Breve explicación de cómo construir funciones a través de una serie geométrica

1. SERIES DE POTENCIAS GEOMÉTRICAS

2. CONTENIDO
1 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
2 OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIAS

3. Objetivos
1 Encontrar una serie de potencias geométricas que represente
una función.
2 Construir una serie de potencia utilizando series de
operaciones.

4. Introducción
En esta presentación se estudiarán varias técnicas para encontrar
una serie de potencia que represente a una función

5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Definición
Una serie de potencia en x puede verse como una función de x, tal
que
f(x) =
∞
∑
n=0
cn(x−a)n
donde el dominio de f(x) es el conjunto de todas las x para que
la serie de potencia sea convergente.

6. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Series de Potencias Geométricas

7. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Definición
Considere la función
f(x) =
1
1−x
Al observar detenidamente a f(x) se concluye que se parece a la
suma de la serie de Geométrica
∞
∑
n=0
a·rn
=
a
1−r
|r| < 1

8. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Es decir, si se considera a
a = 1 y r = x
entonces una representación de la función
f(x) =
1
1−x
en forma de Serie de Potencia centrada en cero, es
f(x) =
1
1−x
=
∞
∑
n=0
xn

9. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Nota
Toda función Serie de Potencia puede verse como una función
polinómica de infinitos términos.
Es decir,
f(x) =
1
1−x
=
∞
∑
n=0
xn
= 1+x+x2
+x3
+x4
+···

10. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Ejemplo
Exprese la función
f(x) =
1
1+x
como una Serie de Potencia

11. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Solución
Al reescribir la función f(x), se tiene que
f(x) =
1
1+x
=
1
1−(−x)
Por lo cual, r = −x
f(x) =
1
1−(−x)
=
∞
∑
n=0
(−x)n
=
∞
∑
n=0
(−1)n
·xn

12. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Con base en lo anterior, dado que
f(x) =
1
1+x
=
∞
∑
n=0
(−1)n
·xn
Entonces, la expresión polinómica que la representa es
f(x) = 1−x+x2
−x3
+x4
−x5
+···

13. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Ejemplo
Exprese la función
f(x) =
1
2−x
como una Serie de Potencia

14. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Solución
Al reescribir la función f(x), se tiene que
f(x) =
1
2−x
=
1
2 1− x
2
=
1
2
·
1
1− x
2
Por lo cual, r = x
2
f(x) =
1
2
·
1
1− x
2
=
1
2
·
∞
∑
n=0
x
2
n
=
1
2
·
∞
∑
n=0
xn
2n
=
∞
∑
n=0
xn
2n+1

15. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Con base en lo anterior, dado que
f(x) =
1
2−x
=
∞
∑
n=0
xn
2n+1
Entonces, la expresión polinómica que la representa es
f(x) =
1
2
+
1
4
x+
1
8
x2
+
1
16
x3
+···

16. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Ejemplo
Exprese la función
f(x) =
x3
1−x
como una Serie de Potencia

17. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE POTENCIAS
Solución
f(x) =
x3
1−x
= x3
·
1
1−x
= x3
·
∞
∑
n=0
xn
=
∞
∑
n=0
xn+3
= x3
+x4
+x5
+x6
+···

18. OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIAS
Operaciones con Series de Potencia

19. OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIAS
Operaciones con series de potencia
Sean
f(x) =
∞
∑
n=0
anxn
y g(x) =
∞
∑
n=0
bnxn
1 f(kx) =
∞
∑
n=0
an (kx)n
=
∞
∑
n=0
an ·kn ·xn
2 f(xk) =
∞
∑
n=0
an xk
n
=
∞
∑
n=0
an (x)kn
3 f(x)±g(x) =
∞
∑
n=0
(an ±bn)xn

20. OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIAS
Ejemplo
Si
f(x) =
1
1+x
=
∞
∑
n=0
(−1)n
xn
y sustituyendo 5x por x se obtiene
f (5x) =
1
1+5x
=
∞
∑
n=0
(−1)n
·(5x)n
=
∞
∑
n=0
(−1)n
·5n
·xn

21. OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIAS
Ejemplo
Si
f(x) =
1
1−x
=
∞
∑
n=0
xn
y sustituyendo x2 por x se obtiene
f x2
=
1
1−x2
=
∞
∑
n=0
x2
n
=
∞
∑
n=0
x2n