Series de Fourier

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
SAN CRISTÓBAL- ESTADO TÁCHIRA
Matemática IV.
Análisis de Fourier.
Prof: Lcdo. Domingo Méndez Wilmer A. Zambrano B.
C.I V.-24.780.144
Ing. Electrónica
IV Semestre
Matematica IV.
Sección: T.
San Cristóbal, 07 de Julio de 2016.
3

2. • Series de Fourier
• Forma Exponencial de las Series de Fourier
• Ejemplos de las Series de Fourier
• Función Sampling
• Potencia Normalizada
• Potencia Normalizada en Expansión de Fourier
• Densidad Espectral de Potencia
• Transformación de Fourier
• Convolución
1.11.1 Series de FourierSeries de Fourier
Una función periódica v(t) con período fundamental T0, puede representarse
como una suma infinita de sinusoidales.
Figura 1.1-1. Señal periódica v(t)
Tal sumatoria, llamada Serie de Fourier, puede ser descrita de diversas formas:
v(t)
t
T0

3. 0
1 0 0
2 2
( ) cos sinn n
n
nt nt
v t a a b
T T
π π∞
=
     
= + +  ÷  ÷
     
∑ (1.1-1)
Reemplazando
0
0
2
T
π
ω = resulta:
( ) ( )( )0 0 0
1
( ) cos sinn n
n
v t a a n t b n tω ω
∞
=
= + +∑ (1.1-2)
Donde los coeficientes de la serie de Fourier están dados por:
0
0
2
0
0
2
1
( )
T
T
a v t dt
T −
= ∫ (1.1-3)
0
0
2
0
0
2
2
( ) ( )
T
n
T
b v t sen n t dt
T
ω
−
= ∫ (1.1-4)
Vale la pena destacar que el valor que adquiere el término ao corresponde al valor
medio de la señal de estudio.
0
0
2
0
0
2
2
( )cos( )
T
n
T
a v t n t dt
T
ω
−
= ∫ (1.1-5)
1.1.11.1.1 Representación polar de la Serie de FourierRepresentación polar de la Serie de Fourier
La representación polar de la serie de Fourier queda definida según:

4. ( )0 0
1
( ) cosn n
n
v t c c n tω θ
∞
=
= + −∑ (1.1.1-1)
Donde:
)/(
22
00
nnn
nnn
abArctg
bac
ac
=
+=
=
θ
(1.1.1-2)
Los coeficientes cn, corresponden a lo que se denomina “Amplitudes Espectrales
a frecuencia nω o“, es decir, cn corresponde a la componente espectral de nωo.
Figura 1.1-2. “Espectro de amplitudes, Cn”.
Cada armónica está representada mediante una línea de longitud
correspondiente a la amplitud de la armónica respectiva.

5. 1.21.2 Forma exponencial de la serie de FourierForma exponencial de la serie de Fourier
Una expresión alternativa a las anteriores y que resulta ser la más adecuada para
el estudio en teoría de comunicaciones es la llamada forma exponencial, donde
0
( ) jn t
nv t V e ω
∞
−∞
= ∑ (1.2-1)
( )
0
0
0
2
0
2
1
T
jn t
n
T
V v t e dt
T
ω−
−
= ∫ (1.2-2)
Se puede demostrar que:
2
k k
n
a jb
V =
m
(1.2-3)
0 0V a=
(1.2-4)
Figura 1.2-1. Representación Bilateral de componentes espectrales

6. 1.31.3 Secuencias de impulsosSecuencias de impulsos
Determinar la representación espectral de la siguiente secuencia de impulsos:
Figura 1.3-1Figura 1.3-1. Secuencia de Impulsos. Secuencia de Impulsos
Solución:Solución:
∑
∞
−∞=
−δ=
n
)nTt(I)t(v 0
(1.3-1)
2
0
0
2
( )
o
o
T
T
I
a t dt
T
δ
−
= ∫ (1.3-2)
2
0
0 0
2
2 2
( )cos( )
o
o
T
n
T
I I
a t n t dt
T T
δ ω
−
= =∫ (1.3-3)
0nb = (1.3-4)
Utilizando representación polar se obtiene
::
tT0
-T0
0
I
)( 0Tt +δ )( 0Tt −δ
)(tδ
v(t)

7. 0
0 0
2
0n n
I I
c c
T T
θ= = = (1.3-5)
Resultando entonces:
0 0
10 0
2
( ) ( ) cos( )
n n
I I
v t I t nT n t
T T
δ ω
∞ ∞
=−∞ =
= − = +∑ ∑ (1.3-6)
∑
∞
−∞=
ϖ
=
n
tjn
e
T
I
)t(v 0
0
(1.3-7)
Figura 1.3-2. Densidad espectral de secuencia de impulsos
1.4 Secuencia de pulsos y función Sampling
Determinar la representación de la siguiente secuencia de pulsos:
Figura 1.4-1. Secuencia temporal de pulsos

8. Solución:
0
0
2
0 0 0
0
2
1
( )
T
To
A
a c v v t dt
T T
τ
−
= = = =∫ (1.4-1)
0
0
2
0
2
2
2 ( )cos( )
T
n n n
To
a c v v t n t dt
T
ω
−
= = = ∫ (1.4-2)
0
0 0
sin( / )2
·
( / )
n
n TA
a
T n T
πττ
πτ
= (1.4-3)
0=nb (1.4-4)
Reemplazando los coeficientes se obtiene:
0
0
10 0 0
sin( / )2
( ) cos( )
( / )n
n TA A
v t n t
T T n T
πττ τ
ω
πτ
∞
=
= + ∑ (1.4-5)
00
0 0
sin( / )
( )
( / )
jn t
n
n TA
v t e
T n T
ωπττ
πτ
∞
=−∞
= ∑ (1.4-6)
x
Sa(x)

9. Figura 1.4-1. a) Función Sampling. Sa(x) b) Espectro del tren de pulsos
1.51.5 Potencia normalizadaPotencia normalizada
Supóngase una señal v(t) aplicada a una resistencia de 1 [W], la potencia disipada
está dada por:
][
)t(v
P
Ω
=
1
2
(1.5-1)
0
0
2
2
0
2
1
( )
T
T
P v t dt
T −
= ∫ (1.5-2)
Entonces llamaremos a v2(t) Potencia normalizada. (Está referida a 1[W]).
Para la especificación de razones de potencia resulta conveniente adoptar la
siguiente simplificación:
1
2
10log [dB]
S
k
S
 
=  ÷
 
(1.5-3)
Donde S1 y S2, corresponden a potencias normalizadas de las señales s1(t) y s2(t).
La adopción de esta forma de especificación presenta dos ventajas destacables:
• Permite expresar razones muy grandes mediante números pequeños.
• Tratamiento de multiplicaciones a través de sumas y de divisiones a través
de restas.
De esta forma surgen dos especificaciones de potencia: dBm y dBW
[ ]
10log
1[ ]
P mW
dBm
mW
 
=  ÷
 
(1.5-4)

10. 





=
]W[
]W[P
logdBW
1
10 (1.5-5)
En la Tabla 1.5-1 se muestra una equivalencia entre % y dB.

11. Tabla 1.5-1. Comparaciones % v/s dB.
Ejemplo 1:Ejemplo 1:
1 [mW] ≈ 0 [dBm] ≈ -30 [dBW]
2 [mW] ≈ 3 [dBm] ≈ -27 [dBW]
4 [mW] ≈ 6 [dBm] ≈ -24 [dBW]
10 [mW] ≈ 10 [dBm] ≈ -20 [dBW]
100 [mW] ≈ 20 [dBm] ≈ -10 [dBW]
1000 [mW] ≈ 30 [dBm] ≈ 0 [dBW]
dB % dB % dB %
0 100 -20 1.000 -40 0.0100
-1 79.4 -21 0.794 -41 0.0079
-2 63.1 -22 0.631 -42 0.0063
-3 50.1 -23 0.501 -43 0.0050
-4 39.8 -24 0.398 -44 0.0040
-5 31.6 -25 0.316 -45 0.0032
-6 25.1 -26 0.251 -46 0.0025
-7 20.0 -27 0.200 -47 0.0020
-8 15.8 -28 0.158 -48 0.0016
-9 12.6 -29 0.126 -49 0.0013
-10 10.0 -30 0.100 -50 0.0010
-11 7.9 -31 0.079 -51 0.0008
-12 6.3 -32 0.063 -52 0.0006
-13 5.0 -33 0.050 -53 0.0005
-14 4.0 -34 0.040 -54 0.0004
-15 3.2 -35 0.032 -55 0.0003
-16 2.5 -36 0.025 -56 0.0003
-17 2.0 -37 0.020 -57 0.0002
-18 1.6 -38 0.016 -58 0.0002
-19 1.3 -39 0.013 -59 0.0001
-20 1.0 -40 0.010 -60 0.0001

12. )cos()(
)cos()(
0 θ+=
=
wtVtv
wtVtv
o
ii
Ejemplo 2:
Sea v1(t)=V1 sin (w1t) y v2(t)=V2 sin (w2t)
2
2
2
2
2
2
1
1
V
S
V
S
=
=






=






=












=






=
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
log20
log10
2
2log10
log10
V
V
K
V
V
V
V
K
S
S
K
Ejemplo 3:
Sea
Potencia real de entrada Potencia real de salida

13. i
i
i
R
V
P
2
2
=
o
o
o
R
V
P
2
2
=






=












=
oi
i
i
i
real
RV
RV
R
V
R
V
K 2
2
0
2
0
2
0
log10
2
2
log10
Si y sólo si R0 = Ri
onormalizad
i
real K
V
V
K =





= 0
log20
1.6 Potencia normalizada en expansión de FourierPotencia normalizada en expansión de Fourier
Si consideramos la expresión polar de la serie de Fourier:
( )∑
∞
=
−+=
1
00 cos)(
n
nn tncctv θω (1.6-1)
y de ella sólo la primera y segunda fundamental:
)2cos()cos()(' 0201 θωθω −+−= tctctv (1.6-2)
( )
0 0
0 0
2 2
22
1 0 2 0
0 0
2 2
1 1
' ' ( ) cos( ) cos(2 )
T T
T T
S v t dt c t c t dt
T T
ω θ ω θ
−
−
= = − + −∫ ∫ (1.6-3)
al ser los cosenos son ortogonales se da que:

14. ∑
∞
=
+=
1
2
2
0
2n
nc
cS (1.6-4)
Análogamente, utilizando la expresión tradicional:
∑∑
∞
=
∞
=
++=
1
2
1
2
2
0
22 m
m
n
n ba
aS (1.6-5)

15. Y mediante la expresión exponencial:
0
( ) jn t
nv t V e ω
∞
−∞
= ∑ (1.6-6)
∑
∞
−∞=
−=
n
nn V·VS (1.6-7)
∑
∞
−∞=
=
n
n |V|S 2
(Teorema de Parseval) (1.6-8)
1.7.1 Densidad espectralDensidad espectral
La densidad espectral de una señal caracteriza la distribución de la señal de
energía o potencia en el dominio de la frecuencia.
Este concepto es particularmente importante cuando se considera el filtraje en
sistemas de comunicación. Es necesario saber evaluar la señal y el ruido a la
salida del filtro. Para tal efecto se utilizan las señales de potencia o energía.
• Diferencia entre una señal de potencia y energía
Anteriormente se definió la potencia normalizada como:
0
0
2 2
2
0
2
( ) 1
( )
1[ ]
T
T
x t
P x t dt
T −
= =
Ω ∫ (1.7.1-1)
Representando la energía disipada durante un intervalo [-T0/2, T0/2] por una señal
real que tiene por potencia instantánea x2
(t).
De la misma forma, se puede definir la energía disipada en el período como
2
2
2
( )
T
T
x
T
E x t dt
−
= ∫ (1.7.1-2)

16. El rendimiento en comunicaciones está dado por la detección de señales de
energía. La energía transmitida es quien realiza el trabajo; la potencia es la
razón a la cual la energía es liberada. Es decir, la potencia determina el
voltaje que debe ser aplicado para transmitir y la intensidad de los campos
electromagnéticos.
••Señales de EnergíaSeñales de Energía
Se define a x(t) si y sólo si tiene no cero, pero finita energía para todo tiempo t.
2
2
2
( )
T
x T
T
E lím x t dt→∞
−
= ∫ (1.7.1-3)
••Señales de PotenciaSeñales de Potencia
Con el objeto de trabajar con señales periódicas y aleatorias, las cuales poseen
energía infinita, es necesario definir una nueva clase de señal: señal de potencia.
x(t) será una señal de potencia, si y sólo si tiene potencia no nula, pero
finita, para todo tiempo t.
2
2
2
1
( )
T
x T
T
S lím x t dt
T
→∞
−
= ∫ (1.7.1-4)
Las señales de potencia y energía son mutuamente excluyentes. A modo práctico
se puede decir:
Señales de energía : Determinísticas y no-periódicas.
Señales de potencia : Aleatorias y periódicas

17. 1.7.2 Densidad espectral de potenciaDensidad espectral de potencia
La Figura 1.7.2-1 muestra la potencia normalizada de una señal v(t) mediante el
teorema de Parseval.
Figura 1.7.2-1 Densidad espectral de potencia normalizada
Si se intenta graficar la S(f) en función de la frecuencia se obtiene
:

18. Figura 1.7.2-2. S(f) en función de la frecuencia
Como se pudo apreciar, resulta mucho más cómodo definir la densidad espectral
de potencia, como la potencia normalizada en un rango df a frecuencia f.
La potencia normalizada dS(f) está dada por:
df
df
fdS
fdS ·
)(
)( = (1.7.2-1)
Se define entonces como densidad espectral de potencia a
df
fdS
fG
)(
)( = (1.7.2-2)
de donde resulta
∫
∞
∞−
= dffGS )( (1.7.2-3)
Luego, la potencia normalizada en un intervalo de tiempo, se puede definir como
:
∫∫ +=≤≤
−
−
2
1
1
2
)()()||( 21
f
f
f
f
dffGdffGfffS (1.7.2-4)
Para obtener la densidad espectral de potencia se debe diferenciar S(f) haciendo
G(f)=0 entre armónicas, con fuerza igual al salto en S(f), es decir:
∑
∞
−∞=
−=
n
n nffVfG )(||)( 0
2
δ (1.7.2-5)
1.8 Transformada de FourierTransformada de Fourier
Consideramos una señal periódica, cuya representación espectral son impulsos de
frecuencia n/T0. Si T0→∞, implica que f0→0, por lo tanto, las frecuencias de las
componentes espectrales pasan de ser una variable discontinua, a una variable

19. continua. En otras palabras, la sumatoria de la serie de Fourier Exponencial pasa
a ser una integral:
( ) ( ) j t
F f f t e dtω
∞
−
−∞
= ∫ (1.8-1)
1
( ) lim ( ) ( )
2
j t
T
T
f t f t F j e dω
ω ω
π
∞
−∞→∞
= = ∫ (1.8-2)
A continuación se exhiben algunas de las propiedades de la transformada de
Fourier, junto a transformaciones de algunas señales simples.
Tabla 1.8-1 Propiedades de la transformada de Fourier

20. *Tabla extraída del libro de análisis de Sistemas Lineales, Ricardo Rojas Reischel.
Tabla 1.8-2 Transformada de Fourier
*Tabla extraída del libro de análisis de Sistemas Lineales, Ricardo Rojas Reischel.
La transformada de Fourier de una señal sinusoidal (u otra señal
periódica), consiste en impulsos localizados en cada frecuencia armónica
de la señal. La fuerza (energía) de cada impulso es igual a la amplitud del
coeficiente de la serie en la forma exponencial

21.  Ejemplo
Determinar la Transformada de Fourier de una señal cosenoidal.
Sea v(t)=cos(ωot)
V(f)=F[v(t)], transformada de Fourier de la señal v(t).
Mediante Euler, se obtiene la representación en Serie exponencial
de la señal v(t):
tjtj
eetv 00
2
1
2
1
)( ωω −
+=
Los coeficientes de esta serie quedan definidos según:
1 1 1/ 2
0 1n
V V
V n
−= =
= ∀ ≠ ±
Aplicando la definición de la transformada de Fourier a la señal v(t) se logra:
∫∫
∫
∫
∞
∞−
+−
∞
∞−
−−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
+=
=
=
dtedtefV
dtetfV
dtetvfV
tffjtffj
ftj
ftj
)(2)(2
2
0
2
00
2
1
2
1
)(
)cos()(
)()(
ππ
π
π
ω
Resolviendo las integrales se llega al resultado final:
)(
2
1
)(
2
1
)( 00 fffffV ++−= δδ

22. Figura 1.8-1. Espectro de una señal cosenoidal.
 Ejemplo.
Una señal m(t) se multiplica por una sinusoidal de frecuencia fc. Determinar la
Transformada de Fourier (TF) del producto.
Solución:
)2cos()()( tftmtv cπ=
La TF de m(t) es M(f)
∫
∞
∞−
−
= dtetmfM ftj π2
)()(
Dado que
tfjtfj cc
etmetmfttm ππ
π 22
)(
2
1
)(
2
1
)2cos()( −
+=
Entonces
∫∫
∞
∞−
−−
∞
∞−
+−
+= dtetmdtetmfV tffjtffj cc )(2)(2
)(
2
1
)(
2
1
)( ππ
-f0
f0
f
|V(f)|

23. Luego reemplazamos M(f) en la ecuación anterior y obtenemos:
)(
2
1
)(
2
1
)( cc ffMffMfV −++=
Figura 1.8-2. Espectro de la multiplicación por coseno.
1.91.9 ConvoluciónConvolución
Sean:
)()]([ 11 fVtv =ℑ (1.9-1)
)()]([ 11 fVtv =ℑ (1.9-2)
El Teorema de convolución indica que al existir un v(t) que cumpla con:
Solución: )2cos()()( tftmtv cπ=
∫
∞
∞−
−
= dtetmfM ftj π2
)()(
tfjtfj cc
etmetmfttm ππ
π 22
)(
2
1
)(
2
1
)2cos()( −
+=
entonces ∫∫
∞
∞−
−−
∞
∞−
+−
+= dtetmdtetmfV tffjtffj cc )(2)(2
)(
2
1
)(
2
1
)( ππ
Luego reemplazamos M(f) en la ecuación anterior y obtenemos:)(
2
1
)(
2
1
)( cc ffMffMfV −++=

24. )()·()]([ 21 fVfVtv =ℑ (1.9-3)

25. v(t) puede ser determinado mediante la integral de convolución según:
∫
∞
∞−
−= τττ dtvvtv )()()( 21 (1.9-4)
o su forma equivalente:
∫
∞
∞−
−= τττ dtvvtv )()()( 12 (1.9-5)