simbolizará con 𝑟𝑖 ↔ 𝑟𝑗, que significa intercambiar los
renglones 𝑖 y 𝑗.
2. Multiplicar un renglón por un escalar no nulo. Se simbolizará con 𝑟𝑖 → 𝑘𝑟𝑗, que
significa reemplazar el renglón 𝑖 por el mismo renglón multiplicado por 𝑘, siendo 𝑘 ≠
0.
3. Sumar a un renglón, otro renglón, previamente multiplicado por un escalar. Se
simbolizará con 𝑟𝑖 → 𝑟𝑖 + 𝑘𝑟𝑗, que significa reemplazar el renglón 𝑖 por la suma entre
éste más otro renglón 𝑟𝑗 previamente multiplicado por 𝑘.
Ejemplo:
𝑆3𝑥3 = {
3𝑥 = 30
𝑥 + 2𝑦 = 20
𝑦 + 2𝑧 = 9
, asociado al sistema, tenemos la matriz ampliada A|B = (
3 0 0
1 2 0
0 1 20
|
30
20
9
) y
procedemos a aplicar las operaciones elementales sobre la matriz.

6. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 6
Matrices ampliadas relacionadas con los sistemas de ecuaciones correspondientes:
Matrices
equivalentes
Operación elemental aplicada
(
𝟑 𝟎 𝟎
𝟏 𝟐 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐
|
𝟑𝟎
𝟐𝟎
𝟗
)
Intercambiar dos renglones.
𝒓𝟏 → 𝒓𝟐
(
𝟏 𝟐 𝟎
𝟑 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐
|
𝟐𝟎
𝟑𝟎
𝟗
)
Sumarle a una ecuación el múltiplo escalar de otra ecuación.
𝒓𝟐 → 𝒓𝟐 + (−𝟑)𝒓𝟏
Al 2° renglón, le sumamos el 1° renglón previamente multiplicada por -3.
(
𝟏 𝟐 𝟎
𝟎 −𝟔 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐
|
𝟐𝟎
−𝟑𝟎
𝟗
)
Intercambiar dos renglones.
𝒓𝟐 → 𝒓𝟑
(
𝟏 𝟐 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐
𝟎 −𝟔 𝟎
|
𝟐𝟎
𝟗
−𝟑𝟎
)
Sumarle a una ecuación el múltiplo escalar de otra ecuación.
𝒓𝟏 → 𝒓𝟏 + (−𝟐)𝒓𝟐
Al 1° renglón, le sumamos el 2° renglón previamente multiplicada por -2.
(
𝟏 𝟎 −𝟒
𝟎 𝟏 𝟐
𝟎 −𝟔 𝟎
|
𝟐
𝟗
−𝟑𝟎
)
Sumarle a una ecuación el múltiplo escalar de otra ecuación.
𝒓𝟑 → 𝒓𝟑 + (𝟔)𝒓𝟐
Al 3° renglón, le sumamos el 2° renglón previamente multiplicada por 6.
(
𝟏 𝟎 −𝟒
𝟎 𝟏 𝟐
𝟎 𝟎 𝟏𝟐
|
𝟐
𝟗
𝟐𝟒
)
Multiplicar un renglón por un escalar no nulo.
𝒓𝟑 → (
𝟏
𝟏𝟐
)𝒓𝟑
Al 3° renglón, lo multiplicamos por 1/12.
(
𝟏 𝟎 −𝟒
𝟎 𝟏 𝟐
𝟎 𝟎 𝟏
|
𝟐
𝟗
𝟐
)
Sumarle a una ecuación el múltiplo escalar de otra ecuación.
𝒓𝟐 → 𝒓𝟐 + (−𝟐)𝒓𝟑
Al 2° renglón, le sumamos el 3° renglón previamente multiplicada por -2.
(
𝟏 𝟎 −𝟒
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
|
𝟐
𝟓
𝟐
)
Sumarle a una ecuación el múltiplo escalar de otra ecuación.
𝒓𝟏 → 𝒓𝟏 + (𝟒)𝒓𝟑
Al 1° renglón, le sumamos el 3° renglón previamente multiplicada por 4.
(
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
|
𝟏𝟎
𝟓
𝟐
)
Llegamos a la matriz escalonada reducida de la matriz ampliada A|B
asociada al sistema de ecuaciones lineales dado.
Matrices equivalentes Sistemas equivalentes
(
𝟑 𝟎 𝟎
𝟏 𝟐 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐
|
𝟑𝟎
𝟐𝟎
𝟗
) 𝑆3𝑥3 = {
3𝑥 = 30
𝑥 + 2𝑦 = 20
𝑦 + 2𝑧 = 9
(
𝟏 𝟐 𝟎
𝟑 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐
|
𝟐𝟎
𝟑𝟎
𝟗
) 𝑆3𝑥3 = {
𝑥 + 2𝑦 = 20
3𝑥 = 30
𝑦 + 2𝑧 = 9
(
𝟏 𝟐 𝟎
𝟎 −𝟔 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐
|
𝟐𝟎
−𝟑𝟎
𝟗
) 𝑆3𝑥3 = {
𝑥 + 2𝑦 = 20
−6𝑦 = −30
𝑦 + 2𝑧 = 9
(
𝟏 𝟐 𝟎
𝟎 𝟏 𝟐
𝟎 −𝟔 𝟎
|
𝟐𝟎
𝟗
−𝟑𝟎
) 𝑆3𝑥3 = {
𝑥 + 2𝑦 = 20
−6𝑦 = −30
𝑦 + 2𝑧 = 9
(
𝟏 𝟎 −𝟒
𝟎 𝟏 𝟐
𝟎 −𝟔 𝟎
|
𝟐
𝟗
−𝟑𝟎
) 𝑆3𝑥3 = {
𝑥 − 4𝑦 = 2
𝑦 + 2𝑧 = 9
−6𝑦 = −30

7. Apunte teórico-práctico
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pág. 7
1.6.1 Matriz escalonada
Se denomina matriz escalonada a la matriz donde:
1. El primer elemento no nulo de un renglón es 1 (denominado uno
principal o pivote).
2. Los renglones, si los hubiese, que tienen todos sus elementos nulos se
agrupan en la parte inferior de la matriz.
3. En dos renglones consecutivos, el uno principal del renglón inferior
aparece más hacia la derecha del primer 1 del renglón superior.
𝐴 = (
1 1 1 1 2
0 1 3 0 0
0 0 1 0 1
0 0 0 0 1
)
1.6.2 Matriz escalonada reducida
Se denomina matriz escalonada reducida a la matriz escalonada que en las columnas
que contiene al uno principal. Posee ceros en las demás posiciones.
El nombre “escalonada” proviene de que la matriz parece tener una escalera construida
sobre ceros. La huella (variación horizaontal) puede tener cualquier longitud, pero el peldaño
(variación vertical) debe ser de un renglón, excepto quizás en la parte inferior.
𝐵 = (
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
) 𝐶 = (
1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
)
1.7 Método de Gauss y Método de Gauss-Jordan
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales está en su forma escalonada/escalonada
reducida si la matriz ampliada del sistema es escalonada/escalonada reducida.
Todo sistema de ecuaciones lineales se puede llevar a las formas escalonadas o
escalonadas reducida utilizando las operaciones elementales de renglón. Puesto que éstas no
cambian la solución del sistema, su uso se constituirá en un método de solución del sistema que
ahorra una cantidad considerable de escritura.
(
𝟏 𝟎 −𝟒
𝟎 𝟏 𝟐
𝟎 𝟎 𝟏𝟐
|
𝟐
𝟗
𝟐𝟒
) 𝑆3𝑥3 = {
𝑥 − 4𝑧 = 2
𝑦 + 2𝑧 = 9
12𝑧 = 24
(
𝟏 𝟎 −𝟒
𝟎 𝟏 𝟐
𝟎 𝟎 𝟏
|
𝟐
𝟗
𝟐
) 𝑆3𝑥3 = {
𝑥 − 4𝑧 = 2
𝑦 + 2𝑧 = 9
𝑧 = 2
(
𝟏 𝟎 −𝟒
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
|
𝟐
𝟓
𝟐
) 𝑆3𝑥3 = {
𝑥 − 4𝑧 = 2
𝑦 = 5
𝑧 = 2
(
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
|
𝟏𝟎
𝟓
𝟐
) 𝑆3𝑥3 = {
𝑥 = 2
𝑦 = 5
𝑧 = 2

8. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 8
Cuando el sistema se lleva a su forma escalonada se denomina método de Gauss, y
cuando se lleva a la forma escalonada reducida, método de Gauss-Jordan.
1.8 Clasificación de sistemas lineales por su tipo de solución
1.9 Sistemas compatibles indeterminados: variable principal y variable libre
Dado un sistema de ecuaciones lineales, las variables que tienen el uno principal en la
forma escalonada (o escalonada reducida) de la matriz aumentada se denominan variables
principales, a las restantes se les llama variables libres. El valor que se le asigna a una variable
libre se denomina parámetro.
1.10Rango de una matriz
A la cantidad de renglones no nulos que tiene cualquier forma escalonada de una matriz
𝐴 se la denomina rango de la matriz 𝐴 y se simboliza con 𝜌(𝐴).
Nota: 𝜌 letra griega “ro”
1.11Rango y solución - Teorema de Rouche-Frobenius o Kronecker
Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si el rango de la matriz de los
coeficientes y el rango de la matriz ampliada son iguales. Es determinado cuando el número de
incógnitas es igual al rango, e indeterminado cuando tan número es mayor.
𝑆𝑚𝑥𝑛 {
𝜌(𝐴) < 𝜌(𝐴|𝐵) 𝐼𝑁𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸
𝜌(𝐴) = 𝜌(𝐴|𝐵) 𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸 {
𝜌(𝐴) = 𝑛 𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂
𝜌 < 𝑛 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂
1.12Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos
independientes son ceros.
Simbólicamente:
𝑆 =
{
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛 𝑥𝑛 = 0
… … … … … … … … … … … … … … … …
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + 𝑎𝑚3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0
O bien 𝑒𝑖 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 0
𝑛
𝑗=1 para 𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛; donde 𝑎𝑖𝑗 son escalares.
Sistemas de ecuaciones lineales
• Determinados (Única solución)
• Indeterminados (Infinitas soluciones)
Compatibles
• Sin solución
Incompatibles

9. Apunte teórico-práctico
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pág. 9
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones tiene la última columna nula.
𝐴|𝐵 =
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 𝑎𝑚4 𝑎𝑚𝑛
|
|
0
0
0
⋮
0)
Todo sistema homogéneo es siempre compatible. Al menos existe una única solución y es
aquella donde todas las incógnitas son simultáneamente nulas: (𝑥, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 0), esta
solución se conoce como solución trivial. Puede además admitir otras infinitas soluciones, que
son soluciones no triviales.
Un S.E.L. Homogéneo puede ser:
 Compatible determinado: Admite solamente la solución trivial.
 Compatible indeterminado: Admite la solución trivial y soluciones no triviales.
𝑆3𝑥4 = {
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 0
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 = 0
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 0

10. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 10
Ejercicios: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. Reducir las siguientes matrices aplicando reducción por elementos de fila:
a. [
1 2 −1
2 1 0
]
b. [
2 −1 4
1 −1 3
−1 2 −4
]
c. [
1 2 −3
1 3 −3
2 2 −6
10
15
10
]
d. [
4 8 −4
3 6 5
−2 1 12
4
−13
−17
]
2. Aplicando Gauss-Jordan, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, clasificarlo y dar
su solución.
a. {
𝑥1 + 𝑥3 − 2𝑥2 = 1
𝑥2 + 2𝑥3 = 5
𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 8
b. {
2𝑥1 − 3𝑥2 − 9𝑥3 = −5
−3𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3 = −3
−4𝑥1 + 6𝑥2 + 18𝑥3 = 10
c. {
4𝑥 − 8𝑦 + 32𝑧 = 24
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
2𝑥 − 3𝑦 + 11𝑧 = 4
d. {
3𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 22
2𝑥 − 𝑧 = −2
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 9
e. {
𝑥 + 2𝑦– 𝑧 + 3𝑤 + 𝑡 = 2
2𝑥 + 4𝑦– 2𝑧 + 6𝑤 + 3𝑡 = 6
−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧– 𝑤 + 3𝑡 = 4
f. {
2𝑥1– 𝑥2 + 5𝑥3 = 12
𝑥1 + 4𝑥2– 2𝑥3 = −3
8𝑥1 + 5𝑥2 + 11𝑥3 = 30
g. {
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0
h. {
3𝑥1 − 3𝑥2 + 3𝑥3 = 0
2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 0
3𝑥1 − 5𝑥2 − 𝑥3 = 0
i. {
−3𝑥 − 5𝑦 + 36𝑧 + 10𝑤 = 0
−𝑥 + 7𝑧 + 5𝑤 = 0
𝑥 + 𝑦 − 10𝑧 − 4𝑤 = 0
j. {
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = 1
𝑥 − 2𝑧 + 𝑤 = 0
𝑦 + 𝑧 = 2
k. {
2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
2x1 − 2x2 + 2x3 = 0
3x1 − x2 + 3x3 = 0
l. {
3𝑥1– 𝑥2 + 4𝑥3 = 4
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = −7
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 1
m. {
3𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 4
𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 = −4
3𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = −16
n. {
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −5
−2𝑥 + 3𝑦 + 7𝑧 = −2
o. {
2x1 + x3 = 0
x1 − x2 + 2x3 = 0
x1 + x2 − x3 = 0
3. Plantear un sistema de ecuaciones que represente a cada problema. Resolverlo aplicando el
método Gauss-Jordan, clasificarlo y plantear su solución.
Para la resolución de problemas aplicados a sistemas de ecuaciones lineales se recomienda:
1) Leer varias veces el enunciado del problema.
2) Reconocer las variables del problema (temperatura, monedas, etc.). Representas las incógnitas
con una letra (para temperatura; T, para monedas; M, etc.).

11. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 11
3) Identificar las partes del problema que expresan una relación entre las variables. Transformar
cada una en una expresión matemática. Por ejemplo: 𝒃 es el doble de 𝒂 se expresa como 𝒃 =
𝟐𝒂.
4) Armada cada ecuación formar el sistema y resolverlo.
5) Una vez obtenidos los valores de las incógnitas, COMPROBAR con el sistema de ecuaciones
planteado y con el enunciado del problema.
Escribir tanto la solución al problema como así también la resolución del sistema de ecuaciones.
a. Si 3 pendrives y 8 cartuchos de impresora cuestan $652, y 5 pendrives y 6 cartuchos de
impresora cuestan $742, calcular el precio de cada pendrive y cada cartucho de impresora.
b. Se compraron 1450 cajas de CD y DVD en total. Si se hubieran comprado 50 cajas más de DVD,
el número de cajas de DVD hubiese sido el doble que las de CD. ¿Cuántas cajas de DVD y CD
hay?
c. Un ángulo recto se divide en tres ángulos más pequeños. El más grande de los tres ángulos
mide el doble del más pequeño. El tercer ángulo mide 10º más que el ángulo más pequeño.
Determinar la medida de cada ángulo.
d. La suma de las edades del hijo, su padre y su abuelo es igual a 130, y dos veces la edad del hijo
más tres veces la edad del padre menos la edad del abuelo es igual a 95. ¿Cuáles serán las
edades respectivas si la suma de la edad del padre y del hijo es igual a la del abuelo disminuido
en 10 años?
e. Un turista que fue a Europa gastó US$ 30 al día por hospedaje en Inglaterra, US$ 20 al día en
Francia y US$ 20 en España. En cuanto a alimentos, el turista gastó US$ 20 diarios Inglaterra,
US$ 30 diarios en Francia y US$ 20 diarios en España. Además, por conceptos varios el turista
gastó US$ 10 diarios en cada uno de los países mencionados. A su regreso, el registro de gastos
del viajero indicaba un total de US$ 340 por hospedaje, US$ 320 por alimentos y US$ 140 por
gastos varios. ¿Puede calcularse el número de días que el viajero estuvo en cada uno de los
tres países?, o bien, justifique que el registro es incorrecto.
f. Las poblaciones A y B distan 112km. El camino entre ellas tiene una parte horizontal, una parte
de subida y una parte en bajada. Un ciclista tarda 6h 15’ para ir de A a B y 6h 55’ para ir de B a
A. Su velocidad es de 18km/h en horizontal, de 12km/h en subida y de 24km/h en bajada. Las
subidas y bajadas tienen igual pendiente. ¿Cuántos kilómetros hay en horizontal, cuántos en
subida y cuántos en bajada cuando se va de A a B?

12. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 12
Resultados: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. -
𝑆𝑎 = [
1 0
1
3
0 1 −
2
3
]
𝑆𝑏 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
𝑆𝑐 = [
1 0 −3
0 1 0
0 0 0
0
5
0
]
𝑆𝑑 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−3
1
−2
]
2. -
𝑆 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝑅 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (1,1,2)
⁄ }
𝑆 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝑅 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (2 − 3𝑥3, 3 − 5𝑥3, 𝑥3)
⁄ }
𝑆 = { }
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1,5,0)
⁄ }
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡) ∈ 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡) = (−2𝑦 + 𝑧 + 3, 𝑦, 𝑧, −1,2)
⁄ }
𝑆 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝑅 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (5 − 2𝑥3, −2 + 𝑥3, 𝑥3)
⁄ }
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0)
⁄ }
𝑆 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝑅 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (−3𝑥3, −2𝑥3, 𝑥3)
⁄ }
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (7𝑧 + 5𝑤, 3𝑧 − 𝑤, 𝑧, 𝑤)
⁄ }
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (−2 +
5
3
𝑤, 3 −
4
3
𝑤, −1 +
4
3
𝑤, 𝑤)
⁄ }
𝑆 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝑅 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (−𝑥3, 0, 𝑥3)
⁄ }
𝑆 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝑅 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (
23
2
, −
19
2
, −10)
⁄ }
𝑆 = { }
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−
11
7
+
23
7
𝑥3, −
12
7
−
1
7
𝑥3, 𝑥3)
⁄ }
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−
1
2
𝑧,
3
2
𝑧, 𝑧)
⁄ }

13. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 13
3. -
a. Pendrive: $92, Cartucho: $47.
b. DVD: 950, CD: 500.
c. Ángulo mayor: 40°, ángulo menor: 20°, ángulo restante: 30°.
d. Edades: hijo; 15, padre; 45 y abuelo 70 años.
e. Días: Inglaterra: 6, Francia: 4 y España: 4.
f. 60km horizontal, 18km en subida y 34km en bajada.