Integración por Fracciones Parciales Partial Fractions Integration

1. න 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑇𝑒𝑐ℎ𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒𝑠
Métodos y Técnicas
de integración
G. Edgar Mata Ortiz
C1

2. Contenido
Introducción
Las técnicas de
integración permiten
resolver problemas
que no pueden ser
abordados mediante
las fórmulas directas.
Caso 1
La integración por
fracciones parciales
presenta varios casos
(generalmente se
consideran 4), en este
documento se aborda
el que es identificado
como caso 1, que
contiene sólo factores
lineales distintos.
Ejemplo 1
La mejor forma de
aprender
matemáticas es
mediante la práctica,
por ello, se presenta
un ejemplo resuelto,
paso a paso, que
puede servir como
guía para resolver
otros ejercicios

3. Las técnicas de
integración
Son un conjunto de
artificios matemáticos que
se aplican cuando no es
posible realizar una
integración directamente,
ya sea porque al
diferencial le faltan
variables o le sobran.

4. Integración por
fracciones parciales
Es una de las técnicas de
integración que más
procesamiento algebraico
requiere, a continuación,
se explica el algoritmo
mediante un ejemplo.

5. Como en los ejemplos anteriores, no existe
ninguna fórmula que pueda aplicarse,
directamente, a esta integración.
Ejemplo:
න
−3𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥
𝑑𝑥 =

6. Ejemplo:
𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝒙(𝒙 𝟐 − 𝟏)
El primer paso consiste en factorizar el denominador.
න
−3𝑥 − 1
𝒙 𝟑 − 𝒙
𝑑𝑥 =
= 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

7. Ejemplo:
Las fracciones parciales son:
න
−3𝑥 − 1
𝒙 𝟑 − 𝒙
𝑑𝑥 =
𝑨
𝒙
+
𝑩
𝒙 + 𝟏
+
𝑪
𝒙 − 𝟏
Factores:
𝒙
𝒙 + 𝟏
(𝒙 − 𝟏)
Los numeradores de estas fracciones no los
conocemos, será necesario determinarlos.

8. Ejemplo:
Para determinar los valores de los numeradores de las
fracciones parciales, se utiliza el hecho de que la fracción
original debe ser igual a las fracciones parciales
න
−3𝑥 − 1
𝒙 𝟑 − 𝒙
𝑑𝑥 =
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨
𝒙
+
𝑩
𝒙 + 𝟏
+
𝑪
𝒙 − 𝟏Factores:
𝒙
𝒙 + 𝟏
(𝒙 − 𝟏)

9. Ejemplo:
El primer paso consiste en obtener el común denominador,
multiplicando los denominadores de las tres fracciones:
Equis, por equis más uno, por equis menos uno.
𝑨
𝒙
+
𝑩
𝒙 + 𝟏
+
𝑪
𝒙 − 𝟏
=
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
Suma de
fracciones
1. Primer paso

10. Ejemplo:
Se divide el común denominador, entre el denominador de
cada fracción, y el resultado se multiplica por el numerador;
en este caso, se divide el común denominador entre equis,
y el resultado (equis más uno por equis menos uno), se
multiplica por “A”.
𝑨
𝒙
+
𝑩
𝒙 + 𝟏
+
𝑪
𝒙 − 𝟏
=
𝑨(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
Suma de
fracciones
2. Paso número dos;
Obtener el numerador
de la fracción
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
𝒙
= (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

11. Ejemplo:
La fracción original debe ser igual a las fracciones parciales
𝑨
𝒙
+
𝑩
𝒙 + 𝟏
+
𝑪
𝒙 − 𝟏
=
𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙(𝒙 − 𝟏)
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
Suma de
fracciones
2. Se divide el común
denominador entre el
denominador de cada
fracción, y el resultado
se multiplica por el
numerador
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
𝒙 + 𝟏
= 𝒙(𝒙 − 𝟏)

12. Ejemplo:
La fracción original debe ser igual a las fracciones parciales
𝑨
𝒙
+
𝑩
𝒙 + 𝟏
+
𝑪
𝒙 − 𝟏
=
𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏)
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
Suma de
fracciones
2. Se divide el común
denominador entre el
denominador de cada
fracción, y el resultado
se multiplica por el
numerador
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
𝒙 − 𝟏
= 𝒙(𝒙 + 𝟏)

13. Ejemplo:
La fracción original debe ser igual a las fracciones parciales
න
−3𝑥 − 1
𝒙 𝟑 − 𝒙
𝑑𝑥 =
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨
𝒙
+
𝑩
𝒙 + 𝟏
+
𝑪
𝒙 − 𝟏
Factores:
𝒙
𝒙 + 𝟏
(𝒙 − 𝟏)
Efectuamos la suma indicada en el lado derecho del signo de igual
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏)
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

14. Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨
𝒙
+
𝑩
𝒙 + 𝟏
+
𝑪
𝒙 − 𝟏
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏)
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨 𝒙 𝟐
− 𝟏 + 𝑩𝒙 𝟐
− 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐
+ 𝑪𝒙
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

15. Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨
𝒙
+
𝑩
𝒙 + 𝟏
+
𝑪
𝒙 − 𝟏
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏)
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨 𝒙 𝟐 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨𝒙 𝟐
− 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐
− 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐
+ 𝑪𝒙
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
Vamos a tomar
esta expresión
para obtener
los valores de A,
B y C

16. Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨𝒙 𝟐
− 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐
− 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐
+ 𝑪𝒙
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
En este paso es útil tomar en consideración que ambos denominadores son iguales, podemos
pasar multiplicando uno de ellos al lado contrario del signo de igual, y se eliminan.
−𝟑𝒙 − 𝟏 =
(𝒙 𝟑
− 𝒙)(𝑨𝒙 𝟐
− 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐
− 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐
+ 𝑪𝒙)
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

17. Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨𝒙 𝟐
− 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐
− 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐
+ 𝑪𝒙
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
En este paso es útil tomar en consideración que ambos denominadores son iguales, podemos
pasar multiplicando uno de ellos al lado contrario del signo de igual, y se eliminan.
−𝟑𝒙 − 𝟏 =
(𝒙 𝟑
− 𝒙)(𝑨𝒙 𝟐
− 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐
− 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐
+ 𝑪𝒙)
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
−𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝒙 𝟐
− 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐
− 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐
+ 𝑪𝒙

18. Ejemplo: Se agrupan términos semejantes
Primero los términos que tienen equis cuadrada, luego los que tienen equis, y al final los
términos independientes.
−𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝒙 𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙
−𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝒙 𝟐 + −𝑩 + 𝑪 𝒙 − 𝑨

19. Ejemplo: Se agrupan términos semejantes
Primero los términos que tienen equis cuadrada, luego los que tienen equis, y al final los
términos independientes.
−𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝒙 𝟐
− 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐
− 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐
+ 𝑪𝒙
−𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝒙 𝟐
+ −𝑩 + 𝑪 𝒙 − 𝑨
Con la finalidad de igualar término por término, en este paso se considera que la
expresión del lado izquierdo del signo igual, al no tener término cuadrático es cero equis
cuadrada.
𝟎𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝒙 𝟐
+ −𝑩 + 𝑪 𝒙 − 𝑨

20. Ejemplo: Se igualan los coeficientes
Los coeficientes de equis cuadrada:
𝟎𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝒙 𝟐
+ −𝑩 + 𝑪 𝒙 − 𝑨
𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎
Los coeficientes de equis: −𝑩 + 𝑪 = −𝟑
Los términos independientes: −𝑨 = −𝟏
Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

21. Sistemas de 3 ecuaciones
con 3 incógnitas (3x3)
Ejemplo: El sistema de ecuaciones obtenido puede resolverse
por cualquiera de los numerosos métodos existentes.
𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎
−𝑩 + 𝑪 = −𝟑
−𝑨 = −𝟏
Explicaciones y ejemplos acerca de estos métodos pueden encontrarse en:
https://proc-industriales.blogspot.com/2020/10/cramer-method-2020.html
https://licmata-math.blogspot.com/2019/12/gauss-method-explanation.html
https://licmata-math.blogspot.com/2020/10/sistemas-de-2-ecuaciones-lineales-con.html

22. Sistemas de 2 ecuaciones
con 2 incógnitas (2x2)
Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones.
𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎 → 𝟏 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎 ∴
𝑩 + 𝑪 = −𝟏
−𝑩 + 𝑪 = −𝟑
−𝑨 = −𝟏 ∴ 𝑨 = 𝟏
En este caso el sistema de ecuaciones puede simplificarse gracias a que la
tercera ecuación nos proporciona directamente el valor de una de las
incógnitas: A.
El valor de A es uno, y al sustituirla en la primera ecuación obtenemos un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas

23. Sistemas de 2 ecuaciones
con 2 incógnitas (2x2)
Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones.
𝑩 + 𝑪 = −𝟏
−𝑩 + 𝑪 = −𝟑
Sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas
Los métodos empleados en la resolución de sistemas 3x3
también pueden emplearse en sistemas de 2x2, sin embargo,
frecuentemente resulta más sencillo emplear otros métodos:
Método de Reducción
Método de Sustitución
Método de Igualación
Método Gráfico

24. Sistemas de 2 ecuaciones
con 2 incógnitas (2x2)
Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones.
𝑩 + 𝑪 = −𝟏
−𝑩 + 𝑪 = −𝟑
Sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas
En este ejemplo, debido a los coeficientes de las ecuaciones es
conveniente aplicar el:
Método de Reducción o de suma y resta
Se elige este método porque al sumar las dos ecuaciones, se
eliminará la incógnita B, obteniéndose una sencilla ecuación de
primer grado con una incógnita (C), de la que se despeja y
obtiene el valor de C.

25. Sistemas de 2 ecuaciones
con 2 incógnitas (2x2)
Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones.
𝑩 + 𝑪 = −𝟏
−𝑩 + 𝑪 = −𝟑
Sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas
Método de Reducción o de suma y resta
𝑩 + 𝑪 = −𝟏
−𝑩 + 𝑪 = −𝟑
𝟐𝑪 = −𝟒
𝑪 =
−𝟒
𝟐
∴
Obtenemos el
valor de la
incógnita C
𝑪 = −𝟐

26. Sistemas de 2 ecuaciones
con 2 incógnitas (2x2)
Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones.
Método de Reducción o de suma y resta
𝑩 + 𝑪 = −𝟏
−𝑩 + 𝑪 = −𝟑
𝟐𝑪 = −𝟒
𝑪 =
−𝟒
𝟐
∴
𝑪 = −𝟐
El valor de la incógnita C, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones
que conforman el sistema de 2x2 y se despeja la incógnita faltante (B).
𝑩 + 𝑪 = −𝟏 → 𝑩 − 𝟐 = −𝟏 → 𝑩 = −𝟏 + 𝟐
𝑩 = 𝟏

27. Sistemas de 3 ecuaciones
con 3 incógnitas (3x3)
Ejemplo: No olvidemos que todo este proceso fue realizado
para determinar los valores de las tres incógnitas que
conforman el sistema original.
𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎
−𝑩 + 𝑪 = −𝟑
−𝑨 = −𝟏
Las soluciones fueron:
𝑨 = 𝟏 𝑪 = −𝟐𝑩 = 𝟏

28. Sistemas de 3 ecuaciones
con 3 incógnitas (3x3)
Ejemplo: Significado de las soluciones del sistema de 3x3
Las soluciones fueron:
𝑨 = 𝟏 𝑪 = −𝟐𝑩 = 𝟏
Estas soluciones son los
numeradores de las
fracciones parciales
planteadas para
descomponer la fracción
propia que se desea
integrar
න
−3𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥
𝑑𝑥 =

29. Ejemplo: Ahora conocemos los numeradores de las fracciones parciales.
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝑨
𝒙
+
𝑩
𝒙 + 𝟏
+
𝑪
𝒙 − 𝟏
−𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝒙
=
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒙 + 𝟏
+
−𝟐
𝒙 − 𝟏

30. Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original, se integrarán sus
fracciones parciales.
න
−3𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥
𝑑𝑥 = න
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒙 + 𝟏
+
−𝟐
𝒙 − 𝟏
𝑑𝑥

31. Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original, se integrarán sus
fracciones parciales.
න
−3𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥
𝑑𝑥 = න
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒙 + 𝟏
+
−𝟐
𝒙 − 𝟏
𝑑𝑥
= න
1
𝑥
𝑑𝑥 + න
1
𝑥 + 1
𝑑𝑥 + න
−2
𝑥 − 1
𝑑𝑥
= න
𝑑𝑥
𝑥
+ න
𝑑𝑥
𝑥 + 1
− 2 න
𝑑𝑥
𝑥 − 1

32. Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original,
se integrarán sus fracciones parciales.
න
−3𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥
𝑑𝑥 = න
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒙 + 𝟏
+
−𝟐
𝒙 − 𝟏
𝑑𝑥
= න
1
𝑥
𝑑𝑥 + න
1
𝑥 + 1
𝑑𝑥 + න
−2
𝑥 − 1
𝑑𝑥
= න
𝑑𝑥
𝑥
+ න
𝑑𝑥
𝑥 + 1
− 2 න
𝑑𝑥
𝑥 − 1

33. Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original,
se integrarán sus fracciones parciales.
න
−3𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥
𝑑𝑥 = න
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒙 + 𝟏
+
−𝟐
𝒙 − 𝟏
𝑑𝑥
= න
1
𝑥
𝑑𝑥 + න
1
𝑥 + 1
𝑑𝑥 + න
−2
𝑥 − 1
𝑑𝑥
= න
𝑑𝑥
𝑥
+ න
𝑑𝑥
𝑥 + 1
− 2 න
𝑑𝑥
𝑥 − 1
= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝒍𝒏𝑪

34. Ejemplo: Aplicando propiedades de logaritmos
podemos simplificar el resultado.
න
−3𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥
𝑑𝑥 = න
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒙 + 𝟏
+
−𝟐
𝒙 − 𝟏
𝑑𝑥
= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝒍𝒏𝑪
= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 + ln 𝑥 − 1 −2 + 𝒍𝒏𝑪
= න
1
𝑥
𝑑𝑥 + න
1
𝑥 + 1
𝑑𝑥 + න
−2
𝑥 − 1
𝑑𝑥
= න
𝑑𝑥
𝑥
+ න
𝑑𝑥
𝑥 + 1
− 2 න
𝑑𝑥
𝑥 − 1

35. Ejemplo: Aplicando propiedades de logaritmos
podemos simplificar el resultado.
න
−3𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥
𝑑𝑥 = න
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒙 + 𝟏
+
−𝟐
𝒙 − 𝟏
𝑑𝑥
= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝒍𝒏𝑪
= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 + ln 𝑥 − 1 −2 + 𝒍𝒏𝑪
= ln 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 1 −2 𝑪
= න
𝑑𝑥
𝑥
+ න
𝑑𝑥
𝑥 + 1
− 2 න
𝑑𝑥
𝑥 − 1

36. Ejemplo: Aplicando propiedades de logaritmos
podemos simplificar el resultado.
න
−3𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥
𝑑𝑥 = න
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒙 + 𝟏
+
−𝟐
𝒙 − 𝟏
𝑑𝑥
= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝒍𝒏𝑪
= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 + ln 𝑥 − 1 −2 + 𝒍𝒏𝑪
= ln 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 1 −2
𝑪
= ln 𝑪
𝑥 𝑥 + 1
𝑥 − 1 2

37. Solución del problema:
El objetivo de las fracciones parciales es expresar una fracción propia que
no puede integrarse directamente, en sus fracciones parciales que sí
pueden integrase con alguna de las fórmulas básicas de integración.
න
−3𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝐶
𝑥 𝑥 + 1
𝑥 − 1 2