Los filtros digitales se usan para separar o restaurar señales. Existen dos tipos principales: FIR e IIR. Los FIR usan convolución y tienen respuesta al impulso finita, mientras que los IIR usan ecuaciones recursivas y tienen respuesta al impulso infinita. Ambos tipos pueden implementarse en el dominio del tiempo o la frecuencia y tener diferentes estructuras como directa, cascada o paralela.

1. U3. Filtros digitales
Erwin Romero García

2. Introducción
• Para poder procesar señales, necesitamos diseñar e implementar
sistemas llamados filtros (o analizadores de espectro en algunos
contextos)

3. Conceptos básicos
• Los filtros son herramientas muy útiles en PDS
• Sirven principalmente para 2 actividades:
• Separar señales,
• Restaurar (arreglar, corregir, limpiar) señales
• Existen dos grandes tipos: digitales y analógicos
• Los filtros analógicos son mas baratos y rápidos; los digitales tienen
mucho mejor desempeño que los analógicos.

4. • Las entradas y salidas de los filtros se representan en el dominio del
tiempo (o su equivalente, ejemplo espacio)
• La manera mas fácil de implementar un filtro es convolucionar la
señal de entrada con la respuesta al impulso del filtro.

6. Ejemplo de filtrado

7. Tipos de filtros digitales
• Implementados en el dominio de la frecuencia
• Implementados en el dominio del tiempo.

8. Filtros digitales implementados en el dominio
de la frecuencia
• Dada x(n), se calcula su transformada rápida de Fourier (FFT), X(u) la
cual se multiplica por un kernel y al resultado se le obtiene su FFT
inversa .
• No pueden usarse en “tiempo real”

9. Filtros digitales implementados en el dominio
del tiempo
• Pueden usarse en tiempo real
• Hay de dos tipos:
• Por convolución (FIR – Finite impulse response)
• Recursivos (IIR – Infinite impulse response)

10. Elementos de un filtro
• Sumador: Este elemento tiene dos entradas y una salidas. La adición
de tres o mas señales es implementada como un arreglo sucesivo de
dos entradas de sumadores.

11. • Multiplicador (ganancia). Este tiene una sola entrada y una salida
• Elemento de retardo (shifter o memoria). Este elemento retrasa la
señal que pasa a través de el por una muestra.

12. Filtros IIR
• Utilizan ecuaciones recursivas del tipo
• Este tipo de filtros presenta una respuesta al impulso que decae en
amplitud infinitamente, por eso se le conocen como filtro IIR (Infinite
Impulse Response)

13. • La función del sistema de un filtro IIR esta dada por
• Donde bn y an son los coeficientes del filtro.
• El orden del filtro es llamado de N si aN ≠ 0

14. • La ecuación en diferencias para representar un filtro IIR se expresa
como:

15. Estructuras para implementar el filtro IIR
• Forma directa: En esta forma la ecuación en diferencias es
implementada directamente como se da.
• Forma de cascada: En esta forma la función del sistema H(z) en la
ecuación es factorizada en secciones de segundo orden mas
pequeñas. Entonces la función del sistema será el producto de estas
nuevas secciones, las cuales se colocan como un arreglo en cascada

16. • Forma paralela: Después de la factorización del sistema se utiliza una
representación en de fracciones parciales para representar H(z) como
una suma de secciones más pequeñas de segundo orden. Cada una se
estas secciones es implementada de forma directa y la función
completa del sistema es implementada como una red de secciones en
paralelo

17. Ejemplo
Forma directa estructura I

18. Forma directa estructura II

19. Forma de cascada

20. Forma paralela

21. Filtros FIR
• Los filtros que se implementan con convolución realizan sumas de
multiplicaciones ponderadas entre la señal y el kernel. La respuesta al
impulso de este tipo de filtros es finita, por lo que se conocen como
filtros FIR (Finite impulse response)

22. • La respuesta al impulso de un filtro de duración finita tiene una
función de la forma:

23. • Y su representación como una ecuación en diferencias esta dada por:

24. Estructuras de representación
• Forma directa: En esta forma la ecuación en diferencias es
implementada directamente como se da
• Forma de cascada: En esta forma la función del sistema H(z) es
factorizada en factores de segundo orden los cuales son
implementados en una conexión en cascada

25. • Forma de fase lineal: Cuando el filtro tiene una repuesta de fase, su
respuesta al impulso muestra ciertas condiciones de simetría, las
cuales ayudan a reducir el número de multiplicaciones

26. Ejemplos de estructuras
• Forma directa

27. • Forma de cascada

28. • Forma de fase lineal

29. Tipos de respuestas de frecuencia de los
filtros
• Pasa bajas (Low–pass)
• Pasa altas (high-pass)
• Pasa banda (band-pass)
• Rechaza banda (band-reject)

31. Parámetros de evaluación de filtros
• Nitidez de Caída de respuesta (Roll-off sharpness)
• Rizo en la banda de paso (pass-band ripple)
• Atenuación en la banda de rechazo (stopband attenuation)

32. Caída de la respuesta

33. Rizo en la banda de paso

34. Atenuación en la banda de rechazo

35. EJEMPLO FILTRO BUTTERWORTH
• El filtro de Butterworth es uno de los filtros electrónicos básicos,
diseñado para producir la respuesta más plana que sea posible hasta
la frecuencia de corte. En otras palabras, la salida se mantiene
constante casi hasta la frecuencia de corte, luego disminuye a razón
de 20n dB por década (ó ~6n dB por octava), donde n es el número de
polos del filtro.
• Fue descrito por primera vez por el ingeniero británico Stephen
Butterworth en el artículo "On the Theory of Filter Amplifiers",
Experimental Wireless and the Wireless Engineer,

36. • El filtro Butterworth más básico es el típico filtro pasa bajo de primer
orden, el cual puede ser modificado a un filtro pasa alto o añadir en
serie otros formando un filtro pasa banda o elimina banda y filtros de
mayores órdenes.
• Según lo mencionado antes, la respuesta en frecuencia del filtro es
extremadamente plana (con mínimas ondulaciones) en la banda
pasante se aproxima a cero en la banda rechazada. Visto en
un diagrama de Bode con escala logarítmica, la respuesta decae
linealmente desde la frecuencia de corte hacia menos infinito.

37. • El filtro de Butterworth es el único filtro que mantiene su forma para
órdenes mayores (sólo con una pendiente mayor a partir de la
frecuencia de corte).
• Este tipo de filtros necesita un mayor orden para los mismos
requerimientos en comparación con otros, como los de Chebyshev, el
de Bessel o el elíptico