1. Universidad Fermín Toro
Vice Rectorado Académico
Decanato de Ingeniería
INTEGRANTE
CLAUDIA RODRIGUEZ
Barquisimeto, enero 2013.

2. CONJUNTO
Definición: Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los
cuales llamaremos elementos.
Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al
conjunto que contiene todos los elementos a considerar.
UN CONJUNTO se determina por extensión cuando se nombran todos sus
elementos, y por comprensión cuando se da la característica común de sus
elementos.
Los conjuntos también se pueden definir por comprensión utilizando la
notación simbólica:
A = {x | x N, 4 < x < 11}
Se lee: A es un conjunto formado por todos los elementos x tal que x es un
número natural mayor que 4 y menor que 11.

3. EJEMPLOS DE CONJUNTOS

4. SUBCONJUNTO
RELACIÓN DE INCLUSIÓN
Esta relación es recíproca la relación de contenencia, se dice que
un conjunto está incluido en otro cuando todos los elementos del primero
pertenecen al otro conjunto, en este caso de define cuando un conjunto es
subconjunto de otro. Da igual manera un conjunto contiene a otro cuando los
elementos del segundo pertenecen al primero.
FÓRMULA:
B С A: x €B = x C A
С = no está incluido. Э = no contiene a.
no es subconjunto
Estas relaciones son exclusivas entre conjuntos, luego a cada lado del símbolo
deben existir letras mayúsculas.
Se admite que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro, de igual forma
todo conjunto es subconjunto de si mismo.

5. EJEMPLO:
- Conjunto de los números reales mayores que -2 y menores o iguales que 3
- Conjunto de los números reales mayores o iguales que -1 y menores o iguales que 1.
B = -1, 0, 1, 2, 3
A = -1, 0, 1
A es Subconjunto de B

6. PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
1) Reflexiva.- para todo conjunto A se cumple que todo conjunto está incluido a sí mismo.
AСA
2) Asimétrica.- para todo conjunto A y B se cumple que si A está incluido en B.
AСB^BСA=A=B
3) Transitiva.-
A С B ^ B С AA С C
Si se cumple las 3 propiedades se dice que existe una relación de orden.
Si al comparar dos conjuntos y estos no se incluyen entre A y B en este caso se dice que
los dos conjuntos no son comparables.

7. CONJUNTO VACÍO
Sea: X un conjunto.
Definimos mediante el Axioma 3, un conjunto con la propiedad: , dicho
conjunto lo llamaremos “ Conjunto vacío ” y lo notamos por la letra griega
(fi).
Esto es:
Consecuencias:
1.
2.
1. El conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos, puesto que su propiedad
característica corresponde a una contradicción, la cual no es satisfecha por ningún
objeto.
2. La fórmula de la derecha, en la equivalencia ii) es el teorema del medio
excluido, lo que permite establecer formalmente como teorema que ningún elemento
pertenece al conjunto f .

8. CONJUNTO POTENCIA
"El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto"
Ejemplo: Si tenemos un conjunto {a,b,c}:
* Entonces un subconjunto podría ser {a} o {b}, o {a,c}, y así sucesivamente,
* y {a,b,c} es también un subconjunto {a,b,c}
* y y el conjunto vacío {} es también un subconjunto de {a,b,c}
Entonces todos los subconjuntos juntos harían el Conjunto Potencia:
P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

9. IGUALDAD DE CONJUNTOS
Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, decimos que dichos conjuntos son
iguales.
Por ejemplo:
A: el conjunto de los números que se obtienen al lanzar un dado corriente y
B: el conjunto de los números naturales divisores de 60 que sean menores que 10
El primer conjunto es A = {1,2,3,4,5,6}.
os divisores naturales de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, pero, de ellos,
los menores que 10 son solamente 1, 2, 3, 4, 5 y 6, por tanto el conjunto A = B.
Si dos conjuntos A y B no son iguales, se indica con la siguiente notación A ≠ B (A es
distinto de B).

10. Unión e Intersección de Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el conjunto:
A U B = { xU  xA xB}
Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B.
Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces,
A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}
Propiedades de la Unión de Propiedades de la Intersección de
Conjuntos Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos. La Sean A y B conjuntos, luego se cumple:
intersección de A con B se define i. A I A = A ,  A
como el conjunto: ii. A I U = A , donde U es el conjunto
A I B = { xU  xA xB} universal
Es decir, los elementos que iii. A I = 
están en A y también están en B. iv. A I B = B I A
Ejemplo: Sea A = {a,b,c,d,e} y B
= {a,c,e,h,i,j,k} luego, la intersección
de los co

11. DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS
Sean A , B conjuntos. El axioma 3 nos permite definir un conjunto con la
propiedad , dicho conjunto lo denominamos “ Conjunto diferencia de los
conjuntos A y B en este orden ” y lo notamos .
Este conjunto lo notamos por comprensión así:
Propiedades de la Diferencia de Conjuntos
Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:
1.(AUB) - C = (A - C) U (B - C)
2.(A I B) - C = (A - C) I (B - C)
3.(AD B) - C = (A - C) D (B - C)
4.A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)
5.(B - C) I A = (B I A) - (C I A)
Sea B un conjunto. Se define el Complemento de B como el conjunto.
C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es decir, el complemento de B son los elementos que le
faltan a B para llegar a ser igual a U.
Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.

12. Teorema Leyes de D Morgan.
Sean: A , B , X , conjuntos tales que entonces:
1.
2. .
Algebra de Conjuntos
Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la
teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a
continuación.

13. •Leyes de Idempotencia
1.A U A = A  = A
A
2.A
•Leyes Asociativas
1.A U (BUC) = (AUB) U C
2.A (B = (A 
C) B) C
•Leyes Conmutativas
1.A U B = B U A
2.A B = B A
•Leyes Distributivas
1.A U (B C) = (A U B) (A U C) (B U C) = (A B) U (A C)
2.A
•Leyes de Identidad
1.A U = A   =
2.A
•Leyes de Dominación
1.A U U = U U: conjunto universal
2.A U = A
•Leyes de Complementación
1.A U C(A) = U
2.A C(A) =  = U )
3.C (C(A)) = A
4.C (U) =
5.C (
•Leyes de De Morgan
1.C(A U B) = C(A) C (B) B) = C(A) U C (B)
2.C(A

14. PRODUCTO CARTESIANO de dos conjuntos es una operación que resulta en otro
conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el
primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.
Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:
A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}
OPERACIONES GENERALIZADAS
Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1,
A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto.
Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo
denotaremos {Ai}iÎ I.

15. PARTICIÓN
Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I
es una partición de X, si y sólo si:
Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una
familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre
dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.
Ejemplo
Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3}
es una partición de X.
CARDINALIDAD
Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural
n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario
se dice que es infinito.