Breve explicación de lo que es una serie de potencia

1. SERIES DE POTENCIAS

2. CONTENIDO
1 INTRODUCCIÓN
2 SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN

3. INTRODUCCIÓN
Introducción
Las series de potencias son una herramienta fundamental en el
análisis y estudio de funciones. En particular, se utilizan para re-
presentar funciones como una suma infinita de términos que invo-
lucran potencias sucesivas de x. Estas series tienen la propiedad
de converger en un intervalo determinado alrededor del centro c,
lo que permite aproximaciones precisas de la función original en
ese intervalo.

4. INTRODUCCIÓN
Las series de potencias tienen diversas aplicaciones en matemáti-
cas y fı́sica, incluyendo la aproximación de funciones, el cálcu-
lo de integrales y derivadas, el estudio de ecuaciones diferencia-
les y la representación de fenómenos fı́sicos mediante funciones
analı́ticas.
Es importante notar que no todas las funciones pueden ser repre-
sentadas como series de potencias, y la convergencia de una serie
de potencias debe ser analizada cuidadosamente para garantizar
su validez en un intervalo determinado.

5. INTRODUCCIÓN
Nota
Para resolver la desigualdad
|x−a| < d
se tiene que
−d < x−a < d
a−d < x < d +a

6. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Definición
En Matemáticas, una Serie de Potencia es una serie de la forma
∞
∑
n=0
cn (x−a)n
donde cn es una secuencia de números reales, x la variable inde-
pendiente, y a es el centro de la serie.

7. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Ejemplo
Considere la serie de potencia
∞
∑
n=0
xn
n!
= 1+x+
x
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+···
Esta es una serie de potencias básica con centro en a = 0 y coefi-
cientes
cn =
1
n!

8. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Ejemplo
Considere la serie de potencia
∞
∑
n=0
(−1)n
·
xn
n+1
= 1−
x
2
+
x2
3
−
x3
4
+···
Esta es una serie de potencias básica con centro en a = 0 y coefi-
cientes
cn = (−1)n
·
1
n+1

9. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Ejemplo
Sea la serie de potencia
∞
∑
n=1
n2
3n
(x−1)n
=
1
3
(x−1)+
4
9
(x−1)2
+
9
27
(x−1)3
+···
Esta es una serie de potencias básica con centro en a = 1 y coefi-
cientes
cn =
n2
3n

10. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Radio de Convergencia
El Radio de Convergencia de una serie de potencia, denotado por
R, es la distancia desde el centro a hasta el punto x más alejado en
el cual la serie converge.

11. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Intervalo de Convergencia
El intervalo de convergencia consiste en todos los valores de x
dentro de una distancia R, del centro a.

12. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Teorema de Convergencia para series de Potencia
∞
∑
n=0
cn (x−a)n
Por tanto, una de las siguientes tres afirmaciones es verdadera:
1 La serie sólo converge en a. Es decir, el radio de convergencia
es R = 0.
2 Existe un valor R > 0 tal que la serie converge para |x−a| <
R, y diverge para |x−a| > R
3 La serie converge para todo x. Es decir, el radio de conver-
gencia es R = ∞.

13. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Nota
Para determinar la convergencia de una serie de potencia, se debe
utilizar alguno de los siguientes criterios:
1 Crietrio del Cociente
2 Criterio de la Raı́z.

14. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Ejemplo
Determine el radio de convergencia, de
∞
∑
n=0
xn
n!

15. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Solución
Para determinar el radio de convergencia, podemos utilizar el cri-
terio de la razón:
lı́m
n→∞
an+1
an
Calculamos:
lı́m
n→∞
1
(n+1)!
1
n!
= lı́m
n→∞
n!
(n+1)!
= lı́m
n→∞
1
n+1
= 0
Como el lı́mite es 0, la serie de potencias converge para todos los
valores de x. Por lo tanto, el radio de convergencia es R = ∞.

16. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Ejemplo
Determine el radio de convergencia, de
∞
∑
n=0
(−1)n
·
xn
n+1

17. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Solución
Para determinar el radio de convergencia, utilizamos el criterio de
la razón:
lı́m
n→∞
an+1
an
Calculamos:
lı́m
n→∞
(−1)n+1 · xn+1
(n+1)+1
(−1)n · xn
n+1
= lı́m
n→∞
|x| = |x| < 1
La serie de potencias converge para todos los valores de x ∈
(−1,1). Por lo tanto, el radio de convergencia es R = 1.

18. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Ejemplo
Determine el radio de convergencia, de
∞
∑
n=1
n2
3n
(x−1)n

19. SERIES DE POTENCIA - DEFINICIÓN
Solución
Para determinar el radio de convergencia, utilizamos el criterio de
la razón:
lı́m
n→∞
(n+1)2·(x−1)n+1
3n+1
n2·(x−1)n
3n
=
x−1
3
< 1
La serie de potencias converge para todos los valores de x ∈
(−2,4). Por lo tanto, el radio de convergencia es R = 3.