2. OBJETIVO GENERAL
Interpretar lo que significa el área bajo la curva en un contexto
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1 Calcular la distancia recorrida de un objeto respecto a la velocidad constante en el tiempo.
2 Aproximar el cambio total a partir de una razón de cambio.
4. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD CONSTANTE VS TIEMPO
DEFINICIÓN
La Velocidad es la razón de cambio de la distancia respecto al tiempo.
5. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD CONSTANTE VS TIEMPO
DEFINICIÓN
La Velocidad es la razón de cambio de la distancia respecto al tiempo.
FIGURA 1: Auto en carrera
PREGUNTA
¿Podemos hallar la distancia
recorrida si nos dan la
velocidad?
6. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD CONSTANTE VS TIEMPO
EJEMPLO
Suponga que la velocidad ha sido de 50 km/h durante un viaje de 4 horas. ¿Cuál es la distancia
recorrida?
FIGURA 2: Representa la velociadad contra el tiempo
Distancia = Velocidad×Tiempo
=
50·
km
h
×(4·h)
= 200 km
7. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD CONSTANTE VS TIEMPO
Observe que la distancia recorrida está representada por el área sombreada bajo la recta
FIGURA 3: La distancia es la región sombreada
8. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD CONSTANTE EN INTERVALOS DE TIEMPO
EJEMPLO
Suponga que usted viaja a 60 km/h durante dos horas; después, durante las siguientes 5 horas
viaja a 80 km/h. ¿Qué distancia ha recorrido en todo el trayecto?
9. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD CONSTANTE EN INTERVALOS DE TIEMPO
EJEMPLO
Suponga que usted viaja a 60 km/h durante dos horas; después, durante las siguientes 5 horas
viaja a 80 km/h. ¿Qué distancia ha recorrido en todo el trayecto?
SOLUCIÓN
La distancia recorrida en total es la suma de las distancias recorridas en cada una de las dos
partes
Distancia = (60 km/h)×(2·h)+(80 km/h)×(5·h)
= 120·km+400·km
= 520·km
11. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD ASCENDENTE
EJEMPLO
Suponga que un automóvil se mueve a una velocidad ascendente y que ésta se mide cada dos
segundos. Con base en lo anterior, se obtiene la siguiente tabla
Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10
Velocidad (m/s) 20 30 38 44 48 50
¿Qué distancia ha recorrido el automóvil?
12. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD ASCENDENTE
Como no se sabe a qué velocidad se ha movido el automóvil en cada momento o instante, no
serı́a posible calcular una distancia exacta; sin embargo, se puede hacer una “estimación”.
SOLUCIÓN
De acuerdo con la tabla, la velocidad está aumentando cada 2 s. (Ver Cuadro 1)
Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10
Velocidad (m/s) 20 30 38 44 48 50
CUADRO 1: Registro de la velocidad del automóvil
13. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD ASCENDENTE
SOLUCIÓN
Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10
Velocidad (m/s) 20 30 38 44 48 50
La velocidad está aumentando, por lo cual, el automóvil se mueve al menos 20 m/s. Por tanto,
el automóvil se desplaza 40 m en los dos primeros segundos. También avanza, por lo menos,
60 m en los siguientes dos segundos, y ası́ sucesivamente. Es decir,
20·2+30·2+38·2+44·2+48·2 = 360 m
Ası́, 360 m es una estimación por defecto de la distancia total recorrida en los 10 s
14. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD ASCENDENTE
Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10
Velocidad (m/s) 20 30 38 44 48 50
FIGURA 5: Registro gráfico de la velocidad del automóvil por defecto
15. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD ASCENDENTE
SOLUCIÓN
Para obtener una Estimación por exceso, se puede razonar de una manera similar.
Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10
Velocidad (m/s) 20 30 38 44 48 50
La velocidad del auto durante los primeros dos segundos es, a lo sumo, de 30 m/s, de modo que
recorrió 60 m Durante los siguientes dos segundos, éste recorre 76 m a una velocidad de 38 m/s.
Es decir,
30·2+38·2+44·2+48·2+50·2 = 420 m
Ası́, 420 m es una estimación por exceso de la distancia total recorrida en los 10 s
16. DISTANCIA RECORRIDA VELOCIDAD ASCENDENTE
Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10
Velocidad (m/s) 20 30 38 44 48 50
FIGURA 6: Registro gráfico de la velocidad del automóvil por exceso
18. VENTAS POR SEMANA
EJEMPLO
En la siguiente tabla (Cuadro 2) se muestra la tasa de ventas (en juegos por semana) de un
nuevo video juego. Suponga que la razón de cambio de ventas aumentó durante un periodo de
20 semanas. ¿Cuántos video juegos se venderán durante este periodo de tiempo?
Tiempo (semanas) 0 5 10 15 20
Tasa de Ventas (juegos por semana) 0 585 892 1875 2350
CUADRO 2: Ventas por semana de video juegos
19. VENTAS POR SEMANA
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta que las tasa de ventas es constante,
Ventas totales = Cantidad de ventas por semana×número de semanas
Haciendo una estimación por “Exceso”, se tendrı́a lo siguiente
585·5+892·5+1875·5+2350·5 = 28510
Haciendo una estimación por “Defecto”, se tendrı́a lo siguiente
0·5+585·5+892·5+1875·5 = 16760
Por tanto,
16760 ≤ Video juegos totales vendidos ≤ 28510
