Tipos de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales y ejemplos

1. UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO
DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y
TECNOLOGÍA
¿Cómo puedes saber cuántas soluciones tienen los sistemas de los ejemplos?
Un sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal hace referencia a un conjunto de dos o más
ecuaciones que cumplen con la característica de ser lineales, es decir, son de grado 1. El sistema
contiene más de una incógnita x1,x2,…xn, o bien x,y,z,a,b, etc.
La solución del sistema es una sucesión de números s1,s2,…sn, tal que x1= s1, x2= s2…,xn=sn. Siendo así,
un sistema lineal es llamado consistente o inconsistente dependiendo de la cantidad de soluciones que
tenga, también se les suele denominar compatible determinado, compatible indeterminado o
incompatible:
CLASIFICACIÓN POR NÚMERO DE SOLUCIONES
SISTEMA INCONSISTENTE SISTEMA CONSISTENTE
Sistema incompatible
Sistema compatible
indeterminado
Sistema compatible
determinado
Es aquel que no tiene
ninguna solución o bien
que su conjunto solución es
vacío.
Cuando el sistema tiene un
número infinito de
soluciones
Cuando el sistema tiene
solamente una solución
Para hallar las soluciones de un sistema pueden seguirse diferentes métodos, el método de sustitución,
de igualación, de reducción, por regla de Cramer; sin embargo, para saber cuántas soluciones puede
tener un sistema los métodos más sencillos desde mi perspectiva son el método gráfico y método de
Gauss:
-Método gráfico. Consiste en realizar la gráfica de cada ecuación del sistema sobre un mismo plano
para identificar los puntos de coincidencia entre ellas:
a) Cuandolasrectas sonparalelas,
entoncesnohayintersecciónentre ellas
y por ende nohay unconjuntosolución:
𝐿1 ∩ 𝐿2 = ∅
b) Las rectasse intersectanenun
únicopunto,por lotanto,sólohay
una solución parael sistema.
𝐿1 ∩ 𝐿2 = (𝑥, 𝑦)
c) Las rectas soncoincidentes,por
ellolospuntosde intersección
correspondenatodoslospuntosde
la recta y lassolucionessoninfinitas.
𝐿1 ∩ 𝐿2 = ( 𝑥1, 𝑦1
) ,( 𝑥2, 𝑦2
) , … , ( 𝑥 𝑛, 𝑦𝑛
)

2. -Método de Gauss
Una ecuación lineal de m incógnitas se representa como
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑏
Donde 𝑎1, 𝑎2,… 𝑎 𝑚 , 𝑏 son números reales conocidos como coeficientes
En un sistema de ecuaciones n x m, es decir, con n ecuaciones y m incógnitas se suele utilizar el
método de Gauss, siguiendo 3 tipos de operaciones elementales:
1. Multiplicación de una de las ecuaciones por una constante
2. Intercambio de posición entre dos ecuaciones
3. Sumar un múltiplo de una ecuación a alguna otra ecuación
Generalmente con los coeficientes de las incógnitas de las ecuaciones del sistema se construye una
matriz, llamada matriz del sistema, si posteriormente se agregan los coeficientes 𝑏 se llama matriz
aumentada.
Por ejemplo, si tomamos uno de los sistemas de ecuaciones de los ejemplos tenemos:
𝑙1 − 𝑙3 = 30
3𝑙1 + 5𝑙2 + 2𝑙3 = 5
4𝑙1 + 7𝑙2 + 3𝑙3 = −25
(
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
)
Matriz del sistema
(
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
|
30
5
25
)
Matriz aumentada
Siguiendo las 3 operaciones elementales se busca llegar a un sistema del tipo:
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯+ 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑏1
𝑥 𝑦 𝑧 | 𝑏1
𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑏2 0 𝑦 𝑧 | 𝑏2
𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑏3 0 0 𝑧 | 𝑏3
Conocida también como matriz escalonada, esto para realizar una “Sustitución hacia atrás” que
consiste en tomar el valor de la última ecuación del cual ya se tiene el valor 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑏3 y sustituirla
en la ecuación previa 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑏2 así se obtendría el valor de la incógnita 𝑥2, con esos
dos valores se sustituye en la ecuación previa 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯+ 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑏1 para hallar el valor de
𝑥1, resolviendo el sistema.

3. La matriz escalonada puede llegar a su forma reducida que puede tener 3 formas:
(
1 0 0
0 1 0
0 0 0
|
𝑎1
𝑎2
𝑎3
) 𝑎3 ≠ 0
Matriz escalonada reducida de un
sistema lineal sin solución.
Uno de los renglones es igual a
cero, llegando a la contradicción
0 = 𝑎3
(
1 0 0
0 1 0
0 0 0
|
𝑎1
𝑎2
0
)
Matriz escalonada reducida de un
sistema lineal con soluciones infinitas
Uno de losrengloneses cero incluido su
coeficientecorrespondienteen la matriz
aumentada.
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
𝑎1
𝑎2
𝑎3
) ó (
1 0
0 1
0 0
|
𝑎1
𝑎2
0
)
Matriz escalonada reducida de un
sistema lineal con una única solución.
El número de variables es igual al
número de renglones diferentes de
cero
¿Cómo resuelves los sistemas de los ejemplos?
Para ambos ejemplos se utilizaría el método de Gauss, pues permite saber la cantidad de soluciones
del sistema.
Ejemplo 1:
𝑙1 − 𝑙3 = 30
3𝑙1 + 5𝑙2 + 2𝑙3 = 5
4𝑙1 + 7𝑙2 + 3𝑙3 = −25
(
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
|
30
5
−25
)
𝑅2=𝑅2−3𝑅1
→ (
1 0 −1
0 5 5
4 7 3
|
30
−85
−25
)
𝑅2=
𝑅2
5
→ (
1 0 −1
0 1 1
4 7 3
|
30
−17
−25
)
𝑅3=𝑅3−4𝑅1
→ (
1 0 −1
0 1 1
0 7 7
|
30
−17
−145
)
𝑅3=𝑅3−7𝑅1
→ (
1 0 −1
0 1 1
𝟎 𝟎 𝟎
|
30
−17
−𝟐𝟔
)
Se llega a la contradicción 𝟎 = −𝟐𝟔 , por lo tanto, el sistema no tiene solución.

4. Ejemplo 2:
𝑙1 − 𝑙3 = 30
3𝑙1 + 5𝑙2 + 2𝑙3 = 5
4𝑙1 + 7𝑙2 + 3𝑙3 = 1
(
1 0 −1
3 5 2
4 7 3
|
30
5
1
)
𝑅2=𝑅2−3𝑅1
→ (
1 0 −1
0 5 5
4 7 3
|
30
−85
1
)
𝑅2=
𝑅2
5
→ (
1 0 −1
0 1 1
4 7 3
|
30
−17
1
)
𝑅3=𝑅3−4𝑅1
→ (
1 0 −1
0 1 1
0 7 7
|
30
−17
−119
)
𝑅3=𝑅3−7𝑅2
→ (
1 0 −1
0 1 1
𝟎 𝟎 𝟎
|
30
−17
𝟎
)
Para este caso, nos queda un reglón 0=0 por lo que el sistema tiene soluciones infinitas.
Fuentes
Arce, C.; Castillo, W.; González, J. (2003). Algebra Lineal. Costa Rica: Universidad de Costa Rica-
Escuela de Matemática.
Lay, D. (2012). Álgebra lineal y sus aplicaciones. México: Pearson Education.
Lewis, J. (s.f). The three types of solution sets. Mathematics Texas A&M University. Recuperado de
http://www.math.tamu.edu/~jlewis/Threetypesofsolsets.htm
Martinez, J. (2004). Tema 4. Sistemas de ecuaciones lineales. España: Universidad de Alcalá.
Recuperado de
http://www3.uah.es/jmmartinezmediano/amgrado/Tema%2004%20AM%20G%20SISTEMAS%20LINE
ALES.pdf