Este documento resume conceptos básicos sobre números reales y operaciones con conjuntos. Explica la definición de conjunto, operaciones como unión, intersección, diferencia y complemento. Luego introduce los números reales, desigualdades y el valor absoluto. Finalmente, cubre desigualdades con valor absoluto y operaciones generalizadas con conjuntos.
1. UNIDAD 2
Números Reales y Plano
Numérico
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Turismo
TU0123
2. Definición de
Conjuntos.
Operaciones con
conjuntos.
Números Reales.
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto.
Desigualdades con
Valor Absoluto.
3. Un conjunto suele definirse mediante una
propiedad que todos sus elementos poseen. Por
ejemplo, para los números naturales, si se
considera la propiedad de ser un número primo, el
conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Un conjunto es una colección bien definida de
objetos, entendiendo que dichos objetos pueden
ser cualquier cosa: números, personas, letras,
otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:
A es el conjunto de los números naturales menores
que 5.
4. En las matemáticas, podemos hacer lo que queramos
definir a un conjunto, por ser un concepto primitivo,
pero hacemos abstracción y lo pensamos como una
colección desconcertada de objetos, los objetos de un
conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que
tengan una relación entre ellos, a los objetos de un
conjunto se les llama elementos de dicho conjunto,
por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos. Se
representan con una letra mayúscula y a los
elementos o miembros de ese conjunto se les mete
entre llaves corchetes o paréntesis. ({,}).
5. Algunas de estas operaciones tienen propiedades
distintas a las operaciones con números naturales.
Por ejemplo, la unión y la intersección
son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es
el elemento neutro de la unión, y el elemento
absorbente de la intersección y del producto
cartesiano. El conjunto universal es el elemento
neutro de la intersección y el elemento absorbente
de la unión.
Además, las operaciones de unión, intersección,
diferencia y complemento son muy similares a las
operaciones en un álgebra de Boole, así como a
los conectores lógicos de la lógica proposicional.
6. Operaciones con conjuntos.
UNIÓN
Diagrama de Venn de la unión de
dos conjuntos A ∪ B
El símbolo del operador de esta
operación es: ∪, y es llamado
copa.
Es pertinente a la formación de los
elementos de dos conjuntos o
incluso más conjuntos que
pueden, partiendo de esto
concordar una nueva forma de
conjunto, en la cual los elementos
dentro de este correspondan a los
elementos de los conjuntos
nuevos. Cuando un elemento es
repetido, forma parte de una vez
solamente; esto difiere del
concepto de multiconjuntos en la
concepción tradicional de la suma,
en la cual los elementos comunes
se consideran tantas veces como
se encuentren en la totalidad de
los conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos,
la junta de ambos (A ∪ B) es el
conjunto C el cual contiene a
todos los elementos
pertenecientes al conjunto A o al
conjunto B.
Un elemento x pertenece a la junta
de los conjuntos A y B si, y sólo
si, x pertenece al conjunto A o x
pertenece al conjunto B, por lo
tanto A ∪ B={x/x∈A∨x∈B}.
A continuación pondré también
algunos ejemplos prácticos:
Ejemplo: La unión de los conjuntos
A={1,2,3} y B={4,5,6} sería el
conjunto C={1,2,3,4,5,6}, esto es:
{1,2,3}∪{4,5,6}={1,2,3,4,5,6}
7. Operaciones con conjuntos.
INTERSECCIÓN
Diagrama de Venn que prueba la intersección de
dos conjuntos A ∩ B
El símbolo del operador de esta operación es: ∩, y es llamado
capa.
Sean A y B dos conjuntos, la fortuna de ambos (A ∩ B) es el
conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y
que están en B.
Un elemento x pertenece a la coincidencia de los
conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x
pertenece al conjunto B a la vez, por lo
tanto A∩B={x/x∈A∧x∈B}.
DISJUNTIVIDAD
Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando
la coincidencia de ambos es el conjunto vacío. A ∩ B= ∅
EJEMPLO: La coincidencia de A={3,7,8} y B={1,2,9} sería C=∅,
ya que {3,7,8}∩{1,2,9}=∅ por lo tanto A y B son disjuntos.
8. Operaciones con conjuntos.
DIFERENCIA
Diagrama de Venn que muestra la diferencia de
dos conjuntos A B
El símbolo de esta operación es: .
La comparación consiste en eliminar de A todo elemento que
esté en B, también se puede expresar con el símbolo de la
resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es
el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A,
pero no en B.
También se le puede denominar a la diferencia de A y
B: complementario de B con respecto a A.
Por lo tanto, un elemento concierne a la diferencia de A y B si, y
sólo si {x/x∈A∧x∉B}
EJEMPLO: La diferencia de los conjuntos A {1,2,3,4} y B {1,3,5,7}
es el conjunto C {2,4}, sin embargo la diferencia de los
conjuntos B {1,3,5,7} y A {1,2,3,4} es el conjunto C{5,7}.
9. Operaciones con conjuntos.
DIFERENCIA DE SIMETRICA DE CONJUNTOS.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en
donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que
tendrá todos los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
diferencia simétrica estará formado por todos los
elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo
que se usa para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △.
EJEMPLO
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia simétrica de estos conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}.
10. Operaciones con conjuntos.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos
los elementos del conjunto de referencia o universal, que no
están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta
incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto
complemento de A es el conjunto formado por todos los
elementos del conjunto universal pero sin considerar a los
elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación
el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe
sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde
el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación
de complemento.
EJEMPLO
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el
conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los
siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}.
11. Operaciones con conjuntos.
PRODUCTO CARTESIANO
En un conjunto los elementos están desordenados y el orden
es muy importante, por ello necesitamos algún tipo de
estructura diferente para representar a los elementos
ordenados, de ahí salen las n-tuplas ordenadas.
EJEMPLO
Si A={3,4} y B={1,3,8} y C={3,8,9}, hallar (A x B) ⋂ (B x C).
Hallamos el producto cartesiano de AxB
={(3,1),(3,3),(3,8),(4,1),(4,3),(4,8)}
Hallamos el producto cartesiano de
BxC={(1,3),(1,8),(1,9),(3,3),(3,8),(3,9),(8,3),(8,8),(8,9)}
Ahora hallamos la intersección de (A x B) ⋂ (B x C) =
{(3,3),(3,8)}
La representación gráfica de un producto cartesiano se puede
hacer con una tabla cartesiana, diagrama de flechas,
diagrama cartesiano o un diagrama de árbol.
12. Operaciones con conjuntos.
PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN
Es la generalización del resultado de las uniones de un
número arbitrario de conjuntos, es una técnica muy
importante que se usa principalmente en los problemas de
enumeración.
Sucede por ejemplo cuando queremos encontrar un cardinal
de la unión de dos conjuntos y para encontrar dicho número
de la unión de dos conjuntos finitos A y B, hay que tener en
cuenta que en A∪B cada elemento de A está solo una vez
en A, pero no en B, y viceversa, pero hay algunos elementos
que pueden pertenecer a A y a B a la vez, por lo tanto
el principio de inclusión-exclusión se basa en restar a la
unión de dos conjuntos finitos la intersección de ambos.
Matemáticamente= A∪B - A∩B
13. Operaciones con conjuntos.
IDENTIDAD
En matemáticas, una identidad es
cuando dos objetos que
aparentemente son distintos por la
forma en la que se representan, al
final son lo mismo. Por lo tanto,
una identidad es
una igualdad entre dos
expresiones, entre los conjuntos
existen una serie de leyes de
identidades, que les muestro a
continuación:
Leyes de identidad
A ∪ ∅ = A, la unión de un conjunto
cualquiera con el conjunto vacío
es el mismo conjunto.
A ∩ ∅ = ∅, la intersección de un
conjunto cualquiera con el
conjunto vacío, es el conjunto
vacío.
Ley de complementación
A, la negación de la negación de
un conjunto cualquiera, es el
mismo conjunto.
Leyes conmutativas
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Leyes asociativas
A ∪ (B∪C) = (A∪B) ∪ C
A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C
Leyes distributivas
A ∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
14. Operaciones con conjuntos.
A ∩ U = A, la intersección de un
conjunto cualquiera con el
conjunto universal es el mismo
conjunto.
Leyes de dominación
A ∪ U = U, la unión de un conjunto
cualquiera con el conjunto
universal, es el conjunto universal.
Leyes idempotentes
A ∪ A = A, la unión de un conjunto
cualquiera consigo mismo, es el
mismo conjunto.
A ∩ A = A, la intersección de un
conjunto cualquiera consigo
mismo, es el mismo conjunto.
Leyes de De Morgan
Representación gráfica de las
leyes de De Morgan
A ∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
A ∪ B = A ∩ B
A ∩ B =
Leyes de absorción
A ∪ (A∩B) = A
A ∩ (A∪B) = A
Leyes de complemento
A ∪ A = U, la unión de un conjunto
cualquiera con su complementario,
es el conjunto universal.
A ∩ A = ∅, la intersección de un
conjunto cualquiera con su
complementario, es el conjunto
vacío.
15. Operaciones con conjuntos.
UNIONES E INTERSECCIONES GENERALIZADAS
Las operaciones de unión y de intersección tienen la propiedad
asociativa, por lo tanto si tenemos tres conjuntos A, B y C...
La unión de esos tres conjuntos es otro conjunto D el cual contiene todos
aquellos elementos que están al menos en uno de los conjuntos A, B o
C. (A∪B∪C)
Un elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A, B y C si, y sólo si,
x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B o x pertenece al
conjunto C, por lo tanto: �∪�∪�={�/�∈�∨�∈�∨�∈�}
La intersección de los conjuntos A, B y C queda como resultado otro
conjunto D el cual tiene los elementos que están estrictamente en A, en
B y en C. (A∩B∩C)
Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A, B y C si, y
sólo si, x pertenece al conjunto A, x pertenece al conjunto B y x
pertenece al conjunto C.
EJEMPLO: Sea A={2,4,6,20}, B={1,7,13,20} y C={0,5,20}, la unión de A, B
y C es el conjunto D={0,1,2,4,5,6,7,13,20} y la intersección de A, B y C
es el conjunto D={20}
16. Números Reales.
En matemáticas, el conjunto de los números
reales incluye tanto los números racionales
como los números irracionales; y en otro
enfoque, a los trascendentes y a los
algebraicos.
17. Desigualdades.
En matemáticas, una desigualdad es una
relación de orden que se da entre dos valores
cuando estos son distintos. Si los valores en
cuestión son elementos de un conjunto
ordenado, como los enteros o los reales,
entonces pueden ser comparados. La notación
a < b significa a es menor que b.
18. Definición de Valor Absoluto.
La noción de valor absoluto se utiliza
en el terreno de
las matemáticas para nombrar
al valor que tiene un número más
allá de su signo. Esto quiere decir
que el valor absoluto, que también
se conoce como módulo, es
la magnitud numérica de la cifra
sin importar si su signo es positivo
o negativo.
Tomemos el caso del valor
absoluto 5. Este es el valor
absoluto tanto de +5 (5 positivo)
como de -5 (5 negativo). El valor
absoluto, en definitiva, es el
mismo en el número positivo y en
el número negativo: en este
caso, 5. Cabe destacar que el
valor absoluto se escribe entre dos
barras verticales paralelas; por lo
tanto, la notación correcta es |5|.
19. Desigualdades con Valor
Absoluto.
Por definición, el valor
absoluto de un número es la
distancia de un valor desde el
origen, independientemente
de la dirección. El valor
absoluto se indica mediante
dos líneas verticales que
encierran el número o la
expresión.
Por ejemplo:, el valor absoluto
de x se expresa como | x | =
a, lo que implica que, x = + ay
-a. Ahora veamos qué
implican las desigualdades de
valor absoluto.
Una desigualdad de valor
absoluto es una expresión
con funciones absolutas y con
signos de desigualdad. Por
ejemplo, la expresión | x + 3 |
> 1 es una desigualdad de
valor absoluto que contiene
un símbolo mayor que.
Hay cuatro símbolos de
desigualdad diferentes para
elegir. Estos son menos de
(<), mas grande que (>),
menor o igual (≤), y mayor o
igual (≥). Entonces, las
desigualdades de valor
absoluto pueden poseer
cualquiera de estos cuatro
símbolos
