Métodos de diseño filtros IIR (PDS)

MÉTODOS DE DISEÑO
FILTROS IIR
PRODUCTO MULTIMEDIA
Abril 2023

• Qué es
• Aplicaciones
01 02
Bessel
03
Butterworth
04
Chebyshev tipo I y
Chebyshev tipo II
INTRODUCCIÓN FILTROS
IIR FILTRO 1:
FILTRO 2:
FILTRO 3:
INTEGRANTES
• Melanie Gabriela Polo Gómez
• Daniel Santiago Vargas Jiménez
• Michael Alexander Bravo Tapias
• Oscar Andrés Páez Casas
ÍNDICE
05
Elíptico
06
Conclusiones
FILTRO 4: EJEMPLOS DE FILTRADO

INTRODUCCIÓN
FILTROS IIR
Qué son y aplicaciones
01

FILTROS IIR
“Infinite Impulse Response”
• Es aquel que tiene una respuesta
infinita al impulso y se caracterizan
por tener una retroalimentación de la
señal de salida.
• La salida es función no sólo de
la entrada actual y de las
precedentes, sino también de las
salidas anteriores:
Figura 1. Ejemplificación respuesta infinita al impulso
Figura 2. Ejemplo Estructura IIR
1. Donde “a” y “b” son los coeficientes del filtro y el # de coeficientes puede
ser pequeño.
2. “M” y “N” determinan la cantidad de polos y ceros en la tf.
Figura 3. Expresión matemática de los filtros IIR

FILTROS IIR
“Infinite Impulse Response”
• Los polos y ceros determinan la estabilidad y causalidad del
sistema.
Figura 4. Polos y ceros en circulo unitario
1. Fase mínima, sistema estable y causal: todos los ceros y
polos en el interior de la circunferencia unitaria.
VENTAJAS:
MAYOR
EFICIENCIA
COMPUTACIONAL
Menos coeficientes
Menor cantidad de
cálculos necesarios
MEJOR
RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Mayor selectividad
en la frecuencia
Eliminación de
frecuencias no
deseadas
MAYOR
FLEXIBILIDAD EN
EL DISEÑO
Amplia gama de
respuestas en
frecuencia
2. Fase mínima: todos los ceros en el exterior.
3.Sistema inestable: algún polo se encuentra fuera
de la circunferencia unitaria.

Los filtros IIR se utilizan para eliminar
ruido de fondo, mejorar la calidad de
la señal, y para separar diferentes
frecuencias en una señal de audio, por
ejemplo en la ecualización de sonido.
APLICACIONES
Se utilizan para eliminar ruido,
suavizar la imagen, mejorar el
contraste, detectar bordes y para
otros procesos de procesamiento
de imágenes.
PROCESAMIENTO DE
SEÑALES DE AUDIO
PROCESAMIENTO DE
SEÑALES DE IMAGEN
En aplicaciones médicas, los filtros IIR
se utilizan para procesar señales
biológicas como electrocardiogramas
(ECG), electroencefalogramas (EEG),
electromiogramas (EMG), y otras
señales bioeléctricas.
PROCESAMIENTO DE
SEÑALES BIOLÓGICAS
Se utilizan en la transmisión y recepción de señales
de radio, televisión y comunicaciones móviles para
separar las diferentes señales y eliminar el ruido.
PROCESAMIENTO DE SEÑALES
DE COMUNICACIONES
Los filtros IIR se utilizan en la industria para
controlar procesos, como en el control de
temperatura, la medición de niveles, el control de
flujo, entre otros
CONTROL DE PROCESOS

APLICACIONES MÉTODOS DE DISEÑO DE
FILTROS IIR MÁS COMUNES:
BUTTERWORTH
Aplicación: Respuesta
de frecuencia suave y
no requiere una alta
selectividad.
CHEBYSHEV TIPO I
Aplicación: Alta
selectividad y
ondulaciones en banda
de paso no son un
problema.
CHEBYSHEV TIPO II
Aplicación: Alta
selectividad y las
ondulaciones en banda
de paso no son
deseables.
ELÍPTICO
Aplicación: Alta
selectividad y se puede
tolerar un poco de
distorsión en la banda
de paso.

Técnicas de filtrado Descripción
Prototipado
analógico
Obtener un filtro digital mediante la transformación de
la frecuencia y discretización del filtro, a partir de los
polos y ceros de un filtro paso bajo clásico de
prototipado en el dominio continuo (Laplace).
Diseño directo Diseño de un filtro digital en el dominio del tiempo
discreto, mediante la aproximación de una respuesta
de magnitud lineal a trozos.
Diseño Butterworth
generalizado
Filtros Butterworth paso bajo con más ceros que
polos. Se basa en la transformación de frecuencia,
que se utiliza para mapear la respuesta de frecuencia
deseada del filtro a la respuesta de frecuencia
Butterworth.
Modelado
paramétrico
Filtro con aproximación a una respuesta prescrita en
el dominio de tiempo o frecuencia. Técnica que se
basa en el modelado de la respuesta de frecuencia
del filtro utilizando una función matemática
paramétrica.
MÉTODOS DE FILTRADO
Técnica de
mapeo
analógico a
digital:
transformación
en frecuencia o
transformación
bilineal.
Ajuste de
parámetros
para
satisfacer
especificaci
ones de
diseño
Elección
plantilla filtro
analógico
con
frecuencia
deseada.
Ej: Estructura
de filtro de
primer orden,
en cascada o
en paralelo..
Implementa
r en una
estructura
de filtro
digital
Diseñar
ecuación en
diferencias
del filtro.
Filtro
resultante con
respuesta de
frecuencia en
banda de
paso, caída
suave en
banda de
rechazo.
Diseño filtro
utilizando
técnicas como el
método de la
ventana el
método de la
respuesta de
impulso finito
(FIR).
Transforma
ción en
frecuencia.
Ajuste de
parámetros
mediante
método de
mínimos
cuadrados o
gradiente
descendente.
Modelar la
respuesta
en
frecuencia
del filtro.
Utilización
función
matemática
paramétrica.

Nombrado en honor al astrónomo y matemático Friedrich Bessel ya que para poder usar el filtro es necesario los
coeficientes de los polinomios de Bessel. Fue diseñado para tener una fase lineal en las bandas pasantes, por lo que
no distorsionan las señales, sino que tienen una mayor zona de transición entre las bandas pasantes y no pasantes.
Una de sus aplicaciones más frecuentes es para el filtrado de aplicaciones de audio y comunicaciones ya que al ser un
filtro pasa bajos reduce la inferencia de las altas frecuencias.
• El filtro de Bessel tiene dos propiedades importantes, la primera es que
posee una respuesta más suave a comparado a otros filtros, es decir,
que la respuesta en frecuencia tiene menos ondulaciones y
atenuaciones.
• Posee una respuesta lineal, lo que hace importante para aplicaciones
de filtrado ya que la señal de salida posee la misma forma de la señal
original.
FILTRO BESSEL
• Su respuesta en frecuencia es:
Donde
N: orden del filtro
Y el denominador es un
polinomio de Bessel, cuyos
coeficientes son:
Figura 5. Respuesta en magnitud Teórica filtro Bessel en comparación
con otros métodos

El filtro de Bessel se puede realizar de muchas
maneras. se puede implementar un método analítico,
donde se utiliza la función de transferencia de
Bessel.
1. Se calcula la frecuencia de corte deseada wn.
2. Se calcula la constante K para una amplitud de
señal de 1 en la frecuencia de corte wn.
3. Implementando la función de transferencia y una
técnica de descomposición de polinomios se
calculan los coeficientes del filtro.
Para el diseño de un filtro de Bessel se debe de tener en cuenta que el orden será terminado por las
especificaciones que le demos, pero también se puede llegar a definir.
Otra manera de calcular el filtro de Bessel es por
medio aproximaciones que se basa en utilizar una
función polinomica de orden N.
1. Se selecciona al gusto una aproximación de
polinomio, puede ser de Chebyshev o
ButterWorth.
2. Se calculan los coeficientes del polinomio con
técnicas de optimización.
3. Los coeficientes del polinomio se transforman a
coeficientes del filtro por medio de
un transformación de frecuencia .

EJEMPLO: Bessel Pasa alto
● Orden N= 2
● Frecuencia de corte (fc)=100 Hz
● Frecuencia de muestreo (fs)=1000 Hz
Requerimientos de diseño:
Análisis:
• La magnitud se puede ver como un filtro normal
gracias a sus propiedades de suavidad en la
atenuación y linealidad.
• La señal de filtro se atrasará en la salida solo al inicio
del filtrado pero a medida que aumenta la frecuencia, la
señal no presentará un mayor atraso.
• Hay una caida de amplitud suave a medida que la
frecuencia disminuye. • Fase lineal a lo largo de la banda de paso, entonces la
señal se desplaza de manera constante a medida que la
frecuencia aumenta.
Figura 6. Ejemplo No 1: Filtro Bessel Pasa alto

EJEMPLO: filtro de Bessel de paso banda
Diseñe un filtro de Bessel de paso banda de 12.º orden con
una banda de paso que oscile entre 300 rad/s y 500 rad/s.
Calcule la respuesta de frecuencia del filtro.
Código en Matlab:
• Las frecuencias dentro de la banda de paso se
transmiten sin atenuación significativa.
Análisis:
• Hay una respuesta de fase lineal en la banda de
paso, por lo tanto, las diferentes frecuencias de una
señal de entrada se retrasan en la misma cantidad al
pasar por el filtro.
• La respuesta en magnitud y fase cambian
suavemente; la transición de la banda de
paso a la de rechazo es suave y gradual.
• Banda de transición más amplia que la de otros filtros,
entonces el filtro tiene una selectividad menor.
Figura 7. Ejemplo No 2: Filtro Bessel pasa banda

FILTRO BUTHERWORTH
Filtro No 2
03

FILTRO BUTTERWORTH
• Los filtros Butterworth no tienen rizado ni en la pasa
banda ni en detiene banda. Debido a la falta de rizado,
también se le conoce como filtro máximamente plano. Su
respuesta de frecuencia se caracteriza por su respuesta
suave a todas las frecuencias.
• Las ventajas del filtro Butterworth es que es suave, la
respuesta de la frecuencia decrece monótonamente en la
región de transición. Como se puede ver en la figura,
cuanto mayor sea el orden del filtro más brusca es la
transición.
Filtro electrónico diseñado para tener una respuesta de frecuencia específica en la
banda de paso y banda de rechazo.
Desarrollado por el físico británico Stephen Butherworth en la década de 1840.
Figura 8. Respuesta en magnitud Teórica filtro Butterworth

FILTRO DE BUTTERWORTH
• Únicamente posee polos y el cuadrado de la
magnitud de la función de transferencia (para el
filtro paso bajo de ganancia unitaria en la banda de
paso) es:
Donde
N: orden del filtro
𝒘𝑪: frecuencia de corte
w: frecuencia angular
• La función de transferencia para un filtro pasabajos es:
Donde 𝒔𝒌: polos del filtro
• El denominador de la ft es un
polinomio de Butterworth,
escritos con coeficientes reales
con 4 dígitos decimales y
normalizados con 𝒘𝑪=1 :

EJEMPLO: filtro Butterworth pasa bajo
● Orden N= 6
● Frecuencia de corte (fc): 300 Hz
● Frecuencia de borde de banda de parada (fc)=
0.6pi rad/muestra
• La frecuencia de corte se da efectivamente a los 300
Hz, es decir que se atenúa la ganacia a partir de esta
frecuencia.
Análisis:
• Todas las frecuencias dentro de la banda de paso se
atenúan de forma uniforme, sin ningún rizado.
• Respuesta de fase lineal en la banda de paso, por lo tanto,
todas las frecuencias dentro de la banda de paso
experimentan el mismo retardo de fase.
Figura 9. Ejemplo No 3: Filtro Butterworth pasa bajo

EJEMPLO: filtro Butterworth rechaza banda
● Orden N= 6
● Frecuencia de borde: 0.2pi y 0.6pi rad/muestra
• Se puede observar que es un filtro pasa bajos y
pasa altos ya que tiene que elimininar solamente
una banda de la frecuencia normalizada.
• Tiene una fase lineal en la banda de paso y la banda
de rechazo, en donde la primera significa que la señal
de salid no se distorsiona debido a la fase, mientras
que la fase lineal en la banda de rechazo indica que
las frecuencias en la banda están suprimidas sin
distorsión de fase.
Análisis:
Figura 10. Ejemplo No 4: Filtro Butterworth rechaza banda

FILTRO CHEBYSHEV
Filtro No 3
04

FILTRO CHEBYSHEV
Filtro electrónico diseñado para tener una respuesta de frecuencia específica en la
banda de paso y banda de rechazo.
Desarrollado por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev en la década de 1850.
Se caracteriza por tener una respuesta de
frecuencia con una cantidad controlada de
rizado en la banda de paso.
Transición más abrupta entre banda de
paso y banda de rechazo en
comparación con otros filtros.
• Se clasifican en dos tipos (dependiendo del rizado en alguna banda
determinada): tipo I y tipo II
• Caída de la respuesta en frecuencia más pronunciada en frecuencias
bajas.
• Los polos se distribuyen sobre una elipse, mientras los ceros se
encuentran en el eje imaginario.
Figura 11. Respuesta en magnitud Teórica filtro Chebyshev

FILTRO CHEBYSHEV TIPO I
• En este tipo de filtro, la respuesta de
frecuencia tiene un mayor rizado en la
banda de paso y una transición
abrupta a la banda de rechazo.
• Únicamente tienen polos. La respuesta
en frecuencia se ve expresada
mediante la ecuación:
Donde
N: orden del filtro
𝜴𝑪: frecuencia de corte
Ω: frecuencia analógica compleja (Ω=jw)
𝑻𝑵 𝒙 : polinomio de Chebyshev de orden N y se define como
• La frecuencia de corte no depende de N y rizado oscila entre 1 y
Figura 12. Respuesta en magnitud Teórica filtro Chebyshev Tipo I

EJEMPLO: Chebyshev Tipo I paso bajo
● Orden N= 6
● Atenuación de banda de paso: 50 dB
● Frecuencia de borde de banda de parada
(fc)=300 Hz
• Respuesta en magnitud
mayor a la atenuación
especificada en el diseño.
• Respuesta en magnitud con rizado
en banda de paso, pero pendiente
de atenuación más pronunciada.
• La fase del filtro cambia bruscamente
en la banda de paso y es no lineal.
Análisis:
Figura 13. Ejemplo No 5: Filtro Chebyshev Tipo I pasa bajo

FILTRO CHEBYSHEV TIPO II
• En este tipo de filtro, la respuesta de
frecuencia tiene un rizado constante
en la banda de rechazo y una caída
monotónica en la banda pasante.
• Presentan ceros y polos. Su respuesta
en frecuencia es:
Donde
N: orden del filtro
𝜴𝑪: frecuencia de corte
𝑻𝑵 𝒙 : polinomio de Chebyshev de orden N y se define como
• La frecuencia de corte no depende de N y rizado oscila entre 1 y
Figura 14. Respuesta en magnitud Teórica filtro Chebyshev Tipo II

EJEMPLO: Chebyshev Tipo II paso bajo
● Orden N= 6
● Atenuación de banda de parada: 50 dB
(fc)=300 Hz
• Respuesta en magnitud mayor a la atenuación
• Respuesta en magnitud cae rápidamente en la
banda de paso y respuesta en magnitud con rizado
a partir de frecuencia de corte.
• La fase del filtro cambia bruscamente en la
banda de transición, por lo tanto, hay una
respuesta transitoria rápida.
Análisis:
• La banda de transición es ancha y banda de
paso plana.
Figura 15. Ejemplo No 6: Filtro Chebyshev Tipo II pasa bajo

EJEMPLO: Chebyshev Tipo II paso bajo
● Orden N= 12
● Atenuación de banda de parada: 50 dB
(fc)=300 Hz
• Respuesta en magnitud mayor a la atenuación
• Entre mas grande sea el orden del filtro, mayor
es el número de oscilaciones en la banda de
rechazo.
• La fase del filtro cambia rápidamente, y dentro
de un menor rango de frecuencias. A mayor
orden, la respuesta transitoria es mucho más
rápida.
Análisis:
• La entrada de frecuencia a la función de diseño Chebyshev Tipo II
establece el comienzo de la banda de parada en lugar del final de la
banda de paso.
Figura 16. Ejemplo No 7: Filtro Chebyshev Tipo II pasa bajo (mayor orden)

FILTRO ELÍPTICO
Filtro No 4
05

Filtro Elíptico
Estos filtros están diseñados con la finalidad de reducir la
zona de transición entre bandas y disminuir el rizado en
esas bandas.
También llamado filtro Cauer por el matemático
Alemán Wilhelm Cauer.
Consiguen estrechar la zona de transición entre bandas y,
además, acotando el rizado en esas bandas. La diferencia
con el filtro de Chevyshev es que este sólo lo hace en una
de las bandas.
Figura 17. Respuesta en magnitud Teórica filtro Elíptico

Ventajas Desventajas
Presenta rizado tanto en la banda de paso como
en la banda de atenuación. Este tipo de filtro se
acerca mucho al comportamiento ideal, ya que su
banda de transición tiene una disminución muy
rápida. Una de sus principales ventajas es su
abrupta transición entre la banda de paso y la
banda de supresión.
Su cálculo requiere de funciones elípticas,
lo que hace que su función de
transferencia sea más complicada de
resolver.
Nota: Por lo general, cumplen los requisitos de filtrado con el orden más bajo de cualquier
tipo de filtro admitido. Dado un orden de filtro n, una ondulación de la banda de paso Rp en
decibelios y una ondulación de la banda de parada Rs en decibelios, los filtros elípticos
minimizan la anchura de la transición.
∣H(jΩ)∣=10 −Rp/20 en Ω = 1.

Cálculos: Sintaxis en Matlab:
Respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajo elíptico:
Donde
N: orden del filtro
frecuencia de corte
función jacobiana elíptica de orden N,
normalmente de primera clase:

Ejemplo de filtro Elíptico paso bajo
Diseñe un filtro elíptico paso bajo de 6.º orden con 10 dB de ondulación
de la banda de paso, 50 dB de atenuación de la banda de parada y una
frecuencia de borde de la banda de paso de 300 Hz, que, para datos
muestreados a 1000 Hz, corresponde a 0.6π rad/muestra. Represente
sus respuestas de magnitud y fase. Utilícelo para filtrar una señal
aleatoria de 1000 muestras.
Código en matlab:
fc = 300;
fs = 1000;
[b,a] = ellip(6,10,50,fc/(fs/2));
freqz(b,a,[],fs)
subplot(2,1,1)
ylim([-100 20])
dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);
Análisis:
• Las frecuencias dentro de la banda de paso se
transmiten sin atenuación significativa.
• En la banda de rechazo, la respuesta en magnitud cae
rápidamente; banda de transición pequeña.
• Puede tener una fase no lineal en la banda de paso y
una fase lineal en la banda de rechazo.
Figura 18. Ejemplo No 8: Filtro Elíptico paso bajo

Ejemplo de filtro Elíptico rechaza banda
Diseñe un filtro elíptico eliminador de banda de 6.º orden con
frecuencias de borde normalizadas de 0.2π y 0.6π rad/muestra, 5 dB
de ondulación de la banda de paso y 50 dB de atenuación de la
banda de parada. Represente sus respuestas de magnitud y fase.
Utilícelo para filtrar datos aleatorios.
Código en Matlab:
[b,a] = ellip(3,5,50,[0.20.6],'stop');
freqz(b,a)
dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);
• Banda de rechazo muy pronunciada y rizado
moderado en la banda de paso.
Análisis:
• La magnitud de la respuesta en frecuencia en la
banda de rechazo disminuye rápidamente, entonces
el filtro es capaz de atenuar eficazmente las señales
en la banda de rechazo.
• Respuesta de fase no lineal en la banda de
paso y la banda de rechazo.
Figura 19. Ejemplo No 9: Filtro Elíptico rechaza banda bajo

CONCLUSIONES
1 2 3 4
La elección del método y tipo de
filtro IIR a utilizar dependerá de
las necesidades específicas de la
aplicación, como la frecuencia de
corte, la atenuación requerida, la
preservación de la fase de la
señal, etc.
Los filtros IIR pueden ser
más susceptibles al
desbordamiento o saturación
debido a la retroalimentación
en su implementación, por lo
que es importante tener en
cuenta la precisión numérica
en su implementación.
El rizado producido por un filtro
Chebyshev, en la banda de
paso o de rechazo, puede
generar una transición más
abrupta, por lo tanto, si se
requiere una atenuación rápida
de la frecuencia, este filtro
sería una buena opción.
El rizado en la banda de paso
o rechazo puede ser un
problema en aplicaciones que
requieran una respuesta de
frecuencia lo más plana posible
(ej: reproducción de música).
Dicho esto, se considera más
conveniente implementar un
filtro Butterworth o elíptico, en
vez de Chebyshev.
5
Si se requiere un filtro con una
respuesta de fase lineal en la
banda de paso, un filtro Bessel
puede ser la mejor opción.
05

CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, and
includes icons by Flaticon, and infographics & images by Freepik
GRACIAS!
PDS 2023-1

REFERENCIAS
● https://la.mathworks.com/help/signal/ug/iir-filter-design.html
● https://es.slideshare.net/kevinXD123/ss-cap8-diseno-filtros-iir
● https://prezi.com/nrti5k7hcqba/pdss-filtros/
● https://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_de_Chebyshev
● https://la.mathworks.com/help/signal/ref/ellip.html
● https://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_de_Cauer
● http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/especial/bessel/bessel.html
● https://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_de_Bessel

Métodos de diseño filtros IIR (PDS)

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Métodos de diseño filtros IIR (PDS)

Similar a Métodos de diseño filtros IIR (PDS) (20)

Último

Último (20)

Métodos de diseño filtros IIR (PDS)