Sistemas de Ecuaciones, por alumnos de 1° Polimodal

1. INTEGRANTES: Paula Rodríguez,
Camila Núñez, Ana Laura Martínez,
Yanina Centurión, Evelin Arias
CURSO: 1 2da Economía
COLEGIO: J. M. Estrada
PROFESORA: Juliana Isola

2. SISTEMA DE
ECUACIONES

3. En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o
más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema
matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen
dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores
numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que
se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial
las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto
definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un
valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace
que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una
contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las
incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

4. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones
lineales de la forma:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n x n = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n x n = b2
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + + amn xn = bm
En este caso tenemos “m” ecuaciones y “n” incógnitas.
Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se
denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan
términos independientes.
En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar
simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en
lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el
sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se
cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas
soluciones.

5. Método de Igualación: se despeja la misma incógnita de ambas
ecuaciones y luego se igualan las expresiones obtenidas y se
resuelve la ecuación, se reemplaza el valor obtenido de «x» en la
primera incógnita despejada y por último se escribe el conjunto
solución.
Método de Sustitución: se despeja una incógnita de una de las
ecuaciones y se reemplaza en la ecuación de la otra.
Método de Suma y Resta: por ejemplo: 3x + y= 5
-x + y= 1
Se multiplica por 3 a la segunda ecuación para luego sumar las
ecuaciones y de esta forma eliminar la incógnita «x». Se considera el
sistema equivalente y se suman miembro a miembro las ecuaciones,
por ejemplo, del primer sistema se restan miembro a miembro las
ecuaciones para eliminar la incógnita «y».

6. Un sistema de ecuaciones sobre Rn puede clasificarse de acuerdo
con el número de soluciones en:
 Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución. Un
ejemplo de sistema incompatible es:
{54x − 36y = 9, − 54x + 36y = 30}
ya que usando el método reducción y sumando miembro a
miembro se obtiene la contradicción 0 = 39.

7.  Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez
pueden dividirse en:
• Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número
infinito de soluciones que forman una variedad continua. Un
ejemplo de sistema compatible indeterminado es:
{x + y = 1,2x + 2y = 2} ya que claramente la segunda ecuación es
linealmente dependiente de la primera, habiendo sido
multiplicados todos los términos por 2.
• Sistemas compatibles determinados cuando admiten un
conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de
soluciones aisladas con a lo sumo un número finito de puntos de
acumulación. Un ejemplo de sistema compatible determinado es:
{2x + 3y = 9,3x − 2y = 7}
cuya solución única es y = 1 y x = 3.

9. Las desigualdades como x>3 o 3x<4, se denominan inecuaciones.
Una inecuación lineal es una expresión matemática que describe
cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales. Por ejemplo:
3 + 5x ≥ 18; -2(x + 3) < -9.
La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo
uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito
números reales.
Por ejemplo:
4x + 3 > 2 -1
4
4x > -1
4x : 4 > -1 : 4 -1 0 1 S=(-1/4; + )
x > -1/4

10. Para resolver una inecuación se deben tener en cuenta las siguientes
propiedades que permiten obtener inecuaciones equivalentes, es
decir, con el mismo conjunto solución.
Si en una inecuación se suma o resta un mismo número a ambos
miembros, se obtiene una inecuación equivalente a la dada.
Si en una inecuación se multiplica o divide por un mismo número
positivo a ambos miembros, se obtiene una inecuación equivalente
formada por una desigualdad que tiene el mismo sentido que la
dada.
Si en una inecuación se multiplica o divide por un mismo número
negativo a ambos miembros, se obtiene una inecuación equivalente
formada por una desigualdad que tiene distinto sentido que la dada.

11. Un sistema de inecuaciones con dos incógnitas es un conjunto de
dos o más de estas inecuaciones.
El par (s1,s2) es solución del sistema si satisface simultáneamente
todas las inecuaciones.
La resolución de un sistema de inecuaciones se realiza encontrando
la región del plano intersección de los semiplanos que son solución
de cada una de las inecuaciones que forman el sistema.
Consideremos el sistema formado por dos inecuaciones lineales con
dos incógnitas. Representamos, en el plano cartesiano, los
semiplanos solución de ambas inecuaciones.
Las soluciones del sistema son las coordenadas de los puntos que
pertenecen a la vez a los dos semiplanos solución.

13. Bibliografía
 http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuacion
 http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T07.pdf
 Pitágoras de 8vo. Editorial Sm.