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1. MATRIZ INVERSA
PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES
ÁREA DE CIENCIAS
ÁLGEBRA LINEAL
2022-2

2. CONTENIDO
➢ Matriz inversa
➢ Transformaciones elementales en una matriz
➢ Matrices Equivalentes
➢ Método de Gauss-Jordan para la inversa de una matriz

3. OBJETIVO
➢ Aplicar operaciones elementales de filas en una matriz para
determinar su inversa mediante el método de Gauss-Jordan.

4. MATRIZ INVERSA
Una matriz cuadrada 𝐴 de orden 𝑛 × 𝑛 posee inversa, si existe una matriz
cuadrada 𝐵 de orden 𝑛 × 𝑛 que verifica la siguiente relación
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼
donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 𝑛 × 𝑛 .
La matriz 𝐵 es llamada inversa de la matriz 𝐴 y se denota por 𝐴−1.
Observación
1. Si una matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛
tiene inversa, su matriz inversa es única y se denota
como 𝐴−1
. Esto es
2. Si una matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛
tiene inversa, se dice que 𝐴 es regular o no singular.
𝐴. 𝐴−1= 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼

5. Observación
3. En el caso de una matriz cuadrada de orden 2𝑥2, tal que
𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
, det 𝐴 = 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0.
≠ 0
su matriz inversa es 𝐴−1
=
1
𝐴
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎

6. Ejemplo
Halle la inversa de las matriz A =
1 3
2 6
, en caso exista.
Solución.
A =
1 3
2 6
y det 𝐴 = 𝐴 = 1 6 − 2 3 = 0
La matriz inversa 𝐴− 1
no existe pues 𝐴 = 0
Si det 𝐴 = 𝐴 = 0, la matriz A no tiene inversa

7. Ejemplo
Halle la inversa de las matriz A =
1 2
3 4
, en caso exista.
Solución.
Para obtener la inversa de la matriz A de orden 2, aplicamos la propiedad:
Si A =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
y det 𝐴 = 𝐴 ≠ 0, entonces 𝐴−1
=
1
𝐴
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
𝐴 =
1 2
3 4
Donde 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 3 , 𝑑 = 4, 𝐴 = −2
𝐴−1
=
1
−2
4 −2
−3 1
=
Luego
−2 1
3/2 −1/2

8. Para determinar la inversa de una
matriz también se puede hacer uso
de la definición de matriz inversa.
𝐴. 𝐴−1
= 𝐴−1
. 𝐴 = 𝐼
Haremos uso de la definición de matriz inversa
Partamos de 𝐴𝐴−1
= 𝐼
1 2
3 4
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
=
1𝑥 + 2𝑧 1𝑦 + 2𝑤
3𝑥 + 4𝑧 3𝑦 + 4𝑤
= 𝐼 →
1𝑥 + 2𝑧 1𝑦 + 2𝑤
3𝑥 + 4𝑧 3𝑦 + 4𝑤
=
1 0
0 1
Igualando los elementos de las matrices obtenemos las ecuaciones
1𝑥 + 2𝑧 = 1 1𝑦 + 2𝑤 = 0 3𝑥 + 4𝑧 = 0 3𝑦 + 4𝑤 = 1
La solución de este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro
incógnitas es x = −2, 𝑦 = 1, 𝑧 = 3/2, 𝑤 = −1/2
∴ 𝐴−1
=
−2 1
3/2 −1/2
En el ejemplo anterior :
Sea A =
1 2
3 4
, y su inversa 𝐴−1
=
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤

9. PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA
a) 𝐴−1 −1 = 𝐴
Sean 𝐴 y 𝐵 matrices regulares de orden 𝑛 × 𝑛 y 𝑘 un escalar no nulo,
entonces se tiene
b) 𝐴𝐵 −1
= 𝐵−1
𝐴−1
c) 𝑘𝐴 −1 =
1
𝑘
𝐴−1
d) 𝐴𝑡 −1
= 𝐴−1 𝑡
f) Si 𝐷 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 𝑑11; 𝑑22; ⋯ ; 𝑑𝑛𝑛 donde 𝑑𝑖𝑖 ≠ 0 para cada 𝑖 = 1; 2; ⋯ ; 𝑛 ,
entonces su matriz inversa es 𝐷−1 = 𝑑𝑖𝑎𝑔
1
𝑑11
;
1
𝑑22
; ⋯ ;
1
𝑑𝑛𝑛
e) 𝐴𝑛 −1 = 𝐴−1 𝑛

10. SONDEO
Halle la inversa de las matriz A =
−2 4
3 6
, en caso exista
𝑎) 𝐴−1
=
−1/4 1/6
1/8 1/12
𝑏) 𝐴−1
=
1/4 −1/6
−1/8 −1/12
𝑐) La 𝐴−1 no existe
Rpta.

11. Transformaciones elementales en una matriz
En una matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛
se puede realizar las siguientes
transformaciones u operaciones elementales entre filas
Transformación elemental Notación
1) Intercambiar una fila 𝑖 por la fila 𝑗 𝑓𝑖 × 𝑓𝑗
2) Multiplicar una fila 𝑖 por un número real 𝑘 ≠ 0 𝑘𝑓𝑖
3) Sumar a una fila 𝑖 el múltiplo de la fila 𝑗 𝑓𝑖 + 𝑘𝑓𝑗
La matriz resultante es una matriz equivalente a la matriz 𝐴

12. MATRICES EQUIVALENTES
Dos matrices 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛
y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑚×𝑛
son equivalentes por filas si, y solo
si, 𝐵 se obtiene a partir de 𝐴 efectuando un número finito de transformaciones
elementales entre filas, y se denota por 𝐴 ≅ 𝐵.
Es decir, 𝐴
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐵 ⟺ 𝐴 ≅ 𝐵.
Ejemplo.
𝐴 =
2 −1 3
1 5 4
3 1 2
𝒇1 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜𝒇2
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑓𝑖𝑙𝑎 1 𝑝𝑜𝑟 2 𝐵 =
1 5 4
2 −1 3
3 1 2
𝐵 =
1 5 4
2 −1 3
3 1 2
−1 𝒇2
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 1 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 2 𝐶 =
1 5 4
−2 1 −3
3 1 2
𝐶 =
1 5 4
−2 1 −3
3 1 2
𝒇2+(2)𝒇1
𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟𝑙𝑒 𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 2 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 1 𝐷 =
1 5 4
0 11 5
3 1 2
≅
≅
≅

13. Método de Gauss – Jordan para hallar la inversa de una matriz
Para determinar la matriz inversa de la matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛
mediante el
método de Gauss-Jordan se procede como sigue
Pasos
1) Construir la matriz ampliada 𝐴 ⋮ 𝐼 𝑛×2𝑛 donde 𝐼 es la matriz identidad.
2) Aplicar las operaciones elementales entre filas a la matriz 𝐴 ⋮ 𝐼 𝑛×2𝑛
𝐴 ⋮ 𝐼 𝑛×2𝑛
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐼 ⋮ 𝐵 𝑛×2𝑛
Luego de aplicar el paso 2, se dice que la matriz 𝐵 es la matriz inversa de 𝐴
Es decir 𝐴−1
= 𝐵.

14. Si al aplicar transformaciones elementales entre filas a la matriz 𝐴 ⋮ 𝐼 obtenemos la
matriz 𝐶 ⋮ 𝐷 donde 𝐶 tiene por lo menos una fila de ceros, la matriz 𝐴 no tiene inversa.
𝐴 ⋮ 𝐼 𝑛×2𝑛
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐶 ⋮ 𝐷 𝑛×2𝑛
Si 𝐶 tiene por lo menos
una fila de ceros
la matriz 𝐴 no tiene inversa
Observación

15. Ejemplo. Determine la inversa de la matriz (en caso exista)
𝐴 =
1 2 0
2 5 0
−3 −6 1
𝐴 ⋮ 𝐼 = อ
1 2 0
2 5 0
−3 −6 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
≅ อ
1 2 0 1 0 0
0
𝑓3 + 3𝑓1
𝑓2 − 2𝑓1 1 0 −2 1 0
0 0 1 3 0 1
𝑓1 − 2𝑓2
≅ อ
0 1 0
1
−2 1 0
0 0 3 0 1
1 0 0 5 −2 0
Luego 𝐴−1
=
5 −2 0
−2 1 0
3 0 1
𝐴 ⋮ 𝐼 𝑛×2𝑛
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐼 ⋮ 𝐵 𝑛×2𝑛
Solución

16. Ejemplo. Determine la inversa de la matriz (en caso exista)
𝐴 =
1 2 −1
3 2 1
1 −2 3
𝐴 ⋮ 𝐼 = อ
1 2 −1
3 2 1
1 −2 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
≅ อ
1 2 −1 1 0 0
0
𝑓3 − 𝑓1
𝑓2 − 3𝑓1 −4 4 −3 1 0
0 −4 4 −1 0 1 𝑓3 − 𝑓2
≅ อ
1 2 −1
0 −4 4
1 0 0
−3 1 0
0 0 0 2 −1 1
Como 𝐶 =
1 2 −1
0 −4 4
0 0 0
tiene una fila de ceros la matriz 𝐴 no tiene inversa.
𝐴 ⋮ 𝐼 𝑛×2𝑛
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐼 ⋮ 𝐵 𝑛×2𝑛
Solución

17. Otro procedimiento para determinar la existencia de la inversa de una matriz
𝐴 =
1 2 −1
3 2 1
1 −2 3
Si det 𝐴 = 𝐴 = 0, la matriz A no tiene inversa
Si det 𝐴 = 𝐴 = 0 entonces no existe 𝐴−1
.
Al calcular el determinante mediante la regla de Sarrus:
1 2 −1
3 2 1
1 −2 3
1 2 −1
3 2 1
= (6) + (6) + (2) − −2 + −2 + 18 = 𝟎

18. SONDEO
Indique si la matriz A =
2 3 5
2 −1 2
−4 −6 −10
, es una matriz regular
𝑎) No es una matriz regular porque 𝐴−1 no existe
𝑏) Sí es una matriz regular porque 𝐴−1
existe
Rpta.
𝐴 = 0

19. Ejercicios y problemas
propuestos 3.3 (pág. 321)

20. Ejercicio 1
Por definición, halle la inversa de las siguientes matrices, en caso existan.
A =
3 4
1 1
, B =
3 −1
−6 2
, 𝐶 =
1 2 2
0 2 −1
0 0 −1
Inversa de la matriz A
La matriz inversa de A =
3 4
1 1
, en caso exista, es de la forma 𝐴−1
=
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
y verifica
𝐴𝐴−1
= 𝐴−1
𝐴 = 𝐼
Partamos de 𝐴𝐴−1
= 𝐼:
3 4
1 1
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
=
3𝑥 + 4𝑧 3𝑦 + 4𝑤
𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑤
=
1 0
0 1
Igualando los elementos de las matrices obtenemos las ecuaciones
3𝑥 + 4𝑧 = 1 , 3𝑦 + 4𝑤 = 0 , 𝑥 + 𝑧 = 0 , 𝑦 + 𝑤 = 1
La solución de este sistema de cuatro ecuaciones con
cuatro incógnitas es x = −1, 𝑦 = 4, 𝑧 = 1, 𝑤 = −3
∴ 𝐴−1
=
−1 4
1 −3

21. Inversa de la matriz B
La matriz inversa de B =
3 −1
−6 2
, en caso exista, es de la forma 𝐵−1
=
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
y verifica 𝐵𝐵−1
= 𝐵−1
𝐵 = 𝐼
Partamos de 𝐵𝐵−1
= 𝐼:
3 −1
−6 2
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
=
3𝑥 − 𝑧 3𝑦 − 𝑤
−6𝑥 + 2 −6𝑦 + 2𝑤
=
1 0
0 1
Igualando los elementos de las matrices obtenemos las ecuaciones
3𝑥 − 𝑧 = 1 3𝑦 − 𝑤 = 0 − 6𝑥 + 2𝑧 = 0 −6𝑦 + 2𝑤 = 1
El sistema anterior no tiene solución y por lo tanto no existe 𝐵−1
.
También se pudo hallar el det(𝐵) = 0, y por lo tanto no existe 𝐵−1
.

22. Inversa de la matriz C
.
La matriz inversa 𝐶 =
1 2 2
0 2 −1
0 0 −1
, en caso exista, es de la forma 𝐶−1
=
𝑥 𝑦 𝑧
𝑤 𝑝 𝑚
𝑟 𝑠 𝑡
y
verifica 𝐶𝐶−1
= 𝐶−1
𝐶 = 𝐼
Partamos de 𝐶𝐶−1
= 𝐼:
𝐶𝐶−1
=
1 2 2
0 2 −1
0 0 −1
𝑥 𝑦 𝑧
𝑤 𝑝 𝑚
𝑟 𝑠 𝑡
𝐶𝐶−1 =
𝑥 + 2𝑤 + 2𝑟 𝑦 + 2𝑝 + 2𝑠 𝑧 + 2𝑚 + 2𝑡
2𝑤 − 𝑟 2𝑝 − 𝑠 2𝑚 − 𝑡
−𝑟 −𝑠 −𝑡
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1

23. Igualando los elementos de las matrices obtenemos las ecuaciones
𝑥 + 2𝑤 + 2𝑟 = 1 𝑦 + 2𝑝 + 2𝑠 = 0 𝑧 + 2𝑚 + 2𝑡=0
2𝑤 − 𝑟 = 0 2𝑝 − 𝑠 = 1 2𝑚 − 𝑡 = 0
−𝑟 = 0 − 𝑠 = 0 − 𝑡 = 1
La solución del sistema es
𝑥 = 1, 𝑦 = −1, 𝑧 = 3
𝑤 = 0, 𝑝 =
1
2
, 𝑚 = −1/2
𝑟 = 0, 𝑠 = 0, 𝑡 = −1
𝐶−1
=
𝑥 𝑦 𝑧
𝑤 𝑝 𝑚
𝑟 𝑠 𝑡
=
1 −1 3
0 1/2 −1/2
0 0 −1

24. Ejercicio 2
Dadas las matrices A =
4 2
3 1
, B =
2 −1
−3 2
, 𝐶 =
5 2
2 −1
resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋𝐶 = 𝐵 para la matriz incógnita 𝑋.
Solución.
𝐴𝑋𝐶 = 𝐵, luego 𝑋 = 𝐴−1
𝐵𝐶−1 = (𝐴−1
𝐵)𝐶−1
Pero 𝐴−1
=
−1/2 1
3/2 −2
𝑦 𝐶−1
=
1/9 2/9
2/9 −5/9
Reemplazando en la ecuación:
𝑋 =
−1/2 1
3/2 −2
2 −1
−3 2
1/9 2/9
2/9 −5/9
=
−4 5/2
9 −11/2
1/9 2/9
2/9 −5/9
𝑋 =
1/9 −41/18
−2/9 91/18

25. SONDEO
La matriz 𝐵 =
1 2 2
−1 3 −1
0 2 −1
, tiene su matriz inversa de la forma 𝐵−1
=
𝑥 𝑦 𝑧
𝑤 𝑝 𝑚
𝑟 𝑠 𝑡
entonces cuál de los siguientes enunciados es verdadero
𝑎) 2𝑚 − 𝑡 = 0
𝑏) 2𝑤 − 𝑟 = 1
𝑐) 2𝑚 − 𝑡 = 1
𝑑) 2𝑧 − 𝑚 = 1
Rpta.

26. Ejercicio 3
En cada caso, resuelva la ecuación matricial dada para la matriz incógnita 𝑋. simplifique
su respuesta tanto como sea posible. Suponga que todas las matrices son regulares.
a) 𝐴2
𝑋−1
𝐵 = 𝐴3
𝐵𝐴2 −1
𝐵2
b) 𝐵−2
𝑋𝐴−1 −1
= 𝐴−1
𝐵−3
𝐴−2 −1
c) 𝐴𝑡
𝑋𝐵𝑡
+ 2𝐶 𝑡
= 2𝐵𝐴 + 𝐴 + 2𝐶𝑡
d) 𝐴2 𝑡
𝑋𝑡
𝐵2 𝑡
+ 2𝐶𝑡
+ 𝐴2 𝑡
𝐵2 𝑡 𝑡
= 2𝐶 + 3𝐵2
𝐴2
Recordar que:
una matriz es regular si y solo si, existe su respectiva matriz inversa
Solución

27. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
Solución
Multiplicamos matricialmente por la izquierda y por la derecha:
a) 𝐴2
𝑋−1
𝐵 = 𝐴3
𝐵𝐴2 −1
𝐵2
𝑨−𝟐
𝐴2
𝑋−1
𝐵𝑩−𝟏
= 𝑨−𝟐
𝐴3
𝐵𝐴2 −1
𝐵2
𝑩−𝟏
asociamos apropiadamente:
𝑋−1
= 𝐴 𝐴−2
𝐵−1
𝐵
𝑋−1
= 𝐴−1
⟹ 𝑋 = 𝐴
𝑋−1 = 𝐴𝐴−2 𝐵−1𝐵
Propiedades:
• 𝑃𝑃−1
= 𝐼
• 𝑃−1 −1
= 𝑃
• 𝑃𝑄 −1
= 𝑄−1
𝑃−1
𝐴2
𝑋−1
𝐵 = 𝐴3
𝐵𝐴2 −1
𝐵2
𝑨−𝟐 𝑨− 𝟐
𝑩−𝟏
𝑩−𝟏

28. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
Solución.
b) 𝐵−2
𝑋𝐴−1 −1
= 𝐴−1
𝐵−3
𝐴−2 −1
Propiedad:
𝑃𝑃−1 = 𝐼
𝑃−1 −1 = 𝑃
𝐵−2
𝑋𝐴−1
= 𝐵−3
𝐴−2
𝐴
𝑩𝟐𝐵−2 𝑋𝐴−1 𝑨 = 𝑩𝟐 𝐵−3𝐴−2 𝐴𝐴
𝐵−2𝑋𝐴−1 −1 −𝟏 = 𝐴−1 𝐵−3𝐴−2 −1 −𝟏
Aplicamos la inversa a ambos términos en la ecuación:
Multiplicamos matricialmente por la izquierda y por la derecha:
𝑋 = 𝐵−1
𝐵2
𝐵−3
𝐴−2
𝐴2
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑋 =

29. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
Solución.
Propiedad:
𝑃𝑡 𝑡 = 𝑃
𝑃𝑄𝑀 𝑡
= 𝑀𝑡
𝑄𝑡
𝑃𝑡
𝑃 + 𝑄 𝑡
= 𝑃𝑡
+ 𝑄𝑡
𝑃−1 −1
= 𝑃
⟹ 𝑋 = 2𝐼 + 𝐵−1 𝑡
c) 𝐴𝑡
𝑋𝐵𝑡
+ 2𝐶 𝑡
= 2𝐵𝐴 + 𝐴 + 2𝐶𝑡
𝐴𝑡
𝑋𝐵𝑡
+ 2𝐶 𝑡 𝒕
= 2𝐵𝐴 + 𝐴 + 2𝐶𝑡 𝒕
𝐴𝑡𝑋𝐵𝑡 + 2𝐶 = 2𝐴𝑡𝐵𝑡 + 𝐴𝑡 + 2𝐶
𝐴𝑡
𝑋𝐵𝑡
= 2𝐴𝑡
𝐵𝑡
+ 𝐴𝑡
= 𝐴𝑡
2𝐵𝑡
+ 𝐼
𝑨𝒕 −𝟏
𝐴𝑡
𝑋𝐵𝑡
= 𝑨𝒕 −𝟏
𝐴𝑡
2𝐵𝑡
+ 𝐼
𝑋𝐵𝑡
= 2𝐵𝑡
+ 𝐼
𝑋𝐵𝑡
𝑩𝒕 −𝟏
= 2𝐵𝑡
𝑩𝒕 −𝟏
+ 𝐼 𝑩𝒕 −𝟏
Aplicamos la transpuesta ambos términos en la ecuación:

30. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
Solución.
d) 𝐴2 𝑡
𝑋𝑡
𝐵2 𝑡
+ 2𝐶𝑡
+ 𝐴2 𝑡
𝐵2 𝑡 𝑡
= 2𝐶 + 3𝐵2
𝐴2
Propiedad:
𝑃𝑡 𝑡
= 𝑃
𝑃𝑄𝑀 𝑡 = 𝑀𝑡𝑄𝑡𝑃𝑡
𝑃 + 𝑄 𝑡 = 𝑃𝑡 + 𝑄𝑡
𝑃𝑃−1
= 𝐼
𝐵2
𝑋𝐴2
+ 2𝐶 + 𝐵2
𝐴2
= 2𝐶 + 3𝐵2
𝐴2
𝐵2
𝑋𝐴2
+ 𝐵2
𝐴2
= 3𝐵2
𝐴2
𝐵2
𝑋𝐴2
= 2𝐵2
𝐴2
𝑩𝟐 −𝟏
𝐵2
𝑋𝐴2
𝑨𝟐 −𝟏
= 2 𝑩𝟐 −𝟏
𝐵2
𝐴2
𝑨𝟐 −𝟏
⟹ 𝑋 = 2 𝐼
Desarrollando la transpuesta y empleando la propiedad de
transpuesta de producto de matrices:

31. SONDEO
Resuelva la ecuación matricial 𝐵−2
𝑋−1
𝐴 =
1
3
𝐼 , para la matriz incógnita 𝑋, donde
𝐼 es la matriz identidad de orden 3𝑥3
𝑎) 𝑋 =A 𝐵−2
𝑏) 𝑋 =
1
3
A 𝐵−2
𝑐) 𝑋 = 3A 𝐵−2
𝑑) 𝑋 = 3 𝐵−2
A
Rpta.

32. Ejercicio 4.
La matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 2×2
es simétrica y regular, y 𝐵 =
1 −1
0 −1
es una matriz
involutiva. Resuelva la ecuación matricial:
𝐴−𝑚
𝑋𝐵7−𝑚 −1
= 𝐴1−𝑚
𝐵−𝑚 −1
𝐴𝑡
para la matriz incógnita 𝑋, en caso exista.
Solución.
𝐴−𝑚
𝑋𝐵7−𝑚 −1
= 𝐴1−𝑚
𝐵−𝑚 −1
𝑨
𝐴−𝑚
𝑋𝐵7−𝑚
= 𝐴−1
𝐴1−𝑚
𝐵−𝑚
Propiedad:
𝑃−1 −1
= 𝑃
𝑃𝑃−1 = 𝐼
𝑃𝑄𝑀 −1 = 𝑀−1𝑄−1𝑃−1
Como 𝐴 es matriz simétrica:
Aplicando la inversa a ambos miembros: 𝐴−𝑚
𝑋𝐵7−𝑚 −1 −𝟏
= 𝐴1−𝑚
𝐵−𝑚 −1
𝐴 −𝟏
𝐴−𝑚
𝑋𝐵7−𝑚
= 𝐴−1
𝐴 𝐴−𝑚
𝐵−𝑚
𝐴𝑡
= 𝐴

33. 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
⟹ 𝑋𝐵7
= 𝐼
𝐵2 = 𝐼
𝐵6
= 𝐵2
𝐵2
𝐵2
= 𝐼
⟹ 𝐵7 = 𝐵
𝑋 = 𝐵−1 ⟹ 𝑋 =
1 −1
0 −1
𝑨𝒎
𝐴−𝑚
𝑋 𝐵7−𝑚
𝑩𝒎
= 𝑨𝒎
𝐴−𝑚
𝐵−𝑚
𝑩𝒎
𝐴−𝑚
𝑋𝐵7−𝑚
= 𝐴−𝑚
𝐵−𝑚
Como 𝐵 es involutiva:
luego:
𝑋𝐵7
= 𝑋𝐵 = 𝐼
Propiedad:
𝑃−1 −1 = 𝑃
𝑃𝑃−1
= 𝐼
𝑃𝑄𝑀 −1 = 𝑀−1𝑄−1𝑃−1

34. CICLO | FECHA
Ejercicio 5
Utilice el método de Gauss-Jordan, para determinar la matriz inversa (en
caso de que exista) de cada una de las siguientes matrices
Según el método de Gauss-Jordan , luego de formar la matriz ampliada [𝐴 ⋮ 𝐼]
y aplicar transformaciones elementales entre filas , se tiene :
Solución.

35. Luego, la matriz inversa de 𝐴 es

36. ≅
1 0 −3 1 0 −1
0 1 0 0 0 1
0 0 1 −
1
2
1
2
1 3𝑓3 + 𝑓1

37. Luego, la matriz inversa de 𝐵 es

39. Luego, la matriz inversa de 𝐶 es

41. ≅
1 2 0 −3 0 1
0 −3 0
17
2
1
2
−
5
2
0 0 1
3
2
1
2
−
1
2
−
𝑓2
3
≅
1 2 0 −3 0 1
0 1 0 −
17
6
−
1
6
5
6
0 0 1
3
2
1
2
−
1
2
𝑓1 − 2𝑓2

42. Luego, la matriz inversa de 𝐷 es

43. Ejercicio 5
Utilice el método de Gauss-Jordan, para determinar la matriz inversa (en caso de
que exista) de cada una de las siguientes matrices
𝐹 =
3 4 2 7
2 3 3 2
5 7 3 9
2 3 2 3
Solución
𝐹 ∶ 𝐼 =
3 4 2 7
2 3 3 2
5 7 3 9
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 3 2 3 0 0 0 1
1 1 −1
2 3 3
5 7 3
5 1 −1
2 0 1
9 0 0
0 0
0 0
1 0
2 3 2 3 0 0 0 1
𝑓1 − 𝑓2
𝑓2 − 2𝑓1
𝑓3 − 5𝑓1
𝑓
4 − 2𝑓1
1 1 −1 5
0 1 5 − 8
0 2 8 − 16
1 −1 0 0
−2 3 0 0
−5 5 1 0
0 1 4 − 7 − 2 2 0 1
1 0 −6 13
0 1 5 − 8
0 0 −2 0
3 −4 0 0
−2 3 0 0
−1 −1 1 0
0 0 − 1 1 0 − 1 0 1
𝑓3 − 2𝑓2
𝑓
4 − 𝑓2

44. 1 0 −6 13
0 1 5 − 8
0 0 −2 0
3 −4 0 0
−2 3 0 0
−1 −1 1 0
0 0 − 1 1 0 − 1 0 1
En consecuencia,
𝐹−1
=
−1/2 11/2 7/2 − 13
−1/2 −7/2 −3/2 8
1/2 1/2 −1/2 0
1/2 −1/2 −1/2 1
1 0 −6 13
0 1 5 − 8
0 0 1 − 1
3 −4 0 0
−2 3 0 0
0 1 0 − 1
0 0 − 2 0 − 1 − 1 1 0
1 0 0 7
0 1 0 − 3
0 0 1 − 1
3 2 0 − 6
−2 −2 0 5
0 1 0 − 1
0 0 0 − 2 − 1 1 1 − 2
1 0 0 7
0 1 0 − 3
0 0 1 − 1
3 2 0 − 6
−2 −2 0 5
0 1 0 − 1
0 0 0 1 1/2 −1/2 −1/2 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
−1/2 11/2 7/2 − 13
−1/2 −7/2 −3/2 8
1/2 1/2 −1/2 0
0 0 0 1 1/2 −1/2 −1/2 1

45. Ejercicio 5
Utilice el método de Gauss-Jordan, para determinar la matriz inversa (en caso de que
exista) de cada una de las siguientes matrices
𝐺 =
2 −1 1 1
7 −3 1 − 1
3 2 −1 0
1 0 − 2 − 4
Solución
𝐺 ∶ 𝐼 =
2 −1 1 1
7 −3 1 − 1
3 2 −1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 − 2 − 4 0 0 0 1
1 0 −2 − 4
7 −3 1 − 1
3 2 −1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
2 −1 1 1 1 0 0 0
𝑓1 ↔ 𝑓
4
𝑓3 − 3𝑓1
𝑓
4 − 2𝑓1
𝑓2 − 7𝑓1
𝑓2 ÷ 3
1 0 −2 − 4
0 −3 15 27
0 2 5 12
0 0 0 1
0 1 0 − 7
0 −3 1 − 3
0 − 1 5 9 1 0 0 − 2
1 0 −2 − 4
𝟎 −𝟏 𝟓 𝟗
0 2 5 12
0 0 0 + 1
0 +1/3 0 − 7/3
0 −3 1 − 3
𝟎 − 𝟏 𝟓 𝟗 1 0 0 − 2
Como la matriz equivalente tiene dos filas iguales, entonces la matriz 𝑮 no tiene inversa.

46. Ejercicio 6
Dadas las matrices
𝐴 =
1 3 −5
0 1 2
0 0 1
7
−3
2
0 0 0 2
y 𝐵 = diag(2; −3; 4; 1)
Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 + 𝐵 = 𝐴 para la matriz incógnita 𝑋.
Solución
De la ecuación dada 𝑋 = 𝐴−1
𝐴 − 𝐵
Primero encontramos las matrices y operaciones con matrices
𝐵 =
2 0 0
0 −3 0
0 0 4
0
0
0
0 0 0 1
y 𝐴 − 𝐵 =
−1 3 −5
0 4 2
0 0 −3
7
−3
2
0 0 0 1

47. 𝐴 ∶ 𝐼 =
1 3 −5
0 1 2
0 0 1
7
−3
2
0 0 0 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
0
0
0 0 0 1
≅
≅
1 0 0 38 1 −3 11 0
0 1 0 −7 0 1 −2 0
0
0
0
0
1 2 0 0 1 0
0 2 0 0 0 1
≅
≅
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 −3 11 − 19
0 1 −2 7/2
0 0 1 − 1
0 0 0 1 0 0 0 1/2
1 0 −11 16
0 1 2 − 3
0 0 1 2
1 −3 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 2 0 0 0 1
1 0 0 38 1 −3 11 0
0 1 0 −7 0 1 −2 0
0
0
0
0
1 2 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1/2
Luego 𝐴−1
=
1 −3 11 − 19
0 1 −2 7/2
0 0 1 − 1
0 0 0 1/2
En consecuencia
𝑿 = 𝐴−1
𝐴 − 𝐵 =
1 −3 11 − 19
0 1 −2 7/2
0 0 1 − 1
0 0 0 1/2
−1 3 −5
0 4 2
0 0 −3
7
−3
2
0 0 0 1
=
−𝟏 −𝟗 −𝟒𝟒
𝟎 𝟒 𝟖
𝟎 𝟎 −𝟑
𝟏𝟗
−𝟕/𝟐
𝟏
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏/𝟐

48. Dadas las matrices
𝐴 =
3 −2 −1
−4 1 −1
2 0 1
y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 3×3
tal que 𝑏𝑖𝑗 = 𝑖 − 𝑗 𝑗
a) Determine los elementos de la matriz 𝐵.
Solución
 𝐵 =
0 1 −8
1 0 −1
2 1 0
𝑏12 = (−1)2
= 1
𝑏13 = (−2)3
= −8
𝑏23 = (−1)3
= −1
;
𝑏21 = (1)1
= 1
𝑏31 = (2)1= 2
𝑏32 = (1)2
= 1
; 𝑏11 = 𝑏22 = 𝑏33 = 0
Ejercicio 7

49. b) Halle la matriz inversa de 𝐴, en caso exista.
Solución
Si bien, es posible hallarlo con la calculadora, utilizaremos el método de Gauss-Jordan.
อ
3 −2 −1
−4 1 −1
2 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝑓1 + (−1)𝑓3
≅ อ
1 −2 −2
−4 1 −1
2 0 1
1 0 −1
0 1 0
0 0 1
≅ อ
1 −2 −2
0 −7 −9
0 4 5
1 0 −1
4 1 −4
−2 0 3
(𝑓2 + 2𝑓3) ≅ อ
1 −2 −2
0 1 1
0 4 5
1 0 −1
0 1 2
−2 0 3
≅ อ
1 0 0
0 1 1
0 0 1
1 2 3
0 1 2
−2 −4 −5
≅ อ
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 3
2 5 7
−2 −4 −5
 𝐴−1
=
1 2 3
2 5 7
−2 −4 −5

50. c) Resuelva la ecuación matricial
𝐴𝑋𝐴𝑡
+ 𝐵 𝑡
= 𝐴 + 𝐵𝑡
para la matriz incógnita 𝑋
Solución
Primero se despeja la matriz 𝑋, para ello se aplica la propiedad de la transpuesta
𝐴𝑋𝐴𝑡
+ 𝐵 𝑡 𝑡
= 𝐴 + 𝐵𝑡 𝑡
 𝐴𝑋𝐴𝑡
+ 𝐵 = 𝐴𝑡
+ 𝐵
Y como la matriz 𝐴𝑡 es también inversible,
 𝐴𝑋𝐴𝑡
𝐴𝑡 −1
= 𝐴𝑡
𝐴𝑡 −1
 𝐴𝑋𝐴𝑡 = 𝐴𝑡
 𝐴𝑋 = 𝐼
 𝑋 = 𝐴−1
=
1 2 3
2 5 7
−2 −4 −5

51. Sea 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 3×3
una matriz simétrica regular y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 3×3
una matriz antisimétrica
tal que
Solución
𝐴−1
𝐵𝐴−1 𝑡
=
0 3 6
−3 0 0
−6 0 0
Si 𝐴𝑋𝐴 + 4𝐵 𝑡 = 2𝐴2 − 3𝐵, halle los elementos de la matriz incógnita 𝑋.
Primero se despeja la matriz 𝑋, para ello se aplica la propiedad de la transpuesta
𝐴𝑋𝐴 + 4𝐵 𝑡 𝑡 = 2𝐴2 − 3𝐵 𝑡
 𝐴𝑋𝐴 + 4𝐵 = 2(𝐴2
)𝑡
− 3(𝐵)𝑡
Ejercicio 8
−(𝐵)𝑡
= 𝐵
(𝐴)𝑡
= 𝐴 𝐴−1
 𝐴𝑋𝐴 + 4𝐵 = 2𝐴2
+ 3𝐵 Pues 𝐴 es una matriz simétrica y 𝐵 es antisimétrica

52. 𝐴𝑋𝐴 + 4𝐵 = 2𝐴2
+ 3𝐵
 𝐴𝑋𝐴 = 2𝐴2
− 𝐵 Y como 𝐴 es una matriz inversible,
 𝐴−1
𝐴𝑋𝐴 𝐴−1
= 𝐴−1
2𝐴2
− 𝐵 𝐴−1
 𝑋 = 2𝐴−1
𝐴2
𝐴−1
− 𝐴−1
𝐵 𝐴−1
 𝑋 = 2𝐼 − 𝐴−1𝐵𝐴−1
 𝑋 =
2 0 0
0 2 0
0 0 2
−
0 −3 −6
3 0 0
6 0 0
Dato: 𝐴−1
𝐵𝐴−1 𝑡
=
0 3 6
−3 0 0
−6 0 0
 𝑋 =
2 3 6
−3 2 0
−6 0 2

53. GRACIAS