El documento describe el método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método convierte el sistema original en otro equivalente más simple a través de operaciones elementales de renglón, como multiplicar o dividir un renglón, sumar múltiplos de renglones, o intercambiar renglones. Se ilustra el método con un ejemplo de tres ecuaciones y tres incógnitas.

1. UNIVERSIDAD: "FERMÍN TORO"
DECANATO DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRICA
ASIGNATURA: ANALISIS NUMERICO
SECCIÓN B
TUTOR: DOMINGO MENDEZ
ALUMNO: NIEL VELASQUEZ
V- 10.382.323
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

2. El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones
lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones
de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse
de manera directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas
de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la
relación de al menos una ecuación por cada variable.
DEFINICION

3. Antes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente
conocer las operaciones básicas de renglón las cuales son presentas a
continuación:
1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante
diferente de cero.
2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra
ecuación
3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.

4. Solución:
Para simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienen exclusivamente los coeficientes
de cada una, el signo de igual también es eliminado pero se mantienen los datos del lado derecho de la
ecuación.
Quedando como sigue:
Diagonal principal
La diagonal principal de la matriz busca quede conformada por solo unidades (1) la parte inferior a la
diagonal debe quedar en ceros. Esto se hace utilizando las operaciones básicas de renglón para las
ecuaciones, de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.
Multiplico la ecuación 1 por −4 y la resto de la ecuación 2, de igual forma la multiplico por −7 y la resto
de la 3 obteniendo.
Después divido la ecuación 2 (renglón 2) entre −3 para hacer el componente de la diagonal principal 1
quedando como sigue:
Multiplico la ecuación 2 (renglón 2) por 6 y lo sumo a la ecuación 3 (renglón 3).
Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajo de la diagonal
principal ceros reintegro las variables en cada ecuación y también el signo igual de las ecuaciones
obteniendo:
Donde el valor de z= 10 y al sustituir este valor en la ecuación resultante 2, tendríamos

5. y + 2z = 2 al sustituir el valor de z obtenemos que:
y + 2(10) = 2
y + 20 = 2
y = 2- 20
y = −18
Al sustituir estos valores en la ecuación resultante 1 se tiene:
1x + 2y + 3z = 1
Si z= 10 y y=−18, entonces el valor de x será:
1x + 2y + 3z = 1
x + 2(−18) + 3(10)= 1
x – 36 + 30 = 1
x – 6 = 1
x = 1 + 6
x = 7

6. La solución del sistema de ecuaciones sería x= 7, y= −18, y z= 10.
El sistema de eliminación gaussiana es el mismo no importando si es un sistema de ecuaciones lineales
del tipo 2×2, 3×3, 4×4 etc. siempre y cuando se respete la relación de al menos tener el mismo numero
de ecuaciones que de variables.
Otra forma de resolver las ecuaciones lineales con el método gaussianos mostraremos
en el siguiente ejemplo

7. Una vez conocidas las operaciones que en mi afán por resolver un sistema de ecuaciones
puedo realizar procedo a ilustrar el método con un ejemplo:
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x + 2y + 3z = 1
4x + 5y + 6z= −2
7x + 8y + 10z = 5
Donde cada ecuación representa un renglón y las variables iguales de las 3 ecuaciones
representan las columnas 1, 2 y 3 respectivamente.
Usando el método de eliminación Gaussiana

8. Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda.
Entonces:

9. ELIMINACION GAUSSIANA
En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo
una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de
todas las variables.
Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:
Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será simplificar las
ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera
ecuación entre 2, obteniendo:

10. Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda.
Entonces:
sumándolas resulta

11. La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos
Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:

12. Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.
Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera
En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y
automáticamente se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá

13. Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número diferente de cero se obtiene una
ecuación nueva y válida.
Por otra parte, si se suma un múltiplo de una ecuación a otra ecuación del mismo sistema, el resultado es otra ecuación
válida. Por último, si se intercambian dos ecuaciones de un sistema, lo que se obtiene es un sistema equivalente. Estas
tres operaciones, cuando se aplican a los renglones de una matriz aumentada, que representa un sistema de ecuaciones,
recibe el nombre de operaciones elementales de renglón
Operaciones elementales de renglón
a) Multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de cero.
b) Sumar el múltiplo de otro renglón a otro renglón.
c) intercambiar dos renglones
Hasta aquí hemos supuesto una situación idealmente simple en
la que ningún pivote (o coeficiente diagonal),

14. , se convierte en cero. Si cualquier pivote se vuelve cero en el proceso de resolución, la eliminación hacia
adelante no procederá
El pivoteo consiste en intercambiar el orden de las ecuaciones de modo que el coeficiente del pivote, , tenga
la magnitud (en valor absoluto) mayor que cualquier otro coeficiente que esté debajo de él en la misma
columna y que por tanto vaya a ser eliminado. Esto se repite con cada pivote hasta completar la eliminación
hacia adelante.